CC BY
23
О ВОЗМОЖНОСТИ УЧЕТА ПЛАСТИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИИ ПРИ ИЗГИБЕ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН*
Р. Ю. Юшин
С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]
Введение
Технический прогресс общества в областях проектирования и строительства ставит все более сложные математические задачи. Современные конструкции создаются из новых материалов и сплавов, прочностные свойства которых существенно отличаются от традиционных. Поведение новых сплавов в сложных конструкциях еще далеко не изучено, поэтому старые методы расчетов на прочность должны быть усовершенствованы для учета новых прочностных эффектов.
В работе рассматривается задача упруго-пластического изгиба круглой тонкой пластины, равномерно нагруженной по одной из поверхностей, свободно опертой, изготовленной из титанового сплава, обладающего свойствами трансверсальной изотропии и эффектом разносопротивляемости растяжению и сжатию. Аналогичная задача без учета указанного эффекта рассмотрена в [1]. Эффект разносопротивляемости в зарубежной литературе встречается под названием «эффект SD» (strength-different). В данной работе, как ив [2], исследуются случаи упруго-пластического состояния до перехода в чисто пластическое состояние. В работах [1, 2] использованы критерии текучести Мизеса и Бекофена [3]. В предлагаемой работе используется критерий, предложенный
0. Г. Рыбакиной [4], который учитывает и анизотропию, и эффект SD.
Исследование задачи осложнено тем, что отсутствует симметрия в развитии пластических зон на верхней и нижней поверхности пластины [5]. Однако и в этом случае удается построить систему нелинейных дифференциальных уравнений, которая поддается численному интегрированию [6]. При таком способе построения уравнений упругопластического изгиба удается решить задачу до конца, т. е. построить зависимость нагрузка—прогиб в центре пластины.
1. Критерии текучести
В [4] был предложен критерий текучести ортотропного материала, учитывающий эффект SD, а именно:
\/F(<72 - оз)2 + G(a3 - CTi)2 + H(ai - СГ2)2 + ст2 + ^-03 = 1- (1)
Здесь <71, <72, —главные нормальные напряжения, F, G, H, ai, а2, аз —постоян-
ные. Для трансверсально-изотропной пластины при плоском напряженном состоянии
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №04-01-00257).
© Р. Ю. Юшин, 2010
(ах = 0) выполняются равенства
Р = ° = ЇЙ + ЙІ; я = ї(ї? + ї?'“
' 11 \2 . . , о 3 ( 1 14
~ ГУ^ аі "" “2 "" 2 “ <С
т*Р гг*с в и в
где ар
*р _
пределы текучести при одноосном растяжении в направлении оси г и плоскости пластины соответственно, <г£, а*с — пределы текучести при одноосном сжатии в направлении оси г и плоскости пластины соответственно.
Критерий текучести (1) для трансверсально-изотропной пластины имеет вид
^ <т2 — Аагад + <70 + (За = к
(3)
где
1
1 \ а*Р
а = -(<7Г + ав)] (3 = 3 4 8
а
к =
2
1 1
При ар = аС = ав, а*р = а*С = а* имеем в = 0, и критерий (3) переходит в
известный критерий [2]
— А<7г<70 + <7^ = %/3&*, к* = -у=.
а/3
(4)
*
2
а
Г
2. Аналитическое решение
На рис. 1 изображено сечение круглой пластины радиуса Д, высотой 2Н, находящейся в упруго-пластическом состоянии. Учет среднего нормального напряжения приводит к нарушению симметричного развития пластических областей сверху и снизу. Нейтральная поверхность, т. е. та, на которой напряжения обращаются в ноль, в этом случае уже не совпадает со срединной.
Пусть распределенная нагрузка на верхней плоскости пластины такова, что и на верхней и на нижней гранях имеются пластические области. На поверхности z = 0 при r = 0, аг = ад = 0. В пластической области, расположенной сверху пластины, материал подвергается сжатию, и при r = 0, аг < 0, ад < 0
|аг1 = |ад1 = а*sc,
а для пластической зоны, расположенной внизу в зоне растяжения,
as — аг — ад
при Or > 0, ад > 0.
Примем для определенности, что предел текучести при растяжении меньше, чем предел текучести при сжатии [5]. Тогда
a*sp < a*c; в> 0.
Пластические деформации в этом случае развиваются сначала внизу в центре пластины, а потом появляются наверху в центре пластины. Ограничимся теми случаями, когда пластичность от края вообще не появляется.
На рис. 2 схематично изображена эпюра напряжений в центральной оси пластины.
Рис. 2. Эпюра напряжений.
Введем согласно рис. 1 величины П1(т), П2(т), Пз(т), П4(т) и функции а4(т), аз(т), где
( а4(т) = П1(т) - П4(т),
\ аз(т) = П2(т) - пз(т).
При изгибе пластины выполняются соотношения ( П1 + П2 = 2Н,
\ (т - т)°*с + \т°*8с = (т - тЖр + ^
Второе соотношение (6) представляет собой требование равенства площадей заштрихованной фигуры над нейтральной осью и под ней (рис. 2).
В [6] детально описан вывод уравниия равновесия, а также уравнения совместности деформации, которое для нашей задачи распадается на два — сверху и снизу пластины.
Решение сводится к интегрированию этой системы третьего порядка дифференциальных уравнений с нелинейными коэффициентами, а именно, в новых переменных
аз(р), а4(р), ^(р), введенных ранее в (5) для обеспечения корректности расчета. Уравнение равновесия преобразуется к виду
(2Т'$ - т +'>£)+ * -(2Г‘+1>$)+ + Аз = °- (7)
причем
/2(а2 - аэ) (cos ф - F sin ф) C202 - 2(02 - аэ) .
м=р[ -------5--------г—-------;--------------------- cosw - Fsmu-t)-
\ 3 1+t cos ф 2
С2а1 , ^ , ,N
(cos СО — Р sinw + t)
2
( 2(ai - 04) (cos ф - F sin ф) C^i - 2(ai - 04)
Ai = p --------------------------------1------------------(cosw -Fsmuj+t)
\ 3 1 -t cos ф 2
C1a2 , ^ . ,N
(cos U) — r sin ш — t)
2
((а2 - a3)2(sin ф + Fcos ф + tF) (а1 - a4)2(sin ф + F cos ф - tF)
A2 = -pB1 I -------------o/_, , ,-----—------------h
As = -
\ 3(1+1 cos ф)2 3(1 -1 cos ф)2
F cos w)(a! + a2 — (ai — а4)2 — (02 — аэ)2),
p2 (F sin ^ — 2t) (a2 — (ai — 04 )2) (F sin ^ + 2t) (a2 — (02 — аэ )2)
2F / 2 2F 2, 2F
sin-0 / (d2 — аз) (аг — a4)
3 1 + t cos ф 1 - t cos ф
(1 — v)(2 + A) cos2 ф 2в (1 — v) (2 + A) a* c
ГДеВ1 (1 + z/)(2 — A) cos2 w ’ ^ (1+^) (2-A)tgW> Tl a*/ + a*sc^
a*p
T2 = s——, Ci = 1 +tcos ф, C2 = 1 — tcos ф. Уравнение совместности деформации
а/ + as
для верхней части пластины преобразуется так:
Л4{2Т2^-{2Т1 + 1)^)+Л5% + Лб = 0’ (8) а уравнение совместности деформации для нижней части пластины так:
АГ (2Т^ - (2Т2 + + А8^ + А9 = 0, (9)
у dp dp у dp
где
A4 = p cos^ — p0)(1 — t cos ф); A5 = pBi^i — a4)(sin(ф — p0) — t sin p0);
A6 = —2(0i — 04)2(1 — t cos ф) sin ф sinp0; A7 = pcos^ — p0)(1 +1 cos ф);
A8 = pBi(02 — 0Э)^ш(ф — p0) +1 sinp0); A9 = —2(02 — 03)2(1 +1 cosф) sinф sinp0,
2 л/Зрл/2 - A 2
a p =---------2----r — безразмерная переменная.
4kh2
По аналогии с [2], система имеет особую точку p = 0. Данная система может быть реализована числено разностным методом с шагом по p, начиная вблизи центра пластины. В результате расчета строятся зависимости Wj(pj), 03(pi), 04(p*) на каждом шаге.
Расчет имеет промежуточную точку аз = 0, после чего принимается аз = 0 и расчет продолжается для а4.
Значение р1 при аз = 0 фиксируется и определяет безразмерный радиус пластической области на верхней поверхности пластины. При достижении условия а4 = 0 фиксируется значение р”, определяющее безразмерный радиус пластической области на нижней поверхности пластины.
Ниже приведен рисунок, схематически изображающий пластические зоны одной и той же трансверсально-изотропной пластины с эффектом 8Б, построенный после выполнения вычислений по разностной схеме при задании глубины пластической области сверху пластины в центре, равной 0.1 (сплошная линия) и 0.25 (пунктирная линия) (см. рис. 3). По оси г отмечены числовые значения безразмерных глубин пластической области; р^1 и р”1 —шаги интегрирования, при которых пластическая область сверху и снизу пластины выходит на соотвествующий край пластины, для начальной грубины пластической области в центре, равной 0.1; а р^2 и р”2 —шаги интегрирования, при которых пластическая область сверху и снизу пластины выходит соотвествующий край пластины для начальной грубины пластической области в центре равной 0.25.
м-— рТ рТ
0.25
р
0.3 “
'ъ р? р?
Рис. 3. Пластические области при эффекте ЯЮ.
3. Замыкание задачи. Перейдем к определению нагрузки р и радиуса пластической области с при растяжении. Из численного решения на первом этапе нам известны параметры р”, ф^, щ, где г — номер шага интегрирования, при котором реализуется ситуация края пластической области внизу пластины. Сопоставим упруго-пластическое решение и решения для упругого кольца, следуя [2]. Воспользуемся требованием непрерывности моментов в радиальном и круговом направлениях, а также условием свободного опирания пластины Мг (а) = 0 (рис. 4).
„ ) 4 V ( е
2
>
> ГЪ М(с- 0)=М(С+О) \ М(а)=0
Рис. 4. Граничные условия.
Все эти условия сводятся к решению квадратного уравнения относительно неизвестной нагрузки, которое имеет вид
К2Р + К1Р + Ко = 0.
(10)
Здесь
К2 =
3а4(3 + 1у)у/2^А
64р2к2Н4
К1 = -51
J2v/Зv/23A 4 /э? А’ /?2 ’
Ко = 51 - 5з -
(3 + у)р1 4а/23Х
51 =
5з
1
л/Зл/2^4
(^1 + ^2) <уС°в^'1 ~ _ Лвтфг),
где С и С2 были введены ранее в формуле (6).
Очевидно, что необходимо выбрать р > 0. После вычисления нагрузки находится и радиус нижней пластической области с” по формуле
( пл2 _ УЗрл/2 А ( ^пл2 КП) 4А-/г2
-(спУ-
(11)
Аналогично решаем уравнение (10) для р^ и находим радиус пластической области для верхней поверхности пластины, т. е. в области сжатия.
4. Результаты и их анализ. Ниже приведены результаты для анизотропных пластин (в = 0) из титановых сплавов, радиусом 1м, толщиной 20 см, а*р = 650 МПа, без эффекта 8Б, имеющих разные коэффициенты анизотропии.
Радиус пластической области, И/И
Рис. 5. Зависимость радиус—глубина пластической области в центре пластины для разной степени анизотропии.
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Глубина пластической области
Рис. 6. Нагрузка—глубина пластической области в центре пластины для разной степени анизотропии.
Рисунок 5 демонстрирует зависимость радиуса пластической области от ее глубины в центре пластины для А = 1.0, А = 1.1, А = 1.2, А = 1.3. Видно, что чем больше выражена анизотропия, тем значительнее глубина пластической области в центре пластины.
Тот же самый результат наблюдается и для нагрузки. Чем существеннее анизотропия пластины, тем больше нагрузка, вызывающая ту же самую глубину пластической области в центре пластины, по сравнению с изотропной пластиной. Таким образом, трансверсально-изотропная пластина выдерживает большие нагрузки.
Проведенные исследования позволяют выявить влияние пластической анизотропии на зависимости «нагрузка—радиус пластической области» и «глубина—радиус пластической области», что делает возможным прогнозирование прочностных свойств пластины.
Литература
1. Павилайнен Г. В. Упруго-пластический изгиб круглой трансверсально-изотропной пластинки // Вестн. Ленингр. ун-та. 1983, №13, С. 70-75.
2. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. С. 607.
3. Бекофен В. Процессы деформации. М., 1977. С. 288.
4. Рыбакина О. Г. Критерий текучести анизотропного материала, обладающего эффектом ЯЮ. Исследования по упругости и пластичности // Вестн. Ленингр. ун-та, 1982, №14. С. 132142.
5. Матвеева Е. В. Павилайнен Г. В. Учет эффекта разносопротивляемости материала при изгибе пластин // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб., 2000. С. 294-304.
6. Юшин Р. Ю. Упруго-пластический изгиб трансверсально-изотропных пластин // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» / Под ред. А. Л. Смирнова, Е. Ф. Жигалко. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. С. 55-75.
Статья поступила в редакцию 10 сентября 2009 г.
