Пластический изгиб прямоугольных пластин из дилатирующих разносопротивляющихся материалов при больших прогибах Текст научной статьи по специальности «Физика»

2. Теория пластичности бетона и железобетона / Г.А. Гениев. [и др.]. М. : Стройиздат, 1974. 316 с.

3. Прочность легких и ячеистых бетонов при сложных напряженных состояния / Г.А. Гениев [и др.]. М. : Стройиздат, 1978. С. 166.

4. Зиборов Л.А. Проблемы освоения подземного пространства // Тр. Междунар. конф. Тула : Изд-во ТулГУ, 2000 С. 54-58.

5. Зиборов Л.А. Экспериментальное исследование прочности бетона В-20 при двухосном сжатии // Изв. ТулГУ. Сер. Технология, механика и долговечность строительных материаов, конструкций и сооружений. Тула : Изд-во ТулГУ, 2002. Вып. 3. С. 78-80.

6. Толоконников Л.А. О форме предельной поверхности изотропного тела//Прикладна механика. 1969. Т. 5. Вып. 10. С. 123-130.

V. Telichko, L. Ziborov

For the mathematical model of transverse bending of thin plates of at full strength study of compaction concrete class B-25

On the basis of experimental data, a criterion of strength of concrete of class B-25 a simple analytical form, which can be used to solve the problems of the strength and crack resistance of reinforced concrete structures.

Получено 19.01.09

УДК 539.3: 624.04

П.В. Божанов, канд. техн. наук, доц., (4872) 33-52-03, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),

В.А. Захарченко, асп., (4872) 35-54-58, [email protected] (Росси, Тула, ТулГУ),

А.А. Трещев, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-54-58, [email protected] (Росси, Тула, ТулГУ)

ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ИЗ ДИЛАТИРУЮЩИХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ БОЛЬШИХ ПРОГИБАХ

Для математической модели поперечного изгиба тонких пластин из дилати-рующих материалов при конечных прогибах за пределами упругости получена система разрешающих уравнений. В качестве условия пластичности принято уравнение, предложенное авторами. Рассмотрено загуужение равномерно распределенной нагрузкой при шарнирном ошианни по контуру.

Ключевые слова: дилатация, напряжения, пластические деформации, тонкие пластины, нормированные пространства.

Экспериментальные исследования достаточно широкого класса материалов указывают на зависимость деформационных характеристик от

94

вида напряженного состояния [1]. С другой стороны, учет зависимости деформационных характеристик от вида напряженного состояния в основном приобретает актуальность при достаточно высоком уровне напряжений в области пластических деформаций [2,3].

Для обобщения подхода к описанию предельных состояний разно-сопротивляющихся дилатирукмцих материалов условие пластичности можно сформулировать в следующем виде [4]:

р(°у) = тЖ) = кт, (1)

где /(£) - функция вида напряженного состояния; £ = а/50 - октаэдрическое нормальное нормированное напряжение; а = ау8/у /3 - среднее напряжение; 5- = а- -&у а - девиатор напряжений; т = =/5у'5у' /3 - каса-

^2 2

^ ^ , 0 а + т - модуль

вектора полного напряжения на октаэдрической площадке; 8^- - символ

Кронекера; кт = л/2/3т5, где т^ - предел текучести при чистом сдвиге.

Выражение для функции, характеризующей вид напряженного состояния /(£) и входящей в условие (1), определяется индивидуально для

каждого материала при обработке экспериментальных диаграмм его предельных состояний при различных видах напряженного состояния. Используя указанный подход, в работе [4], для чугуна МСЧ38-60, полиме-тилметакрилата, фенопласта АГ-4В, графитов ВПП и МПГ-6, предложены линейна, экспоненциальна, ку сочно-ли ейна и кусочно-

экспоненциальная аппроксимации функции /(£), соответственно. В частности, для полиметилметакрилата эту функцию можно представигь следующим образом:

/ (£) = 0,424£. (2)

При этом константа пластичности кт для полиметилметакрилата, входящая в условие (1), равна 58,9 МПа.

Следует заметить, что используемый в выражении (1) качественный параметр £ изменяется в интервае [-1;1], что позволяет описать широкий спектр напряженных состояний.

С точки зрения развития любой теории, важным аспектом является возможность применения ее для решения конккетных прикладных задач, использующихся в инженерной практике. В качестве такой задачи в данной работе предлагается решение задачи упругопластического изгиба тонкой квадратной пластины, выполненной из полиметилметакрилата при больших прогибах.

Решение задачи изгиба пластин проводится на основе теории маых упругопластических деформаций. При решении поставленной задачи принимаются следующие предпосылки: 1) используются обычные положения

технической теории изгиба пластин - гипотеза плоских сечений и гипотеза плоского напряженного состояния; 2) диаграмма напряженийдеформаций материала обладает ярко выраженной площадкой текучести, что позволяет применить модель идеально упругопластического тела; 3) нагружение считается простым.

Задача по исследованию напряженно-деформированного состояния пластин в конечном счете сводится к решению системы двух нелинейных дифференциальных уравнений [5]:

,2

дф Эф

+ —^т + 2

д4ф

4

дх\ дх2

4

22 дх дх 2

= Е

X 2^ X w

^ 2 л 2

дх Хх2

(3)

х2 м

11

+

х2 м.

22

х2 м

12

ххл

ххг

12

х2 фX2w х2 фх2 w

д + —г-—— + ■

х2 ф

х2 w

хх| хх2

хх2 хх2

хх1хх2 ^^2

где Е - модуль упругости материла, д - интенсивность распределенной нагрузки.

Первое выражение в системе (3) является уравнением нерлрывно-сти деформаций, представленным через функцию напряжений ф(Х1, Х2) и прогибы w(Х1, Х2), второе - уравнением равновесия, записаным через изгибающие моменты М^, а также функцию напряжений и прогибы пластины. При этом функция напряжений непосредственно связана с продольными усилиями Ыу следующими зависимостями [5]:

Ып = к

х2ф х 2

д2

х ф

N12 =-к-

х2ф

хх2 хх1хх2

где к - толщи л. пластины.

Введение в условие пластичности функции вида напряженного состояния обусловливает рлницу между напряжениями, вызывающими пластичность в растянутой и сжатой зонах сечения (рис. 1).

щ

б)

\ \ Со.

Су

\

Су \ Со.

I. а и

Ьц

Со.

Рис. 1. Эпюры напряжений: а- при упругой работе материала, б - при односторонней пластичности; в-при двусторонней пластичности

Введем следующие обозначения. Пусть Ау - напряжения, вызывающие пластичность в нижней зоне; Ву - напряжения, вызывающие пластичность в верхней зоне. Параметры Ау и Ву определяются при помощи

условия пластичности (1).

В серединной плоскости, в отличие от классической схемы работы материала, возникают деформации щу, обусловленные не только растяжением серединной плоскости, вызванным большими прогибами при упругой работе материла, но и рлличием пластических свойств материла в растянутой и сжатой зонах. Поэтому выражение для деформаций произвольной точки сечения, не принадлежащей серединной плоскости, представляется в виде

х^ х^ х2 w

е11 -е112, е22 -е22 2, е12 _ е12’ (4)

хх12 хх22 хх1хх2

где w - прогиб серединной плоскости; щ. - деформации в серединной плоскости,

dn 1 е11 = ^+^

dv 1

> s22 =- +^Г

'dw л2

дп dv dw dw

- +----------+

д%1 2 ^ dx1 ) д%2 2 ^ д%2) 2 ^ dd д%1 д%1 dd

Выражения дя напряжений с учетом принятых гипотез и справедливости обобщенного закона Гука при упругом деформировании запишем следклцим образом:

°11 = k11(T\1 ~z^11) , °22 = k22(r22 - z^22) , ^12 = k12(T2 ~ z^12) , (5)

где kn =k22 = E/(1 - |u2), k12 = E/(1 + ц); тц =11 + Д£22, Г22 = £22 + Ш,

т\2 =£12; ^11 = d2w/dx\ + цд2w/dx2 , A22 =d2w/dx2 +цд2w/d.^2,

A12 = d2w/dx1dx2; X11 =d2w/Sq2, X22 =d2w/dx22, X12 = d2w/d^d . Формулы (5) удобно привести к вид

= kij (rij — zAij) . (6)

Положение нейтрльной поверхности определяем из условия, что при z = c j, <5у =0. Отсюда

сс = гч/ A j. (7)

Координаты начаа зон ау, bj, до которых равиваются пластические области, определяются из условий, что при z = a j имеем у = Ay , а

при z = bj имеем Gjj = Bj. Отсюда

aij = (kÍjTÍj — Aij )/(kjA/j ) , bij = (kÍjTÍj — Bij )/(kj Aij ). (8)

Значения Гу определяем из условия равенства суммарной площади

эпюры напряжений в сечении, соответствующем значению продольного усилия, действующего в этом же сечении:

а) до развития пластических деформаций

h/2

Nj= iGijdz ; (9)

-h/2

б) при односторонней пластичности

h/2 aij h /2

Nij = ¡Gjjdz = ¡Gjjdz + ¡Ajjdz ; 10)

-h/2 -h/2 aj

в) при двусторонней пластичности

aij h /2

(11)

h/2 b j a j h/2

= z d j b = j B j z + 'cT j z + f Ajdz

-h /2 -h/2 b j a j

Значения моментов вычисляются путем интегрирования напряжений по толщине пластины

а) до развития пластических деформаций:

h/2

M j = f jzdz ; (12)

-h/2

б) при односторонней пластичности

aij h /2

M j = Jjzdz + jAjZdz ; (13)

-h/2 aj

в) при двусторонней пластичности

bij aij h /2

M j= Ajzdz + fa jzdz + jAjzdz. (14)

-h/2 bÿ aij

Рассматривая зависимости (5), (13) и (14) совместно и проведа несложные преобразования, получим выражения для моментов

а) при односторонней пластичности

M j = Су + D j Aÿ, (15)

где Cij = (h2 /4-aj2\kjjrj-Aj2)/2, Dj = -kj(aj3-bj3 /8)/3;

б) при двусторонней пластичности

M j =Rj + SjAj , (16)

где Rj = B j kj 2 - h2 / 4)/ 2 -Aj (h 2 / 4 - a j2) / 2 + kjj (a j2 - bj2 )/ 2,

S j = ~kj(a j3 -bj3)/3.

Для описания напряженно-деформированного состояния пластины необходимо выражение (16) подставить во второе уравнение системы: (3). Следует отметить, что составляющие Rj при дифференцировании обращаются в нуль, а зоны1 распространения пластичности по толщине пластины: a¡j по всем направлениям одинаковы: для каждого определенного сечения, поскольку он формируются комплексным соотношением напряжений <5j (1), а не каждым отдельно взятым напряжением. Это относится и к величинам bj, но при других значениях. Вследствие этого будет

удобно опустеть в дальнейших математических выкладках индексы: для указанных величин, приняв для них общие обозначения a , b. Следует заметить, что коэффициенты: кц и к22 раны: между собой, а с коэффициентом &12 их связывает следующа зависимость в соответствии с обозначениями, принятыми в формуле (5):

к]1 = к 22 = к12(1-ц) = E/(1 -Ц2). (17)

С учетом последних замечаний и формулы: (17) запишем в равер-нутом виде коэффициенты: Sj, входящие в уравнение (15) и (16):

S11

E(a3-b3)/3(1 -ц2), S =E(a3 -b3)/3(1 -ц2),

S12 = E(a3 - b3)(1 - ц) / 3(1 - ц2) .

(18)

Для удобства записи выделим общий множитель S в выражениях (18) для величин S11, S22 , S12 и перепишем укаанные выражения с учетом последнего обозначения:

S11 =S; S22 = S; S12 = S(1 -ц), (19)

где S = E(a3 -b3)/3(1 - Ц) .

По своей физической сути величина S в выражениях (19) является цилиндрической жесткостью сечения пластины:, ослабленного в результате вступления материаа в пластическую стадию деформирования.

Система двух нелинейньы: дифференциальных уравнений (3) с учетом сделанных замечаний и обозначений, принятых в формулах (19), и вы:-ражения (15) и (16) после несложны: преобраований запишутся в следующей форме:

4 W о Л2

Х ф

44 Оф Оф

+ —^ + 2

4

0x1 Ох 2

4

22

Х Ох 2

= E

Х2 ю

ХхХ 2

Х2ю Х2ю

22

Х^1 Хх 2

S

Х4 ю

- +

Х4 ю

+ 2

Хх1 Хх2

Х4 ю

^ 2 л 2

Х^1 Хх 2 ^

/

q +

Х2фХ2ю Х2ф Х2ю

22

Хх 2 Х^1

+

Х2 ф

Х2ю

22

Х^1 Х^2

ХХ1ХХ2 Хх1сХ 2

(20)

Система уравнений (20) определяет работу пластины при конечных прогибах как в упругой, так и в пластической стадия, причем в последнем случае с учетом дилатации.

Линеаризация системы двух нелинейных дифференциальных уравнений (20), при решении изгиба пластин проводилась методом последовательных нагружений, как рекомендовано в работе [6]. Линеаризованная система уравнений (20) будет иметь следующую форму записи:

8ф, 8^ - приращения функции напряжений и прогибов, соответствующих малому увеличению внешней нагрузки 8д; 5, Ыц, N22, N12, Х11, Х22, Х12 - начальные характеристики системы, соответствующие определенному предыдущему уровню внешней нагрузки.

Решение системы линеаризованных уравнений (21) проводилось численным методом конечных разностей.

Расчет проводился по двум вариантам: в первом варианте в качестве условия предельного состояния использовалось уравнение (1), а аппроксимация функции вида напряженного состояния принималась по выражению (2); во втором варианте расчета в качестве условия предельного состояния применялось классическое уравнение Мизеса [7], не учитывающее зависимость характеристик пластичности от вида напряженного состояния.

Пластина принималась квадратной в пане со свободным опирани-ем контура и толщиной к равной 10 мм, диной и шириной 200 мм, модулем упругости 3,23 МПа, коэффициентом поперечной деформации - 0,35. Поверхность пластин была покрыта сеткой 20*20. В силу симметрии рассчитывалась четверта часть пластины.

На рис. 2 представлена полученная картина равотия текучести по поверхности пластины при принятом опирании для первого варианта расчета (рис. 2, а, в, д - равитие текучести по верхней поверхности пластины, рис. 2, б, г, е - равитие текучести по нижней поверхности пластины). Поверхности, вступившие в состояние текучести, заштрихованы.

Пластичность при расчете пластины для обоих вариантов расчета возникает впервые в нижней зоне пластины в точке 100. Нагрузка, соответствующая появлению пластичности для первого варианта расчета составила 1,45 МПа, для второго - 2,64 МПа. Предельна нагрузка, соответ-

^ X У28ф+5У4 8^-У2Ч 8^ = -8д

Я4 л 4 />4 ■~\2 ■~\2 />2

г] г] г] г] г]

V4 8ф+уХ8^ = 0

(21)

где V4

ствующая обраованию пластического шарнира, для первого варианта расчета составила 11,56 МПа, для второго - 29,28 МПа.

Рис. 2. Распространение текучести по поверхности пластины при первом варианте расчета: а - при q=1,72 МПа; б - при q=1,72 МПа; в - q=2,38 МПа; г - при q=2,38 МПа; д - при q=3,04 МПа; е - при q=3,04 МПа

На рис. 3 отражены зависимости безрамерного прогиба

wD -102/Мм2

3 2

(D = ЕН /12(1 - |ы ) - цилиндрическая

жесткость;

у

М8 = кхЖ, Ж = НЬ /6 - момедт сопротивления изгибу; а - длида пластиды в центральной точке пластиды1 от величины: интенсивности безразмер-

2

ной нагрузки да /М$.

Рис. 3. Зависимость максимальных прогибов от величины1 нагрузки

На рис. 3 сплошной линией обозначен прогиб, полученный при первом варианте расчета, и пунктирной линией - прогиб, полученный во втором варианте расчета.

Полученные результаты очевидно подтверждают тот факт, что описание пластического изгиба пасти из дилатирующих разносопротив-ляющихся материалов не укладывается в рамки классической теори механики пасти.

Ралиие величи предельных разрушающих нагрузок и нагрузок, вызывающих наступлене пластичности, полученых в первом варианте расчета, на 82 - 153 % нже, чем соответствующие значения по второму варианту расчета.

Список литературы

1. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформированя раносо-противляющися материалов. Определяющие соотношеня. М.-Тула : РААСН-ТулГУ, 2000. 149 с.

2. Влияние гиростатиеского дав лени на механиеские свойства полимерных материаов / С.Б. Айнбидер [и др.]. // Механиа полимеров. 1965. №° 1. С. 65-75.

3. Механиа материалов при сложном напряженном состояни. Как прогнозиуют предельные напряженя / Л.Б. Потапова [и др.].. М. : Ма-шиностроене. 2005. № 1. 244 с.

4. Трещёв А.А. Зависимость предельного состояни конструкционных материаов от вида напряженного состояни // Изв. вузов. Сер. Строительство. 1999. N° 10. С. 13-18.

5. Пластини и оболочки / С.П. Тимошенко [и др.]. М. : Физматгиз, 1963. 647 с.

6. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теори пластин и оболочек. Саратов : СГУ, 1975. 119 с.

7. Деформирование и прочность материаов при сложном напряженном состояни / Г.С. Писаренко [и др.]. Киев : Наукова дмк, 1976. 416 с.

P. Bozhanov, V. Zaharchenko, A. Treschev

Plastic bending of rectangular plates from dilatation different resistant materials in large deflection

For the mathematical model of transverse bending of thin plates of dilatation materials at finite deflection beyond the elastic limit is obtained allowing the system of equations. As a condition of plasticity accepted equation, proposed by the authors. Uniformly distributed loads at swing fixing the contour are proposed.

Получено 19.01.09