Складкообразование анизотропной листовой заготовки при вытяжке Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.374:621.983

С.П. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

А.Е. Калашников, асп., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

СКЛАДКООБРАЗОВАНИЕ АНИЗОТРОПНОЙ ЛИСТОВОЙ ЗАГОТОВКИ ПРИ ВЫТЯЖКЕ

Предложено условие потери устойчивости в виде гофров кольцевой пластины из анизотропного материала за пределом упругости. Показано влияние факторов технологического характера на устойчивость формообразования листовой заготовки.

Ключевые слова: анизотропия механических свойств, вытяжка, пуансон, матрица, напряжение, энергетический метод, устойчивость, коэффициент вытяжки.

В работах [1, 2] указывалось, что установленные зависимости, связанные с потерей устойчивости в виде гофров для прямоугольной пластины, могут быть преобразованы в соответствующие зависимости для круглой пластины путем перехода к цилиндрической системе координат.

Выпучивание фланца заготовки. В процессе пластического формообразования листовой заготовки ее сжато-растянутые участки могут потерять устойчивость вследствие пластического выпучивания с образованием волнистости [3, 4].

При вытяжке деталей сложной формы сжато-растянутые участки заготовки располагаются вдоль криволинейных участков рабочего контура матрицы - во фланце 2 (рис. 1) и на свободных, не соприкасающихся со штампов, участок 4, находящихся между вытянутыми кромками матрицы 1 и пуансона 3.

Возникновение волнистости приводит к нарушению нормального тече- „ ,

ния процесса формообразования, об- ис' 1 хема оразования

г- волнистости при вытяжке

разованию складок и к браку изделия. г

Для предотвращения выпучивания и возникновения волнистости при вытяжке используют складкодержатели, перетяжные ребра и пороги, а также применяют и другие меры конструктивного и технологического характера.

Рассмотрим устойчивость криволинейного плоского участка фланца при вытяжке без перетяжных ребер. На этом участке фланца возникают окружные сжимающие аф и радиальные растягивающие аг напряжения.

Под влиянием окружных напряжений на определенной стадии процесса вытяжки возможно выпучивание фланца. Из данного участка фланца сечениями по двум радиальным направлениям и по дуге его внутреннего кр ая вырежем элемент ОАВС (рис. 2), размер а которого по срединной линии фланца равен длине полуволны:

а = I / /,

где I - длина криволинейной части фланца по средней линии на данной стадии вытяжки; I - число полуволн.

Рис. 2. Выпучивание фланца

Основные предположения и соотношения. Предполагаем, что листовой материал пластически ортотропен [5]; приобретенная анизотропия в процессе пластического формообразования мала по сравнению с начальной; материал заготовки несжимаем, упрочнение материала изотропно, эффект Баушингера отсутствует. Напряженное состояние принимается плоским [6].

Рассмотрим некоторые зависимости теории круглых пластин, относящиеся к малым прогибам, для несимметричной изогнутой поверхности при потере устойчивости. Используем цилиндрическую систему координат, основная плоскость которой совпадает со срединной плоскостью пластинки (рис. 3). Длину радиуса-вектора обозначим г, полярный угол - ф. Применим все известные

соотношения теории прямоуголь- Рис 3 Система к°°Рдинат

ных пластинок, перейдя к новой при рассмотрении

системе координат. пластинок

Формулы перехода можно получить, совместив ось х прямоугольной системы координат с радиус-вектором г.

В работе [6] получены соотношения деформационной теории пластичности в цилиндрической системе координат между деформациями єг, Єф, у Гф и напряжениями для материала с цилиндрической анизотропией:

є,

єг Р (с11Ъг + с12ЪфX

Ъ

є,

Єф=Р~ (с12Ъг + с22Ъф );

є

є

У гф Р с33тгф

(1)

где Р =

3

2(1 +1/Яг +1/Яф)

11

; с11 =1 + ТГ; с12 = -1; с22 =1 +

Я„

Я,

с33 =

2

ф

Я

Яг = Я0 ; Яф = Я

90; Ягф = Я0

Я0/[2(Я45 + 0,5)]; Яг > Яф> Ягф> Я0--

^Гф

Я90 и Я45 -

коэффициенты анизотропии; а/ и 8/ - интенсивность напряжений и деформаций соответственно, которые определяются по формулам

(2)

Ъ = д/Р(с11°2 + 2с12агЪф + с22Ъф + с33т2ф) ;

є,

ё (с22єг 2с12єг єф + с11єф ) + У гф

с33

(3)

Решая зависимости (1) относительно напряжений, получим

Ъф =

гф

Рё єі

ЪІ Рё є

Ъ Рёє

(с22єг - с12єф); (с11єф — с12єг ); У гф-

(4)

Метод исследования потери устойчивости в виде волнистости тонколистовой заготовки. Будем рассматривать энергетический метод исследования потери устойчивости в виде гофров тонколистовой заготовки (пластины), которая является следствием потери устойчивости на сжатых и сжато-растянутых участках заготовки и приводит к искажению формы изделия и последующему разрушению [4, 6].

Сущность этого метода состоит в следующем: определяется изменение полной потенциальной энергии плоской листовой заготовки (пластины), нагруженной силами, лежащими в ее плоскости, после перехода из плоской формы равновесия в криволинейную:

ЛП = ЛЩ 0 + Щ + и2, (5)

где Ли о - изменение потенциальной энергии деформации срединной плоскости листовой заготовки (пластины) при выпучивании; Щ - потенциальная энергия деформации изгиба и кручения заготовки (пластины); и 2 - изменение потенциала внешних сил, приложенных к заготовке (пластине).

Потенциальной энергией деформации заготовки поперечными силами пренебрегаем по ее малости.

Экстремум выражения (5) позволяет рассчитать нагрузку, при которой, наряду с плоской формой равновесия пластины, возникает новая криволинейная форма равновесия, так как общим признаком равновесия материальной системы является экстремальность полной потенциальной энергии П системы. Полная потенциальная энергия

П = П0 + ЛП, (6)

где П0 - потенциальная энергия заготовки (пластины) до выпучивания (к выпучиванию не имеет отношения).

Изменение полной потенциальной энергии кольцевой пластины при потере устойчивости. В работе [5] получены выражения для определения величин изменения потенциальной энергии деформации срединной плоскости листовой заготовки при выпучивании Ли0 , потенциальной энергии деформации изгиба и кручения заготовки и\, изменения потенциала внешних сил, приложенных к заготовке и2, входящие в выражение (6).

На основании полученных выражений [6] запишем формулу для определения изменения полной потенциальной энергии кольцевой пластины с внутренним г = гв и внешним г = гн радиусами при асимметричной потере устойчивости

1

фп гн

о гв

^(С22Х2 - 2с12хгХф + с11хф) +

+

4 Х2ф- (1 - п) х

1 ф п гн

+2 н н

2 о гв

N.

Р с33

с№ дг

2

+ N

ст/

г дмл 2

гйгйф +

ф

гдф

+ 2Т

гф

дW 1 д^ дг г дф

г йгйф.

(7)

где

хг

д 2 w

Хф

1 дw г дг

1 д V

2 я 2 ’

г дф

1 д 2w

+ ■

1 дw

г дгдф г2 дф

Х а гср X г + аф ср Хф ; Ep

; Ер = а ; J =1t є, 3

Ы'

V

о

гн - т1

г = ^г; ГН = гн / го; ті = гв / го; 2г0

^г = а гср

(гн + гв )п

; ^ф = афср (гн Гв );

2 2' ф_ ф сР

Xг, Хф и Xгф - кривизна и кручение соответственно; Ер - модуль пластичности; J - момент инерции; ?, ? ' - толщина, и относительная толщина

заготовки; г° - относительный наружный радиус; Ш\ - коэффициент вытяжки; Ыг, Иф - нормальные силы, действующие на выделенный элемент;

ф

а

гср

а

ф ср средние величины радиального и окружного напряжений.

Асимметричная потеря устойчивости кольцевой пластины при вытяжке. Рассмотрим потерю устойчивости кольцевого плоского участка фланца при вытяжке. На этом участке возникают окружные сжимающие аф и радиальные растягивающие аг напряжения. Под влиянием вытяжки возможно выпучивание фланца.

Из данного участка фланца вырежем элемент ЛБСБ, образованный двумя радиальными и двумя угловыми сечениями (рис. 4), угол фп которого равен углу полуволны

фп = —, (8)

п

где п - число полуволн.

Условия выпучивания каждого из подобных элементов аналогичны между собой. Поэтому при исследовании устойчивости фланца в целом или его отдельных участков достаточно рассмотреть лишь один элемент, подобный выделенному с двумя сторонами ЛБ, БС (гн - гв) и ВС, ЛБ (гнфп), (гвфп). Срединную плоскость элемента совместим с координатной плоскостью гф. При этом внутренний край фланца, прилегающий к вытяжной кромке обозначится ЛБ г = гв, наружный край фланца СБ - г = гп, а радиальные сечения - ЛБ ф = 0 и БС ф = фп.

Рис. 4. Элемент кольцевой пластины, потерявший устойчивость

2

Предположим, что при некотором дальнейшем изменении внешней нагрузки происходит выпучивание элемента, после чего в соответствии с граничными условиями элемент получает новое, близкое к исходному, равновесное состояние, характеризуемое функцией прогиба

w = ^(г, ф). (9)

По линии ЛБ заготовка плотно огибает рабочую кромку матрицы вдоль прямых ЛБ, БС и внешней радиусной кромке заготовки имеет место свободное опирание на плоскость матрицы. Вытяжка осуществляется без прижима или со складкодержателем. Поэтому граничные условия элемента записываются следующим образом. Сторона ЛБ (г = гв) зацеплена жестко, стороны ЛБ, БС, БС (ф = 0; ф = фп, г = гн) свободно опираются на плоскость матрицы, т.е.

г = г.

при г = гн ; ф

w

о, ^

дг

0; ф = 0; ф = ф п, w = 0.

д 2 w

дф

2

0;

д 2 w

дг

V

1 дw г дг

+

д

дг

д 2 w

дг

V

1 дw г дг

2

1 д 2 w

~2 я 2

г дф

0

= 0.

г дф

Пусть в элементе под действием внешних контурных сил, расположенных в плоскости гф, на определенной стадии вытяжки создается однородное плоское сжато-растянутое напряженное состояние Оф < 0, аг > 0, в которых аг и Оф - главные нормальные напряжения, равные средним значениям окружных Оф и радиальных аг напряжений:

1 2

Офср = — (аф н + О

фср

фн

1

О

гср

2 (аг н + аг в )■>

ф в ); ),

где О

фн

Оф в и Ог н ■

Ог в - значения окружного Оф и радиального Ог напряжений по наружному и внутреннему краям фланца, которые определяются путем решения задачи о вытяжке до потери устойчивости при заданном перемещении края заготовки.

Критическое значение напряжения Оф будет определять наименьшую его величину. Последней соответствуют критические размеры элемента и критическая относительная толщина заготовки.

Для определения этих величин необходимо задать функцию прогибов, удовлетворяющую граничным условиям, содержащую геометрические параметры. Интегрирование выражения (7), определяющее изменение

полной потенциальной энергии элемента кольцевой заготовки, и минимизирование его величины, позволяет найти искомые параметры - критическую величину напряжения Оф, критические геометрические соотношения

размеров элемента заготовки и относительную величину ?.

Распределение напряжений при вытяжке. Рассмотрим распределение напряжений во фланце заготовки в направлении оси симметрии фестона или впадины, составляющем угол Р1 с направлением прокатки. Это направление оси симметрии и ему перпендикулярное будут главными направлениями напряжений и скоростей деформации.

Обозначим их г и ф, а соответствующие им напряжения и скорости деформации - ог; Оф и ег; еф.

Используя соотношения, связывающие скорости деформации и напряжения [7], и принимая равенство параметров анизотропии ^ = О (механические свойства материала вдоль и поперек прокатки одинаковы), можно показать, что

1 & 1 гйг

? йт

г йт

где г - расстояние рассматриваемой точки от центра заготовки; ? - соот ветствующая ему толщина; / - величина, определяемая выражениями

/ - -^1 : Л1; Сі - 2(аг + аф); П1 — а г + аф — (а г — ^ф)ф1 ;

1 + 2До соб2 2Рі + Я45 бій2 2Рі

(10)

ф1 = 1 + 2^

Введем параметрические выражения для главных напряжений, удовлетворяющих условию текучести Мизеса - Хилла [5] для плоского напряженного состояния:

а г = 2^0еов(ю-Ю0); Оф = 2&0 ооб(ю + Ю0), (11)

где

2Ь

/

^®о - — -т

1 +

/

2

Л/2

т

:/; /-42Ё-

1 + 2 До + 2(^45 — Д )бій2 2Р1]~ ;

(12)

ю - параметр, характеризующий положение точки на эллипсе текучести;

12(Яг + ЯгЯф + Яф) а ^90 = '

1

а290'

(1+дф)

3Дг (Дф + 1)

а,-

В случае изотропного тела выражения (12) сводятся к формулам В.В. Соколовского [6].

Используя выражения (11) и (12), получим

84

/ = -

2

1 -

Из уравнения равновесия

а

ф

0

(13)

с учетом уравнений (12) и (13) найдем

^ 1 ^ю - tgюо )(1 - ф^<^ю)

2

1 + tg 2ю

с1ю.

Интегрируя последнее уравнение при граничном условии г = гн, а г = 0 (на свободном от напряжений контуре заготовки), получим

Я

41п— = (1 + ф1 )tgЮо

ю — <о

п

2

+ [2 +(1 - Ф1 )tgю0tgю]: (1 + tg2ю)-1, (14)

где гн - текущий радиус наружного края заготовки в рассматриваемом направлении.

Уравнение (14) служит для определения параметра ю по заданному отношению г для исследуемой точки в рассматриваемый момент дефор-

мации заготовки.

Зная величину параметра ю, по формулам (11) находят величины главных напряжений аг и аф.

В частности, для изотропного тела соотношение (14) принимает вид

1п Я

гн

1

-Л

ю

21

—п--Б1п2

32

А _\ п

ю —

6

У.

(15)

Используем кривую упрочнения материала вида

а, = Бг?, (16)

где Б, т - константы материала.

Упрочнение материала учитываем осредненно по очагу пластической деформации. Величину а/Ср определяют по кривой упрочнения (16),

исходя из средней интенсивности деформаций

2 (яг + ЯгЯф + Яф) 1

чср

г 1 ^г* 'ф 1 ^ф/ I

3Яг (Яф +1) 2

фн

+

фв

),

где гфн и гфв - значения окружной деформации гф на наружном и внут

фв

ф

реннем краях фланца,

гфн =1п

г0 - \ин | г0

гфв =1п

гв + ив

г

г

г

г

г

в

где \ин\ = го - гн и \ив\ - радиальные смещения (по абсолютной величине) наружного и внутреннего краев фланца, соответствующие данной стадии вытяжки; го - радиус плоской заготовки; гв - внутренний радиус фланца.

Из условия постоянства объема заготовки, если считать толщину фланца неизменной, смещение определим по формуле (рис. 5):

\ив\ = гв

-1 +

1 +

2_

mi

ut

и.

'в у

где mi = гв / Го - коэффициент вытяжки.

Рис. 5. Перемещения в элементе фланца

Аппроксимируем функцию прогиба выражением

п

1 - eos—( 2b

r - Г

)

. im sin — , 2

(17)

где Шо - постоянная, равная максимальной амплитуде полуволны.

Функция (17) не удовлетворяет второму из граничных условий. Однако ошибка, возникающая вследствие этого, как показывает сравнение с точным решением аналогичной задачи [4], не превышает 2,5 % при a / b = 1 и 10 % при a / b = 2.

Результаты расчетов. Определены условия устойчивого протекания процесса вытяжки цилиндрических деталей из стали 08 кп, алюминиевого сплава АМгбМ и латуни Л63, механические свойства которых приведены в таблице. Расчеты выполнены при го = 100 мм.

Таблица

Механические свойства исследуемых материалов

Материал Ro R45 B, МПа m

Сталь 08 КП 1,706 0,704 802,5 0,173

Алюминиевый сплав АМгбМ 0,540 0,950 461,3 0,124

Латунь Л63 0,808 1,108 665,1 0,278

r

в

На рис. 6 приведены графические зависимости изменения tкр /dо

от md с учетом упрочнения при ин = 1,5 мм (рис. 6, а) и при ин = 3,0 мм (рис. 6, б).

Рис. 6. Графическая зависимость tкр / dо от md: а - ин = 1,5 мм; б - ин = 3,0 мм; кривая 1 - сталь 08кп;

кривая 2 - алюминиевый сплав АМг6; кривая 3 - латунь Л63

Анализ графических зависимостей и результатов расчетов показывает, что с увеличением коэффициента вытяжки md с 0,5 до 0,8 критическое значение tкр / dо, соответствующее устойчивому протеканию процесса вытяжки, уменьшается на 50 %. Установлено, что с увеличением перемещения края ин критическое значение tкр / dо увеличивается на 10 %.

Установлено влияние коэффициентов цилиндрической анизотропии механических свойств на устойчивость листовой заготовки при вытяжке цилиндрических деталей (рис. 7). Расчеты выполнены при В = 803,0 МПа; т =0,18.

Рис. 7. Графические зависимости изменения tкр / dо

от md (ин = 1,5 мм): кривая 1 - До = о,2; Л45 = 2,о; кривая 2 - До = 1,о; Д45 = 1,о; кривая 3 - До = 2,о; Д45 = о,2

Установлено, что коэффициенты цилиндрической анизотропии механических свойств оказывают существенное влияние на критическую величину t^-р / d о .

Результаты теоретических расчетов качественно согласуются с экспериментальными данными, опубликованными в работах [7-9].

Работа выполнена по гр аату РФФИ №1 008-97526_р_центр_а и ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)».

Список литературы

1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

2. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971. 807 с.

3. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957.

463 с.

4. Головлев В.Д. Расчеты процессов листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1974. 136 с.

5. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.:ГИТТЛ, 1956.

408 с.

6. Яковлев С.С., Калашников А.Е. Устойчивости в виде гофро в кольцевой пластины из анизотропного материала // Изв. ТулГУ. Сер. Технические науки. 2007. Вып. 2. С. 138-146.

7. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант, 1997. 331 с.

8. Ковка и штамповка: справочник в 4 т. Т. 4. Листовая штамповка / под ред. А.Д. Матвеева. М.: Машиностроение, 1987. 544 с.

9. Романовский В.П. Справочник по холодной штамповке. Л.: Машиностроение, 1979. 520 с.

S. Yakovlev, A. Kalashnikov, S. Yakovlev

The buckling of anisotropic sheet parison in the drawing process

The buckling crippling criterion in the form of ringed plate wrinkling from of anisotropic materials beyond the limit of elasticity is proposed. The influence of technological factors on sheet parison forming process stability is demonstrated.

Key words: anisotropy of mechanical properties, extractor plunger, matrix, power, energy method, stability, factor extraction.

Получено 12.01.10