CC BY
33
рациональный численныи метод расчета арок произвольного очертания
THE RATIONAL NUMERICAL METHOD OF CALCULATING
ARCH
T.T. Чан , р.ф. Габбасов
T.T. Tran, R.F. Gabbasov
МГСУ
Предлагаемый в статье алгоритм расчета арок может быть использован в инженерной практике и в учебном процессе. Его достоинства - простота и достаточно высокая точность, благодаря чему он может быть реализован при небольшом числе разбиений и без использования ЭВМ
The proposed algorithm for calculating arches can be used in engineering practice and in teaching. Its virtues - simplicity and relatively high accuracy, it can be implemented with a small number ofpartitions and without the use of computers.
В настоящей статье в отличие от [1] предлагается для построения алгоритма использовать уравнения метода последовательных апроксимаций (МПА).
Воспользуемся приведенными в [1] дифференциальными соотношениями для криволинейного стержня, записанными в безразмерных величинах :
d 2m
drf dv dц
= - p - kn;
= kw + c n;
dn , dm
(1)--k— = -t;
drj d77
d2w d ,, ч (3) —- + — (kv) = - gm, d^ d^
(2)
(4)
где :
v = V
s Z Y -; p = —; t = — l q0 qo ; n = N . qol' m = M . qol 2' EJ w = WJ; qol
EJо qol 4 k = — = Kl; с2 = R Jo . l2 F' g = Jo J
(5)
В этих уравнениях: ^ - соответственно фиксированное значение нагрузки и момента инерции поперечного сечения; I - пролет; М - изгибающий момент, N - продольная сила, возникающие в сечении стержня; V, Ж и У, Z - соответственно тангенциальная, нормальная составляющие перемещения и нагрузки; EJ, ЕЕ - жесткость стержня на изгиб и продольные деформации; Я - радиус кривизны; ^ - координата, направленная вдоль оси стержня; положительные направления V и У считаются совпадающими с направлением
i+1/2j i+1 i+2
i
1-1
-7 h С-7 h С-7 h , „
л
Рис. 1
Аппроксимацию дифференциальных уравнений (1) , (2) в точке I неравномерной сетки (рис. 1) выполним по МПА [2] :
'mi_1 —"Л mi +~L~ (Л mi+1 + Ami Am' =
= --у- kл » +-y±L ki A» - "2 (т'р-1<2 +Тм Рмп
n »-л »+i -
k (
ki+1/2 V
/2 У" mi ~Ami+1
)= h
t;
i+1/2
(6)
(7)
+1/2
Для точки I левого края аппроксимация (1) запишется так [2] :
п I - m.--
m■
m■
Ti+1 k nn -Ъ+L p • m-ki ni „ pi+1/2 •m -
2
2
dm d77
—. (8)
" i+1 " i+1 В этих уравнениях :
г, - шаг неравномерной сетки слева от точки i; h - шаг равномерной сетки на горизонтальной оси f (рис. 1);
в = cosa; ei+1/2, ti+1/2, k;+1/2, pt+1/2 - величины в, t, p и безразмерной кривизны k,
вычисленные в середине участка длиной h. На рисунке 1 эта точка показана крестиком; а - угол наклона касательной к оси арки.
Ami =Лmt -пmt • Am\ =лm\ -пm\; А» = лnt -п», (9)
где Л - значение параметра решения левее точки i , П - правее. Величины шагов г вдоль оси ^ вычисляются по рекуррентной формуле [2] :
h
Ti = 6
1 4
- + -
-1/2
(10)
Исключая с помощью (6) и (9) велечины п из (7), получим четырехчленное уравнение относительно безразмерных изгибающих моментов т; запишем его применительно к расчету реальных арок, когда Дт = 0:
ВЕСТНИК 4/2010
— + а,,м - Ь,,м
Л ( \
Т- Тг+1
т, + —— н--а; - Ь
\ Гг+1 Гг+2
г,г+1 г,г+1
/
= - - тл,к*г+1'2 411+1
2 ' 'А
г+1'2
2
— Рг-1'2 +
1 а
V Гг
— а ■ т +тАт'-т ■ а ■ Ат' + —к Ап + ТмТ-+2 к а Ап = (11)
г,г+1 4+2 ',+1 2 2 г+1 г,г+1Ш'г+1
Л
г,г+1
Рг+1'2 аг,г+1 Рг+3'2
Г,
(12)
Здесь: а;,;+1 =-; Ь;,;+1 = -Т¿гг+1 = Г;+1 +Г;+2-
кг+1 2
Для определения внутренних усилий в расчетных сечениях трехшарнирной арки достаточно уравнений (11), (6), (8). Если арка статически неопределима, к этим уравнениям следует присоединить разностные аппроксимации дифференциального уравнения (4), что следует из [2]. Для внутренней точки сетки г:
Л 3 2 /
Г. г. г.
^ +—— М,, = —gг А тг —— г г+1 12 г г 12
V "г+1 "г у
для точки г левого края арки:
g г-1тг-1 + 5~ g гтг + ~ g г+1тг-
1 к + кг+1) 6
м Iк -кг+1 К V -
( Т2 ^ 1 + ^ к 2
; (13)
(14)
'•¿+1 12
gi 15 - 2^ ^ g;
т1 +| gí+l + g Д \тм -1 ^g Атм
где g 1 =
V dЛJi
; к' =
^ ¿к л
V
; м V; - заданные (в частности, нулевые) значе-
ния перемещении в опорной точке г.
2 И2
Для арок прямоугольного сечения по (5): с =-^, где ^- высота поперечного
сечения. Для реальных сооружений И < —. Тогда с2 < —1— Для арок и произволь-
I 10 1200'
ного сечения можно положить с2 ^ 0. Тогда из (3) следует: = км. (15)
Выразим V; через м интегрируя (15) по правилу трапеций на участке длиной г. : Т,
V = +^г(кг-1 Щ-1 + к М г ).
2
(16)
Интегрируя (15) по всей длине арки по формуле Симпсона [2] , получим :
-
^-^=- 3
к1 , т к
к
л
— и>0 + 4 — ш + 2 — и>2 +... + —и>
а 0 а 1 а 2 а
(17)
где vn, мп - заданные значения перемещении в правой опорной точке п.
тг-1 "
тг+1 "
+
М+1 =
6
2
Алгоритм в [3] строится относительно неизвестных т , n , v и w. Он оказался довольно громоздким. Здесь алгоритм расчета строится относительно неизвестных m и w. Разностные уравнения (11) записываются для каждого расчетного участка i - i+1 (0 < i < n-1), (13) - для каждой внутренней расчетной точки i. В случае расчета бесшарнирной арки для опорных точек записываются уравнения типа (14). Система полученных алгебраических уравнений решается совместно с (17). После определения m и w безразмерные продольные силы Ani в каждой расчетной точке вычисляются по (6), для опорных точек - по (7). Для определения поперечных сил служит уравнение (8). Тангенциальные перемещения v можно найти, последовательно пользуясь формулой (16).Угол поворота wi' можно вычислить пользуясь формулой (14).
Для арок постоянной жесткости (g = 1) уравнения заметно упрощаются. Для арки кругового очертания (k = const) при г = const все дифференциальные уравнения легко интегрируются вдоль оси щ. Поэтому во всех полученных выше разностных выражениях следует положить: h = г; в = 1. Из (11), например, как частный случай получим для круговой арки:
-1 -(з
2k2 \т, -1
1) - mi+2 + г(Дт; - Дт;+1) + ^ k(An,. + AnM) =
(18)
= -г3 • k ■ л
2 CPi'-1/2 Pi+312 ).
При расчете статически неопределимых арок на заданные перемещения опорных закреплений описанный алгоритм сохраняется.
В качестве первого примера была рассчитана круговая арка постоянной жесткости с сосредоточенной силой Pi = 1 в середине пролета при f = R = l/2 (рис. 2); тогда
по (5) k = const = 2; безразмерная длина стержня ж/2. Решим задачу при минимальном числе разбиений полуоси (в силу симметрии) с шагом г = ж/8.
У
x ©
r
1 1,5 2
0,5
0
l/4
l/2
q = 1
x
Рис. 2
Рис. 3
Если арка трехшарнирная, то т0 = т2 = 0, записываем (18) для участка 1-2 и находим = -0,1161. Погрешность по сравнению с точным результатом -0,1037 составляет 11,9%. По (10) п2 = -0,5204 (4,1%). При увеличении числа расчетных участков точность решения резко возрастает: при разбиении полуоси на 4 части г = ж/16; Ш1 = -0,1064 (2,5%); П2 = -0,5057 (1,1%). При г = ж/32 Ш1 = -0,1042 (0,5%); щ = -0,5009 (0,2%).
Если арка двухшарнирная, в приведенном выше четырехчленном уравнении следует положить ш0 = 0. Для точек 1 и 2 записывается уравнение (13) при к = г = ж/8; в = g = Дш2'= 1; = к = 2; Дш1' = 0; учитываются краевые условия и симметрия задачи. Эти уравнения решаются совместно с (17) при у0 = у2 = w0 = 0.
т
l
ВЕСТНИК 4/2010
Если арка бесшарнирная, т0 ф 0, w0' = 0. К перечисленным выше уравнениям добавляется (14).
Результаты расчетов сведены в таблицу 1.
_Таблица 1
Расчетная схема Номер Точное Численное решение (m)
по рис.2 точки на решение Количество участков на оси
рис.2 (m) по [5] 4 8 16
Трехшарнирная 1 -0,1037 -0,1161 -0,1064 -0,1042
Двухшарнирная 1 -0,0393 -0,0462 -0,0405 -0,0396
2 0,0909 0,0992 0,0932 0,0914
Бесшарнирная 0 0,05537 0,0608 0,0575 0,0558
2 0,07571 0,0828 0,0775 0,0762
Известно [4], что МКЭ для достижения такой точности требует несравнимо большего числа разбиений.
Второй пример расчета - бесшарнирная арка параболического очертания с рас-
4! ( \
пределенной нагрузкой # = 1 по всему пролету: у = ХУ ~ х) (Риа 3). Пусть/ = //2;
тогда y = 2 x(l - x);tga = — = - (/ - 2x); 2 l dx l dx
dy 2,
dx
Результаты расчетов сведены в таблицу 2.
d y 4 J , d2 y 3
= —; k = ±—— ■ l ■ cos a. l dx2
Таблица 2
Точное решение по [5] Численное решение
Количество участков на оси
4 8 16 32
m2 0 -0.0016 -0.00031 -7.07E-05 -1.7E-05
П2 -0.25 -0.2178 -12.86% -0.24183 -3.27% -0.24791 -0.84% -0.24947 -0.2%
Изложенный здесь алгоритм расчета можеть быть рекомендован для применения на практике. Его достоинства - простота и достаточно высокая точность.
Литература
1. Габбасов Р. Ф. Об одном алгоритме расчета арок произвольного очертания и переменной жесткости - Сборник материалов международной научно - практической конференции XXI века, часть I, МГСУ, ПГС, М. - 2000, с. 178-180.
2. Габбасов Р.Ф. , Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики- М.: Изд. АСВ, 2008. - 273 с.
3. Габбасов Р.Ф. Эффективные численные методы расчета арок произвольного очертания - Изв. вузов. Строительство, 1999, № 10, с. 9-12.
4. Габбасов Р.Ф., Егоров A.B. Применение метода последовательных аппроксимаций к расчету стержней кругового очертания в случае разрывных решений. - Исследования по строит. механике и надежности строит. конструкций / Сб. науч. тр. ЦНИИСК - М., 1992, с. 143-153.
5. Клейн Г.К. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики -Москва «Высшая школа», 1975.
4/2010 ВЕСТНИК
Literature
1. Gabbasov R.F. An algorithm for calculating the arches of arbitrary shape and variable stiffness - Proceedings of the international scientific - practical conference XXI Century, Part I, MSUCE, Moscow - 2000, p. 178-180.
2. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Numerical construction of discontinuous solutions of problems of structural mechanics, M.:. ASV, 2008. - 273 p.
3. Gabbasov R.F. Efficient numerical methods for calculating the arches of arbitrary shape -Math. universities. Construction, 1999, № 10, p. 9-12.
4. Gabbasov R.F., Egorov A.V. Application of the method of successive approximations to the calculation of the rods of circular shape in the case of discontinuous solutions. - Studies on the building. Mechanics and reliability of the constructs. structures / Sience magazine - Moscow - 1992, p. 143-153.
5. Klein G.K. Guide to practical exercises on the rate of structural mechanics - Moscow Higher School, 1975.
Ключевые слова: численный метод, расчета арок, метода последовательных апроксимаций (МПА), алгоритм, арка, неравномерная сетка, бесшарнирная, трехшарнирная, внутренние точки, опорная точка.
Keywords: A numerical method, the calculation of arches, the method of successive approximations, algorithm, arch, irregular grid, hingeless, three-hinged, interior point, reference point
e-mail автора(ов) : [email protected] Телефон/факс автора(ов) : Тунг : 8926 - 793- 35 - 30
Рецензент : Доцент, кафедры Строительной механики МГСУ,к.т.н. В.В. Филатов
