CC BY
41
УДК 624.014, 624.072.32
Фахрутдинов А.Э. - аспирант
E-mail: faxrutdinoff@yandex.ru
Кузнецов И.Л. - доктор технических наук, профессор
E-mail: kuz377@mail.ru
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
НАЗНАЧЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ОЧЕРТАНИЯ ОСИ АРКИ ИЗ УНИФИЦИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
АННОТАЦИЯ
Решается задача нахождения оптимального очертания оси арки, составленной из набора унифицированных прямолинейных элементов, при действии многовариантных загружений от постоянной, снеговой и ветровой нагрузок согласно действующим нормам. Критерием оптимальности в поставленной задаче является минимальное значение массы арки. Приводятся алгоритм, программа и примеры нахождения оптимального очертания арки при различных статических схемах.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: оптимальное очертание, унифицированные прямолинейные элементы, многовариантные загружения.
Fakhrutdinov A.E. - post-graduate student
Kuznetsov I.L. - doctor of technical sciences, professor
Kazan State University of Architecture and Engineering
APPOINTMENT OF AN ARCH MADE FROM UNIFIED ELEMENTS AXIS OPTIMUM OUTLINE
ABSTRACT
The paper deals with a problem of finding an optimum outline of arch made from set of unified rectilinear elements axis under the action of multiple loadings from self-weight, snow load and wind action according to acting standards. The criterion of optimality in a task in view is the minimum value of arch weight. The algorithm, program and examples of finding the optimum outline at various static schemes are given.
KEYWORDS: optimum outline, unified rectilinear elements, multiple loadings.
В работах [1, 2] приведены новые конструктивная схема и способ реализации облегченного арочного здания. Здание включает арки, выполненные из унифицированных тонкостенных прямолинейных элементов, прогоны и ограждение из стальных профилированных листов или поликарбоната. Особенностью данных зданий является возможность придания им при возведении произвольного пролета и очертания. Это достигается тем, что соединение унифицированных элементов может быть реализовано под произвольным углом. Следовательно, изменяя число унифицированных элементов и соединяя их под требуемым углом, обеспечиваем реализацию арки произвольных габаритов. Изменение усилий в этих случаях может быть компенсировано:
- приданием арке оптимального очертания;
- назначением соответствующего шага установки арок;
- изменением статической схемы работы арок;
- включением обшивки в совместную работу.
Наиболее существенным способом повышения эффективности арок и в то же время вызывающим трудности из-за отсутствия рекомендаций является назначение оптимального очертания, что и рассматривается в настоящей статье.
Рассмотрим арку пролетом L и стрелой подъема f при шаге несущих конструкций B, составленную из прямолинейных элементов, узлы соединения которых лежат на некоторой кривой. Арка загружена многовариантной нагрузкой, включающей постоянную, снеговую и ветровую нагрузки согласно [3] (рис. 1).
Рис. 1. Схемы загружений арки различными нагрузками: а) - постоянной нагрузкой от собственного веса конструкций; б) - вариантами снеговой нагрузки: 1 - равномерно распределенной, 2 - неравномерной, 3 - расположенной на половине пролета;
в) - ветровой нагрузкой
Задача оптимизации состоит в нахождении такого очертания оси арки, при котором ее масса достигает минимального значения, т.е.:
G =
Ч>а • У •S Ry •Ус
м р
jivj
= т in,
(1)
Здесь <Ра - конструктивный коэффициент арки, у - плотность стали, 5 - длина дуги арки, Яу -расчетное сопротивление стали, у с - коэффициент условия работы, N - продольное усилие, М -изгибающий момент. Значение приведенного усилия [ \ ^/р \ + принимается максимальным
от всех возможных сочетаний нагрузок согласно [3, 4].
Стоит отметить, что расчетное сочетание нагрузок по нормам [3] дает значение приведенного
усилия [ | ^ /р \ + | N | ] , превышающее аналогичное значение, найденное по нормам [4], на величину до 10 %. Это является следствием увеличения в нормах [3] коэффициента сочетаний при одновременном действии нескольких кратковременных нагрузок для основной по степени влияния с 0,9 до 1.
В качестве функции, описывающей оптимальное очертание оси арки, в данной работе используется полином третьей степени вида:
у=А •% +В •%2 + С •%3 . (2)
Как показано в работе [5], представление очертания оси арки в таком виде значительно упрощает поиск ее оптимальной формы и достаточно просто позволяет учитывать изменение действующих на арку нагрузок (рис. 1) в зависимости от ее очертания. Задача же оптимизации сводится к поиску таких значений коэффициентов А, B, C, при которых будет выполняться условие (1).
Для нахождения оптимального очертания оси арки была составлена программа «ARKAMAS» для ЭВМ на языке программирования C++ в среде Borland C++ Builder 3. Блок-схема программы «ARKAMAS» представлена на рис. 2. Входные и выходные данные программы представлены в табл. 1.
Ввод исходных данных: 11 параметров (см. табл. 1)
_ i _
Определение интервала значений ординаты оси арки в четверти пролета (0.7f < yL/4 < 0.851) из условия нормального вида функции y = A-x + B-x2 + C-x3, которой описывается очертание оси арки
i
Разбиение интервала значений ординаты оси арки в четверти пролета равными частями на i точек, i = 20
*
Определение для каждой i-й точки коэффициентов Ai, Bi, Ci, определяющих очертания арок при
фиксированных координатах их пяты и ключа
+ ^
Статический расчет арок; вычисление максимальных значений приведенных усилий р| + | N |]
Определение min р| + | N |]_ j и точки разбиения интервала значений ординаты оси арки в четверти пролета, которой принадлежит это значение; i = k
I« —
Сужение области поиска оптимальной кривой; разбиение интервала [k-1; k+1]
равными частями на j точек, j = 20 _ + _
Определение коэффициентов Aj, Bj, Cj; статический расчет арок; вычисление [|^/р| + | N |] ; определение min р| + | N |]_ j и точки разбиения, которой принадлежит это значение, i = m
i
Вычисление оптимального числа унифицированных элементов пор для полученного очертания
Аппроксимация полученной кривой набором прямолинейных отрезков [пор - 2; п^+2]
1
Вычисление массы арки, составленной из прямолинейных элементов из Печать выходных
указанного набора данных (см. табл. 1)
:и
СТОП
Рис. 2. Блок-схема программы «ARKAMAS»
Таблица 1
Входные и выходные параметры программы «ARKAMAS»
№ п/п Обозначение параметра Наименование параметра
Входные параметры
1 L Пролет арки, м
2 f Высота подъема стрелы арки, м
3 n Число разбиений полупролета арки
4 Р Ядровое расстояние сечения унифицированного элемента, см
5 Фа Конструктивный коэффициент арки
6 Ry Расчетное сопротивление стали, кг/см2
7 Ус Коэффициент условия работы
8 qo Постоянная нагрузка, кг/м
9 qo Снеговая нагрузка, кг/м
10 qв Ветровая нагрузка, кг/м
11 Параметр для вычисления строительного коэффициента массы узловых фасонок
Выходные параметры
1 [|M/pl + НГ* Максимальное значение приведенного усилия от расчетного сочетания нагрузок, кг
2 exc Эксцентриситет в расчетном сечении, см
3 Nsoch Номер загружения, являющегося расчетным сочетанием нагрузок
4 nopt Оптимальное количество унифицированных элементов
5 A,B,C Коэффициенты полинома третьей степени, определяющего оптимальное очертание оси арки
6 Графически Форма арки, эпюры балочных силовых факторов и усилий в арке от всех нагрузок, разбиение полученной оптимальной кривой на заданное количество унифицированных элементов
7 В таблицах Координаты узлов соединения унифицированных элементов и масса арки при заданном их количестве, усилия в точках разбиения полупролета арки от всех нагрузок и их сочетаний
В качестве примера рассмотрим арку пролетом 12 м и шагом установки несущих конструкций 1 м, варьируя при этом очертанием, высотой подъема стрелы и статической схемой ее работы. Конструкция эксплуатируется в IV снеговом и III ветровом районах, собственная масса конструкций принимается равной 20 кг/м2. Усилия в арках, очерченных по дуге окружности и квадратной параболе, определялись расчетом в ПК «ЛИРА», а в оптимальных арках - расчетом в разработанной программе «ARKAMAS».
Результаты расчетов приведены в табл. 2 и 3.
Анализируя данные таблиц, можно сделать следующие выводы:
1. назначение оптимального очертания оси арки, как наиболее существенный способ повышения эффективности этой конструкции, позволяет снизить расход металла по сравнению с традиционными очертаниями по дуге окружности и квадратной параболе для трехшарнирных и бесшарнирных арок - до 40 %, для двухшарнирных арок - до 25 %;
2. назначение рационального числа унифицированных элементов для арок, проектируемых по принципу «открытой» типизации, также является эффективной мерой по снижению материалоемкости таких конструкций (в рассмотренных примерах отклонение от оптимального числа унифицированных элементов на две единицы дает перерасход металла до 7 %).
Сравнение расчетных сочетаний усилий и максимальных приведенных усилий в арках при варьировании их очертанием,
относительной высотой подъема стрелы и статической схемой работы
Очертание арки Статическая схема Относительная высота подъема стрелы, 17 Ь Расчетное сочетание усилий Максимальное приведенное усилие [\М/р\ + \Щ]таХ,кг Расчетное сочетание нагрузок Абсцисса расчетного сечения, м Ордината расчетного сечения, м
М, кг-см N, кг
По дуге окружности Трехшарнирная 0,3 82574 -637 20892 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,126 2,963
0,4 -80778 -1265 20452 пост+снег равномер 1,289 2,603
0,5 -112659 -1166 27926 пост+снег равномер 1,085 3,441
Двухшарнирная 0,3 79113 -674 19439 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,126 2,963
0,4 78944 -445 19197 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,400 4,224
0,5 86469 -324 20863 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,464 5,438
Бесшарнирная 0,3 70558 -698 17458 пост+снег на пол, пролета 0,000 0,000
0,4 78961 -557 19313 пост+снег на пол, пролета 0,000 0,000
0,5 94839 -981 23508 пост+снег неравномер 0,000 0,000
Квадратная парабола Трехшарнирная 0,3 111220 -827 27245 пост+снег на пол, пролета+ветер 2,712 2,519
0,4 97723 -677 23889 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,000 3,600
0,5 77703 -487 18944 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,600 5,040
Двухшарнирная 0,3 97598 -873 24055 пост+снег на пол, пролета+ветер 2,712 2,519
0,4 87015 -700 21369 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,000 3,600
0,5 72759 -495 17777 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,600 5,040
Бесшарнирная 0,3 -94269 -1693 24085 пост+снег на пол, пролета+ветер 0,000 0,000
0,4 -75797 -1454 19458 пост+снег на пол, пролета+ветер 0,000 0,000
0,5 59370 -568 14670 пост+снег на пол, пролета+ветер 0,000 0,000
Оптимальное Трехшарнирная 0,3 -73853 -789 18331 пост+снег на пол, пролета 2,500 2,763
0,4 -70525 -579 17331 пост+снег на пол, пролета+ветер 2,500 3,573
0,5 65877 -465 16113 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,500 5,181
Двухшарнирная 0,3 74696 -657 18400 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,000 3,060
0,4 71647 -450 17468 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,500 4,356
0,5 68365 -455 16694 пост+снег на пол, пролета+ветер 3,500 5,201
Бесшарнирная 0,3 63229 -734 15753 пост+снег на пол, пролета 0,000 0,000
0,4 62029 -584 15318 пост+снег на пол, пролета+ветер 0,000 0,000
0,5 55448 -562 13733 пост+снег на пол, пролета+ветер 0,000 0,000
Сравнение масс арок оптимального очертания при варьировании относительной высотой подъема стрелы, статической схемой работы и числом прямолинейных унифицированных элементов
Относительная высота подъема стрелы, f/L Статическая схема Уравнение оптимальной кривой Оптимальное количество унифицированных элементов (n0Dt) Длина унифицированного элемента при nopt, м Масса арки из п числа унифицированных элементов, кг
nopt-2 nopt -1 nopt nopt + 1 nopt + 2
0,3 Трехшарнирная 1,655556х- 0,251852х2+ 0,012654х3 6 2,457 130,95 126,27 125,28 126,07 127,83
Двухшарнирная 1,68х - 0,26х2+ 0,013333хэ 6 2,461 127,15 123,95 123,80 125,11 127,16
Бесшарнирная 1,436856х - 0,178952Х2+ 0,006579Х3 6 2,427 112,88 108,30 107,12 107,58 108,93
0,4 Трехшарнирная 2,078096х - 0,292699х2 + 0,01328х3 6 2,711 138,22 132,88 131,58 132,24 133,96
Двухшарнирная 2,24х - 0,346667х2+ 0,017778х3 6 2,735 133,79 130,64 130,59 132,05 134,25
Бесшарнирная 1,742192х-0,180731х2+ 0,00395х3 6 2,667 123,71 117,87 116,07 116,23 117,45
0,5 Трехшарнирная 2,3665х-0,288833х2+ 0,010181х3 6 2,974 144,09 137,73 135,87 136,22 137,76
Двухшарнирная 2,40004х - 0,300013х2+ 0,011112х3 6 2,978 147,61 141,64 140,07 140,64 142,38
Бесшарнирная 1,93426х - 0,144753х2 - 0,001826х3 7 2,512 123,24 119,51 118,46 118,85 120,05
Как показали расчеты, в подавляющем большинстве случаев расчетным сочетанием нагрузок является комбинация собственного веса, снега на половине пролета арки и давления ветра со стороны снегового мешка. Следует отметить, что при прочих равных условиях оптимальные арки, работающие по трехшарнирной схеме, несколько превосходят по экономичности арки, работающие по двухшарнирной схеме. Это является следствием того, что при нагрузке от снегового мешка на половине пролета арки, определяющей расчетное сочетание усилий, изгибающие моменты в четвертях пролета практически совпадают по своему значению, что свидетельствует о более равномерном распределении усилий.
На рис. 3 показана область оптимальных кривых, определенных по составленной программе, для арки пролетом 12 м и высотой подъема стрелы 6 м для различных статических схем.
L = 1Р м
Рис. 3. Область оптимальных кривых для арок пролетом 12 м и высотой подъема 6 м при различных статических схемах работы: 1 - окружность; 2 - квадратная парабола; 3 - оптимальная трехшарнирная арка; 4 - оптимальная двухшарнирная арка; 5 - оптимальная бесшарнирная арка
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кузнецов И.Л., Фахрутдинов А.Э. Арочные здания из унифицированных элементов // Известия КазГАСУ, 2010, № 1(13). - С. 122-126.
2. Кузнецов И.Л., Фахрутдинов А.Э. Способ возведения арочного здания. Решение о выдаче патента РФ по заявке № 2009143694/03(062156) от 13.12.2010.
3. СТО 36554501-015-2008. Нагрузки и воздействия. - М., 2008. - 49 с.
4. СНиП 2.01.07-85. Нагрузки и воздействия. - М., 1988. - 36 с.
5. Кузнецов И.Л. Расчет и конструирование легких арок. - Казань: КГАСА, 1998. - 144 с.
REFERENCES
1. Kuznetsov I.L., Fakhrutdinov A.E. Arch buildings made from unified elements // News of the KSUAE, 2010, № 1(13). - P. 122-126.
2. Kuznetsov I.L., Fakhrutdinov A.E. The method of erection of arch building. The positive decision on the application for a patent of RF № 2009143694/03(062156) from 25.11.2009.
3. STO 36554501-015-2008. Loads and actions. - М., 2008. - 49 p.
4. SNiP 2.01.07-85. Loads and actions. - М., 1988. - 36 p.
5. Kuznetsov I.L. Calculation and designing of light arches. - Kazan: KSABA, 1998. - 144 p.
