Упруго пластическое поведение тонкого слоя в окрестности трещины нормального отрыва Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета

Естественные науки 2008. Выпуск 2. С. 67-85

---- МЕХАНИКА ----

УДК 539.375

В.В. Глаголев, Т.А. Мерцалова

Тульский государственный университет

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТОНКОГО СЛОЯ В ОКРЕСТНОСТИ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА*

Аннотация. Рассматривается процесс нагружения полубесконечного выреза с характерным размером ¿о в линейно упругой среде симметричной нагрузкой. Считается, что материал, лежащий на мысленном продолжении разреза в сплошной среде, образует слой с однородным распределением напряженно-деформированного состояния (НДС) по толщине. Поведение слоя описывается в рамках идеально упругопластической модели. Определено НДС слоя для плоской деформации и плосконапряженного состояния.

Введение. Одним из модельных представлений механики разрушения является вид зоны пластичности при маломасштабной текучести у вершины трещины нормального отрыва. Область пластичности в этом случае является продолжением трещиноподобного дефекта в упругопластической среде. Классическое рассмотрение трещины нормального отрыва в виде математического разреза постулирует механизм пластического течения, при котором по берегам границы пластической зоны действуют напряжения равные пределу текучести [1-3]. С формальной точки зрения при вычислении длины пластической зоны данное положение при различных видах плоского состояния приводит практически к одинаковому результату. Однако экспериментальные данные свидетельствуют о существенном различии длины этих зон. Поэтому для плоской деформации вводится поправка [4] (предел текучести формально увеличивается в у/3 раз), при которой размер зоны пластичности становится в 3 раза меньше, чем при плоском напряженном состоянии.

В данной работе трещина моделируется физическим разрезом с характерным размером 60. Данный масштабный уровень выбираем как минимально

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-01-96402).

допустимый, в рамках которого справедливы гипотезы механики сплошной среды [5, 6]. Зона пластичности в этом случае, являясь продолжением трещиноподобного дефекта, будет представлять собой прямоугольник с высотой 60 и длиной 1р, подлежащей определению. Зависимость соответствующей длины от вида напряженно-деформированного состояния, а также изучение механизма пластического течения от вида плоского состояния является целью данной работы.

1. Постановка и решение задачи упругого деформирования слоя. Рассмотрим нагружение плоскости, ослабленной физическим вырезом 60 симметричной внешней нагрузкой, согласно схеме (рис. 1). Считаем, что материал, лежащий на продолжении физического разреза в плоскости образует слой — слой взаимодействия с однородным распределением НДС по толщине [5].

Хі

Рис. 1. Схема разрушения

Наряду с напряжением <тц (хг) в слое учитываем напряжение <722 (хг) вдоль оси разреза, которое обусловлено касательной нагрузкой по границе со слоем. Полагаем, что связь между напряжениями и деформациями вне слоя взаимодействия описывается в рамках линейной теории упругости.

В силу симметрии задачи рассмотрим только верхнюю полуплоскость

(х! ^ ¿>о/2), а действие слоя заменим нагрузкой ц{х) = — (сгцёг +^2162^

(здесь и далее х = хг/^о _ безразмерная координата; = /Зсг^ (г, ^ = 1,2) — безразмерные напряжения; /3 = 2^ — параметр материала для случая плоской деформации, ¡3 = ^ — параметр материала в плоском напряженном состоянии, Е — модуль упругости; и — коэффициент Пуассона).

Соотношения Фламана [7, 8] связывают внешние нагрузки <тц и <т12 с перемещениями границы полуплоскости безразмерными выражениями

Ь

л / ч л-, / х + а\ Га |ж — £1 т>. ч

щ(х) = -Р1п ( Ч + I ^11(0 1п (1)

о

Ь

и2(х) = ! (2)

о

Л А

где щ = щ/5о ({ = 1, 2) — безразмерные перемещения; Р = Р/3/6о — безразмерная сила на единицу толщины; Ь — удаленная точка с нулевым перемещением; I/ — расстояние от начала координат до Ь.

Основным постулатом модели слоя взаимодействия является положение об однородности напряженно-деформированного состояния (НДС) по толщине слоя. В силу данной гипотезы из условия равновесия следует, что

и<722 Л „ ч

~в.Г = ~2<Т21- (3)

Перемещения границ слоя определяются в следующем виде:

иг(х) = ^ец(х), (4)

X

и2{х) = ! ]^Е22(х)(1х. (5)

ь

Напряжения в состоянии плоской деформации до достижения предела текучести связаны с деформациями законом Гука:

£ц = А(Тц — В(Т 22 5 (6)

£22 = А&22 ~ Вац, (7)

где А = В = 2(1-1;) ^ безразмерные постоянные.

В плоском напряженном состоянии закон Гука запишем в виде

£ц = А<7ц — В(Т 22, (8)

£22 = Аа22 - Вац, (9)

£зз

■в [а 11+£22), (10)

где А = В = Щу- — безразмерные постоянные данного вида плоского

2 5 2 СОСТОЯНИЯ.

Продифференцируем по х выражение (2):

ь

£22

А

йх

^12(0

(11)

Перепишем выражение (1) с учетом формулы (4) в следующем виде:

£11 = —2Р 1п (^ + 2 [ 1п (12)

.£/ “Ь о

о

1-С

Исходя из формул (11) и (12), найдем изменение объема вдоль слоя за счет движения «стенок» ограничивающего его упругого пространства:

ь

ь

£12(0

1 <% + 2 [ а11(С)1п^-^^-2Р1п(р^-) +Е33(х)

(х-0

1-£

-£/ а

= £ц{х) + £22{х) + £зз{х) = в(х). (13)

Отметим, что уравнение (13) является универсальным и остается в силе, как при упругом, так и упругопластическом поведении слоя.

Используя связи закона Гука (6)—(10), равенство (13) представим в виде

ь

ь

£12(0

1 ^ + 2 АРЪ/Х + а

(х-0

1-£

(А - В) (аи +ст22)

(14)

где вид плоского состояния определяет постоянные А ж В.

К уравнению (14) добавляется условие равенства деформаций £22 вдоль слоя, вычисляемых из выражения (11) и непосредственно из закона Гука (7) или (9). В результате система разрешающих уравнений принимает вид:

I+ 2 / £ц(0 1п - 2Р1п (й|)

0 0 4 7

= (А- В) + <722) ;

А А л А у -| 7 ,

Асг22 -всгц = ] Ст12(0(^у^;

(15)

да

22

дх

-2а12.

Основными неизвестными системы (15) являются компоненты тензора напряжения. Так как полагается, что торцевая плоскость начального разреза не нагружена, то

= 0. (16)

ж=0

Л °~22

При решении задачи, следуя Новожилову [9], полагаем, что разрушение твердого тела — процесс дискретный, поэтому в пределах элемента слоя взаимодействия длиной 5о или единичной безразмерной длины напряженное состояние полагается однородным.

Для построения решения задачи в рамках дискретной модели разобьем границу полуплоскости ОЬ на N единичных элементов. Каждый элемент границы к, с координатами 1, где к = 1...ЛГ характеризуется постоянным (средним по элементу) значением напряжений сг^ и

(Т12, определяемым следующим образом: сг\^ (х(к)) — / (С) где

€к-1

х{к) — (Сд- + 6.-^ 1 )/-• В результате интегралы в уравнениях системы (15) предстанут в виде соответствующих сумм. Для дискретизации уравнения равновесия (3) проинтегрируем его по к-ому элементу, в результате получим: СГ22 ~ а22 ' ^ = ~^а21 • Подчеркнем, что данный подход близок к методу граничного элемента [8] с постоянной аппроксимацией, однако основное отличие данного подхода в том, что разбиение на элементы меньшего размера не имеет смысла. Данный размер, как указано выше, ограничивает материальную область, для которой еще справедлива гипотеза сплошности. Таким образом, дискретное представление интегро-дифференциальной системы (15), дополненное граничным условием (16) примет вид:

П ... Т1 /л I . _£ I

ХМгИ*)) / | + I Ь 1 ^

V (г) V г=1 4

* = 1 &_і ^ ^ ^ ¿ = 1 Є

2Р1п ( ) = (А - В) ( а\У(хм) + 1 , к = 1,..,п,

= (А — В) + Лк2\х(к))) , к

А°22(х(к)) - Ва^{х{к)) = Е ^12 (ж(*)) / (Х( 1-а к =

г=1 & , V

22(х(к)) ^ л Г 1 ~ ^

°22 - ст22_1) = к = 1 ,..,п;

. °22 = 0-

Отметим, что линейная система (17) в общем случае содержит бесконечное количество уравнений (п —>• оо). Однако, как показывают расчеты, для анализа результатов можно ограничиться конечным числом уравнений. Решение системы имеет достаточно хорошую сходимость, и при п = 1000 результат отличается от расчета для п = 5000 менее 1 %.

На рис. 2 кривые 1, 2 и 3 определяют напряжения <т115 <т22 и <т33 для состояния плоской деформации при следующих характеристиках: п = 5000, Р = \. а = 5. // = 0.25. Отметим, что при V = 0 СГ22 = с’зз = 0, а для остальных допустимых значений коэффициента Пуассона при плоской деформации имеем: (722 < (7:5:5. Графики 4 и 5 соответствуют напряжениям <тц л

и сг22 для плоского напряженного состояния.

3 5 7 9 п

Рис. 2. Зависимость распределения напряжений

2. Постановка и решение задачи упругогопластического деформирования слоя (плоское деформирование). При достижении определенного критерия считаем, что материал слоя может переходить в пластическое состояние. Соответствующее поведение будем рассматривать в рамках идеально упругопластической модели [10]. Критерием перехода из упругого состояния в пластическое считаем достижение максимальным касательным напряжением критического значения:

\@Н \ - ^Тд, (1^)

где /.,/ = 1,2,3, т.ч — предел текучести.

В условиях плоского деформирования в зоне предразрушения из решения упругой задачи имеем сгц > СГ33 ^ а22 (см. рис. 2). Следовательно, критерий текучести Треска (18) для данного вида нагружения определяется следующим выражением:

^11-^22 = 2г8, (19)

где т8 = /Зт8 — безразмерный предел текучести.

Полагаем деформации малыми и для стадии упругопластического деформирования справедливым следующее разложение:

где — упругая составляющая полной деформации; — пластическая составляющая.

Считаем, что материал пластически несжимаем:

В состоянии плоской деформации полагаем, что упругая и пластическая составляющие поперечной деформации нулевые:

Используя связи закона Гука (6), (7), с учетом (20)—(22) изменение объема представим в виде

Из выражений (13) и (23), условия равновесия элемента слоя (3), условия текучести Треска (19) получим следующую замкнутую систему уравнений, описывающую деформирование пластической области слоя длиной 1р в состоянии плоской деформации:

(15). Основными неизвестными систем (24) и (15) являются компоненты тензора напряжения, а также длина пластической области при удовлетворении граничного условия (16).

Рассмотрим подход к дискретному решению полученной системы уравнений (24), (15), (16), описывающих упругопластическое деформирование слоя в состоянии плоской деформации. Модель будет состоять из трех подсистем.

£а - Ні + Чі- г — 1, 2

(20)

(21)

(22)

(23)

/ £ 12(Є) (¿0 <*е + 2 / 2ц ({) 1п - 2РІП ({£)

0 0 4 7

<

(А - В) (стц +ст2г) ;

(24)

ч 1 11 “ “ • в •

Л Л Л

В упругой области, где х > 1р ш а — а < 2т НДС описывается системой

1. Уравнения, описывающие пластическую область (дискретный аналог системы (24)):

ґ

п , ,ч £і п £

Е^ГгИ*)) I (¡-^^ + 2Е%Ы / 1п »-с ^

¿=1 Сі-1 1 ('’ ^ ¿=1 Сі-1

/л л<*0\ , ч / , \ 7г|г3+СГ22 )(1-2|/)

-2^+іЬ(^)= ^ п_/,------; к = 1,..,1

°22 - ^22-1) = — 2сг21}> ^ = р(*) (*) - А

п+оу (1-^) ’ ’’ (25)

= к =

*£>-*%= 2 т; к = 1,.., I;

°22 = О-

2. Уравнения, описывающие переход 1 + 1 элемента из упругого состояния в пластическое (дискретный аналог системы (15) при условии достижения

Л Л гчЛ \

на элементе напряжением предела текучести <тц — <т22 = 2г.ч): а\к? - его? =2т8: к = I + 1;

11 22 — ^' в ? 5

.4 Сї 1Ь / Ч* I™ _£■

Е^ЙИ*)) / 7^-1Г7Т^ + 2Е(Тп(ж(г)) / Ь 1 <*>

п ,.ч Сі в

.1

г=1 ^_1 V ¿=1

(х(<)-е) 4 J ш

-2Рт Ш (^) = Т(^1(1'<ц);<,£^|))(1-^), * = і + 1; (26)

А°22(х(к)) - ВЛкі(х(к)) = Е ^12 (ж(*)) / 777737)^’ & = 1 + 1;

г=1 /г, п V*(*) V

(к) (к- 1) 0 (Л) ; ; .

£ТЛ9У — £7 99 = — 2(791 , к = I + 1.

г = 1 &-1

'22 и 22 — ^и21 ? ^

3. Уравнения, описывающие упругую область (дискретный аналог системы (15)):

7Ъ / 7Ъ / I <т* • _І-

Х>12іХ(г)) I (Х( *_Л<% + 2Х>11 іх(і)) I Ь 1 ^ 1 б?£-

*=1 Єі-1 1 (г) ; І=1 Сі-1

2Р; , , 1пГЖ + а") - 7ГНі)(^)) + "22)(^)))(1-2,)

¿+1 уп+о у 2(1 — 1/) ’ Л — ¿+^, ..,П,

= Е ^12 (ж(*)) / 77^37)^, А- = / + 2.... //.:

»=1 е<_1 1ЖМ ^

Лк2] - =-2(Т2і\ к = 1 + 2,.., п.

(27)

Полная система дискретного деформирования, состоящая из подсистем (25)—(27), содержит 3/7. + 1 линейное уравнение. Неизвестными являются 3/7. обобщенных напряжений и критическая сила Рі+і, обеспечивающая данное напряженное состояние. Решать поставленную задачу предлагается

пошагово, определяя на каждом этапе критическую силу и напряженно-деформированное состояние слоя, соответствующее достижению критерия текучести па I + 1 элементе.

На рис. 3 показана зависимость распределения напряжений, отнесенных к пределу текучести, по элементам при достижении предела текучести на втором элементе (нагрузка Р2). Кривая 1 определяет напряжение сгц, кривая 2 — соответственно (722 при 2та/Е = 3 • 1(Г3. Из приведенной зависимости видно, что напряжения в пластически деформируемом элементе при плоской деформации могут существенно превышать предел текучести, на что указывалось и в работе [11]. Это объясняется существенной величиной гидростатической составляющей напряжения.

1 1 і і к 1 і і і і 1 I 1 I

і т і р і і к 1 Р 1

И* 1 к к 1 1 1 >1 ! ' /і 1

г X V > / 1 -і 1 1 'У ' ! Р/ 1 і У и і .

■ V- I —-- Г -- Т - \ у\— 1 !_

1 к 1 к 1 1 к 1 к 1 1 1 1 1 ' 1 і 1 і 1 і і і і 1

1 3 5 7 9 Пи

Рис. 3. Распределения напряжений при достижении предела текучести на втором элементе

На рис. 4 приведено распределение напряжений сгц, <т22. <?:>>:>> при переходе второго элемента из упругого состояния в пластическое. Кривые 1, 2, 3 определяют сгц, (722? С’ЗЗ СООТВеТСТВвННО.

Из рис. 4 ВИДНО, ЧТО на первом элементе <Т22 > &33, Ч'ГО противоречит выбору условия (19). Следовательно, в данном переходе должно выполняться

равенство: <т22 = 2т8. Это соответствует смене условия (19) на соотношение полной пластичности [6, 10, 11]:

оЛ

022 = 033 = -тн-

где т8 = ¡Зт8 — соответствующий безразмерный предел текучести данного вида плоского состояния.

2

п

Рис. 4. Распределения напряжений при достижении предела текучести на третьем элементе

3. Упругогопластическое деформирование слоя (плоское напряженное состояние). В условиях плоского напряженного состояния в зоне предразрушения из решения упругой задачи имеем <тц > <т22 ^ &зз = 0 (см. рис. 2). Следовательно, критерий текучести Треска (18) для данной схемы нагружения определяется следующим выражением:

Запишем соотношения для приращений девиаторов напряжений в виде:

С учетом плоского напряженного состояния и условия (28) из соотношений (13) и (3) следует:

л л <тц = 2 т8.

где т8 = /Зт8 — безразмерный предел текучести.

(28)

(¿О-'п = ЙСГЦ - 77((¿СП + <1(722 + *>3з),

О

(29)

(¿733 = Лтзз - -(¿Ои + Лх22 + ¿1733).

О

Рассмотрим связь приращений векторов девиаторов напряжений и деформаций [12]:

-»• . -V

. (7 • А £ ,

Аа = ИА£ +(Р-]У)-------------- —а, (31)

<т2

где А' п Р соответствующие функционалы. Рассмотрим случай Р = А', имеем:

Асг = . (32)

Из (32) получим следующее соотношение:

Асг 11 Ас ] ]

Д<Тзз А^зз

(33)

которое справедливо для любого ЛГ, в том числе и для модели идеально упругопластического течения.

Принимая во внимание (30), из (33) получим

(к ц = с^зз- (34)

Таким образом, из (34) приходим к следующему соотношению между

полными и упругими деформациями:

£зз(х) = ец(х) - (£еш - е|3). (35)

В результате система интегро-дифференциальных уравнений (3), (13) и (28), с учетом (12) и (35), становится замкнутой и принимает следующий вид:

/ £ 12(0 + 4 / ¿11 (0 1п - 4Р 1п (й|) =

= ’Г(122|/> (2^» + ^(ж)) + (£| 1 - £|3), (36)

да22 _ ой д.г - 215

Л Л

СГц = 2г8.

Л Л

Для области упругого деформирования слоя, где х > 1р и <тц < 2т8 НДС определяется из системы (15). Основными неизвестными систем (15) и (36) являются компоненты тензора напряжения, а так же длина пластической области при удовлетворении граничному условию (16).

Рассмотрим построение дискретной модели упругопластического деформирования слоя взаимодействия в условиях плоского напряженного состояния.

На первом шаге определим начало пластического деформирования слоя взаимодействия, а именно переход первого элемента слоя взаимодействия из упругого состояния в пластическое при выполнении критерия (28).

Разрешающая система иитегро-дифференциальных уравнений (36) преобразуется к виду

& її = 2 т8; ж = 0;

ь

I ¿1:- 2Р,к) 1п Й! + 2 / аг1(?) 1п

Л

I,

Л

(®-£)

О) т Ь+о

|ж — £|

= §7г(1 - и)(ац(х) + сг22(ж)); ж ^ 0;

л^22 - В(Тц = ж ^ 0;

(37)

да 22 дж

■2^125

Перепишем систему (37) в дискретном виде:

а

(к)

її

2т

в )

к = 1;

г=П —1 Сг + 1 , . г=п — 1 £г + 1

2 Е 4і / Ь^£^-0.5тг(1-2г/)41)+ Е 4г2 /

г=0 & »=О

л-

—0.5тт(1 -

,, ч ї—X /*\ £*+! /і \

В&11 + Е ^12 5 - ^22

г=0

0; 1 к ^ п;

(7

(*)

22

(7

(к-1)

22

-2(7

(*).

21 5

(38)

Решением системы (38), наряду с полем напряжений, будет и величина

Л1

критической нагрузки Р(&), при которой первый элемент переходит в пластическое состояние. Соответствующее распределение напряженного состояния показано на рис. 5 (п = 5000). Кривая 1 определяет распределение напряжений (7ц, кривая 2 — распределение напряжений (722, кривая 3 — распределение напряжений (733.

На втором шаге найдем поле напряжений и величину критической на-

Л2

грузки Р(&), соответствующей переходу второго элемента в пластическое состояние при пластическом деформировании первого.

Система уравнений, описывающая пластическую область:

I ¿12(о +41 ¿а(01п <к - 4К> 1п(Ш)

о

7г( 2т3+а22^ (1-2^)

да22 _ _ дх

Л гчЛ

(7П = 2 т8;

2

2сг 21;

+ (е?1-4з);

р?

(39)

ж < £

р?

Ж < ¿р.

J ,1

1 / 2 1 3 Г !

* 1 5

1 3 5 7 9 п

Рис. 5. Распределения напряжений при достижении предела текучести на первом элементе в случае плоского напряженного состояния

Уравнения, описывающие переход второго элемента из упругого в пластическое состояние:

' ял ост 22

дх

А

<Тц = Ь

- 2^215

Ж

2т

X

/ ¿12 К) - щк) ІП + 2 / ¿п ({) 1п

(40)

\и(1 - 1^)(ац(х) + сг22(ж)); х = {

р?

л

л

£

л

лсг22 - воц = /^12(0й=£у^; ж = 1р-

о

Уравнения, описывающие упругую область:

22

аж

■ 2^215

р?

х,

/ ¿12 (0 - 2Р(Ч Іп ЙІ + 2 / '¿п (() 1п

Л

ь

А

(ж-£)

\х — £|

2?г(1 - ^)(сгц(ж) + сг22(ж)); ж ^ гр,

(41)

Л Л

Ао 22 В& 11

1*12(0

О

(ж-£)

р■

Введем обозначения:

ь

%=п — 1

Е

г=0

а

(0

11

ь

Сг + 1 Сг + 1

I 1п|ж-С|^ - У 1п (£-0^

г=п—1

г=п —1

Е

г=0

(7

п

ж - £

г=0

£

х - С

(0

®М2 >

ж), (42)

(43)

где

ж) = (^' - С») Ь \Хз - Сг| - (Xj - Сг+1) Ь |ж^ - Сг+11 ~(п - &)1п|п - &| + (п - ^+1)1п|п - Сг+11 ,

(^ - &+1)

(44)

Ж

)

1п

Ж? - Сг

Подставив (42), (43) и (45) в (39)—(41), получим соответственно:

г=п— 1 /л (к),-. п ч л2

п+о /

^ г=п—1

Е

7ГТ» (1 - у) + (е?! - е|з); & = 1

\ (*) I и V"4 ^ (0 (г) ( \ 7ГСГ221

Ж)£Т12+4 Е (ж)-------2--------

(*) С*-1)

^22 - ^22

‘2£Т21^ к — 1,

(7

(*)

11

2г.ч: к = 1,

Д*0 „(*-1)

^22 а22

-2 4?; А- = 2.

(7

(*)

11

Л

2 г; к = 2,

А‘

I — ^ 1 / • \ / 1 \

2 Е ст^ <£>(*) (ж) — 0.57г(1 — +

г=0

I ^ 1 / • \ / 1 \

_|_ ^ „!,(%) (гг,\Л1) _ П К^(Л _

г=0

5^1? + Е ^(г)(ж)сгй - Асг{22 =0; к = 2,

ж

)<7}*2; - 0.5тг(1 - г/)42 - 2Р(Й) 1п =0; /г = 2

г=0

г _(*) _

^22 ^22 i=n — l

-2(7

(*).

2 Е ° 11 ^^{х) — 0.57г(1 — г/)сг^ +

г=0

£--1 , .4 / I \

г(0 П К.г/1

к = 3,..., п,

Лк)

А"

+ £ ^(0(*К2 - 0-5тг(1 - - 2Р(к) 1п ^ = 0; к = 3

г=0

.(*)

П,

г=п—1

МГ+ Е

г=0

.(0

м

х)а12 = 0) к = 3,..., п.

На рис. 6 представлено распределение поля напряжений на первых 11 элементах (п = 5000). Кривая 1 соответствует распределению напряжений сгц, кривая 2 описывает распределение напряжений а22.

13 5 7 9 и

Рис. 6. Распределения напряжений при достижении предела текучести на втором элементе в случае плоского напряженного состояния

Из графика видно, что на первом элементе <тц < (722- Таким образом, при переходе от первого шага ко второму напряжение <Т22, в рамках критерия

(28), меняется от 0.2т.ч до 22т8. Следовательно, в данном переходе должно

выполняться равенство: а22 = 2г.ч. Это соответствует смене условия (28) на соотношение полной пластичности [6, 10, 11]:

°и = сг22 = 2 т8, (45)

где т8 = /Зт8 — соответствующий безразмерный предел текучести данного вида плоского состояния.

С учетом уравнения равновесия (3) из (45) получаем, что по границе со

слоем в пластической области касательные напряжения равны нулю: <т12 = = 0. И, следовательно, для области пластического течения слоя имеем

!Л гчЛ

сгц = 2 т8;

¿22 = 2т8; (46)

¿12 = 0.

В упругой области, где х > 1р и ац < 2 т н. к системе (46) добавляется

система (15). Основными неизвестными систем (46) и (15), как и в случае плоского деформированного состояния, являются компоненты тензора напряжения, а также длина пластической области.

При определении напряженного состояния слоя по выражениям (8)—(10) могут быть найдены соответствующие упругие деформации слоя. В пластической области, в силу однородности напряженного состояния (46), деформации будут постоянны по всей длине пластической зоны и равны деформациям на момент перехода из упругого состояния слоя в пластическое.

Дискретная модель будет состоять из трех подсистем.

1. Уравнения, описывающие пластическую область (дискретный аналог системы (46)):

2. Уравнения, описывающие переход 1 + 1 элемента из упругого состояния в пластическое (дискретный аналог системы (15) и условие достижения на

3. Уравнения, описывающие упругую область (дискретный аналог системы (15)):

элементе напряжением <тц предела текучести):

А°22(х(к)) - Ва11(х(к)) = Е ^12 (ж(*)) I (х к = 1 + 2,..,п;

*=1

£.4^1

Рис. 7 отображает распределение напряжений, отнесенных к пределу текучести, по элементам при переходе третьего элемента в пластическое состояние (нагрузка Р:>,) для плоского напряженного состояния. Кривая 1 определяет напряжение <тц, кривая 2 соответственно а22 при 2т8/Е = 3 • 10-3.

1 1 1 _ * 1 |_ .1 Г і 1_ 1 к...........и

1 *4 ■ Iі 'Ч 4 ™ -■

1 3 5 7 9

Рис. 7. Распределения напряжений при переходе третьего элемента в пластическое состояние

На рис. 8 показана зависимость длины пластической зоны от приложенной нагрузки. График 1 соответствует плоскому напряженному состоянию, график 2 построен для состояния плоской деформации. Сила Р\ определяет достижение критерия текучести на первом элементе.

1 1 1 _ * 1 1_ л Г і 1 к...........и

1 *4 ■ Iі 'Н 4 "■ ™ -■

1 3 5 7 9

Рис. 8. Зависимость длины пластической зоны

от приложенной нагрузки

В заключение сформулируем выводы по работе.

1. Модель трещиноподобного дефекта в виде физического разреза позволила описать развитие зоны предразрушения в пределах слоя конечной толщины в рамках упругопластической модели. В этом случае, напряженное состояние слоя, а также длина его пластической области получается из решения соответствующих краевых задач, которые показали существенную разницу напряженного состояния и длины пластической зоны от вида плоской задачи.

2. Учет напряжений, действующих ортогонально отрыву (в данной работе (J22) в слое конечной толщины, определил принципиальное различие в характере пластического течения. В состоянии плоского деформирования при упругом нагружении <тц > <тзз ^ (J22- Переход в пластическое деформирование по максимальному касательному напряжению определяется равенством: а ix — (7 22 = 2Ts, что при решении приводит к превышению напряжений в окрестности вершины разреза над пределом текучести. Для плоского напряженного СОСТОЯНИЯ при упругом деформировании (Тц > <Т22 (Т.ЗЗ = 0. Критерий Треска запишется в виде: <тц = 2т8. В этом случае напряжения в зоне пластического течения не превосходят предел текучести. Если толщину слоя считать нулевой, что соответствует модельному представлению трещиноподобного дефекта в виде математического разреза, то при упругом деформировании из асимптотических представлений линейной теории упругости получим: <Тц = а22 как при плоском деформировании, так и в плоском напряженном состоянии. Это предполагает один и тот же механизм пластического течения, реализуемый для плоского напряженного состояния.

3. С использованием соотношений теории течения и поставлена и решена связная упругопластическая задача о развитии тонкой пластической зоны в окрестности трещиноподобного дефекта для плоского деформирования и случая плоского напряженного состояния.

Библиографический список

1. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits / D.S. Dugdale // J. Mech. and Phys. Solids. - I960. - V. 8. - № 2. - P. 100-108.

2. Леонов М.Я. Развитие мельчайших трещин в твердом теле / М.Я. Леонов, В.В. 11а-насюк // Прикладная механика. — 1959. — Т. 5. — № 4. — С. 391-401.

3. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения /Г.П. Черепанов. — М.: Наука,

1974. — 640 с.

4. Irvin G.R. Linear fracture mechanics, fracture transition, and fracture con-

trol /G.R.Irvin // Engn. Fracture Mechanics. — 1968. — V. 1. — P. 241-257.

5. Глаголев В. В. Определение термомеханических характеристик процесса разделения / В.В. Глаголев, A.A. Маркин // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2007. — № б. - С. 101-112.

6. Аннин Б.Д. Двумерные подмодели идеальной пластичности при условии полной пластичности / Б.Д. Аннин //В кн.: Проблемы механики. Сб. статей. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003. - С. 94-99.

7. Лурье А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. — М.: Наука, 1970.

8. Крауч С. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер. с. англ. /

С. Крауч, А. Старфилд - М.: Мир, 1987.

9. Новожилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности / В.В. Новодилов // ПММ. — 1969. — № 2. — С. 212-222.

10. Ииллинский А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

11. Ивлев Д.Д. О выводе соотношений, определяющих пластическое течение при условии полной пластичности / Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. — 1959. — № 3. — С. 137.

12. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды / A.A. Ильюшин. — М.: Изд-во МГУ, 1990.

Поступило 06.06.2008