CC BY
32
МЕХАНИКА
УДК 539.375
ВАРИАНТ ОПИСАНИЯ
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛОСКОСТИ С ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ТРЕЩИНОЙ НА ОСНОВЕ КОНЦЕПЦИИ СЛОЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ НОРМАЛЬНОМ ОТРЫВЕ
В.В. Глаголев, Л.В. Глаголев, А.А. Маркин
Тульский государственный университет, кафедра математического моделирования. E-mail: [email protected], [email protected]
Трещина рассматривается как физический разрез, а материал, лежащий на продолжении разреза, формирует слой взаимодействия между его берегами. Данный подход, в отличие от концепции математического разреза, позволяет установить законы изменения напряжений и деформаций в тупиковой области. Это дает возможность определять значения внешних нагрузок, соответствующие переходу слоя в пластическое состояние. На основании постулата о линейном законе распределения поля перемещений по толщине слоя получена система интегродифференциальных уравнений относительно перемещений его границ. Рассмотрен вариант численного решения поставленной задачи, проведено сравнение результатов для частного случая с известным асимптотическим решением.
Ключевые слова: характерный размер, граничное интегральное уравнение, линейная упругость.
Variant of the Description of the Intense-Deformed State of the Plane with the Semi-Infinite Flaw on the Basis of the Concept of the Stratum of Interaction at the Normal Separation
V.V. Glagolev, L.V. Glagolev, A.A. Markin
Tula State University,
Chair of Mathematical Modelling
E-mail: [email protected], [email protected]
The flaw is considered as a physical slit, and a material lying on continuation of a slit, shapes an interaction stratum between its coast sides. The given approach, unlike the concept of a mathematical slit, allows to establish laws of change of voltages and strains in deadlock field. It gives the chance to specify the values of exterior loadings corresponding to transition of a stratum in a plastic state. On the bases of a postulate on the linear distribution law of a field of travels on a thickness of a stratum the system of the integro-differential equations concerning travels of its boundaries is gained. The variant of the numerical solution of a task in view is viewed, comparison of effects for a special case with the known asymptotic solution is given.
Keywords: characteristic size, boundary integrated equation, linear elasticity. ВВЕДЕНИЕ
Механика квазихрупкого разрушения, базирующаяся на представлениях линейно-упругого тела рассматривает в качестве основной модели трещиноподобного дефекта математический разрез. В этом случае образование новых материальных поверхностей не связывается с разрушением материала в смысле использования критериев прочности. В качестве условия начала продвижения поверхности разрыва принимается критерий Гриффитса в энергетическом или силовом вариантах. Отметим, что данная модель описания трещино-
подобного дефекта эффективно работает для хрупкого [1] и квазихрупкого разрушения [2, 3], когда пластическая область в концевой области трещины достаточно мала в том плане, что позволяет вести описание напряженно-деформированного состояния (НДС) концевой области трещины в рамках асимптотических представлений линейной теории упругости. Зарождение пластической зоны в этом случае остается открытым. Отметим, что классическая модель Леонова - Панасюка - Дагдейла [4, 5] предполагает наличие пластической зоны в окрестности трещины при сколь угодно малой внешней нагрузке. Однако определение начала пластического деформирования в концевой области трещины является достаточно актуальным вопросом [6], в частности, при циклическом нагружении поврежденного материала [7].
Одним из подходов, позволяющих строить решения в рамках гипотез сплошной среды, является представление Макклинтока [8]. Следуя [8], в окрестности прохождения трещины выделяется слой некоторой толщины ¿о, механические свойства которого не отличаются от окружающего материала, вплоть до начала разрушения, локализирующегося в данном слое. Предлагаемый подход позволяет установить значение внешних нагрузок, действующих по берегам разреза, при которых начинается пластическое деформирование. В статье [9] была решена задача для случая симметричного нагруже-ния берегов разреза, исходя из постулата однородности НДС по толщине слоя.
В данной работе на основе идей [8] и обобщения [9] рассматривается одно модельное представление трещиноподобного дефекта, берега которого нагружены симметричной системой сил с целью определения начала пластического деформирования в концевой области. Задача сводится к системе интегродифференциальных сингулярных уравнений относительно четырех компонент перемещений границ. Предложен алгоритм приведения исходной системы к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Для частного случая симметричного нагружения показано хорошее совпадение численного решения с асимптотическим представлением [10]. В отличие от работы [9], особенность разрешающей системы была понижена до логарифмической, что позволило использовать более высокую степень аппроксимации на граничном элементе, данное обстоятельство, в конечном итоге, существенно повысило скорость сходимости численного решения.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим бесконечную линейно-упругую плоскость, ослабленную физическим разрезом, толщиной ¿о, с приложенной к его берегам внешней сосредоточенной нагрузкой, показанной на рисунке. Введенный характерный размер ¿0 считаем минимально допустимым с точки зрения выполнения гипотез механики сплошной среды. Материал, лежащий на мысленном продолжении разреза в плоскость, формирует некоторый материальный слой [11]. Оценки данного масштабного уровня обсуждаются в работах [11, 12].
Напряженное состояние слоя характеризуется тензором напряжений Коши [13] с компонентами иц(xi, x2),
= 1, 2,3. Воспользуемся следующими обозначениями: И+2(Х2) = И12(¿0/2,Х2), И-2М = Ц2(-¿0/2, x2), и +1 (Х2) = и 1 1 (¿о/2,Х2), и -1 (Х2) = и 1 1 (-¿о/2,Х2). При дальнейшем изложении положим x2 = x. Нагрузка, приложенная к верхней части слоя, равна q+ (x) = (и+1 e1+ +и+2в2), а к нижней — q- (x) = (и-1е1 + и—e2). Отметим, что действие слоя на смежные полуплоскости равно по модулю и противоположно по направлению введенным векторам. Левый торец слоя OO свободен от внешних нагрузок.
В силу малости толщины слоя будем считать распределение перемещений линейным по координате x 1. Таким образом, вектор перемещения в слое запишем в виде
Схема нагружения берегов трещины
i(xb x) = (U01 (x) + un(x)x1 )e1 + (uo2(x) + U12(x)x1)e2,
(1)
где u01(x) = u1 (x1,x)| =0 , u02(x) = u2(x) (x15x)| =0 — соответствующие перемещения срединной
поверхности слоя,
ии(х) =
ди (ж1, х)
дх
И12 (х) =
ди2 (х1, х)
XI =0
дх
XI =0
Введем обозначения граничных перемещений слоя:
и+ = и+е1 + и+е2, и- = и—е1 + и—е2.
(2) (3)
Из (1) с учетом (2) и (3) найдем:
и01 = 0.5(и+ + и- ), и02 = 0.5(и+ + и2 ),
иц = — (и+ - и- ), ¿0
и12 = Т-(и+ - и- )-¿0
Подставим (4) и (5) в (1), в результате получим:
[(х1 ,х) =
2 х1
0.5(и+ + и- ) + (и+ — и 2 ) —
или
0.5и+ 11 + 2х11 + 0.5и- (г — 2х1 ¿0 / V ¿0
и(х1, х) =
Из (6) найдем компоненты тензора деформации:
е1+
е1+
-х1
°.5(и+ + и- ) + (и+ — и- ^
е2,
0.5и+ (1 + 2х^) +0.5и- М - ^х1
42 б0Г™"2\' ¿0
£11 =
ди1 (и+ — и- )
дх1
/ди1 ди2 I п _
£12 = £21 = 0.5 —--Ь т— I = 0-5
V дх дх1
0.5
ди+ Д 2х1
дх
1+
+ 0.5-
ди-
дх
£ = ди2 =05 Гди+
£22 = = 05 т;— дх дх
Вычислим работу напряжений в слое:
1+
2х1 ди2-
¿0
+
дх
1
1
2х1
2х1
+
и2 — и2
(4)
(5)
е2. (6)
(7) , (8) (9)
сю ¿0/2
¿А(г) = J ! 0у ¿£у
0 — ¿о/2
Рассмотрим в выражении (10) отличные от нуля слагаемые с учетом представлений (7)-(9).
(10)
¿0/2
¿о/2
0115£11^х1^х =
011
(¿и+ — ¿и— )
Йх1^х = 011 (¿и+ — ¿и— ) ¿х,
(11)
0 —¿0/2
¿о/2
0 -¿0/2
где 011 = ¿0 / 011^х1 — среднее напряжение по слою.
0 -¿0/2
с ¿о/2 с ¿о/2
J ! 022¿£22 ¿х1 ¿х = 0.5 ^ J 022
0 —¿о/2 0 —¿о/2
1 + ^ + 1 - м 2
¿0 дх
¿0 дх
¿х1^х. (12)
0
¿
0
со
50/2
Введем обозначения для величин средних напряжений и моментов в слое: а22 = 5° / а22^хь
° — 5°/2
5°/2
т22 = 5° / а22и запишем (12) в следующей форме с учетом интегрирования по частям:
° —5°/2
сю 5°/2 сю
I ^ „ _ - Г —а
+ ¿и—) ^ - 0.5^ ^
о -5°/2 о
а225е22^х1^х = 0.5а22¿0 (¿и+ + ¿и2 ) |0 — 0^0 / —— (¿и+ + ¿и2 ) ¿х+
с
+т22 (¿и+ — ¿и— 1С — I -^Х22 (¿и+ — ¿и— ¿х. (13)
ш.
—х 4
о
с 5° / 2 с 5° /2
J ! а12¿е12¿х1 ¿х = J ! а21 ¿е21 ¿х1 ¿х =
0 —5°/2 0 —5°/2
с 5°/2
= 0.5 у у а12
0 —5°/2
¿и+Л 2хЛ ¿и Л 2хЛ (¿и+ — ¿и-) 0.5—^ 1 + —^ + 0.5—^ 1--+ к 2 27
дх V ¿0 7 -х V ¿0 7 ¿0
¿х1 ¿х. (14)
5°/2 50/2
Используя обозначения а12 = / а12^х1, т12 = 5° / а12х1 ¿х1, интегрируя по частям, преоб-
° —5°/2 ° —5°/2
разуем (14):
с о°
5°/2
2 ^¿е^х^х = а12 (¿и+ — ¿и— ¿х + 0.5а12¿0 (¿и+ + ¿и—) |0 +
0 —5°/2 0
с
+т12 (¿и! — ¿^ ) — у (¿и! — ¿^ ) ¿х. (15)
0
В силу того что торцевая поверхность слоя не нагружена, а на бесконечности напряжения затухают, имеем:
СТ12(0) = 0"22 (0) = СТ12(го) = а22 (ю) = 0. (16)
Перепишем (13) и (15) с учетом (16):
с 5°/2 с с
J ! ^¿е^^х^х = —0^0 ^ ;22 (¿и+ + ¿и—) ¿х — J —т22 (¿и+ — ¿и—) ¿х, (17)
0 —5°/2 0 0
с 5°/ 2 с с
2 ^ J а12¿е12¿х1 ¿х = J а12 (¿и+ — ¿и—) ¿х — 0.5¿0 J ^12 (¿и+ + ¿и—) ¿х—
0 —5°/2 0 0
с
—т
12 ,+
7 —х 0
(¿и+ — ¿и—) ¿х. (18)
Работу внешних сил на виртуальных перемещениях, действующих на слой по замкнутому контуру I : ¿А(е) = £ q ■ ¿и^1 с учетом (16), запишем в виде
I
с
¿А(е) = ¿и+ + ¿и+ + ^ ¿и— + ^ ¿и— ¿х. (19)
с
Следуя принципу возможных перемещений ¿А(е) = ¿А(г), приравняв члены при соответствующих вариациях в связях (10) и (19) с учетом (11), (17), (18), приходим к четырем дифференциальным зависимостям между средними напряжениями, моментами в слое и внешней нагрузкой по его границе:
9+ = 011 — 0.550 9+ = 012 — 0^0
д0
12
дх д022 дх
дт
12
— _ п _ , д012 .
91 = —011 — 0 0~д^ +
— _ д022 .
92 = —012 — 0 0~д^ +
дх дт22 дх дт12
дх дт22 дх
(20) (21) (22) (23)
Считаем, что связь между напряжениями и деформациями определена законом Гука для случая плоского деформирования:
011 = А.£и + В£22, 022 = А£22 + В£ц, 012 = С£12,
(24)
(25)
(26)
где А =
Е (1 — V)
■; в =
Ev
-; С =
Е
(1 + V)
, Е — модуль упругости; V — коэффициент
(1 + V )(1 — 2v)' (1 + V )(1 — 2v)
Пуассона.
Из (24)-(26) с учетом (7)-(9) приходим к следующим представлениям средних напряжений, моментов и их производных через перемещения границ слоя:
022 =
012 =
в
¿0 С_ 2^0
ии
и2 и2
+
А
А
011 =
ии
2 дх
ди+ + ди—
С + 4
дх ди
ди+ —- +---
дх дх
_ А£0
12
т22 =
ди+ дх
т12=
С^0 (ди+
ИГ I ~дх
+
в ди2+ ди
д0'
22
дх
д012 дх
2 V ~дх
в
'¿0 С_ 2^0
+
дх ди— дх
дт22
дх дт12 дх
ди+
дх ди+
дх
А^с 12
Сде 24
дх ди—
дх ди—
дх д 2 и+
дх2
д2и+
+
А
/ д2и+ : д2и2
2 V дх2
д2и+
дх2 дх2
+
С + 4 д 2 и—
дх2
д 2и—
+
дх2
д 2 и—
дх2 дх2
(27) , (28) , (29)
(30)
(31)
Подставив (27)-(31) в (20)-(23) получим выражения напряжений по границам слоя через граничные перемещения:
+ = А + А — ди+ ^ди— 91 ¿0 и1 ¿0 и1 дх дх
А
А
91 = — и+ + — и ¿0 ¿0
9+ =
С + С и+ — -¿ги
2¿o
2£0 С
+ +
дх дх
2 + Б1 ^ — Б^—I
С
92 = — Ж и
+ + 2^0и
дх
^ ди+ ^ 2 + ^ — Б1
дх ди— дх
С^ д2 и+ 6 дх2 C¿o д2 и+ 12 дх2 А^ д 2и+ 3 дх2 А£0 д2и;
6 дх2
C¿o д2и— 12 дх2 ' C¿o д2и—
6 дх2
А£0 д2 и—
6 дх2
А£0 д2 и— 3 дх2
(32)
(33)
(34)
(35)
где Б = — ■
Е
Б1 =
Е (1 — 4v)
4(1 + V )(1 — 2v)' " (1 + V )(1 — 2v) При дальнейшем изложении все величины, имеющие размерность длины, отнесем к толщине
пЕ
слоя ¿0, а напряжений — к параметру в = -2Г, получаемого в решении задачи Фламана [13].
2(1 — V2)
2
Таким образом, выражения (32)-(35) запишем в безразмерном виде
+ + — д ^ = аи 1 — аи 1
- И--2 - й
—х —и+
д — = —аи+ + аи + + ¿1
1 1 1 —х
+¿1——<1 —х
— С + , С — , Л— д— = — о и+ + о+1
—х —
—2 и+ с —2 и
6 —х2
С —2и
12 —х2 '
С —2 и —
+ С + С — д2 = 2 и2 — 2 и2
2
2
—х
¿1
—х —и— —х —и—
—х
12 —х2 а —2и+ 3 —х2 а —2и+
6 —х2 а —2и—
6 —х2 а —2и—
6 —х2 3 —х2
где ¿ = —
(1 — V)
, ¿1 =
(1 — ^ )(1 — V)
а=
2(1 — V )2
С =
2(1 — V)
(36)
(37)
(38)
(39)
х = х^0 — безразмерная
2п(1 — 2v 2п(1 — 2v) п(1 — 2v )' п
координата, ст^ = ст^/в — безразмерное напряжение, и = и/¿0 — безразмерное перемещение.
На основании решения задачи Фламана распределение перемещений точек границы верхней и нижней полуплоскости под действием нагрузок, действующих со стороны слоя, имеет вид
ь
(х)=—Ч Ь^) +/ д+«)1п т—С
(40)
(х)=
д+ (С)1п С ¿С,
(41)
% (х) = Р1 1п
х+а Ь + а 1
+ / д — (С)1п ^Ьгг!1 ¿С,
(42)
и— (х) = / д—(С) 1п ^Ь—I1 ¿С,
0
(43)
здесь а — расстояние от вершины разреза до точки приложения безразмерной силы Р+ = в
Р - Р /¿0 в, Р+5 Р
сила на единицу толщины образца; Ь — удаленная точка с нулевым
перемещением (данную точку будем ассоциировать с бесконечно удаленной точкой), Ь — расстояние от начала координат до Ь;
Подставив соответствующие выражения (36)-(39) в (40)-(43), приходим к системе интегро-дифференциальных уравнений относительно перемещений границ слоя.
(х) = —Р+ 1п
х+а Ь+а
+
аи+ (С) — аи— (С) — ¿1
—и+ (0 —С
¿
—и—(С) С— 2и+ (С) С—2и—(С)
и+(х) =
—С
6 —С2
12 —С2
1п 41 ¿С,
Ь—С
2и+(С) — ^ (С) + «1 ^ —
а—2 и+(С) а—2и— (С)
3 —С2
6 —С2
1п Iх—С !С,
Ь — С
(44)
(45)
(х) = Р1 1п
х+а Ь+а
аи+(С) — аи— (С) —
—и+(С) —С
¿1
—и—(СК С — 2и+ (С) , С—2и— (С)
—С
+
12 —С2
+
6 —С2
1п ^ ¿С,
Ь—С
(х) = —
С«+(С) — ^ (С) — ^ + !1 ^^
+6
а—2и+ (С) , а—2(С)
—С2
+ 3-
—С2
1п1х—I1 !С.
Ь — С
(46)
(47)
С
ь
ь
ь
ь
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим численную процедуру решения полученной системы интегродифференциальных уравнений (44)-(47). Область интегрирования представим набором из п единичных элементов, в каждом из которых функция перемещения будет определяться квадратичной зависимостью вида
и (0 = ¿м С2 + с + К,,
(48)
где ] = 1, 2, % = 1... п.
Неизвестными на каждом элементе считаем узловые перемещения, отнесенные к краям и середине элемента. В этом случае имеют место следующие выражения постоянных ¿у, М4,, , конкретного элемента через узловые перемещения:
Я,- = 2 (и]'4 — 2и2'4 + и^'Л , Мг,у = 2 [—и]'г(С2 + Сз) + 2и2'г(С1 + Сз) — + С2)1 ,
К, = 2 ( и!'4С2Сз — 2и2'4С1 Сз + и3'гСхС^ ,
1,4 • 2,4 • 3,4
где и, — перемещение левого края %-го элемента; и, — перемещение середины %-го элемента; и, — перемещение правого края %-го элемента; С1, С2 = С1 +0.5, С3 + 1 — координаты соответствующих узлов. Для смежных элементов требуем непрерывности поля перемещений в общей точке: и3'4 = и1'4+1. С учетом (48) преобразуем систему интегродифференциальных уравнений (44)-(47):
4=п {г
<(-)=—Р+ хг+ООт)+Ё/
4=1
(¿++1 С2 + М+ С + К+1) —а 1С2 + М—С + К—) —
— ¿1 (2Ь+2С + М+2) — й (2Ь—2С + М4—2) —
сЬ+1 сЬ
4,1
1п 1х^-С1 ¿С,
п—С
4=П {
и+(х) = ^2
4 = 1
- (¿+2С2 + М+С + К4+2) — - + М—С + К2) +
+¿1 (2Ь+1С + М+) — й (2Ь—1С + М^) —
2«Р+2 «¿г,2
1п 1х^_С1 йС, п—С
(49)
(50)
и — (х5) = Р1 1п
х5 + а1 п + а1
Е
=1
(¿++1С2 + М+ С + К+О — а (¿"1С2 + МГ^С + —
—й (2Ь+2С + М+) — й1 (2Ь"2С + М42) + ^ + '1
3
1п ^йС, п — С
4 =П у
и2 Ы = —
=1
2 (¿+2С2 + М+С + к4+2) — 2 (Ь."2С2 + М42С + —
2
—й (2£+С + М+) + й1 (2Р"1С + М") + ^ + ^^
1п 1х^-С1 йС, п—С
(51)
(52)
где х5 — глобальная узловая координата.
Таким образом, приходим к системе из 4(2п + 1) линейных алгебраических уравнений (в общем случае бесконечной п ^ го) относительно 4(2п + 1) неизвестных узловых перемещений границы слоя и+(х5), и —(х5), и+ (х5), и— (х5).
3. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ
Прежде всего отметим, что в полученной системе (49)-(52) имеют место интегралы от сингу-0 í¿ í¿ лярных функций вида / С2 1п ^йС, / С 1п |аПйС, / 1п йС для случая, когда узел х5
{¿-1 {¿-1 {¿-1 принадлежит %-му элементу.
а
3
6
3
3
4 = П
а
Рассмотрим выражения следующих определенных интегралов: &
/ ^ Ь (^ = !/3 [(С? - *3) 1п (|х - Сг|) - (С3- 1 - *3) 1п (|х - Сг- 11) + (п3 - Сг3) X 1п (п - Сг) - (п3 - С3- 1) (п - Сг- 1) + 0.5 (п - ®в) (£? - С2- 1) + К - ^2) (Сг - Сг- 1)] ,
С 1п
^ = !/2 [(С? - х2) 1п (X - Сг |) - (С2-1 - х2) 1п (|х - Сг — 11) +
(53)
+ (п2 - С2) 1п (п - Сг) - (п2 - С2-0 1п (п - Сг — 1) + (п - X) (Сг - Сг-О] ,
1п ' ) ^С = (Сг - X) 1п (|х - Сг |) - (Сг — 1 - ®в) 1п (|х - Сг -11) -
- (п - Сг-1) 1п (п - Сг-1) + (п - Сг) 1п (п - Сг)
(54)
(55)
Принимая во внимание, что Нш (х - Сг)1п(|жв - Сг|) = 0, Нш (х2 - Сг2)1п(|хв - Сг|) = 0,
Иш (х3 - С3)1п(|жв - Сг|) = 0 интегралы (53)-(55) на сингулярных элементах будем рассматривать в смысле главного значения.
Численный анализ системы (49)-(52) показал хорошую сходимость решения от количества рассматриваемых элементов. Это дает возможность перейти от бесконечной в общем случае системы к рассмотрению конечного числа уравнений при достаточно хорошем согласовании результата. Так при рассмотрении нагружения типа нормального отрыва окрестности трещиноподобного дефекта двумя сосредоточенными силами Р+ = 1, Р- = 1 (см. рисунок), приложенными на расстоянии а1 =5 в таблице приведена зависимость перемещений в первой узловой точке от количества расчетных элементов п при V = 0.2.
Для остальных узловых точек тенденция, приведенная в таблице, имеет аналогичный характер.
Результаты расчетов
п 50 200 500 700 900 1000
и+ 0.3421 0.3556 0.3584 0.3590 0.3593 0.3594
и- -0.3421 -0.3556 -0.3584 -0.3590 -0.3593 -0.3594
и+ -0.1143 -0.1524 -0.1757 -0.1841 -0.1864 -0.1867
и- -0.1143 -0.1524 -0.1757 -0.1841 -0.1864 -0.1867
0.0636 0.0907 0.1015 0.1040 0.1063 0.1071
Однако при численном решении системы (49)-(52) возникает вопрос о выборе количества граничных элементов, при котором можно говорить о некотором достоверном результате. В данном случае можно подобрать соответствующий параметр путем сравнения получаемого решения, например, с известным аналитическим решением. В качестве тестовой задачи рассмотрим результаты работы В. М. Ентова и Р. Л. Салганика [10], где упругие полупространства (см. рисунок) скреплены идеально хрупкими связями Л. Прандтля и нагружены симметричной сосредоточенной нагрузкой: Р+ = Р-. Взаимодействие хрупких связей с полуплоскостями эквивалентно нагрузке со стороны слоя взаимодействия с коэффициентом Пуассона V = 0. При этом в слое взаимодействия а22 = 0. Выражение для расклинивающего усилия в этом случае может быть получено на основании асимптотического решения работы [10]. Приведем его в безразмерном виде:
р (а) = ОН. 2
па,
(56)
где а^! — безразмерное напряжение в вершине разреза, а >> 1.
Так, для единичной силы и а = 100 из формулы (56) получаем ст^0 = 0.1128. В таблице представлено значение среднего напряжения в первом узле ст^ в зависимости от количества расчетных
х
{
{
элементов при Р+ = = 1, а = 100, V = 0. Из представленных результатов видно, что при анализе концевой области достаточно с хорошей степенью точности ограничится 1000 элементами. В дальнейшем все результаты будут приведены для п = 1000.
Напряженное состояние слоя в каждом из его элементов можно характеризовать средним напряжением и деформациями, определяемыми по формулам:
0 ij =
5+1 = i 0k, dx,
1/2 5+1
£k =
£ k j d^^ i d^^,
(57)
- 1/2 5
где С, С + 1 — координаты к-го единичного элемента; — среднее напряжение по толщине слоя;
— деформация слоя в пределах к-го элемента. Следуя дискретной модели [14], переход из упругого состояния в пластическое [15] или в состояние разрушения будем рассматривать относительно неделимого элементарного объекта — квадрата со стороной ¿0. Соответствующие критерии в данном случае будем относить к средним характеристикам в смысле (57).
Отметим, что аналогичным образом можно определять начало процесса хрупкого разрушения, рассматривая в качестве критерия, например деформационный [16, 17], либо критерий максимального главного растягивающего напряжения [18].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-97500) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (контракт П1125).
Библиографический список
1. Черепанов, Г. П. Механика хрупкого разрушения / Г. П. Черепанов. - М.: Наука, 1974. - 640 с.
2. Панасюк, В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов / В. В. Панасюк. - Киев: Наук. думка, 1991. - 416 с.
3. Черных, К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин / К. Ф. Черных. - М.: Наука, 1996. - 288 с.
4. Dugdale, D. S. Yielding of steel sheets containing slits / D.S. Dugdale // J. Mech. and Phys. Solids. - 1960. -V. 8, № 2. - P. 100-108.
5. Леонов, М. Я. Развитие мельчайших трещин в твердом теле / М. Я. Леонов, В. В. Панасюк // Прикладная механика. - 1959. - Т. 5, № 4. - С. 391-401.
6. Клевцов, Г. В. Микро- и макрозона пластической деформации как критерии предельного состояния материала при разрушении / Г. В. Клевцов, Л. Р. Ботвина // Проблемы прочности. - 1984. - № 4. - С. 24-28.
7. Новожилов, В. В. О перспективах построения критерия прочности при сложном нагружении / В. В. Новожилов, О. В. Рыбакина // Прочность при малом числе циклов нагружения. - М.: Наука, 1969. - С. 71-80.
8. Макклинток, Ф. Пластические аспекты разрушения / Ф. Макклинток // Разрушение. - М.: Мир, 1975. -Т. 3. - С. 67-262.
9. Глаголев, В. В. Дискретно-континуальная модель процесса симметричного разделения / В. В. Глаголев, А.А. Маркин, Т. А. Мерцалова // Прикладная механика и техническая физика. - 2009. - Т. 50, № 1. -С. 134-140.
10. Ентов, В.М. К модели хрупкого разрушения Прандтля / В.М. Ентов , Р. Л. Салганик // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1968. - № 6. - С. 8799.
11. Глаголев, В. В. Определение термомеханических характеристик процесса разделения /В. В. Глаголев, А. А. Маркин // Изв. РАН. Механика твердого тела.
- 2007. - № 6. - С. 101-112.
12. Глаголев, В. В. Оценка толщины слоя взаимодействия как универсального параметра материала /В. В. Глаголев, А. А. Маркин // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2006. - № 5. - С. 194-203.
13. Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 939 с.
14. Новожилов, В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности / В. В. Новожилов // ПММ. - 1969. - № 2. - С. 212-222.
15. Ильюшин, А.А. Пластичность. Основы общей математической теории / А.А. Ильюшин. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.
16. Дегтярев, В. П. Деформации и разрушение в высоконапряженных конструкциях / В. П. Дегтярев. - М.: Машиностроение, 1987. - 105 с.
17. Махутов, Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность / Н.А. Махутов. - М.: Машиностроение, 1981. - 270 с.
18. Weighard, K. Uber Spalter und Zerressen elastischer Korper / K. Weighard // Zeitsehr. Fur Math. Und Phys.
- 1907. - Bd. 55, № 1/2. - S. 60-103.
