CC BY
37
ВЕСТНИК V20!!
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА АРОК ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ
РАВНОВЕСИЮ
A NUMERICAL METHOD OF CALCULATING ARCH IN THE LIMIT EQUILIBRIUM
Чан тхань Тунг Tran Thanh Tung
МГСУ
Предлагаемый в статье алгоритм расчета арок по предельному равновесию может быть использован в инженерной практике и в учебном процессе. В ней применяется численный метод для определения предельных значений нагрузок из условий образования пластических шарниров.
The proposed algorithm for calculating arches in the limiting equilibrium can be used in engineering practice and in teaching. It uses a numerical methodfor determining the limits of the load in conditions create plastic hinges.
В настоящей статье предлагается для построения алгоритма расчета арок по предельному равновесию использовать методику расчета в упругой стадии [1].
Вместо действительной диаграммы растяжения - сжатия упруго - пластического материала в основу кладется упрощенная диаграмма для упруго - пластического тела в координатах напряжения о - деформации е (рис. 1).
^¿тот™ pscw&nm
ГлгглтйЯ
Рис. 1
Для систем, работающих преимущественно на изгиб (балок, рам, арок), пластическое разрушение сечения определяется величиной изгибающего момента (при
4 = ) : MППPЛ , (1)
где Wпл - пластический момент сопротивления; в случае прямоугольного поперечного сечения W - ^ (2)
'' ПЛ ~ 4 • 4 '
Сечение, в котором реализуется (в дальнейшем ыпр), называется пластическим шарниром.
В случае статически определимой системы для ее разрушения достаточно образования одного пластического шарнира. В статически неопределимой системе полное разрушение наступает тогда, когда образуется количество пластических шариниров, которое равно числу лишних связей системы плюс единица.
Здесь алгоритм расчета арок по предельному равновесию строится по нижеизложенной схеме :
1. Расчет арки в упругой стадии по методу последовательных аппроксимаций
(МПА) [1].
2. Фиксирование первого пластического шарнира по М первого этапа расчета.
3. Упругий расчет с учетом первого пластического шарнира до возникновения П-го. Третий этап расчета и последующие этапы зависят от степени статической неопределимости арки.
Отметим, что если известна геометрия сечений, т.е. предельные несущие способности сечений (величины мпр ), то по алгоритму может быть найдена в
конечном счете предельная нагрузка.
В качестве первого примера была рассчитана двухшарнирная круговая арка постоянной жесткости с сосредоточенной силой р в середине пролета при
безразмерных f = R = 1/2 =0,5 (рис. 2); безразмерный предельный момент т всех
сечений арки на изгиб одинаков и равен 0,5. Найти безразмерную предельную нагрузку рпр. Решение в безразмерных величинах позволяет перейти в конце расчета к
произвольным размерным параметрам. ^: ^ л ^
РИ
(Рис. 2)
1=1 (Рис. 3)
Проводим расчет в упругой стадии по [1] при р = 1, и строим эпюру изгибающих моментов при числе разбиений оси 8 (рис. 2).
При т^ = т4 = 0,0932 первый пластический шарнир образуется в середине пролета. Нагрузка, соответствующая образованию первого пластического шарнира :
т„„ 0,5
РПР (1) = •
0,0932
= 5,365. (3)
ВЕСТНИК 1/2011
Далее расчитываем арку как трёхшарнирную на р = 1 и т = тш = 0,5 в упругой стадии по [1], чтобы найти рпр(2). Значения соответствующих изгибающих моментов М2 и М3 приведены в таблицу 1. Прежде чем определить р^(2), следует построить эпюру Мг.Рпр(1) + М3 = М2 (рис. 3).
Таблица 1
Точки 0 1 2 3 4 5 6 7 8
М 0 -0,0787 -0,1064 -0,0787 0 -0,0787 -0,1064 -0,0787 0
М3 0 0,1910 0,3532 0,4618 0,5 0,4618 0,3532 0,1910 0
М р; (1)+М3=Мг 0 -0,2314 -0,2175 0,0395 0,5 0,0395 -0,2175 -0,2314 0
По эпюре М2 имеем, что тшЬ = т1 =-0,0787.5,365 + 0,1910 = -0,2314; следовательно второй пластический шарнир образуется в точке 1. Чтобы найти Рпр (2) составляем уравнение:
-0,0787. р^ (2) + 0,1910 = -0,5; р^ (2) = 8,780.
При увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает, а положение пластического шарнира смещается. Результаты расчетов сведены в таблицу 2.
Таблица 2
Число разбиений »«шах = т4 по М1 »Шп поМ 2 ппМ 2 рпр(1) рпр (2) р 1 ПР А
8 0,0932 -0,2314 22,50° 5,365 8,780 9,025 -2,71%
16 0,0914 -0,2551 33,75° 5,470 7,985 8,039 -0,67%
32 0,0910 -0,2548 33,75° 5,495 8,027 8,039 -0,15%
В таблице 2 : аНшП) - угловая координата пластического шарнира; рпр -
значение предельной нагрузки, найденной из интегральных условий равновесия; А -разница в процентах между рпр (2) и р^.
Ниже покажаем вычисление рпр при образовании пластического шарнира с
угловой координатой а6(ш1п)= 33,75°.
Схема разрушения показана на рис.4. Найдем рпр из интегральных условий
равновесия :
У Мле". = 0; ^ .0,5 - Н .0,5 - 0,5 = 0; ^ 16 2
V М"" = 0; .0,0843 - Н .0,2778 + 0,5 = 0; 6 2
исключая Н, найдем рпр = 8,039. Разница между рпр (2) и р^ 0,15%
fve.cc 7
(Рис. 4) (Рис. 5)
Расчет завершаем пострением эпюры Мпр при числе разбиений 32 на рис. 5;
во всех расчетных точках |Ш| < 0,5.
В качестве 11-го примера была рассчитана бесшарнирная арка, очерченная по квадратней параболе со стрелой подъема Г = 3 ми пролетом 1 = 12 м. Несущая способность Мпр всех сечений арки на изгиб одинакова и равна Мпр = 7,5 тс.м.
Задачу решаем в безразмерном виде с сосредоточенной силой р в середине пролета при / = 1/4 =1/4 (рис. 6); тогда у = х (1 — X) . Пусть безразмерное
значение
Шг
= 0,5; найти р.
ПР '
(Рис. 6)
(Рис. 7)
Проводим расчет в упругой стадии по [ 1 ] при Р = 1 и строим эпюру
изгибающих моментов при числе разбиений оси 8 (рис. 7).
Видно, что Штах = Ш4 = 0,0488 ; отсюда следует, что первый пластический
шарнир образуется в середине пролета (в точке 4). Нагрузка, соответствующая образованию первого пластического шарнира :
РПР(1) =
шг
0,5
■ = 10,246. (4)
Штах 0,0488
В результате численной реализации разработанного алгоритма имеем следующие положения пластических шарниров и порядки образования этих шарниров :
• 1-ый пластический шарнир - в точке 4 (в середине пролета);
• 2-ой и 3-ий пластические шарниры - в точке 0 и 8 (в заделках);
• 4-ый и 5-ый пластические шарниры - в точке 2 и 6 (в четвертях пролета).
При увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает. В этом примере положение пластических шарниров не смещается. Результаты расчетов сведены в таблицу 3.
Схема разрушения показана на рис.8. Для проверки найдем значение Р(3) из интегральных условий равновесия :
£ М 2"- = 0; Рр .0,5 - Н .0,25 + 0,5 - 0,5 = 0;
Р~ т '
£М\ . = 0;-^.0,25-Н.0,1875 + 0,5-0,5 = 0; ^
Рпр = 16.
; *
Разница между PJ№(3) и Рпр 0,6%.
(Рис. 8)
Число разбиений РПР (1) РПР (2) РПР (3) Р 1 ПР А
8 10,246 13,758 15,904 -0,60%
16 10,288 13,843 15,976 16,000 -0,15%
32 10,309 13,873 15,994 -0,04%
Переход к размерным величинам по [1] при q0.l = Р :
Таблица 3
Mпр = mnp .P.l; Рпр = РПр .Р; Р =
Р
Р пр'
МПР = тпр 1.Р^-; Рпр = ^^ = 705^:;]-;6 = 20[»С]; Рпр тпр .1 0,5.12[.м]
Полученный резултат совпадает с Рпр = 20[тс] в [2].
По работе можно сделать выводы :
1. Решения всех задач сходятся с увеличением густоты сетки.
2. Разработанный алгоритм расчета можно использавать в инженерных расчетах.
Литература 1.
2.
Габбасов Р.Ф., Чан Т. Т. Рациональный численный метод расчета арок произвольного очертания - М. Вестник МГСУ, 2010, № 4, т.1, с. 18-23.
Дарков A.B., Клейн Г.К., Кузнецов В.И. Строительная механика - Москва «Высшая школа», 1976. 600 с.
1/2П11 ВЕСТНИК
_угогт_мгсу
Literature
1. Gabbasov R.F., Tran T.T. The rational numerical method of calculating arch - M. Herald MSUCE, 2010, № 4, Volume 1, p. 18-23.
2. Darkov A.V., Klein G.K., Kuznetsov V.I. Structural Mechanics - Moscow "High School", 1976. 600 p.
Ключевые слова: численный метод, расчета арок, метода последовательных апроксимаций (МПА), алгоритм, арка, предельная равновесия, пластический шарнир, бесшарнирная, двухшарнирная, трехшарнирная, упругая стадия.
Keywords: a numerical method, the calculation of arches, the method of successive approximations, algorithm, arch, limit equilibrium, a plastic hinge, hingeless, double-hinged, three-hinged, elastic stage.
e-mail автора : tung_misi@mail.ru Телефон/факс автора : Тунг : 8926 - 793- 35 - 30
Рецензент : Доцент, кафедры Строительной механики МГСУ,к.т.н. В.В. Филатов.
