CC BY
54
УДК 624.023
ДИНАМИКА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ БЕСШАРНИРНЫХ АРОК
В.А. Монахов
Пензенская государственная архитектурно-строительная академия Россия, 440028,Пенза, ул. Г. Титова, 28
Сосредоточенные динамические воздействия высокой интенсивности сопровождаются локализацией упругопластических деформаций в наиболее напряженных сечениях арки. На этом основании при исследовании динамики арок можно воспользоваться механической моделью в виде многозвенной цепи с шарнирами, установленными в указанных сечениях арки и обладающими упругопластическими свойствами. Формирование уравнений движения арок и их интегрирование предлагается осуществлять в автоматическом режиме. Компьютерный анализ напряженно-деформированного состояния арок при их движении позволяет обнаружить чередование фаз пластического течения в некоторых сечениях. В заключение приведен пример расчета круговой арки на действие сосредоточенного удара.
Упругопластические деформации арок были рассмотрены в ряде работ отечественных авторов. В частности, Свида B.C. [1], Пивнев Ф.А. [2], Лебединец Н.А. [3], Мищенко A.B.
[4], Себешев В.Г., Чаплинский И. А. [5] нашли зависимость характерного параметра прогибов арок от вида и уровня внешнего воздействия. Как оказалось, схемы деформирования двухшарнирных и бесшарнирных арок, а также значения их предельных нагрузок почти одинаковы [6] при одном и том же нагружении.
Оценке перемещений трехшарнирных упругопластических арок при интенсивном динамическом нагружении посвящена статья [7], где была использована гипотеза локализации упругопластических деформаций в наиболее напряженных сечениях. Действительно, при действии динамической нагрузки, уровень которой близок к предельному (определяемому в рамках теории предельного равновесия), следует ожидать концентрации деформаций в сечениях арки с пластическими шарнирами. По существу, предполагается, что шарниры, помещенные в этих сечениях, «работают» в соответствии с диаграммой Прандтля. Можно считать также, что при движении арки ее участки между шарнирами остаются абсолютно твердыми. При этих допущениях ниже исследуется поведение бесшарнирной арки при сосредоточенном воздействии, характер изменения которого во времени может быть различным (рис. 1, 2).
1 Введение
Рис.1
Рис.2
Уравнения движения арки получают из уравнений движения многозвенной замкнутой цепи, моделирующей арку (рис. 3). Но составляются они для более абстрактной механической системы, уравнения движения которой совпадают с уравнениями движения арки. Формирование уравнений движения осуществляется в автоматическом режиме на основе известной процедуры Виттенбурга Й. и Лилова
Рис.З
Л. [8] (см. п. 2). Интегрирование систем неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих движение арки, выполняется методом главных форм в фазовом пространстве (см. п. 3). В заключение приведен пример расчета бесшарнирной круговой арки на динамическую нагрузку постоянной интенсивности.
о)
Рис.4
Рис.5
2 Формирование уравнений движения арки
В замкнутой цепи, состоящей из трех звеньев, следует разорвать один из опорных шарниров, чтобы перейти в последующем к графу типа «дерева», отражающего структуру модели рассматриваемой арки (рис. 4). Описание последнего дается матрицей инцидентности
[5] графа, которая представлена в табл. 1. Перед построением матрицы длин [¿] (табл.
2) * необходимо показать на каждом звене центр тяжести С, (/ = 1, 2, 3) и измерить отрезки до смежных шарниров. Например, для первого звена элемент 1ц равен расстоянию от центра тяжести С/ до опорного шарнира, 112 - расстоянию до второго шарнира (рис. 5). Причем эти отрезки можно измерять по хорде окружности (для круговых арок).
Следующий шаг заключается в вычислении элементов матрицы распределения масс [ц]. Для этого достаточно знать массы всей арки и ее звеньев. Воспользовавшись формулой
^=5 В. (/,7 =1,2,3)1
И,
где 8,у - символ Кронекера, ц, - масса ¡-го звена; ц , - масса всей арки, находят матрицу [ц] (табл. 3).
Эти три матрицы являются исходными для последующих операций, направленных на получение уравнений движения многозвенного механизма в автоматическом режиме. Сначала следует найти матрицы
[£)]=[5][1] [Я]-' и [5]= - [£>][//] (табл. 4,5). Элементы этих матриц определяют отрезки Ьу и с1у (рис. 5). Последние относятся к упомянутой выше абстрактной механической системе, т. н. расширенной цепи, которая образована на основе звеньев реальной цепи, дополненной точечными грузами с массами ц (у = 1,...,и-1). Грузы располагаются на торцах каждого звена и количество их на том или ином конце определяется числом звеньев, расположенных до или после рассматриваемого участка. В частности, два первых звена расширенной цепи изображены на рис. 6. Векторы Ьи,Ь12,Ь2У характеризуют положения центров тяжести звеньев расширенной цепи, которые называются барицентрами. На рисунке они обозначены буквами В/ и В2 и нанесены в виде крестиков в кружках. Ориентация
векторов Ь ч и с1 ¡р , описываемая углами рр, 5 у в собственных координатных базисах
** Числовые значения элементов этой и всех других матриц, о которых пойдет речь ниже, приведены для арки с параметрами, указанными в п. 4.
е\ ~ е2 > указана там же. Значения углов наклона векторов b ¡¡ и d v в собственных координатных базисах Щ - ё'г приведены в таблицах 6,7.
Уравнения движения арки, состоящей из ряда участков, связанных цилиндрическими шарнирами с упругопластическими свойствами, совпадают с уравнениями вращения звеньев соответствующей расширенной цепи относительно
предшествующих шарниров. Диагональные элементы матрицы инерции [М], определяемые формулой
3
т„ = 1 i + X ^jdl (* = L2,з), равны
7=2
моментам инерции /- го расширенного звена относительно предшествующего шарнира. Здесь /, - момент инерции i- го стержня относительно его конца; в частности, 1Х = 2yAr3(a-sina), где А - площадь поперечного сечения стержня арки; у - удельный вес материала арки, а- центральный угол дуги первого звена, г - радиус окружности арки.Побочные
элементы симметричной матрицы [М\ находятся по формуле ’ ту = ^,р^со^(Зи - )
('l<j. i = I 3).
Матрица жесткости [^] цепи определяется произведением трех матриц: матрицы инци-
т
дентности [S], транспонированной к ней [S] , а также диагональной матрицы коэффициентов жесткости шарниров [fe]. Матрицы инерции [м] и жесткости М , для приводимого в п. 4 примера, даны в таблицах 8,9.
Компоненты вектор-столбца F грузовых членов равны
/, = R, + ¿ dv( р п sin Sv - р j2 cos 8 у ) (/ = 1,2,3).
j:w , ¿w r
Здесь R¡ (г = 1,2,3) - главный момент сил, приложенных к i-му участку; pj¡, pj2 -проекции главных векторов pj сил, приложенных к звеньям арки, на оси основного координатного
базиса, w¡- вершины графа (рис. 4,6). В приводимом ниже примере, рц - p¡2 = p2i = рз1 = Р32 = 0, р22 = - Р, R¡ = 0 (i-1,2,3) и, следовательно, fx = Pdncos5l2,/2 = /3 = 0.
Уравнения связей рассматриваемой цепи в разорванном шарнире, характеризующие ее
3 3
замкнутость, имеют следующий вид: /(. sin ф, = 0, /, cos<p, -1 = 0, где I- пролет арки; 4
/=1 /=1
(Pi (i = 1, 2, 3) - длина и угол наклона /- ой хорды участка. Якобиан [J\ уравнений связей входит в правую часть уравнений движения расширенной цепи
[д/]ф** +[/с]ф = V, (1)
где вектор V = F + R - [j]r (j\M] ] [jf)“'
' Q + содержит вектор-столбец F=ifvf2,fJ грузовых членов, а также вектор-столбец R = -k4S ф3 (k^ - коэффициент жесткости разорванного шарнира, S (0,0,1) - вектор инцидентности, характеризующий положение этого шарнира в структуре цепи), устанавливающий связь между моментом в опорном шарнире и углом вращения примыкающего участка. Компоненты вектора Y
Более полная запись этой формулы содержит еще и разности ф( — фу под знаком cos, которые в рассматриваемом случае вследствие малости углов поворота равны нулю.
обеспечивают асимптотическую устойчивость процедуре численного интегрирования. Они находятся по формулам:
У\ = Т,1Ш2 ~ «Pfjsincp, + 2 уф, cos фу ],
/=1
У2 =Z/>[fe2 -ф,2)c°sф, + 2уф, sinф,]+^2/,
где \|/,^ — константы стабилизации, (|у |, |) < 1. Вектор Q = F + R - \к\у.Как принято,
дифференцирование по времени обозначено точкой над ф .
3 Интегрирование уравнений движения арки
В соответствии с предлагаемым методом интегрирования на первом этапе решения следует выполнить расщепление системы дифференциальных уравнений (1). Как известно [9], с помощью преобразования [G], являющегося матрицей собственных векторов системы, можно перейти к совокупности независимых дифференциальных уравнений
Ü" +[\p = Z. (2)
Здесь ^(мим2’“з) . главный вектор; [А] - диагональная матрица характеристических чисел Ал (i = 1, 2, 3); ^
= [ну
- вектор-столбец правой части уравнения, полученный в результате расщепления системы, ^ - матрица преобразования правой
части уравнений.
С помощью новых переменных: собственного времени и фазовой скорости
т,=.Д~/ и (/=1,2,3) (3)
система уравнений (2) переводится в алгебраическую форму
v?+(ц-С)2 = р? 0 = 1,2,3), (4)
где С, -2¡ fb-nP/ -д/í,2 + с? (/ = 1,2, 3), С/ -произвольные постоянные; z¡- компоненты вектора Z.
Подставив V( из (3) в уравнение (4), возвращаются к дифференциальной записи уравнений движения, но уже в новых переменных
(н;)2+(м,-02=Р? 0=1,2,3),
где штрих над и, указывает на дифференцирование по T¡ .Интегралы последних уравнений
легко вычисляются
и, = С, i + p¡sin( х ¡ + 0 ¡) (/ = 1, 2, 3), (5)
где 0, = arcsin [(u¡o- C,¡) /p,] -TiQ, (/=1,2,3) - начальная фаза; tío, u,0 - начальные значения собственного времени и компонент вектора главных координат U.
Полученное решение можно истолковать геометрически. С этой целью следует вообразить усеченный конус, следами которого на плоскостях и, -v,(/ = 1,2,3) в фазовом слоистом пространстве являются окружности (4), а само решение (5) представить в виде ломаной Е на поверхности конуса S (рис. 7). Подобно тому, как изображающая точка фазовой траектории характеризует решение одного дифференциального уравнения на фазовой плоскости [7], так и положение ломаной на фазовой поверхности дает решение системы дифференциальных уравнений в фазовом пространстве.
Чтобы вернутся к действительным переменным <pt, являющимися углами поворота участков арки, следует воспользоваться формулой перехода ф = [g] U0.
Очевидно, здесь получено аналитическое решение системы неоднородных дифференциальных уравнений вида (1) при постоянных правых частях. Оно легко обобщается на тот tv»
случай, когда компоненты векторов F, а, следовательно, и вектора Z, являются некоторыми функциями времени. Для этого достаточно представить их в виде непрерывных серий ступенчатых функций, постоянных в малом интервале разбиения области определения переменной t. В соответствии с изложенным алгоритмом составлена программа численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. Одновременно с интегрированием системы уравнений демонстрируется
компьютерный фильм о движении арки с синхронным построением изображающей линии Е, скользящей по фазовой поверхности S.
4 Пример
Для иллюстрации предложенного метода расчета рассматривается арка кругового очертания, геометрические и физико-механические параметры которой взяты из статьи [5], где приведены результаты экспериментально-теоретического исследования. Авторы испытали двухшарнирные арки пролетом /=75 см с различными стрелами подъема. Здесь выделена арка со стрелой подъема / = 22,5 см, площадью поперечного сечения А=4,1 см2 и моментом сопротивления (упругим) W- 5,69 см3 при высоте сечения h = 3,82 см. Арка изготовлена из стали с пределом текучести ст( = 266 МПа и модулем упругости Е = 210 ГПа. Внешняя нагрузка сосредоточена на расстоянии с=12,5 см от оси симметрии. Ее предельное значение равно 32,6 Ш. Пластические шарниры при статическом нагружении образуются в точке приложения нагрузки при а = 43° и на другой половине арки с угловой координатой (i = 103°. Центральный угол рассматриваемой арки равен 120°, а радиус окружности оси арки г= 42,5 см.
Приняв коэффициент динамичности стали п равным 2, а пластический момент сопротивления двутаврового сечения Ws= 1,17 W, можно найти предельное значение изгибающего
момента при динамическом нагружении mds =nasWs =35,4Нм. Коэффициенты жесткости шарнирных сечений определяются по формуле
км = (i = 0,1,2, З^где /,° = Wh/2 (/ = 1,2,3) - момент инерции
h + ^+1
поперечного сечения /- го участка, J{¡ = = /0 = /4 = 0 ** [9].
При нагружении бесшарнирной арки сосредоточенной силой P(t) - const, интенсивность которой равна пятикратному значению предельной нагрузки, в начальной фазе происходит упругое деформирование арки, характер которого показан на рис. 8, а. В табл. 10 дан спектр частот и период основного тона колебаний. Во второй фазе, начавшейся при t¡ = 4,51 10"4с, возникает пластическое течение во втором шарнире, который показан темным
кружком на рис. 8,6. Момент появления текучести t\ определяется из условия текучести
***) Существуют и иные подходы к определению коэффициентов жесткости шарниров.
т
2 = к2х2$ ~ тя > где *25 = Фгх _ Ф15 - взаимный угол поворота звеньев арки, смежных со
вторым шарниром. Дальнейший рост перемещений арки приводит к появлению пластичности и в третьем сечении (рис. 8, в). При этом движение сопровождается увеличением углов О) поворота участков арки. Их максимальные значения, а также угловые скорости звеньев и изгибающих моментов в характерных сечениях приведены в табл.
11. По окончании этой фазы при 0=6,91 Ю"* с почти одновременно происходит разгрузка в обоих шарнирах и арка переходит в режим установившихся колебаний.
Следует подчеркнуть, что рамки данного исследования ограничены малыми перемещениями, а интенсивность динамической нагрузки близка или превышает в несколько раз значение предельной (статической). Без особых затруднений предлагаемый метод анализа обобщается на случай конечных прогибов арок и иных схем деформирования материала, из которого изготовлены арки. Рис 8
МАТРИЦЫ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
МАТРИЦА ИНЦИДЕНТНОСТИ [S3 Табл.*.1. МАТРИЦА CD]=tC]*CHl Табл.М.4 .
1 2 3 1 2 3
1 -1.0000 1.0000 0.0000 1 -0,1595 -0.3190 -0.3190
2 0.0000 -1.0000 1.0000 2 0.0000 -0.1800 -0.3601
3 0.0000 0.0000 -1.0000 3 0.0000 0.0000 -0.1055
МАТРИЦА ДЛИН Lf i,.11 МАТРИЦА ГВЗ=-CD3*CMU1
Табл.».г. Табл.*.5.
1 2 3 1 2 3
1 -0.1595 0.1595 0.0000 1 -0.1023 0.0571 0.0571
2 0.0000 -0,1800 0.1800 2 -0.1582 0.0218 0.2018
3 0.0000 0.0000 -0.1055 3 -0.0250 -0,0250 0.0805
МАТРИЦА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС Muci.ja МАТРИЦА УГЛОВ betta
Т&бл.Я.З. Табл.Ш.Ф.
1 2 3 1 2 3
— ——— ——————————— ————
1 0.6417 -0.3583 0.3583 1 0.0000 0.0000 0.0000
2 -0.4045 0.5955 0.4045 2 3.0147 0.0000 0.0000
3 -0.2372 -0.2372 0.7628 3 2.3427 2.3427 0.0000
МАТРИЦА УГЛОВ delta
Табл.М.7.
1
2
3
3.8136
0.0000
0.0000
3.8135
3.0147
0.0000
3
3.8135
3.0147
2.3427
1
2
3
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
МАТРИЦА ИНЕРЦИИ СМ1
Табл.*.8.
0.2209 О.1000 0.0023
0.1008
0.1364
0.0202
0.0023
0.0202
0.0100
МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ НО
Табл.*.9.
1 2 3
1138774.4768 -67221.В962 0.0000
2-67221.8962 147139.1652 -79917.2690
3 0.0000 -79917.2690 79917.2690
ВЕКТОР НАГРУЗКИ Р<1;1
f1=-32550.9050 f2= 0.0000 f3= 0.0000
СПЕКТР ЧАСТОТ Та6л- *Л1
Tab N.10 ВРЕМЯ t=0.000682
1=1 omega[11-4762.9625 РЕЙСІ]- 0.0013 углы поюрота Fin:
i-2 omegat11=1248.7555 PEBdl- 0.0060 - -Г”““:-Г™««-
1=3 omega[l]=304.3256 РЕВГП= 0.0206 -0.047842 0.042480 -0.006865
ПЕРИОД ОСНОВНОГО ТОНА = 0.0206 1юах= 3
ЛИТЕРАТУРА
УГЛОВЫЕ СКОРОСТИ нш -132.488228 101.915015 42.374002
МОМЕНТЫ Mill -3423.2423 3540.7080 3544.6759 742.2540
1. Сеида B.C. Расчет упругих арок с учетом пластических деформаций. Вестник инженеров и техников, № 3, 1939.
2. Пивнев Ф.А. Исследование работы двухшарнирных арок за пределом упругости. Труды ХИИТ, вып. 21, 1951.
3. Лебединец H.A. Экспериментальное исследование работы бесшарнирных арок за пределами упругости. Известия вузов. Строительство и архитектура, № 5, 1968, с. 69- 73.
4. Мищенко A.B. Исследование несущей способности упругопластических арок. Известия вузов. Строительство и архитектура, № 7,1988,с. 34 -38.
5. Себешев В.Г., Чаплинский И.А. Теоретическое и экспериментальное исследование несущей способности двухшарнирных арок. Известия вузов. Строительство и архитектура, № 9, 1975, с. 43 -49.
6. Монахов В.А. Предельное равновесие бесшарнирных арок. Исследования по строительным конструкциям и их элементам. М., 1982, с. 44 -50.
7. Монахов В.А., Шейн А.И. Ударное нагружение трехшарнирной упругопластической арки сосредоточенной силой. Строительная механика и расчет сооружений, № 5, 1990, с. 51 -54.
8.Lilov L., Wittenburg J. Bewegungsgleichungen fur Systeme starrer Körper mit Gelenken beliebiger Eigenschaften. Zeitschrieft fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1977, v. 57, s. 137-152.
9.Ананьин A. К, Баранов В. A., Барченков A. Г. Динамика сооружений, Воронеж, Изд-во ВГУ, 1987, 192 стр.
DYNAMIC OF ELASTIC PLASTIC FREE JOINTS ARCHES
V. A. Monakhov
The Penza State Architectural - building Academy Russia, 440028, Penza, Titov str., 28
The concentrated dynamic effects of high intensity are accompanied by localization of elastic plastic strains in the most intense cuts of an arch. On this foundation at research of dynamic of arches it is possible to take advantage of mechanical model as a multilink circuit with the joints established in indicated cuts of an arches and possessing elastic plastic properties. The shaping of the equations of driving of arches and their integration is offered to be realized in an automatic condition. The computer analysis is intense - is deformed condition of arches at their driving allows to detect alternation of phases of plastic current in some cuts. The example of account of a circular arch on an operation of the concentrated impact is in summary reduced.
Монахов Владимир Андреевич родился в 1949 г., окончил в 1972 г. Пензенский инженерно-строительный институт. Канд. техн. наук, доцент кафедры строительной механики Пензенской государственной архитектурно-строительной академии, докторант кафедры сопротивления материалов РУДН, автор более 35 научных работ.
Monakhov Vladimir Andreevich (b. 1949) graduated from The Penza Construction Institute in 1972, phD (Eng.). Ass. professor of Department of Structural mechanics of The Penza State Architectural-building Academy. Working on his DrS. thesis on department of strength of materials of RPFU. Author more 35 scientific publications.
