CC BY
35
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 71-89
Механика
УДК 539.375
Об одной модели трещины
*
в теле конечных размеров *
В. В. Глаголев
Аннотация. Рассматривается задача о распределении характеристик напряженно-деформированного состояния в теле, произвольно нагруженном по внешней поверхности и ослабленном физическим разрезом толщиной д0. Предполагается, что параметр до является минимально возможным размером допускающим использование гипотезы сплошности. Путем продолжения физического разреза тело разделяется на две части, взаимодействие между которыми осуществляется посредством контакта с д-слоем.
Ввиду неизменности средних напряжений и деформаций по толщине слоя задача сводится к системе вариационных уравнений относительно полей перемещений в сопряженных телах. Полученное решение можно использовать для обработки экспериментальных данных с целью установления величины масштаба сплошности до.
По известным механическим характеристикам проведена оценка введенного параметра структуры для силикатного стекла.
Ключевые слова: трещина, физический разрез, характерный размер.
Введение. Расчеты на прочность деталей, элементов конструкций с различного рода концентраторами напряжений в рамках классических представлений механики сплошной среды (МСС), как правило, приводят к нереальным с точки зрения прочностных характеристик значениям напряжений в окрестности особых точек. Причины этого — применимость гипотезы сплошности, а также бесструктурность материала. Естественно, пока радиус кривизны выреза достаточно велик по сравнению с кристаллами вещества он не оказывает влияния на распределение напряжений, но если кривизна соизмерима с размерами кристалла, то здесь очевидно возникают вопросы о корректности применимости классической теории упругости. В работах [1-4] для снятия соответствующих противоречий задается соответствующий линейный размер, связанный со структурой среды. Так в [1] для расчета концентрации напряжений в остроугольных
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-08-00134, 13-01-97501-р_центр_а).
выточках вводится частица с усредненным напряженным состоянием. Соответствующие напряжения получаются через осреднение решения линейной теории упругости по поверхности частицы.
Отметим, что трещина в твердом теле естественным образом формирует концентратор напряжения и в этом случае учет структуры среды позволяет исключить некоторые противоречия в модельных представлениях, связанные с сингулярностью поля напряжений в особых точках. Однако в этом случае возникает вопрос, как определить средние характеристики на введенных структурных элементах. Здесь можно выделить два принципиальных подхода. В первом [1-3] используются сингулярные решения теории упругости, и на их основе проводится усреднение по введенному характерному элементу. Во втором [4, 5] элементу структуры приписывают свойство однородности напряженно-деформированного состояния (НДС) в определенном направлении (например, ортогонально предполагаемому направлению разрушения) и решается связанная задача [5] по определению НДС как в структурном элементе, так и в смежной с ним среде, где предполагаются справедливыми классические решения МСС. Так в работе [4] на траектории развития трещины выделяется слой с характерной толщиной до с предположением однородности деформаций по его толщине. Однако оценок параметра до и постановок соответствующих задач в [4] не приведено.
В работах [5, 6] для расчета поврежденных тел была предложена модель, в которой трещина рассматривается в виде физического разреза толщиной до. Кроме того в модель включен и материальный слой на продолжении разреза. Отметим, что соответствующий слой в общем случае не есть траектория продвижения трещины, а используется подобно частице в монографии [1] в качестве параметра, отвечающего за структуру материала. Граница со слоем не претерпевает изгибов, и смежный со слоем материал можно рассматривать в рамках классических представлений МСС, используя в качестве граничных условий напряжения по границе слоя. Напряженное состояние слоя описывается средними и граничными напряжениями, связанными условиями равновесия [6]. Определяющие соотношения в пределах слоя рассматриваются для средних напряжений и деформаций. В статьях [5, 6] были рассмотрены модельные решения для бесконечной линейно упругой среды вне материала слоя, где справедливы соответствующие фундаментальные решения. В данной статье предлагается общая постановка задачи деформирования поврежденного тела конечных размеров.
1. Постановка задачи. Рассмотрим нагружение тела конечных размеров с физическим разрезом длиной а и толщиной до согласно схеме рис. 1. Ось абсцисс декартовой прямоугольной координатной системы свяжем с направлением разреза, а начало отсчета с его серединой. Следуя модельному представлению [6] в рассмотрение вводим материальный слой, лежащий на продолжении физического разреза. На рис. 1 соответствующие
области помечены номерами 3 и 4. Считаем, что на части поверхности тела действует распределенная внешняя нагрузка Р1, Р2, Р3, Р4, а на торцы физического разреза Q1, О2, ф3, ф4.
X
Рис. 1. Схема нагружения
Воспользуемся следующими обозначениями для напряжений на границах слоя: 0+ (х^ = о21 (х\,д0/2), о— (х^ = о21 (х\, —д0/2),
°22 (х1) = О22 (х1,д0/2), О-2 (х1) = о22 (х1, —д0/2). Принимаем, что векторы напряжений на сопряженных границах слоя равны и противоположны векторам напряжений сопряженных границ тела:
(ь)± _ ± (ь)±__ ± ,ЛЛ
О21 = О21, О22 = О22' (1)
Имеет место жесткое сцепление между границами:
и(ь)± = и± (2)
и непрерывность функции перемещения по границе слоя. Индекс «Ь» отнесен к областям тела смежным со слоем.
Средние напряжения, деформации и перемещения в слое определяем через их граничные значения следующим образом:
^ 42
021 (х1) = д“ У О21 (х1,х2) <1х2, (3)
-д0/2
до/2
022 (х1) = д0 У О22 (х1,х2) <1х2, (4)
-до/2
42
СТ11 (Жі) = ^0 У (Х1,Х2) ^Ж2, (5)
-до/2
_22 (Ж1)= / 4(Ж0 ~ и-(ж1) ) , (6)
-11 (Ж1)=».5 (Ц + Ш , (7
ди2 (ж1) = 0 5 / д^І + ди-Л
дж1 V дж1 дж1 ) ’
ди+ . ди . "1
ди1(ж1) (ж1) — и-(ж1)
(8)
(9)
дх2 до
и1 (х1) = 0.5 (и+ (х1) + и- (х^) , (10)
«2 (х1) = 0.5 (и+ (х1) + и- (х^) . (11)
Из выражений (8) и (9) приходим к представлению средней сдвиговой
деформации вдоль слоя:
+ (х1) — и- (х1) + 0 ди+ + ди-
-21 (Ж1) = 0.5 ( дИ2 + ^ =0.^ (Ж1) — и1 (Ж1) + о.5 (
\ дЖ1 дЖ2 / \ до \ дЖ1
дх1
(12)
Рассмотрим условие равновесия тела, используя принцип возможных перемещений:
д'А(е) + д'4° + д'4° + д/А|^) + д'А^ = 0, (13)
(г) X' Л (г) X' Л (г)
где д'А(е) — работа внешних поверхностных нагрузок; д'А , д'А, , д'А
^0
4
— работа внутренних напряжений в соответствующих областях тела.
д'А(е) = Н / Р3 ■ дЫ/ + / Р4 ■ дЫ/ + / Р1 ■ дЫ/ + / Р2 ■ дЫ/+ \ББ’ Р’Р КМ №М’
+ / ф3 ■ дй^х2 — / ф4 ■ дй^х2 + / ф1 ■ ди^х1 — / ф2 ■ ди^хП ,
В’В АА’ ВА А’В’ /
_ (14)
где и — вектор средних перемещений на торце разреза; Н — толщина тела в направлении, ортогональном плоскости Х1ОХ2.
С учетом формул (10), (11) выражение (14) запишем в виде:
д'А(е) = Н( ’ Р3 ■ дЫ/ + ’ Р4 ■ дЫ/ + ’ Р1 ■ дЫ/ + ’ Р2 ■ дЫ/+ ББ’ Р’Р КМ №М’
+0.5 / ф1ди+(В)^х2 + 0.5 / ф1ди: (В’)^х2 + 0.5 / ф:]ди+(В)^х2+ В’в В’В в’В
+0.5 ’ ф:]ди-(В’)^х2 — 0.5 ’ ф4ди+(А)^х2 — 0.5 ’ ф4ди-(А’)^х2— В’В АА’ АА’
—0.5 ’ ^4ди+(А)^х2 — 0.5 ’ ф|ди-(А’)^х2+
АА’ АА’ - -
+ / ф1ди+^х1 + / ф2ди+^х1 — / ф2ди1 ^х1 — / ф2ди2^х1).
ВА ВА А'В' А'В'
(15)
Рассмотрим работу внутренних напряжений в области 3:
д'А^ = —нJ о ■ -дё^ = —Нд0J о ■ •дё^х1, (16)
®з БВ
где о, ё — тензоры средних напряжений и деформаций слоя; £3 — площадь слоя ВБ'БВ'
Используя выражения (6), (7), (12) и симметрию тензора средних напряжений и деформаций (о21 = о12, ё21 = ё12) представим работу (16) в виде
д'А3г) = —Нд0j о ■ •де^х1 = — Нд0(у 0р ди-^х1 — у 00. ди2 ^х1+
БВ БВ Б ’В’
+ 021 ди-^х1 — 021 ди-^х1 + 0.5 о11 0 1 ^х1 +
У до 1 7 до 1 у дх1
БВ Б’В’ БВ -
+0.5 ’ Он ^х1 + 0.5 [ 021дди2-^х1 +0.5 [ 021дди-^1) =
Б’В’ У дх1 У дх1
БВ _ Б_В - _ Б’В’ _ -
= — Н( / о22ди-^х1 — / о22ди-^х1 + / о21ди-^х1 — / о21ди-^х1+ БВ Б’В’ БВ Б’В’
+до(0.5 [ оцдди-йх1 +0.5 [ оцдди-йх1 +0.5 [ о21дди2^х1+
У дх1 У дх1 У дх1
БВ Б’В’ БВ
„ _ [ _ дди-
+0.5 / о21 дх2 ^1).
Б'В' 1
(17)
Аналогичным образом получаем работу внутренних напряжений в области 4:
(18)
д'= —Н( / о22ди-^х1 — / о22ди2 ^х1 + / о21 ди-^х1 —
АР А’Р’ АР
/С дди- С дди
о21ди-^х1 + д0 (0.5 о11 0 1 ^х1 +0.5 о11 0 1 ^х1 +
1 .] дх1 .] дх1
А ’ Р ’ АР - А’Р’
+0.5 [ о21 ^ йх1 + 0.5 [ о21 ^х1).
.] дх1 ,] дх1
АР А Р
Из системы (13)-(18) получаем:
/ о ■-де^ +/ о ■-де^ + / о22ди-^х1 — / о22ди-^х1 + / о21ди-^х1 — ®1 ^ БВ Б ’ В ’ БВ
/С дди- С дди
о21ди-^х1 + д0 (0.5 о11 0 1 ^х1 +0.5 о11 0 1 ^х1 +
1 .] дх1 .] дх1
Б ’В’ БВ - Б ’ В ’
+0.5 [ о21 ^ Йх1 + 0.5 [ о21 ^ Йх1) +
.] дх1 .] дх1
БВ Б ’В ’
+ /о22ди-^х1 — J о22ди-^х1 + / о21ди-^х1 — J о21 ди-^х1+
АР А ’Р ’ АР 2 А ’ Р’
+до(0.5 [ оц дди1 ^х1 +0.5 [ оц дди1 ^х1 + 0.5 [ о21 Йх1 +
.] дх1 ,] дх1 ,] дх1
АР _ А ’Р ’ АР
+0.5 ’ о21 дЩт ^1) = ’ Р3 ■ д«ш + ’ Р4 ■ д«Ш + ’ Р1 ■ дЫ/+
А ’ Р’ 1 ББ ’ Р’ Р КМ
+ / Р2 ■ диШ + 0.5 / ф3ди-(В)^х2 + 0.5 / ф3ди-(В’ )^х2+
N ’ М’ В ’ В В ’В
+0.5 / ф:]ди-(В)^х2 + +0.5 / ф2ди2 (В’ )^х2 — 0.5 / 0[ди-(А)^х2—
В’ В В’ В А’ А
—0.5 / ф4ди-(А’ )^х2 — 0.5 / ди-(А)^х2 — 0.5 / ф4ди-(А’ )^х2+
АА ’ АА ’ _ АА ’ 2
+ / ф1ди-^х1 + / ф2ди-^х1 — / ^д^ ^х1 — / ф2ди2^х1.
ВА ВА А В А В
3 (19)
Представим работу распределенной внешней нагрузки Р3 следующим образом:
У Р3 ■ диШ = J Р>13дй1^/ + У Р|дй2^/.
ББ ББ ББ
С учетом (10), (11) из последнего равенства получим:
/ Р3 ■ диШ = 0.5 / Р13ди-(Б)^г + 0.5 / Р3ди-(Б’ )^+
Б Б ’ ББ ’ ББ (20)
+0.5 / Р23ди-(Б)^ + 0.5 / Р23ди-(Б ’)Ш. (20)
ББ ББ
По аналогии с (20) работу распределенной внешней нагрузки Р4 представим в следующем виде:
’ Р4 ■ диШ = 0.5 ’ Р-4ди-(Р)Ш + 0.5 ’ Р4ди-(Р’ )^+
Р Р ’ Р Р ’ Р Р (21)
+0.5 / Р24ди-(Р)^ + 0.5 / Р24ди-(Р ’)^. (21)
Р Р Р Р
С учетом (20) и (21) выражение (19) распадается на два вариационных уравнения равновесия. Для тела 1:
У о ■ -де^ + J о22ди-^х1 + У о21ди-^х1 + до(0.5 У о11 -д-—1- ^х1 +
51 БВ БВ БВ
/дди- [ [
о21 д 2 ^х1) + о22ди-^х1 + о21ди-^х1 +
БВ АР АР
/дди- /* дди- /*
о11 д 1 ^х1 +0.5 о21 д 2 ^х1) = 0.5 Р^ди^Б^^
’ АР 1 ’ АР 1 ’ ББ
+0.5 / Р23ди-(Б)^ + 0.5 / Р-4ди-(Р)Ш + 0.5 / Р24ди-(Р)Ш+
’ ББ ’ Р Р ’ Р Р
+ / Р1 ■ ди^/ + 0.5 / ф1ди-(В)^х2 + 0.5 / ф3ди-(В)^х2 —
КМ В ’ В В ’В
—0.5 / 0[ди-(А)^х2-----0.5 / ф4ди-(А)^х2 + / ф1ди-^х1 +
’ АА - АА ВА
+ / ф2ди-^х1,
ВА
(22)
и тела 2:
У о ■ -де^ — У о22ди2 ^х1 — У о21ди1 ^х1 + +до(0.5 У о11 -т|—1 ^х1 +
52 Б ’В ’ Б ’ В ’ Б ’ В ’
/дди— /* /*
о21 д 2 ^х1) — о22ди-^х1 — о21ди-^х1 +
Б В 1 А Р А Р
/дди- Г дди- С
о11 д 1 ^х1 + 0.5 о21 д 2 ^х1) = 0.5 Р^ди-(Б’ )Ш+
’ А Р 1 ’ А Р 1 ’ ББ
+0.5 / Р23ди-(Б’ )Ш + 0.5 / Р4ди-(Р ’)^ + 0.5 / Р24ди-(Р’)Ш+
ББ Р Р Р Р
+ / Р2 ■ диШ + 0.5 / ф3ди1 (В’ )^х2 + 0.5 / ф3ди2 (В’ )^х2 —
N ’ М’ В ’В В ’В
—0.5 / ф1ди-(А’ )^х2 — 0.5 / ф^ди-(А’ )^х2— (23)
’ АА 2 - ’ 2 А-А (23)
— / ф2ди1 ^х1 — / ф2ди2^х1.
А В А В
Для материала слоя представим связь между средними напряжениями и деформациями в виде закона Гука для случая плоского деформирования:
о11 = Аец — Ве22, (24)
о22 = Аё22 — Вё11, (25)
о 12 = Се12, (26) где А = (1^()1(1^)2^) , В = (1—^1-2^) , С = 2(1—) , Е — модуль Юнга, ^ —
коэффициент Пуассона.
Соотношения (24)-(26) с учетом выражений (6), (7), (12) подставим в (22):
/ о ■ -де^ + А ( ^ 2 ——— ди-^х1 — 0.5В I ( + тг1 ) ди-^х1 +
.] .] до 2 У V дх1 дх1 ' 2
51 БВ БВ
-ди-^х1 — 0.5В [ (дU4- + ^^ ди-^х1 2 .] \ дх1 дх1 / 2
_ БВ
+0.5С / ^—1 — и1 ^ ди—^1 + 0.25С / Г^и- + |иЛ ди—^1 +
У до 1 У V дх1 дх^ 1
БВ БВ
г ,п п. < [ (ди+ ди- \ дди— [ (и- — и2 ) дди-
до(0.25А / —1 + тгХ НГ^^х1 — 0.5В / У 2 2 7 ^1 +
У \ дх1 дх1 у дх1 У до дх1
БВ _ БВ
+0.25С / ^и1 — и1 ^ ди—^х! + 0.125С / Г 1—- + ди—^1) +
У до 1 У V дх1 дх1 / 1
+А / (-2 — -2) ди—<йх. — 0.5В / (М- + д--) ди—<йх1 +
У до 2 у V дх1 дх^ 2
АР _ АР
+0.5С / ^—1 — —1 ^ ди—йх1 + 0.25С / + д—^1 ди—йх1 +
У до 1 У V дх1 дх^ 1
АР АР
г ,п п. < [ (ди— ди- \ дди— С (и- — и-) дди—
до(0.25А / —1 + —X —йх1 — 0.5В / У 2 27 —^^х1 +
У \ дх1 дх1 / дх1 у до дх1
АР АР
+0.25С / ^ди—^®1 + 0.125С / ( —1 + —^ ди—й^) =
У до 1 У V дх1 дх1 / 1
’АР ’ АР ’
= 0.5 / Р3ди—(Б)й + 0.5 / Р23ди—(Б)Ш + 0.5 / Р4ди—(Р)й/+
Б’ Б ’ ББ ’ Р Р
+0.5 / Р24ди— (Р)й/ + / Р1 ■ дий + 0.5 / д3ди—(В)^х2+ (27)
Р’Р КМ В ’В
+0.5 / ф2д-—(В)^х2 — 0.5 / 0[ди—(А)^х2—
В’В ’ АА ’
—0.5 / ф2ди— (А)^х2 + / ^ди-^х1 + / ф2ди—^х1.
АА ВА ВА
Сгруппируем слагаемые в выражении (27) по отношению к до:
1 '' "и- — и-) ди—^х1 + 0.5С I (и— — и1
У о ■ -де^ + д~ (А/ (и— — и2 ) ди—^х1 + 0.5^ У (и— — и: ) ди—^х1 +
51 БВ БВ
+А I (и— — и-) ди—^х1 + 0.5С У (и— — и-) ди—^х1) +
АР _ АР 2
+0.5В Г ( ди+ + д--) ди+йх1 + 0.25с/ Сд-2 + д-1) ди+*,+
У \ дх1 дх1 у -/V дх1 дх1 у
БВ 2 БВ 2
+0.5В / (I-- + д--) ди—йх + 0.250 /’ (д-2 + д-1) ди—йх1 —
У \ дх1 дх1 / У V дх1 дх1 /
А)Р + ) АР
х— — --) 1 ^х1 + 0.25С (и- — и-
/дди— /*
(и— — и-) д 1 йх1 + 0.25С (и— — и-) ди—^х1 —
БВ БВ
/дди— /*
(и— — и-) д 1 йх1 + 0.25С I (и— — и-) ди—^х1 +
АР АР
+до(0.25А
ди— ди1
дх1 +
БВ
+0.25А
ди— ди 1 + 1
дх1 / дх1 дди—
дди-
1 ^х1 + 0.125С
ди— д—о
+
БВ
’АР
дх1 дх1 / дх1
ди—
дх1 дх1
ди
ди—^х1+
+
АР
дх1 дх1
ди—^х1) =
= 0.5 / Р^ди—(Б)й + 0.5 / Р23ди—(Б)Ш + 0.5 / Р^ди—(Р)й/+ Б’ Б ’ ББ ’ Р Р
+0.5 / Р2ди—(Р)й/ + / Р1 ■ дий + 0.5 / ф3ди—(В)^х2+
КМ В ’ В
. ,.и ...........................................~)4
'2д и2
АА АА
Р’Р
> / В В
+0.5 / ф2д——(В)^х2 — 0.5 / ^ди-(А)^х2 — 0.5 / ф^ди-(А)^х2+
+ / ф1ди—^х1 + / 0>ди—^х1. ВА ВА
Аналогичным образом запишем соотношение (23):
(28)
У о ■ -де^ — д- (А J (и— — и2 ) ди2 ^х1 + 0.50 J (и— — и: ) д- ^х1+
52
—0.5В
Б’В ’ —0.5В
А Р 0.5В
Б В
-
+А У (и— — и2 ) ди2 ^х1 + 0.5С У (и— — и : ) ди : ^х1) —
Б В
-
А’Р ’
ди— ди
+
дх1 дх1
ди— ди-
дх1 дх1
— _) дди^
А Р
ди-^х1 — 0.25С
ди2—
+
ди-
Б’В ’
ии
Б’В ’
дх1
— - ) дди1-
ди2 ^х1 — 0.25С
А Р’
^ +0.25С / Б’В ’
дх1 дх1
ди-
ди2—
+
дх1 дх1
д- ^х1 — ди-^х1—
(и— — и ) ди^ йх1 —
—0.5В (и— — и2 ) 1 ^х1 + 0.25С (и— — и: ) ди: ^х1 +
А Р
+до(0.25А
ди—
+
ди-
дх1
дди
А Р
Б В
дх1 дх1 / дх1
' ди+
^ ^®1 + 0.125С
ди2—
+
ди-
дх1 дх1
д- ^х1 +
Б ’ В ’
+0.25А / + *0 йх1 + 0.125С / + £0 ди-йх1)
А’Р ’ А Р ’
= 0.5 / Р13ди-(Б ’)й + 0.5 / Ради-(Б ’)й + 0.5 / Р14ди-(Р’ )^+ ББ ’ Б’ Б ’ Р Р
+0.5 / Р^ди-(Р’ )й + / Р2 ■ дий + 0.5 / ф3ди-(В’ )^х2+
Р’ Р К ’ М ’ В ’В
1
+0.5 / ф2ди2 (В’ )^х2 — 0.5 / ф1ди1 (А’ )^х2 —
В ’В АА ’ (29)
—0.5 / ф4ди2 (А’ )^х2 — / ф2ди I ^х1 — / ф2ди2йх1. ( )
АА А В А В
Оставаясь в рамках закона Гука, совместное решение уравнений (28) и (29) (например, методом конечного элемента) даст распределение поля перемещений в телах 1 и 2, в том числе и по границам со слоем.
Удельная возможная работа напряжений в телах 1 и 2, расположенных вне слоя, определяемая в соответствии с законом Гука (24)—(26) через поле перемещений в виде
, / „ д-1 0д-2, д-1 д-2 д-1 д-2
о' де = (Адх1 — Вах21 ^ + (Адх2 — В&1 > ддх2+
,д-1 д-2Л„, 0-1 д-2 Л
+0-5°(+ лГ >д( + лГ >■
Система вариационных уравнений (28), (29) с учетом последнего
выражения позволяет определить поле перемещений в телах (1) и (2) в том числе и вдоль границ слоя. Наиболее естественным для решения данной задачи представляется метод конечных элементов.
Рассмотрим другой подход к выводу соотношений (22), (23). Следуя работе [6], представим средние напряжения (3), (4) в виде
721 (хі) = 1721 + а'21 , (30)
722 (хі) = . (31)
Рассмотрим условия равновесия тел 3, 4 в дифференциальной форме в
проекции на ось х1:
^+др=о (32)
дхі дХ2
и ось х2:
д721 д722
іг1 + 1Г2 = 0- (33)
дхі дх2
Проинтегрируем уравнения (32) и (33) по толщине слоя, в результате
получим:
д711 (х1) -, . 2 ( \ (г,Л\
----------- = 712 (х1) - 712 (х1) і (34)
дх1
(х,\
= 72~2(х) - 722(х)- (35)
д721 (Х1)
дх1 = °22 (Л) "22
С учетом (32), (33) из соотношений (34), (35) и симметрии тензора Коши выразим граничные со слоем напряжения для тела 1:
— ( \ - ( \ д0до11 (х1) (г,а\
о12(х1) = о12 (х1)------------2дх— > (36)
— / \ - ! \ додо 12 (х1) , ,
о22(х1) = о22 (х1)----------2дх-------------------------------. (37)
Запишем условие равновесия тела 1, используя принцип возможных перемещений:
д'А^ + д'А^ = 0, (38)
где
д'А(е) = Л,( § Р1 ■ ди^/ — § о-2ди—^х1 — § о+1ди—^х1 — / о-^ди—^х1 —
КМ БВ БВ АР
— / о-1ди—^х1 + / ф1 ди—^х1 + / ф2ди—^х1).
АР ВА ВА
(39)
Запишем выражение (39) с учетом (36), (37):
д'А(е) = Ь( J Р1 ■ д-Ш — J о22ди—^х1 + ^0 У до1д2 ^х1) ди—^х1 —
КМ БВ БВ
— У о12ди—^х1 + ^0 У дод ^х1) ди—^х1 — У о22ди—^х1+
БВ _ БВ АР (40)
+у 0о|2 ^х1) ди—^х1 — У о12ди—^х1 +
АР _ АР
+ ^0 у д°П ^х1) ди—^х + У ^ди-^х1 + у ^ди-^х1).
АР ВА ВА
Преобразуем слагаемые, содержащие производную от среднего напряжения,
Г Э^2 (х.) ди—4Т1 = ( в ^ди-'№1 — [ о12 *1 =
У дх 1 J дх 1 J дх 1
БВ ’ БВ ( ) БВ (41) _ — т=В Г д (ди—) (41)
= о12ди— 1ж1=Б — / о12 дх1 ^х1.
БВ
С учетом того, что нормаль к поверхности ББ’ есть вектор —Є1, а к поверхности РТ в1, средние напряжения на соответствующих торцах через компоненты вектора внешней нагрузки определяются следующим образом:
712|жхєББ’ = — -0 У Р23^, (42)
ББ’
711|хієББ’ = — ^ ! р3^> (43)
ББ'
712= -0 У Р24^1, (44)
ББ'
1 / Р4,
Е’Е
1 Г ^
711 кєРТ = ^ Р1Й1- (45)
1х1ег г д0 ,
Р'Р
Для торцов физического разреза с учетом постоянства внешнего давления запишем:
1 ^
712|хієББ’ = I $2^, (46)
ВВ’
711|хієББ’ = ^0 У (47)
ББ'
712ІхієЛ’Л = — -0 У ^2^’ (48)
Л’Л
711ІхієЛ’Л = — ^0 У (49)
Л'Л
Из (42), (46) равенство (41) представим в виде:
У = 712^и— 1жі=Б — У 712 ^1x1^ Йх1 =
ББ ББ
= ^0 У <32-4(Б)Ш + -- У Р23-и+(Б)Ш — I аи ^Х1.
ББ’ ББ’ ББ
(50)
Для остальных слагаемых (40) содержащих производную от среднего напряжения с учетом (43)—(45) и (47)-(49) имеем:
/ ^ д-—^х1 = о12ди— 1ж1=А — / о12 д дди12 Йх1 =
АР АР
= до у р4ди— (Р)Ш + у д4ди— (А)^ — I о12 ^-ди^
(51)
Р'Р А'А АР
,ди—^
=Б — 011'
[ до 11 (х 1) д —л о д —|Х1=В [ о д(ди—) л —дх----------д-1 ^хх = о иди- |Х1=б — 011 —-х— «х1 =
БВ БВ
= ^ I д?ди— (В)Ш +^ I Р3ди— (Б)^/ — I он д ^ди^ ^хь °о У °о У У дх1
(52)
1
ВВ' ББ' БВ
У дод1х(х1) ди—^х1 = оцди-|Х1=А —У о11 д дхи1 ^ ^ =
АР АР
= ^ I Р^ди— (р)^/ + ^ I д4ди— (А)^/ — I оц д ^ди^ ^хь °о У °о У У дх1
Р'Р А'А АР
Принимая во внимание (50)-(53) и выражение (40), запишем (38):
Г Г , С _ — д0 Г д (ди—)
о ■-де^ = Р ■ д-Ш — о22ди—^х1--------------------о12—------------^х1 —
У У У 2 2 у дх1
51 КМ БВ БВ
/" — — д0 / _ д(ди—) /■ _ —
— о12ди—^х1-------о11— ----------- ^х1 — о22ди—^х1 —
У 1 2 У дх1 у 2
БВ БВ АР
д0 /, .д(°и—К д0 /, д(°и+)
(53)
_ - ч^— ) , /■_,+, до [ _ д (ди—)
2 I о 12 дх ®х1 — 0l2дu-Йх1 — 2 о11 дх 1 +
АР АР АР
+0.5 / Р^ди—(Р)Ш + 0.5 / Р24ди—(Р)Ш + 0.5 / Р3ди— (Б)Ш+
Р’Р Р’Р ББ’
+0.5 / Р|ди—(Б)Ш — 0.5 / ^ди-(А)^х2 — 0.5 / О^ди- (А)^х2+
ББ’ АА’ АА’
+0.5 / ф1ди— (В)^х2 + 0.5 / ф2ди—(В)^х2 + / ф1ди—^х1 +
В’В В’В ВА
+ / ^ди-^хь ВА
(54)
Выражения (54) и (22) полностью идентичны. Аналогичным подходом может быть получено и выражение (23).
Основным допущением при выводе соотношений (22) и (23) является предположение, что для работы внутренних напряжений в слое справедливо осредненное представление
Дальнейшее преобразование представления (55) приводит к выражению средних по слою напряжений в виде (3)—(5). При выводе соотношения (54) для средних напряжений вида (3), (4) принимается приближение (30), (31). Как видно из результата допущения (55) и (30), (31) являются эквивалентными для поля перемещений и деформаций вида (6)—(11).
2. Нахождение характерного размера. Основной проблемой предлагаемой постановки является определение величины $о. В качестве варианта нахождения введенного параметра рассмотрим схему нагружения сосредоточенной силой, показанную на рис. 2 для хрупких материалов. В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть половинку тела 1. В этом случае имеют место следующие условия для границ слоя:
С учетом условий (56), (57) вариационное соотношение (28) для правой половины тела 1 запишем в виде:
о22 = 0; о 12 =0 на УБ (условия свободной поверхности) (60)
(Гц = 0; о12 = 0 на РУ (условия свободной поверхности) (61)
Решая систему (58)—(61) при заданном Р и $о можно найти распределение НДС как по телу, ограниченному контуром РУБО, так и по смежному с ним слою.
(55)
5
5
(56)
и2
(57)
5рубо
АР
АР
АР
АР
(58)
при следующих граничных условиях:
и2 = 0; Г12 = 0 на БО (условия симметрии)
(59)
Б Х2 V
О > а А Р
В о
© * \ \ б0 г 0 -О
р' В' о' А' Г
©
> р <
Рис. 2. Схема нагружения сосредоточенной силой
Для установления величины йо можно использовать линейную в упругой области связь между силой Р и характеристиками НДС в локальной области. В качестве таких характеристик можно принять деформацию £22 или напряжение 022 в торцевой зоне АА’, а также перемещения точек приложения сил Р. Пусть в эксперименте найдена локальная жесткость
Р
С _ рех сех — >
ио
где Рех — экспериментально определяемое значение силы, ио — соответствующее перемещение точки О.
Из решения уравнения (58) находим значение указанной локальной жесткости в зависимости от толщины слоя С (йо). Из условия С (йо) _ Сех можно определить йо.
В открытой литературе не удалось найти исходных экспериментальных данных для определения жесткости Сех. Поэтому предлагается косвенный метод определения исходя из известных вязкости разрушения Кю и критического напряжения 022 _ 0СГ.
Известно, что коэффициент интенсивности напряжений для схемы рис. 2 определяется формулой [7]:
К _ р со8(па/(21рр)) (б2)
д/°.51Вр 8ш(па/1^р)'
где 1^р — длина образца.
Таким образом, критическое усилие может быть найдено по формуле:
р _ Кю\/°.51рр 8ш(паУ1рр) (
С _ со8(па/(21вр)) . ( )
Для силикатного стекла Е = 6.7 ■ 1010Па, К/с = 1.7 ■ 107Пау'м [8]. Рассмотрим образец (см. рис. 2) со следующими размерами: = 0.2м,
1ру = 0.1м, а = 0.02м. Из формулы (63) определяем: Рсг = 0.3 ■ 107м. На рис. 3 для найденного критического усилия из решения уравнения
(58), полученного методом конечного элемента, построена зависимость напряжения отрыва в вершине разреза от параметра до. Использовалась квадратичная аппроксимация поля перемещений на элементе, размер элемента в окрестности точки О брался равным до.
20
4 15
4 10 4 м
10 5 0
0 50 100 150 200
2 107Па
Рис. 3. Зависимость структурного параметра до от критического
напряжения
Предел прочности стекла, следуя работе [9], изменяется от 1.5 ■ 107Па для сильно поврежденного стекла до 1500 ■ 107Па для стекла без повреждений. При этом последнее значение близко к нижней границе теоретической прочности стекла, которая варьируется в пределах 1000 ■ 107 ^ 4550 ■ 107Па. Известно, что прочность стекла на растяжение в 15-20 раз меньше прочности на сжатие. В обзоре [9] рассматривалось нагружение изгибом травленного кислотой стеклянного прутка до напряжения 88 ■ 107Па. Далее будем считать, что предел прочности на растяжения бездефектного стекла составляет величину асг = 100 ■ 107Па. В этом случае из рис. 3 получаем параметр структуры до = 2.5 ■ 10-4м. Отметим, что найденная величина соответствует линейному размеру частицы Нейбера, оцененному в работе [1] около половины миллиметра. В статье [10] для хрупких материалов
была получена связь: до = 2 (, которая дает несколько завышенный результат: д0 = 5.8 ■ 10-4м.
3. Заключение. По найденному из экспериментов толщины слоя взаимодействия для конкретных упругих материалов из системы уравнений (28), (29) можно найти распределение характеристик НДС в теле конечных размеров с трещиной в виде физического разреза. Предлагаемая модель позволяет вести расчеты для произвольной внешней нагрузки. В отличие от классического представления трещины в виде математического разреза
рассмотренный подход позволяет избежать сингулярностей напряжений и деформаций в окончании трещины.
Список литературы
1. Нейбер Г. Концентрация напряжений. М.: Гостехиздат, 1947. 204 с.
2. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой прочности // ПММ. 1969. № 2. С. 212-222.
3. Корнев В.М. Распределение напряжений и раскрытие трещин в зоне предразрушения (подход Нейбера-Новожилова) // Физическая мезомеханика. 2004. Т. 7. № 3. С. 53-62.
4. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение. Т. 3. М.: Мир. 1975. С. 67-262.
5. Глаголев В.В., Маркин А.А. О распространении тонких пластических зон в окрестности трещины нормального отрыва // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. № 5. С. 206-217.
6. Глаголев В.В., Маркин А.А. Нахождение предела упругого деформирования в концевой области физического разреза при произвольном нагружении его берегов // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 5. С. 174-183.
7. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
8. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наук. думка, 1968.
9. Филлипс К. Дж. Разрушение стекла // Разрушение. Т. 7. Часть 1. М.: Мир, 1976. С. 20-56.
10. Глаголев В.В., Маркин А.А. Оценка толщины слоя взаимодействия как универсального параметра материала // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2006. № 5. С. 177-186.
Глаголев Вадим Вадимович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
About one model of the crack in a body of finite size
V. V. Glagolev
Abstract. We consider the problem of distributing the stress-strain state characteristics in the body arbitrarily loaded on the outer surface and weakened by a physical cut with a thickness of do. It is assumed that do parameter is the smallest possible size permitting the use of the hypothesis of continuity. The continuation of the physical cut divides the body into two parts interacting with one another by means of a contact with d-layer. Due to constant average stresses and strains over the layer thickness, the problem reduces to the system
of variational equations for the displacement fields in the adjacent bodies. The obtained solution can be used for processing of experimental data in order to establish the continuity scale do. The entered structure parameter for silicate glass is assessed using known mechanical characteristics.
Keywords: crack, physical cut, characteristic size.
Glagolev Vadim ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 04-04-2013
