CC BY
37
УДК 539.3
А.А. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-54-58, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
С.А. Рыбальченко, асп., (4872) 42-27-34,
[email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ИЗ ДИЛАТИРУЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ
Рассматривается решение задачи изгиба тонких круглых пластин, выполненных из дилатирующих разносопротивляющихся материалов, работающих за пределами упругости при конечных прогибах.
Ключевые слова: дилатирующие материалы, пластический изгиб, круглые пластины.
Рассмотрим равновесие тонкой пластины толщиной h и радиусом R из дилатирующего разносопротивляющегося материала, находящейся под действием поперечной нагрузки, распределенной с интенсивностью q по ее верхней поверхности симметрично относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластинки и проходящей через ее центр.
Для стадии работы дилатирующего разносопротивляющегося материала в пластической области принимаем следующие предпосылки:
1) используются традиционные положения технической теории изгиба пластин - гипотезы Кирхгофа-Лява;
2) диаграмма напряжений - деформаций материала обладает ярко выраженной площадкой текучести, что позволяет применить к нему концепцию идеально упругопластического тела;
3) нагружение считается простым;
4) условие пластичности принимается в форме, предложенной в работе [1]:
Ffoi) = т- Ш = kx, (1)
где f (£,) - функция вида напряженного состояния; £, = а / Sq - октаэдрическое нормальное нормированное напряжение; а = 5г- /3 - среднее напря-
жение; т = SiSi / 3 - касательное напряжение на октаэдрической площадке; Si = Gi - §iа - девиатор напряжений; Sq = л/а2 + т2 - модуль вектора полного напряжения на октаэдрической площадке; 5;- - символ Кронекера;
kT = л/2/3ts , тs - предел текучести при чистом сдвиге.
Выражение для функции, характеризующей вид напряженного состояния f (£,), входящей в условие (1), определяется индивидуально для каждого материала при обработке экспериментальных диаграмм его предельных состояний при различных видах напряженного состояния. Следу-
214
ет заметить, что используемый в выражении (1) качественный параметр £, изменяется в интервале [-11 ] что позволяет описать полный спектр напряженных состояний.
Для удобства дальнейших расчетов введем функцию угла поворота поперечного сечения:
дм
ф=дг •
где м - прогиб серединной плоскости; г - радиальная координата.
Следуя методике последовательных нагружений, запишем геометрические соотношения для круглых пластин в приращениях:
где 8є,
д8и
дг
+ фк 8ф; 8єе
<і8ф _ _ 1 _
г------ ; 8ее = 8єе - г— 8ф ,
дг г
(2)
8и - d8w
—; 8ф =-------; и - радиальное перемещение в
г дг
серединной плоскости.
Выражения для приращений напряжений с учетом принятых гипотез и справедливости обобщенного закона Гука при упругом деформировании запишем следующим образом:
Е
8ае =
1 - V
2
Е
1 -V
2
(8ег +v8eе);
(v8eг + 8ее).
(3)
Поскольку переход от напряжений к их интегральным характеристикам - усилиям и моментам - не зависит от физической природы материала, эти характеристики можно определить обычным образом. Перейдем от приращений напряжений к приращениям усилий и моментов:
И/2 И/2
8АГ- = 18а$2; 8М- = 18аіійі. (4)
-И/2 -И/2
Подставляя в формулы (4) выражения для напряжений (3) с учетом геометрических соотношений (2) получим
8Нг = В1
с18и
8и
+ Ф к 8ф + v— ; 8Мг дг г у
где В1 =
8^е = Д ЕИ
Г д8и 8и^
V--------+ vф к 8ф + — ; 8М е
дг г
3
В
В
д8ф V _
—^ + -8ф V аг г у
ґ д8ф К ^
V—г + -8ф
дг г
(5)
2
В =
ЕИ
1 -V2 12(1 -V 2)
упругости материала; V - коэффициент поперечной деформации; ф^ -функция угла поворота поперечного сечения с предыдущих этапов нагружения.
- цилиндрическая жесткость; Е - модуль
Уравнения равновесия элемента круглой пластины с учетом действующих мембранных усилий в приращениях имеют вид
8Иг-8И е+ г^8^ = 0;
дг
д8Мг + 8Мг
8Ме = -фк8Ыг - Ыгк8ф - г8д
(6)
т | /\ / / /\ | /-V
аг г 2
где Игк - продольное усилие с предыдущих этапов нагружения.
Подставляя зависимости (5) в уравнения (6), получим линеаризованную систему разрешающих уравнений относительно приращений функций и и ф:
В
2
д 8и 1 й8и
+
8и
V
дг
2 г дг
+
дг
д8ф
дг
дфк *
8ф + —-ф,, +
(1 -v)
фк8ф
В
2
д 8ф 1 д8ф 8ф
2 г дг г 2
V у
„ .д8и
В1(^~ ф к дг
2 V
+ ф к 8ф + — 8иф к + ^гк 8ф) г
0;
г8q
~2~
(7)
СГ;
/ с.п.
(н.п.)
аг г аг г
Упругая стадия работы дила-тирующего разносопротивляющего-ся материала полностью описывается дифференциальными
уравнениями (7). Распределение напряжений в поперечном сечении элемента пластины будет соответствовать эпюре, изображенной на рис. 1.
Перейдем к рассмотрению работы материала пластинки при наступлении упругопластической стадии. Введение в условие пластичности функции вида напряженного состояния обусловливает разницу между напряжениями, вызывающими пластичность в растянутой и сжатой зонах сечения (рис. 2).
Очевидно, что работу материала за пределом упругости следует разделить на две стадии: состояние односторонней текучести (рис. 2,а) и состояние двусторонней текучести (рис. 2,б). Введем следующие обозначения. Пусть А^ - напряжения, вызывающие пластичность в верхней зоне,
В - напряжения, вызывающие пластичность в нижней зоне. Параметры
А^ и В определяются при помощи условия пластичности (1).
Рис. 1. Распределение напряжений в поперечном сечении элемента пластины в упругой стадии работы
2
г
г
А1
а б
Рис. 2. Распределение напряжений в поперечном сечении элемента пластины в пластической стадии работы
Зоны распространения пластичности по толщине пластины по всем направлениям (, = г, 0) одинаковы для каждого определенного сечения, поскольку они формируются комплексным соотношением из условия пластичности (1), а не каждым отдельно взятым напряжением. Вследствие этого будет удобно опустить в дальнейших выкладках индексы для величин а, и Ь,, приняв для них общие обозначения а , Ь.
Выражения для приращений напряжений запишем следующим образом:
8аг = к(8пг - х • 8Аг) ; 8а0 = к(8^0 - х • 8А0) , (8)
где к = Е /(1 -V2); 8Аг = ■^8^ + —8ф; А0= — й8ф +18ф;
йг г йг г
8пг = 8ег + — • 8б0; 8^0 = — • 8е г + 8б0.
Значения приращений продольных усилий вычисляются путем интегрирования приращений напряжений по толщине пластины:
а) при односторонней пластичности
И/2 а И/2
8Ы^ = 18а;dz = | Л,й.1 + 18а;dz; (9)
-И/2 -И/2 а
б) при двусторонней пластичности
И/2 а Ь И/2
8И, = \8а¡йх = |Л,й1 + J8а¡dz + |Б,й1. (10)
-И/2 -И/2 а Ь
Рассматривая зависимости (8) - (10) совместно, получим выражения для продольных усилий:
а) при односторонней пластичности
8Нг = С, + В8А i, (11)
где Cj = к8п,(И /2 - a) + Лj (И /2 + a), Б = -к(И /4 - a ) / 2;
б) при двусторонней пластичности 8^, = К, + ¿8А,,
(12)
где К, = Л, (И /2 + а) + Б, (И /2 - Ь) + к8п, (Ь - а), £ = -к(Ь - а ) / 2 .
Значения моментов вычисляются путем интегрирования напряжений по толщине пластины:
а) при односторонней пластичности
И/2 а И/2
8М, = ^а^йг = | Л^йг + ^а^йг; (13)
- Л/2
- Л/2
а
(14)
б) при двусторонней пластичности
а Ь И/2
8М, = | Л^й? + 18а¡zdz + | Б,1й1.
-И/2 а Ь
Рассматривая зависимости (8), (13) и (14) совместно и проводя несложные преобразования, получим выражения для моментов:
а) при односторонней пластичности
8М, = р + Я8А,, (15)
где Р1 = (и2/4 - а2)к8п, - Л,)/2, Я =-к(И3/8 - а3)/3;
б) при двусторонней пластичности
8М, = 5,- + Т8А,, (16)
где5, = Б,(и2 /4 - Ь2)/2 - Л,(И2 /4 - а2)/2 + к8ц,(Ь2 - а2)/2,
Т = к (а3 - Ь3)/3.
Подставляя зависимости (13), (15) в уравнения (6), получим линеаризованную систему разрешающих уравнений при односторонней пластичности:
- (1 -V)-
2У 1 4
2
2
а
й8ф-15ф1 + - (1 - а
V йг г Ч) ' \ 2 ,
ЛАй8м _ 1 '
------+ ф-8ф +— ом
йг г
+
+ (Аг - + а
у
-г
т
Ґ
2
\
— 2 ------а
4
V УV
/
йг2 г йг г2
+
+ к
ґ— \
— а
V2 У
2
й 8м йф- ^ й8ф V й8м V _
^^1^_5ф + фк _-X +----- -------8м
йг
2
йг
йг г йг г 2
0;
/
3
л
И3
---а
8
V УЧ
/
2
й 8ф V й8ф — ^
+----------------2 8Ф
йг
2 г йг
г
к + — 2
/
2
л
И2
---а
4
V У
Ай8ф — ^ —- + — 8ф йг г
фк
г
И2 2
------а
4
\
й 28и йфк ^ й8ф — й8и — _
+ ——8ф + фк —- +--------------^8и
йг
2
йг
йг г йг г 2
- Nгк 8ф +
(17)
к ( /л3 3
+—(1 -—)--------а
3г 1 8
2
й8ф 1 ^ к (л i И^ 2
—-----8ф —(1 -—1—-а
Ч аг г У 2г I 4
г й8и 1
----+ фк 8ф —8и
йг г
+
у
+
2г
И
2
4
а
(Лг - Л0 )
V
И
— + а 2
\
Лг фк
У
И
---а
V 2
у
й8и —
--------+ ф к 8ф + — 8и
йг г
л г8д
ф к
у
2
1
Подставляя зависимости (14), (16) в уравнения (6), получим линеаризованную систему разрешающих уравнений при двусторонней пластич-
ности:
(Лг - + а
+ (Вг - Б0 — Ь
2
+
к(1 -—)(Ь - а)Т+ фк8ф-18и
V йг г
к + — 2
(1 -—)(а 2 - Ь 2 ^+78ф
^ й 28ф — й8ф —
+
а
+
йг
2 г йг
^г8ф
+
+ кг
И
— а V 2 .
2
й 8и йфк ~ й8ф — й8и — _
+ —!-^-8ф + ф к —г-1 +-------:--------^8и
йг
2
к Ь3 -
3
V
/л 2
йг
а
й 8ф — й8ф — _
—+-------------- —8ф
йг2 г йг г2
йг г йг
Л
г
2
= 0;
У
у
к + — 3г
(1 -—)(ь3 - а3 ^18ф] + (18)
(Ь
к 2 2 — Ь - а
2
^ й 28и йф к 0 — _ — й8и — _
+-------------8ф — ф к 8ф +-------■-------^ 8и
йг
2
йг
г йг
г
у
- ^(1 -—)(ь 2 - а 2 ][
2 2 Кй8и 1
а I------+фк8ф — 8и
йг г
1
+ ■
У
2г
2г
2
И2 2
-— Ь 2 4
И
(Бг -Б0)- Х + а Лгфк - X-Ь Бгфк -
V2 У V2 У
И
2
И2 2
-----а
4
V У
Л
(Лг - Ле)-
к (Ь - а + фк 8ф + —5а 1фк - Хгк 8ф = ^
V йг г У 2
Системы уравнений (17) и (18) определяют работу круглой пластины при конечных прогибах в упругопластической стадии с учетом пласти-
г
ческой дилатации. Решение полученных разрешающих дифференциальных уравнений проводится численным методом конечных разностей.
С точки зрения развития любой теории, важным аспектом является возможность применения ее для решения конкретных прикладных задач, использующихся в инженерной практике. В качестве такой задачи в данной работе предлагается решение задачи упругопластического изгиба тонкой круглой пластины, выполненной из графита МПГ-6 при конечных прогибах.
Расчет проводился по двум вариантам: в первом варианте в качестве условия предельного состояния использовалось уравнение (1), а аппроксимация функции вида напряженного состояния для графита МПГ-6 принималась по выражению
/ (£) = 1 + (0,95821 + 0,0341%^)£,.
При этом константа пластичности к т для графита МПГ-6, входящая в условие (1), равна 21,68 МПа.
Во втором варианте расчета в качестве условия предельного состояния применялось классическое уравнение Мизеса [2], не учитывающее зависимость характеристик пластичности от вида напряженного состояния.
Пластина принималась круглой в плане с жесткой заделкой по контуру и толщиной И, равной 1 см, радиус пластины 50 см, модуль упругости 10000 МПа, коэффициент поперечной деформации 0,25.
На рис. 3 представлена полученная картина развития текучести по поверхности пластины при принятом опирании для первого варианта расчета. Поверхности, вступившие в состояние текучести, заштрихованы.
Пластичность при расчете пластины для обоих вариантов расчета возникает в верхней зоне пластины.
Нагрузка, соответствующая появлению пластичности для первого варианта расчета, составила 23,41 МПа, для второго - 38,71 МПа. Предельная нагрузка для первого варианта расчета составила 48,80 МПа, для второго - 57,21 МПа.
На рис. 4 отражены зависимости безразмерного прогиба / И в центральной точке пластины от величины интенсивности безразмерной нагрузки дЯ4/ ЕИ4, сплошной линией обозначен прогиб, полученный при первом варианте расчета, и пунктирной линией - прогиб, полученный во втором варианте расчета.
Рис. 3. Развитие текучести по поверхности пластины при упругопластическом изгибе
Прогиб,
w/h
2,01,51,00,5
0
Рис. 4. График зависимости безразмерного прогиба в центральной точке пластины от величины интенсивности безразмерной нагрузки
Полученные результаты очевидно подтверждают тот факт, что описание пластического изгиба пластин из дилатирующих разносопротив-ляющихся материалов не укладывается в рамки классической теории механики пластин. Различие величин нагрузок, вызывающих наступление пластичности, и предельных разрушающих нагрузок, полученных в первом варианте расчета, на 17 - 65 % ниже, чем соответствующие значения по второму варианту расчета.
Список литературы
1. Трещев А.А. К теории пластичности дилатирующих разносопро-тивляющихся материалов // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2003. №2. С. 58-62.
2. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1976. 416 с.
A. Treschev, S. Rubalchenko
Plastic bend of round plates made from the differently resistant materials at final deflections
The decision of a problem of a bend of the thin round plates made from the differently resistant materials working outside elasticity at final deflections is discussed.
Keywords: materials of different resistance, plastic bending, round plate.
Получено 12.01.10
Нагрузка,
1 10 15 20 25 30 35 ^h4
