Анализ учета упругой трансверсальной изотропии и пластической анизотропии при изгибе круглых пластин∗ Текст научной статьи по специальности «Физика»

АНАЛИЗ УЧЕТА УПРУГОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНОЙ ИЗОТРОПИИ И ПЛАСТИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИИ ПРИ ИЗГИБЕ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН*

Г. В. Павилайнен1, Р. Ю. Юшин2

1. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, pavgal@gp11596.spb.edu

2. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, djromen@gmail.com

Введение. Актуальные задачи проектирования и строительства летательных и подводных аппаратов требуют создания все более сложных математических алгоритмов, учитывающих многие прочностные параметры тех материалов, из которых они производятся. Современные конструкции создаются из новых материалов и сплавов, прочностные свойства которых существенно отличаются от традиционных. Поведение новых сплавов в сложных конструкциях еще далеко не изучено, поэтому старые методы расчетов должны совершенствоваться для учета новых эффектов.

В работе анализируются результаты решения задачи упруго-пластического изгиба круглой тонкой пластины, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, свободно опертой, изготовленной из титанового сплава, обладающего свойствами трансвер-сальной изотропии и эффектом разносопротивляемости растяжению и сжатию. Аналогичная задача без учета указанного эффекта, который называют еще эффектом 8Б, рассмотрена в [1]. В данной работе, как ив [2], расчет проводится до момента перехода пластины в чисто пластическое состояние. В качестве критерия текучести использован критерий, предложенный О. Г. Рыбакиной [3], который учитывает и анизотропию, и эффект 8Б. На основе расчета системы дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами и решения краевой задачи на границе упругой и упруго-пластической зоны пластины [4, 5] удается построить все необходимые зависимости для анализа напряженно-деформированного состояния и оценить прочностные свойства пластины при различных значениях параметров анизотропии и разносопро-тивляемости.

Появление и развитие пластичности. Разрешающая система дифференциальных уравнений упруго-пластического изгиба пластины состоит из уравнения равновесия и уравнения совместности деформаций. На рис. 1 схематично изображены области текучести, возникающие в пластине. По сравнению с классическим изотропным случаем [2] при учете эффекта разносопротивляемости нарушается симметрия в развитии пластических областей сверху и снизу пластины. Примем, что предел текучести в плоскости пластины при сжатии ас выше предела текучести при растяжении <ге. Следовательно, пластическая область сверху пластины имеет меньший размер по сравнению с пластической областью снизу пластины.

Согласно рис. 1 введем четыре неизвестные величины: п1, П2, Пз, П4, определяющие глубины упругих областей в зависимости расстояния от центра пластины. Очевидно, что глубины пластических областей могут быть получены как П1 — П4 в верхней сжимающейся части пластины и П2 — Пз в нижней растягивающейся части пластины.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00257).

© Г. В. Павилайнен, Р. Ю. Юшин, 2011

Рис. 1. Пластические области при эффекте 8Б.

Уравнение совместности деформаций для 8Б-пластины распадается на два — для верхней и нижней части пластины. Поэтому разрешающая система содержит три уравнения и имеет вид

+ А2-Г- + = О,

ар ар ар

(йал _ ч йаз\ . аш

А4 І 2Т2— -(2Ті + 1)—— ] + А$ ——Ь Ае = О,

V ар ар і ар

АГ ( 2Тг^ - (2Т2 + 1)^ ) + А^ + А9 = О, \ ар ар) ар

(1)

где

Ао =

і яіп ф(соя ф — Г яіп ф)

(а,2 — аз)2

(а і — а4)2

(1 + і соя ф)2 (1 — і соя ф)2

< ■ -г, і \ I (а2 — аз)2 , (аі — а4)2

— (эт ф + г соэ ф) ( -——-------------------г +

1 + і соя ф 1 — і соя ф,

— — (йіп со7 Р соє со) (— (о2 — )_ — (04 — ^4)^)]

„ Р, IV - м/^2(оі-о4)Ті 2{а2-а3){1 + Т1)\

А1 = - (совф -Рвтф) —------- ----:-------——-------------:- +

3 у 1 — і соя ф 1 + і соя ф )

— [(СОЄ СО — Р ЄІП СО -\- t'} (202 — 2(7<з (?\ + 1)) + (сОЭ СО — Р ЄІП СО — ^ )2й4?\]

л Р, ¡и- і \ (— аз)То 2(оі - а4)(1 + То) \

А2 = -{совф - Рвтф) ——------------------- ---------- --- ----- ---- +

3 V 1 + і соя ф 1 — і соя ф )

— [(СОЄ СО — Р ЄІП СО ^)2йзГ2 (СОЭ СО — Р ЄІП СО — ^) (2(34 — 2о4 (1 +Т2))]

_ 2/г _ 2Х этV? ( (а2 - аз)2 (оі - о4)2 3 а/з 3 У(1 +#С08^) (1—#со вф)

— Гяіпш(аі + а2 — (а2 — аз) — (аі — а4) ),

і

3

А4 = рсоя(ф — р0)С2, А5 = рВі(аі — а4)(яіп(ф — ) — і яіп р0),

А6 = —2(аі — а4)С2 яіп ф яіпр0, А7 = р соя(ф — р0)Оі,

А8 = рВі(а2 — а3)(яіп(ф — р0) + і яіпр0), А9 = —2(а2 — а3)Сі яіп ф яіп р0,

Система содержит шесть неизвестных функций, между которыми выполняются три дополнительных соотношения:

о-i + а,2 — 2, a^z\ai — а±/2) — а^\а,2 — аз/2), — у———--------TV^gw.

(1 + v) (2 - А)

Кроме этого для сокращения записи формул коэффициентов уравнений Ai,..., Ад использованы дополнительные обозначения:

Bi = ((1 - v)(2 + A) cos2 ф)/((1 + v)(2 - A) cos2 ш), Ti = a(z)/(a(z) + a(z)), T2 =

a(z)/(*iz) + aCz));

C1 = 1 + t cos ф, C2 = 1 — t cos ф;

aCz) — предел текучести при сжатии в направлении действия нагрузки, cz)

ae — аналогичный предел текучести при растяжении;

t = 2/3/(3a/2 — А), где /3 = 3(<тс — ае)/(ае + ас) —коэффициент разносопротивляемости;

А = 2 — + 1/аС2^ /(1/ае + 1/ос)2 — коэффициент анизотропии.

Итак, в системе уравнений (1) независимыми остаются три неизвестные функции: аз(р) —безразмерная глубина пластической области снизу пластины, а4(р) — аналогичная глубина сверху пластины и ш(р) —параметр, введенный для описания изменения кривизны [2]. Численное интегрирование ведется по параметру р, связанному с текущим радиусом и нагрузкой соотношением

Г = ™ * = ,/ + • (2)

4кк2 1/о е + 1/<гс

Перейдем к анализу и сравнению результатов расчетов для различных пластин.

Анализ и сравнение результатов. Проведем сравнение результатов расчета упругопластического изгиба круглой пластины при различных значениях введенных ранее коэффициентов анизотропии А и разносопротивляемости р. Отметим, что коэффициент анизотропии характеризует свойства пластины до начала пластического деформирования, т. е. мы считаем изначально пластину трансверсально-изотропной, а коэффициент разносопротивляемости (или эффект БО) характеризует анизотропные свойства, которые проявляются при пластическом деформировании в той части пластины, которая перешла в пластическое состояние.

Изотропный случай. Расчетная система дифференциальных уравнений для решения задачи упруго-пластического изгиба трансверсально-изотропных ББ-пластин построена в [4, 5]. Отметим, что уравнения (1) можно использовать и для решения частных случаев задачи, а именно, при А =1, в = 0 они существенно упрощаются и становятся разрешающими уравнениями для решения изотропной задачи, а при А > 1, в = 0 — для трансверсально-изотропной задачи.

Как упоминалось ранее, изотропная задача была решена В. В. Соколовским [2] для V = 0.25 и V = 0.5. На рис. 2 и 3 проведено графическое сравнение известных результатов для V = 0.25 и данных расчетов по новым формулам. На рис. 2 изображены зависимости глубина—радиус пластической области пластины, на рис. 3 — зависимости приведенная нагрузка — приведенная стрела прогиба в центре пластины для «классического» и нового решений.

Рис. 2. Зависимость глубина—радиус пластической области при возрастании нагрузки, V = 0, 25.

Рис. 3. Приведенная нагрузка — приведенная стрела прогиба, V = 0, 25.

Видно, что графики совпадают почти идеально, а в некоторых случаях новые результаты даже имеют лучшую гладкость по сравнению со старыми, полученными без использования средств ЭВМ. Таким образом, результаты качественно совпадают и новое решение численно уточняет старое.

Трансверсально-изотропный случай. Решение задачи упруго-пластического изгиба для круглых трансверсально-изотропных пластин было получено Г. В. Пави-

лайнен в [1]. Приведем графическое сравнение известных результатов при V = 0.3 и А = 1.23 и по новым формулам для этих же коэффициентов. Отметим, что в качестве V здесь использовано значение для коэффициента Пуассона в плоскости пластины, поскольку различие по сравнению с изотропным случаем имеет место только при вычислении поперечной деформации, а соотношения для прогиба, моментов и перерезывающей силы свой вид не меняют. Это обстоятельство связано с принятой нами гипотезой выполнения условий плоского напряженного состояния. На основе расчетов построен график зависимости приведенная нагрузка — радиус пластической области для новых и старых решений (рис. 4). Аналогично совпадению изотропных решений, видно, что результаты расчетов для трансверсально-изотропных пластин совпадают и качественно, и количественно.

—I—.—|—.—|—.—|—.—|—.—|—.—|—.—|—.—|—

5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5

приведенная нагрузка, Р

Рис. 4- Приведенная нагрузка — радиус пластической области,

А = 1, 23, V = 0, 3.

Теперь выясним влияние коэффициента анизотропии на свойства трансверсально-изотропной пластины.

Влияние коэффициента анизотропии А. Решение задачи упруго-пластического изгиба трансверсально-изотропных пластин было произведено для значений коэффициента А, меняющихся от 1.1 до 1.5, согласно таблице 1.

Таблица 1.

№ А /3 ае (Тс/(Те (г) / (Те '/(Те (г) / &с /(Те

1 1.1 0 1.0 1.0 1.053 1.053

2 1.2 0 1.0 1.0 1.119 1.119

3 1.3 0 1.0 1.0 1.195 1.195

4 1.4 0 1.0 1.0 1.291 1.291

5 1.5 0 1.0 1.0 1.414 1.414

Для каждой из пяти пластин табл. 1 были проведены численные расчеты: задавая различные начальные значения упругой зоны сверху пластины в центре, получаем зна-

чения глубин пластической области сверху и снизу пластины в центре, после чего, двигаясь по разностной схеме, получаем значения радиусов пластических областей сверху и снизу пластины, а потом — значение нагрузки, вызывающей такую пластичность. Далее, находим значение упругого прогиба на границе упругой и пластической области снизу пластины, а после — значение прогиба пластины в центре. Во всех случаях были рассмотрены пластины радиуса 100 см, толщины 20 см, V = 0.3, Е = 120000 МПа. Пределы текучести в различных направлениях были заданы в отношении к пределу текучести при одноосном растяжении в плоскости пластины ае, которое было принято нами за единицу.

Рассмотрим влияние параметра анизотропии А на напряженно-деформированное состояние пластины.

—?—I—?—I—?—I—1—I—1—I—'—I—'—I—’—I—’—I

-0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

глубина пластической области, %

Рис. 5. Зависимость глубина — радиус пластической области.

На основе результатов расчетов были построены зависимости глубина пластической области — радиус пластической области (рис. 5), приведенная нагрузка — радиус пластической области (рис. 6), приведенная нагрузка — приведенная стрела прогиба (рис. 7).

Рис. 5-7 наглядно демонстрируют влияние параметра анизотропии на свойства трансверсально-изотропных пластин: с увеличением А происходит замедление распространения пластичности вглубь (при одинаковом радиусе пластической области или при одинаковой нагрузке), но при этом заметно увеличение пластичности по радиусу (при одинаковой глубине пластической области или одинаковой нагрузке). Это происходит только при развитой пластичности. Интересно, что при мало развитой пластичности радиус пластической области с изменением параметра А почти не меняется. Наблюдается явление замедления роста стрелы прогиба с ростом параметра анизотропии при одной и той же нагрузке.

Взаимное влияние коэффициентов А и в• Перейдем к сравнению результатов решений задачи упруго-пластического изгиба трансверсально-изотропных ЯБ-пластин

Рис. 6. Зависимость приведенная нагрузка — радиус пластической области.

Рис. 7. Зависимость приведенная нагрузка — приведенная стрела прогиба.

при различных значениях коэффициента анизотропии А и ЯБ-коэффициента в. Проанализируем их взаимное влияние на свойства пластины. Зафиксируем значение коэффициента А = 1.1, примем за единицу значение ае, соответствующее пределу текучести при одноосном растяжении в плоскости пластины, и зададим набор значений пределов текучести при одноосном сжатии в плоскости пластины ас, которые будут возрастать относительно ае в соответствии с принятым критерием текучести, условием пластической несжимаемости материала и условием сплошности.

Составим таблицу, в которой приведены четыре предела текучести материала и соответствующие значения коэффициента анизотропии А и ЯБ-коэффициента в (см. табл. 2).

Таблица 2.

№ А /з ае (Тс/(Те (г) / (Те '/(Те (г) / (Тс /(Те

1 1Д 0,143 1.0 1Д 1,004 1,228

2 1Д 0,273 1.0 1,2 0,965 1,423

3 1Д 0,333 1.0 1,25 0,949 1,530

4 1Д 0,391 1.0 1,3 0,935 1,644

5 1Д 0,447 1.0 1,35 0,922 1,765

Аналогично табл. 2 были составлены таблицы с теми же значениями в, °е, &с, но для значений параметра анизотропии А = 1, 2 и А = 1, 3. По построенным таблицам были проведены численные расчеты.

Как и раньше, во всех случаях были рассмотрены круглые пластины радиуса 100 см, толщины 20 см, V = 0.3, Е = 120000 МПа.

Выясним влияние коэффициента в на свойства трансверсально-изотропных ЯБ-пла-стин. Для этого зафиксируем, к примеру, значение А = 1.3 и на основе полученных результатов построим графики зависимостей для соответствующего набора коэффициентов в.

Зависимость глубина — радиус пластической области приведена на рис. 8, приведенная нагрузка — радиус пластической области — на рис. 9, приведенная нагрузка — глубина пластической области — на рис. 10, приведенная нагрузка — приведенная стрела прогиба на рис. 11.

Рис. 8. Зависимость глубина — радиус пластической области, А = 1.3.

Видно, что при одинаковой глубине пластической области ее радиус уменьшается с ростом в. В то же время, при одинаковом радиусе пластической области наблюдается рост ее глубины при росте в, и такая зависимость прослеживается независимо от изменения параметра А.

6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 -8,5 9,0

приведенная нагрузка, Р (А=1.3) '

Рис. 9. Приведенная нагрузка — радиус пластической области, А = 1.3.

6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 -8,5 9,0

приведенная нагрузка, Р (А=1.3) '

Рис. 10. Приведенная нагрузка — глубина пластической области, А = 1.3.

Интересна зависимость приведенная нагрузка — радиус пластической области. При малых нагрузках и, соответственно, при мало развитой пластичности при фиксированной нагрузке радиус пластической области с ростом в сначала уменьшается, а потом начинает увеличиваться. Для получения пластических областей с одинаковы радиусом с ростом в к пластинам при мало развитой пластичности нужно прикладывать большую нагрузку, но при развитии пластичности ситуация меняется и нагрузка уменьшается.

6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 -8,5 9,0

приведенная нагрузка, Р (А=1.3) '

Рис. 11. Приведенная нагрузка — приведенная стрела прогиба, А = 1.3.

С ростом ЯБ-параметра в наблюдается увеличение глубины пластической области при одинаковых нагрузках. Эта тенденция сохраняется при росте параметра анизотропии А.

На данных рисунках видно, что происходит снижение несущей способности пластины с ростом параметра в, ведь при одинаковых нагрузках стрела прогиба становится гораздо больше. Аналогично, для получения одинаковой стрелы прогиба пластина с меньшим ЯБ-коэффициентом должна быть нагружена сильнее.

Таким образом, на основе построенных решений могут исследоваться пластины из любых современных титановых сплавов, кроме этого, возможно решение обратной задачи — по указанной величине нагрузки могут быть подобраны величины коэффициентов анизотропии и разносопротивляемости, обеспечивающие заданную прочность конструкции.

Литература

1. Павилайнен Г. В. Упруго-пластический изгиб круглой трансверсально-изотропной пластинки // Вестн. Ленингр. ун-та. 1983, №13. С. 70-75.

2. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высш. школа, 1969. С. 607.

3. Рыбакина О. Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом ББ. Исследования по упругости и пластичности // Вестн. Ленингр. ун-та. 1982, №14. С. 132142.

4. Юшин Р. Ю. Упруго-пластический изгиб трансверсально-изотропных пластин // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». Вып. 1 / под ред. А. Л. Смирнова, Е. Ф. Жигалко. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. С. 55-75.

5. Юшин Р. Ю. О Возможности учета пластической анизотропии при изгибе круглых пластин // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 1. С. 134-140.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.