Определение напряженно-деформированного состояния пологой оболочки из дилатирующего материала за пределом упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

СТРОИТЕЛЬ СТВО

УДК 624.04:539.219.2:539.37:539.385

А.А. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,

(4872) 35-54-58, taa58@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

А.Н. Забелин, асп., (4872) 35-54-58, an.zabelin@gmail.com (Россия, Тула, ТулГУ)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ ИЗ ДИЛАТИРУЮЩЕГО МАТЕРИАЛА ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ

Исследуется напряжено-деформированное состояние тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны, выполненных из дилатирующих материалов за пределом упругости. Получены дифференциальные уравнения, определяющие работу оболочки за пределом упругости. Представлены результаты решения дифференциальных уравнений. Приведены результаты развития зон пластичности при разных уровнях нагрузки.

Ключевые слова: пластичность, дилатация, разносопротивляемость, формоизменение, текучесть, деформации, условие пластичности, нелинейность, оболочка.

В настоящее время среди множества конструкционных материалов выделяется достаточно обширный класс материалов, чьи механические характеристики зависят от вида напряженного состояния [2]. К таким материалам относится, большинство композиционных и полимерных материалов.

Предположительно, первой теорией, сформулировавшей условия предельного состояния разносопротивляющихся материалов, была теория Кулона - Мор а Затем, уже в 2 0 веке, были предложены иные кр игерии предельного состояния, которые по своей сути являются модификациями гипотезы Мизеса - Генки, с применением различных форм учета влияния шарового тензора. Условия предельных состояний, построенные на основе ранее указанных теорий, содержат в основном три константы материала, преимущественно определяемые из простейших опытов на растяжение, сжатие и сдвиг. И естественно, что подобный подход не может претендовать на универсальное описание работы широкого класса материалов при широком

спектре видов напряженного состояния. Экспериментальные исследования указывают на то, что каждая гипотеза применима лишь для определенного узкого класса материалов при некоторых напряженных состояниях. Г ораздо более эффективными оказываются теории, которые предполагают введение в условие прочности материалов функции вида напряженного состояния, определяемой обработкой экспериментальных диаграмм предельных состояний при различных видах напряженного состояния.

Для обобщения подхода к описанию напряженно-деформированного состояния разносопротивляющихся дилатирующих материалов условие пластичности можно сформулировать в достаточно общем виде [5]:

р (а/) = т' / 6) = к т , (1)

где / (£,) - функция вида напряженного состояния; £, = а / Бо - октаэдрическое нормальное нормированное напряжение; а = а/8/ /3 - среднее напряжение; Б/ = а/ - 8/а - девиатор напряжений; т = ^Б/Б/ / 3 - касательное напряжение на октаэдрической площадке; Бо = л/а2 + т2 - модуль вектора полного напряжения на октаэдрической площадке; 8ц - символ

Кронекера; кт = -V 2/3т^, где т^ - предел текучести при чистом сдвиге.

Выражение для функции, характеризующей вид напряженного состояния /(£,), входящей в условие (1), определяется индивидуально для каждого материала при обработке экспериментальных диаграмм его предельных состояний при различных видах напряженного состояния. Используя указанный подход в работе [6] для чугуна МСЧ38-60, полиметил-метакрилата, фенопласта АГ-4В, графитов ВПП и МПГ-6 предложены линейная, экспоненциальная, кусочно-линейная и кусочно-

экспоненциальная аппроксимации функции Д£) соответственно. В частности, для графита МПГ-6 эту функцию можно представить следующим математическим выражением:

/ (£) = 1 + (0,95821 + 0,0341%и^. (2)

Величина константы кт для графита МПГ-6, входящая в условие (1), равна 21,68 МПа.

Следует заметить, что используемый в выражении (1) качественный параметр £, изменяется в интервале [-1; 1], что позволяет описать полный спектр напряженных состояний.

Решение задачи изгиба оболочки проводится на основе теории малых упругопластических деформаций. При решении поставленной задачи принимаются следующие предпосылки: 1) используются обычные положения технической теории изгиба оболочек - гипотеза плоских нормальных сечений и гипотеза плоского напряженного состояния; 2) диаграмма

деформирования материала обладает ярко выраженной площадкой текучести, что позволяет применить модель идеального упругопластического тела; 3) нагружение считается простым.

Задача по исследованию напряженно-деформированного состояния оболочек, в конечном счете, сводится к решению системы трех нелинейных дифференциальных уравнений [4]:

дЫц + дЫ12 = о_

дх1

дНи

дх

дх2

дN 22 п.

+ —— = 0;

дх2 2

д 2 Мп + д 2 М 22

2

дх

N11

дх22

+ 2

д 2 М12 дх1 • дх2

д 2 w

дх 2 V 1

+ К

+ N

22

2

д w дх2

+ 2 N

12

2

д w дх1 дх2

+ Ч,

(3)

где ч - интенсивность нагрузки; Е - модель упругости материала.

Данные уравнения являются уравнениями равновесия элемента пологой оболочки. Первые два уравнения получены при проектировании всех сил на плоскость элемента оболочки, при отсутствии внешних тангенциальных поверхностных сил, а третье уравнение получается при проектировании всех усилий на нормаль к поверхности элемента оболочки.

Система трех нелинейных дифференциальных уравнений (3) совместно с граничными условиями определяет три функции перемещений и, V и w, а задача по исследованию напряженно-деформированного состояния оболочек в упругой стадии, в конечном счете, сводится к решению данной системы уравнений, выраженной через усилия.

Введение в условие пластичности функции вида напряженного состояния обусловливает разницу между напряжениями, вызывающими пластичность в растянутой и сжатой зонах сечения (рис. 1). Здесь Ац - напряжения, вызывающие текучесть в нижней зоне; Вц - напряжения вызывающие текучесть в верхней зоне. Параметры А^ и Вц определяются

через условие пластичности (1). Работу материала за пределом упругости следует разделить на две стадии: состояние односторонней текучести и состояние двусторонней текучести (рис. 1). На начальном этапе развития пластических деформаций зоны пластичности появляются на одной поверхности оболочки, а затем, при дальнейшем нагружении, появляется двусторонняя пластичность.

1

В серединной плоскости, в отличие от классической схемы работы материала, возникают деформации 8у, обусловленные не только наличием

продольных сил в сечении, но и вызываемые смещением нейтральной поверхности оболочки при изгибе от её серединной плоскости вследствие разницы значений напряжений, вызывающих пластичность в верхней и нижней зонах сечения. Поэтому выражение для деформаций произвольной точки сечения, не принадлежащей серединной плоскости, представляется в виде

д w

2

д w

2

д w

є11 -811 - 2------є22 -8 22 - 2-----------2 Є12 = є12 - 2

дх^ дх2

где w - прогиб серединной плоскости; 8у - деформации в серединной поверхности.

%

а

б

Рис. 1. Представление работы материала за пределом упругости: а - односторонняя пластичность; б - двусторонняя пластичность

811

ди 1

+ —

2

дw

дх-

1

дхЛ V 1

ду , 1

---------к2 w + —

дх^ 2

г \ дw

дх V 2 у

812

ду ди дw ^

-----+-------+-------------

дхі дх2 дхі дх2

Выражения для напряжений можно записать в следующем виде:

ау = кг/ — ^ у), I,/ _ 1, 2, (4)

Е

где кц = к 22 =-----^, к12

Е

і — ц

і + ц

» г11 -811 + Ц'8 22» г22 =8 22 + Ц'81Ь

2

д2 w д 2w . д 2w д 2w д2 w

г12 = 812 , А11 = 2 + ^-^, А22 =-2 + ^-^, Л12 =-

д^1 д^2 д^2 д^1 дл^ дл^

д 2 w д 2 w д 2 w

Х11 =—2; Х 22 =—^; X 22 =----------------•

д%1 д%2 д%1 д%2

Положение нейтральной поверхности определяем из условия, что при г = Су, сту = 0. Отсюда

гу

С- = ——

С] А •• '

Координаты начала зон ау, Ьу, в которых возникают напряжения, вызывающие пластичность, определяются из условий, что при г = ау,

сту = Ау , а при г = Ьу , сту = В у •

Отсюда

= кУ ' гч— Ач

• = к у ■А у

к ■. ■ г - — В-Ь _ у ГЧ

• = ку •%

Значения Гу определяем из условия равенства суммарной площади

эпюры напряжений в сечении, соответствующему значению продольного усилия, действующего в этом же сечении: для односторонней пластичности

И

аЧ 2

Ну = + 1 Ауаг, (5)

И ау

2

для двусторонней пластичности

И

Ьу ач 2

Ну = 1 ВЧй2 + 1ст4^ + 1 Ау^ • (6)

—И Ьу ач

2

Значения моментов вычисляются путем интегрирования напряжений по толщине оболочки:

для односторонней пластичности

И

2

И

а

(7)

для двусторонней пластичности

И

а

'у “у 2

где Му = | Byzdz + |а yzdz + | Ayzdz.

И Ьу ау

(8)

Рассматривая совместно зависимости (4), (7), (8) и проведя несложные преобразования, получим выражения для моментов в виде

Му = пу + 8у ’Ау-

п АУ

где Пу =^

= - Р • °у ги

Ґ

2

\

+

И 2

ац

4 у

V У

ґ 3 А3 Л а у - Ьу

ву

2

Ь 2 - И

у

2

V

4

Ру + ^~ • Г. 2

• ГУ • (а2 ЬУ )’

'У

3

(9)

V У

а из зависимостей (4), (8), (9) после преобразований получим выражения для продольных сил в виде

N

у у

Ту + Су •Ау,

гДе Ту = Ау

И

— а 2

V

ґ

+ ву •

ь - И

V 2 У

+

Р у • гу \а у - Ь у )

Су

-р.. . (а 2 _ь2)

у у у

(10)

Для описания напряженно-деформированного состояния оболочки необходимо выражения (9) и (10) подставить во второе уравнение системы (3). Следует отметить, что зоны распространения пластичности по толщине оболочки ау или Ьу одинаковы для каждого определенного сечения,

поскольку они формируются комплексным соотношением напряжений сту, а не каждым отдельно взятым напряжением. Вследствие этого будет

удобно опустить в дальнейших математических выкладках индексы для указанных величин, приняв для них общие обозначения а, Ь.

Подставляя в уравнения (9) и (1 0) полученные после интегрирования значения моментов Му и продольных усилий Иу получим систему разрешающих уравнений, описывающих работу материала оболочки из дила-тирующего материала как в упругой, так и в пластической стадиях.

д(Ти + Сц - Ап ) + д(т12 + С12 - А12 ) = о-дх\ д%2

д(Т12 + С12 - А12 ) , д(Т22 + С22 - А22 )

дх

+

1

дх

= 0;

2

д (^11 + £11 • А11) + д (^22 + £22 • А 22 ) + ^_ (^12 + £12 - А12 )

дх1

дх2

дх1дх2 д 2 м

Ч + (Т11 + К11 • А11)-------------+ (т22 + К22 • А22 )------------------^ +

дх1

дх2

(11)

+ 2(т12 + К12 - А12)+ К1(Т11 + К11 - А11)+ К2(Т22 + К22 - А22\ ,

Линеаризация системы трех нелинейных дифференциальных уравнений (11) при решении изгиба оболочек проводилась методом последовательных нагружений, как рекомендовано в работе [6]. Линеаризованная система уравнений (11) будет иметь следующую форму записи:

д(ЗГц + Сц • $А11) д(^Т12 + С12 • ЙА12 )

+

дх1 дх2

д(^Т12 + С12 - ^А12 ) , д($Т22 + С22 - ¿>А22 )

дх1

+

дх2

: 0; = 0;

д 2 (^11 + £11 • $А11) + д 2 (^*22 + £22 • $А 22 ) + д 2 (^12 + £12 - ^А12 )

дх

1

дх2

дх1дх2 2

д м

с*/ + + К11 • ^А11)-тт + (&Т22 + к22 • ^А 22 )---------------тт +

дх1

дх2

(12)

2(^Т12 + К12 - $А12 ) + К1 (^Т11 + К11 - ^А11) + + К2 (^Т22 + К22 - ^А 22 )

где 8^, 8у , 8п - приращения функции прогибов и перемещений в срединной поверхности, соответствующих малому увеличению внешней нагрузки 8д.

Функции прогибов и перемещений w, V и п соответственно входят в выражения Ту, А у и еу, а значит, линеаризации подлежат все выражения, включающие в себя значения Ту, А у и еу .

Решение системы линеаризованных уравнений (12) проводилось численным методом конечных разностей.

Расчет проводился по трем вариантам: в первом варианте в качестве условия предельного состояния использовалось уравнение (1), а аппроксимация функции вида напряженного состояния принималась по выражению (2); во втором варианте расчета условие текучести принималось, как рекомендовано в работах Е.В. Ломакина [3]. В третьем варианте расчета в качестве условия предельного состояния применялось классическое уравнение Мизеса [4], не учитывающее зависимость характеристик пластичности от вида напряженного состояния.

Тип поверхности оболочки соответствовал поверхности переноса в виде эллиптического параболоида. Стрела подъема в центре составляла / = 10 см. Значения кривизны определены для указанного типа поверхно-

2

сти следующим выражением: К1 = К2 = 4/ /1 , где I - длина стороны оболочки. Ввиду пологости оболочки геометрия ее поверхности отождествлялась с геометрией на плоскости ее проекции.

Во всех случаях расчета толщина оболочек принималась равной 2 см. Геометрические размеры в плане составляли 100*100 см, модуль упругости - 104 МПа, коэффициент поперечной деформации - 0,3. Поверхность оболочки была покрыта сеткой 15*15. В силу симметрии рассчитывалась четвертая часть оболочки. В расчетной схеме было принято шарнирно-неподвижное закрепление контура оболочки.

На рис.2 представлена полученная картина развития текучести по поверхности оболочки при принятой операции. На рис. 2 поверхности, вступившие в состояние текучести, заштрихованы. Качественная картина появления пластичности в нижних волокнах во всех трех вариантах расчета совпадает (пластичность впервые появляется в центре оболочки).

Рис. 2. Развитие текучести по нижней поверхности оболочки при упругопластическом изгибе

Нагрузки, соответствующие появлению пластичности, приведены в таблице.

Анализ численных результатов, приведенных в таблице, показывает, что нагрузка, соответствующая появлению пластичности в нижних волокнах, полученная в первом варианте расчета, отличается от соответствующей нагрузки, полученной в III варианте расчета, в 2,78 раза. Для второго варианта такое различие составляет 4,08 раза. Между собой значения указанных нагрузок, полученных в первом и втором вариантах, имеют расхождения на 32 %.

Таблица

Нагрузки, при которых появляется пластичность

Вариант расчета Нагрузка при появлении первоначальной текучести, МПа

верхней нижней

I - 0,036

II - 0,024

III - 0,098

Таким образом, завышение предельной нагрузки, которое дает классическое условие пластичности Губера-Мизеса [4], для графита МПГ-6 составляет 163 %.

Полученные результаты очевидно подтверждают тот факт, что описание пластического изгиба оболочек из дилатирующих разносопротив-ляющихся материалов не укладывается в рамки классической теории механики оболочек.

Список литературы

1. Айнбиндер С. Б., Лака М. Г., Майорс И. Ю. Влияние гидростатического давления на механические свойства полимерных материалов // Механика полимеров. 1965. № 1. С. 65-75.

2. Сопротивление деформированию и разрушению изотропных графитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния / А.В. Березин [и др.] // Проблемы прочности. 1979. № 2. С. 60-65.

3. Ломакин Е. В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния // Механика композитных материалов. 1988. № 1. С. 3-9.

4. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 647 с.

5. Трещёв А. А. Зависимость предельного состояний конструкционных материалов от вида напряженного состояния // Изв. вузов. Сер. Строительство. №10. 1999. С. 13-18.

6. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов: СГУ, 1975. 119 с.

А. Treshchev, A. Zabelin

Definition of tensely deformed condition of the flat environment from dilatation the material behind the limit of elasticity

The strained-deformed condition of thin flat environments positive Gaussian curvature executed of dilatentive materials behind a limit of elasticity is investigated.

Keywords: plasticity, dilatation, different resistance, forming, flow, deformation, plasticity condition, the nonlinearity of the shell.

Получено 12.01.10