Общие модели микрополярных упругих тонких пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

С.О. Саркисян

Гюмрийский государственный педaгогический институт (Гюмри, Армения)

ОБЩИЕ МОДЕЛИ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ

ПЛАСТИН

Abstract

In present paper in the field of a thin plate the basic system of the equations and boundary conditions of threedimensional asymmetrical, momental, micropolar static theory of elasticity is exposed to asymptotical analysis. On the basis of qualitative results of initial approximation of asymptotical method there are formulated assumptions (hypothesis) on the basis of which the general models (of the applied two-didimensional theory) are constructed, where all the angular-shift deformations are taken into account. Depending on values of dimensionless physical parameters of micropolar plates, models of plates with independent fields of tranzition and rotations, with the constraint rotation, “with small shift rigidity” are constructed.

В связи с новыми задачами изучения механики микро- и наноструктурных материалов актуально построение общих моделей для тонких стержней, пластин и оболочек на основе микрополярной, несимметричной, моментной теории упругости [1 - 8].

В работах [9-12] на основе асимптотического интегрирования трехмерных (двумерных) уравнений несиметричной теории упругости в трехмерной области тонкой пластинки или оболочки (в двумерной области тонкого прямоугольника) построены прикладные-двумерные теории микрополярных тонких пластин или оболочек (прикладная-одномерная теория микрополярных тонких стержней). Построены микрополярные погранслои, изучены их структура и свойства, и методом сращивания асимптотических разложений получены двумерные граничные условия (одномерные граничные условия) для соответствующих двумерных (одномерных) теорий. Получены также граничные условия для каждой погранслойной задачи. На основе рассмотрения конкретных задач [12] показаны эффекты при использовании микрополярных материалов.

В работах [9-12] показано, что в зависимости от значений безразмерных физическых параметров указанных тонких тел, возможно построение прикладной двумерной теории микрополярных пластин или оболочек (прикладной одномерной теории микрополярных стержней) со свободным вращением; со стесненным вращением и теории «с малой сдвиговой жесткостью».

В данной работе построены общие (т.е. уточненные) математические модели микрополярных пластин со свободным вращением, со стесненным вращением и теории «с малой сдвиговой жесткостью», при которых по сравнению с работой [9] учитываются все угловые-сдвиговые деформации, возникающие при деформировании микрополярных тонких пластин.

1. Постановка задачи. Асимптотический подход

Рассмотрим изотропную пластинку постоянной толщины 2h как трехмерное упругое микрополярное тело. Введем декартову систему координат Ox1 x2x3, совмещая плоскость Ox1x2 со срединной плоскостью пластинки. Будем исходить из основных уравнений пространственной статической задачи линейной несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [13]:

Уравнения равновесия:

а ji ,j = 0 , ^ л ,j + Эк ° jk = о. 0.0

Физические соотношения: ар = (ц + а) • у р + (ц - а) • У] + х • уш • Ъг] ,

/\{\ О-2)

ц], = (у + в> X], + (у-вУХц + р • Xкк • 8] .

Геометрические соотношения:

У] = и],г - экг] 'Шк , X] = ш],/. (1-3)

Здесь а ], ц] - компоненты несимметричных тензоров силового и моментного напряжений; у ^ - компоненты несимметричного тензора деформаций; х у -

компоненты несимметричного тензора изгиба-кручения;

» Еу Е

X = 7---гг----г, ц = —7-г, а, р, у, в - упругие постоянные микрополярного

(1 + у)(1 - 2у) 2(1 + у)

материала; иг - компоненты вектора перемещения; шг - компоненты независимого

вектора поворота в точках тела; эЫ] - символы Леви-Чивиты; индексы г, ] после

запятой означают дифференцирование по координате х г, X] соответственно. Идексы

г, ], к здесь и в дальнейшем принимают значения 1,2,3.

На лицевых плоскостях пластинки х3 = ±h заданы силовые и моментные

граничные условия:

а зг = РГ , ц зг = т7, (14)

где р~ , т~ - компоненты внешних заданных усилий и моментов.

На поверхности края пластинки (Е = Е1 2) заданы граничные условия

смешанного типа:

^ ^ * * а г • п] = рг, ц ц • п] = тг, на Е1 , и = и ¿, ш = шг- на Е 2, (1.5)

где р*, т* - компоненты заданных внешних усилий и моментов; пг - компоненты вектора нормали к поверхности края пластинки; и*, ш * - заданные компоненты

векторов перемещения и независимого поворота.

Решение краевой задачи (1. 1)—(1.5) складывается из суммы решений симметричной и обратно-симетричной по х3 задач. В симметричной задаче

(обобщенное плоское напряженное состояние пластинки) а пп, а пт, а 33, ц п3, ц3п, ип, ш3 -четные по х3 функции, а а п3, а 3п, ц пп, ц пт, ц33, и3, шп - нечетные, в обратносимметричной задаче (изгиб пластинки)- наоборот. Здесь и в дальнейшем индексы п, т принимают значения 1,2, притом п ^ т. В этой работе будем излагать общие теории изгиба микрополярных пластин.

Предполагается, что толщина пластины 2h мала по сравнению с ее характерным размером а в плане, т.е. 2h << а, 8 = Ща << 1; 8 - основной малый параметр задачи.

В основу рассуждений кладем свойство тонкой пластины, выражаемое структурной формулой

(НДС)полн =(НДС)вн + (НДС)кр . (1.6)

В ней под (НДС)полн, (НДС)ВН и (НДС)КР подразумевается полное, внутреннее (охватывающего тело в целом) и краевое (локализованное вблизи поверхности края пластинки) напряженно-деформированное состояние. При таком подходе на результатах исходного приближения внутренней задачи возможно будет построение общей двумерной теории микрополярных пластин. Далее, изучая макрополярный погранслой и задачу сращивания внутренней задачи и погранслоев возможно

получение двумерных граничных условии на граничном контуре срединнои плоскости пластинки.

Для построения внутреннего итерационного процесса переИдем в уравнениях (1.1)—(1.3) к безразмерным координатам:

Х1 х3

£ = Л = -А С = ^ (1.7)

а а а

и к безразмерным величинам:

— = Щ, — = Ор — = Рі| . (18)

а д д

Введем также безразмерные физические параметры:

2 2 2

д а д а д а д

4а’ Р ’ у ’ в

Решение внутренней задачи представим в виде асимптотического разложения

Q = 5-<?^5* ^^, (1.10)

*=0

где * - номер асимптотического приближения, Q - любое из напряжений (силовых и моментных ), перемещений и независимых поворотов, q - натуральное число разное для разных величин, которое определяется из условия непротиворечивой

реккурентной системы уравнений после подстановки разложения (1.10) в

преобразованную при помощи (1.7)-(1.9) систему уравнений (1.1)-(1.3).

В зависимости от порядковых значений безразмерных физических параметров (1.9) рассмотрим три разных случая.

2. Модель микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями

перемещений и вращений

Предположим, что все безразмерные физические параметры микрополярной пластины (1.9) имеют порядок единицы:

222 _а ~1 а_д ~1 а_д ~1 а_д ~1. (2.1)

4д ’ Р У в

В этом случае для q в разложениях (1.10) получим для задачи изгиба

микрополярной пластинки:

q = 1 для а ,а ,д ,д ,д ,и ,ш т,

1 т3 ’ 3т пп тп 33 ’ 3 ’ т

q = 0 для а ,а ,а,,д ,,д, ,и ,®3.

(2.2)

тп 33 т3 3т т

Учитивая (2.1), (1.10) и (2.2), из основных уравнений трехмерной

несиметричной теории упругости (1.1)—(1.3)(с учетом (1.7)—(1.9)) получим систему уравнений в асимптотических приближениях ^, которая легко можно интегрировать по координате С. В исходном (я = 0) асимптотическом приближения получим некоторые качественные результаты, что равносильно принятию определенных предположений (гипотез) для построения прикладной-двумерной теории микрополярных пластин.

Одно из специфических свойств построенного внутреннего итерационного процесса состоит в том, что повороты точек трехмерного тела пластинки, в том числе и для точек срединной плоскости пластинки, независимы от перемещений. Поэтому нижеприведенная двумерная теория названа теорией микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений (или теория микрополярных пластин со свободным вращением).

При построении теории изгиба микрополярных пластин со свободным вращением (т.е. при выполнении условий (2.1)) будем пользоваться предположениями (которые имеют асимптотическое обоснование), суть которых состоит в следующем:

1.Нормальное к срединной плоскости пластинки перемещение u3 и повороты

ш 1, ш 2 не зависят от координаты х3;

2. Моментное напряжение д33 не зависят от координаты х3;

3. Сначала для силовых касательных напряжений а31и а32 примем, что

а 31 = а 31 (х1 Х2 ),

а 32 =а 32 (Х1 х2 ) и определим тангенциальные перемещения u1, u2

силовые напряжения а11, а 22, а12, а 21, а13, а 23 по соответствующим формулам обобщенного закона Гука и моментные напряжения д31, д32 из четвертого и пятого уравнений равновесия. После этого окончательно определим а31, а32, прибавляя к

0 - 0

слагаемые, получаемые, соответственно, интегрированием по x3

а

31

(xl X2 ), а 32 (xl X2 )

первого и второго уравнений равновесия, для которых потребуем условие, что усредненые по толщине пластинки величины равны нулю.

На основе указанных предположений (или на основе исходного (^ = 0) приближения асимптотического метода внутренней задачи) из трехмерной теории приходим к основным двумерным уравнениям микрополярных пластин со свободным вращением.

Уравнения равновесия:

д^3 дЫ.

г-

23

дх1 дх2

N -дМ12

7У32 д-^ц

дх1 дЬ12

-(рГ Г р3 ) N31

дМ 11 дМ.

дх1

21

дх.

-(рГ - р—)

дМ

Г-

дх1

дЬ

22

дх.

= -(

2

+■

дх

дЬ

21 Г Ы23 - Ы32 = -(тГ Г т1 ) 2

(2.3)

22

дх1 дх2

Г N31 — N1? = Г т т Г т

13

(тГ Г т2 ).

Соотношения упругости:

М11 =

М 22 =

Г—л(*11 ГуК22)— —(рГ гр—) М

(1 - у 2 ) 3 1 - у ^

2Е— ( ч -2 у (г -)

I, 2\ (К 22 Г уК11 )-^~л---1Р3 Г р3^

1(1 - у 2 ) 3 1 - у

М21 =

[(д Г а)К12 Г (д - а)К21 - 2аг]

- [(д Г а)К21 Г (д - а)К12 Г 2аг].

Ь11 = 2-

Ь22 = 2—

р

рг 2у 4У(р Г У)

Рг 2у

2(рг 2у)

Р

(т3Г - т—)

к Г ^ к , Р (

рг 2у 22 рг 2у 11 2(рг 2у)

т3Г - т3—

Ь12 = 2—[(у Г в)к12 Г (у - в)к21 1 Ь21 = 2—[(у Г в)к21 Г (у - в)к12 1

N31 = 2—(д Га)

д-а

у 31 Г----у 13

дГа

, N32 = 2—(д Га)

д-а

у32 Г у23

дГа

(2.4)

3

3

)

4иа и-а 4иа и-а

^3 - 2Н У13 + N31, N23 - 2И у23 + ^32.

и + а и + а и + а

Геометрические соотношения:

*12 -

а

(

(хь Х2 ^-^О 2 (х1, Х2 )|, К 22 -

V

дх1 дх1

д

Ґ

УДX1, х2

и + а 2а

дх

и+а

(Х1, Х2 )^-^^01 (Х1, Х2 )

У 2ІХ1, Х2

V

У 2 (хЪ Х2 )-----------01 (хЪ Х2 )|, К21 -ТГ

ч и + а ) дх.

д_( 2

и+а

2а

У1 (Х1, Х2 )+-------------О2 (Х1, Х2 )

ч и + а у

1 і \ Г

г(х1, х2)--------------- (т+ - т-)-Р

кп -

Р + 2у

д01 (х1, х2 ) дх1

д01 (х1, х2 ) дО 2 (х1, х2 )

V

дх1 дх.

к -22

+ 24 ^ ^ , (2.5)

дО 2 (Х1, Х2 ) дО 2 (Х1, Х2 ) ь _ д01 (Х1, Х2 )

к12 -

дх2

ыхьх2/ к -

к 21 _

дх1

дх2

У31 -У1 (хl, Х2 )-02 (хl, Х2 ), У32 -У2 (хl, Х2 )+-01 (хl, Х2 ),

и + а и + а

У13 -^^ + 02 (х„ Х2 ), у 32 -^^-о, (х„ Х2 ).

дх1

дх0

Здесь w(х1, х2 ), 01 (х1, х2 ), О2 (х1, х2 ) соответственно нормальное перемещение (прогиб) и независимые повороты точек срединной плоскости пластинки; ут3,у3т -сдвиговые деформации; N3m, ^3,Мпп,Мтп, Lnn, Lmn - усредненые усилия и моменты в сечениях пластинки:

НИН

N - а йх~, N о - а ^х-, М - а х-,йх~,

3т J 3т^^ 3’ т3 т3^^’ пп ^ пп 3^^3>

-Н

-Н

Н

(2.6)

Мпт - |аптх3dх3 , 4п - nndх3, ^т - пт^.

-Н -Н -Н

Пограничный слой около бокового края пластинки Е при условии (2.1) построен в работе [9], где выявлена структура этого погранслоя и выведены условия его затухания. На основе сращивания асимптотических разложений, при ^ - 0, внутренней и погранслойной задач определяются граничные условия на граничном контуре Асрединной плоскости пластинки для системы двумерных уравнений (2.3)-(2.5) (х1 - 0 считаем одной из границ срединной плоскости пластинки):

Н Н Н

N13 х1 -0 - | р3^3, М11

М

12 Х1 -0

IХ3 Р*^ ^2

|Х3Р¡dхз, L11

Н

х1 -0 - |т* ^3.

Хі-0

- |m*dх3,

-Н

(2.7)

Х1 -0 _ ] ^г^3,

-Н

Н

- I т2

-Н -Н

Таким образом, система двумерных уравнений (2.3)-(2.5) и граничные условия (2.7) определяют общую двумерную модель микрополярных пластин с независимыми полями перемещений и вращений.

Если в уравнения (2.3)-(2.5) подставить все физические константы а, Р, у, в, равные нулю, то получим уточненную теорию типа Тимошенко-Рейсснера в классической постановке [14].

3. Модель микрополярных упругих тонких пластин со стесненным

вращением

Предположим теперь, что безразмерные физические параметры микрополярной пластинки (1.9) имеют значения

2 2 2 а с2 * * л а и 1 а и 1 а д 1

----52а , где а ~ 1, —- ~ 1, —- ~ 1, —-~1. (3.1)

4д Р у в

При значениях (3.1) в разложениях (1.10) для q будем иметь для задачи изгиба микрополярных пластин:

q = -1 для и ,шт,а , а , и , и , и ,

1 3 5 т т3 5 3т 5 Г пп Г нм 5 Г 33 5 (3 2)

q = 0 для и ,ш3, а , а , а , и , и .

т пп тп 33 т3 3т

Главная специфическая особенность построенного внутренного итерационного процесса состоит в том, что повороты точек в трехмерной области пластинки выражаются через перемещения этих же точек. Поэтому теория, которую будем излагать ниже, названа теорией микрополярных упругих тонких пластин со стесненным вращением.

При построении теории микрополярнных пластин со стесненым вращением в основу кладем следующие предположения (которые имеют асимптотическое обоснование):

1. перемещение и3 и повороты ш 1, ш 2 не зависят от координаты х3;

2. повороты ш1,ш2,ш3 выражаются через перемещения и1,и2 и и3 по формулам идентичным формулам классической теории упругости:

1

Ші = — 1 2

ш 2 = -

(ди3 ди1 Л 1 (ди1 ди 2^

Ш3 = -_

дх1 дх3 J 2 ^дк2 дх1

. (3.3)

3. для силовых напряжений а31, а32 и для моментного напряжения д33 сначала

0 0

считаем, что они выражаются формулами а 31 = а31 (х1, х2 ), а 32 = а 32 (х1, х2 ),

0

Д33 =Д33 (х1, х2 ), и из уравнений трехмерной теории определим перемещения и1, п2, поворот ш3, силовые напряжения а11,а22,а12,а21,а13,а23 и моментные напряжения д11, д22, д12, д21, д31, д32, д13, д23. После определения этих величин силовые напряжения

а31, а32 и моментное напряжение д33 окончательно определим, соответственно

000 прибавляя к а 31 (х1, х2 ), а 32 (х1, х2 ), д33 (х1, х2 ) слагаемые, получаемые интегрированием

по х3 первого и второго уравнения равновесия в силовых напряжениях и шестого

уравнения равновесия, потребовав условие, чтобы усредненые по толщине пластинки от указанных величин были равны нулю.

Указанные предположения (либо нулевое приближение асимптотического метода внутренней задачи) приводит к основным двумерным уравнениям микрополярных пластин со стесненным вращением.

Уравнения равновесия:

дХ1 -дг1 = ^Р-! N32 -дГ1 = *(Р2+-Р-\

дк1 дх2 дх1 дх2

дN23 ( + - \ дА13 5А23 Т , ,, і( + -'і

-Г-----+ ^----- = -\Р3 + р3 ) “Т------+ ^~------^3 + Г12 - Г21 = -^1т3 - т3 />

дх1 дх2 дх1 дх2

(3.4)

^1! + ^^2^ + N - ^32 = -(т+ + т\ ) + —22 + #31 - #13 = -(т+ + т2 )

дх дх К ’ дх дх У '

1 2 1 2

Соотношения упругости

N31 + ^3 = 8М^У31, N32 + N23 = 8ЙУ32, ^33 = 4У^(*12 -К21)

М 22 =

2Еп / V \ п V ( + \

/; 2\(К11 + ^22)-^Г т-р + р3 )

(1-V ) 3 1 — V

2ЕИЪ ( ч п2 V ( + -)

/; 2\(К22 + ,К11 )-^Г т---\Р3 + р3 )

(1 -V ) 3 1-,¥

М12 + М 21 = 3 [К12 + К 21 ]

Ь11 = 2П

^22 = 2П

3(1 -V 4У(р + У)

Р + 2у

4У(р + У) Р + 2у

Тсп +

k 22 +

2рУ

Р + 2у

2рУ

Р + 2у

Т

22

Тс 11

+ гГ^~ "^33, ^12 = 2п[(у + в)Т12 + (у-в)Т21 ]

Р + 2у

+ гГ^~ ^33 , ^21 = 2п[(у + в)Т21 + (у - в)Т12 ]

Р + 2у

Л13 =

Л 23 =

3

у - в т1+ + т1 1 4уе д

у + 8 2И 2 у + вдх1

у - в т+ + т- 1 4ув д

у + в 2И 2 у + в дх1

(к 21 - К,2)

(К21 - К,2 )

К11 =

Т11 = У 31 =

дУ1 (хЬ х2 )

дх1 ’

д01 (х1, х2 )

Геометрические соотношения:

ох1

К 22 =

Т 22 =

дУ 2 (хЪ х2 ) ^ дУ 2 (хl, х2 )

-----------------, к19 =----------------------

ох2 ох-

дО2 (х1, х2 ) _ д02 (х1, х2 )

Т12 =

К 21 =

дУ1 (хl, х2 )

дх

дх

Т 21 =

д01 (х1, х2 )

/ ч дw(х1, х2)

У1 (хl, х2 )!—V-------------

дх1

у31 =

дх1

/ ч дw(х1, х2)

У 2 (х^ х2 )!---------V-----

дх

дх

2 У

1 Г ( \ дw(х1, х2)

О1 =-- У 2 (хъ х2 )---------Г-------

21 дх2

2 У

О 2 = -22

У1 (хl, х2 )-

д^(х1, х2 ) дх1

(3.5)

(3.6)

Структура и свойства микрополярного погранслоя изучены в работе [8]. Изучая задачу сращивания построенной внутренней задачи и соответствующего погранслоя, получим двумерные граничные условия для системы уравнений (3.4)-(3.6):

п * п ( * Л

N,1 п = Г рт^3 , (м 11 + Ь12 ^ х-=0 = Дх3р1 + т2 )dX3,

-п (3.7)

' 13 х1 =0 _ ] У3“л3>

-п

(М 12 -111 ^ х1 =0 = !(х3 Р 2 -т1* ^

0 = ] 1х3 Р 2 -т1 Ях3

-п

Двумерные уравнения (3.4)-(3.6) и граничные условия (3.7) определяют математическую модель микрополярных пластин со стесненным вращением.

Если в уравнения системы (3.4)-(3.6) подставить а = 0, Р = 0, у = 0, в = 0, то приходим к уточненной теории пластин типа Тимошенко-Рейсснера по классической теории упругости [14].

3

1

2

4.Модель микрополяных упругих тонких пластин «с малой сдвиговой

жесткостью»

Построим третью, отличную от предыдующих асимптотику, принимая для безразмерных физических параметров (1.9) следующие представления:

2 2 2 V Я-2„.* а V л а V л а V л гл лл

----о а ,----------1,--------1,--------1. (4.1)

4а Р у в

При значениях (4.1) в разложениях (1.10) будем иметь для задачи изгиба микрополярных пластин:

q = 4 для ©2,Рии, V™,Рзз,

q = 3 для ©з , Рзт , Vm3,

q = 2 для Uз, Озт, ^ (4.2)

q = 1 для ит, опп, а„т, СТ33.

Главная специфическая особенность этого внутреннего итерационного процесса состоит в том, что на уровне приближения ^ = 0 «чисто моментная часть» задачи отделяется от «силовой части» задачи.

На основе главных особенностей внутреннего итериационного процесса ((4.1),(4.2),(4.10)) можем сформулировать следующие предположения:

1. Нормальное перемещение и3 и независимые повороты ©1, ©2не зависят от координаты х3.

2. Моментное напряжение V33 не зависит от координаты х3.

0

3. Сначала для силовых напряжений а31и а32 примем, что а31 = а31 (х1, х2),

0

а32 =а32 (х1, х2), и на основе соответствующих уравнений трехмерной теории определим тангенциальные перемещения ит , силовые напряжения а пп, а тп, а т3 и

моментные напряжения V3т. После этого силовые напряжения а31, а32 окончательно

00

определим, прибавляя к а31 (х1, х2 ), а32 (х1, х2 ) слагаемые, получаемые соответственно интегрированием по х3 первых двух уравнений равновесия, для которых потребуем

условие, что усредненные по толщине пластинки величины равны нулю.

4. В четвертом, пятом и шестом уравнениях равновесия присутствующими разностями от силовых напряжений можно пренебречь (это означает, что «моментная часть» отделяется от «силовой части» задачи, обратное, в общем случае, не имеет место).

5. В выражениях независимых поворотов вкладом поворотов от классического типа происхождения можно пренебречь.

При указанных предположениях в двумерных уравнениях микрополярных пластин величины «чисто моментного» происхождения отделяются и образуют автономную систему уравнений. Для «силовой части» задачи получим своеобразную сдвиговую теорию пластин, в которой присутствуют независимые повороты обусловленные «моментной частью» задачи. Сформулируем эти системы уравнений. Уравнения «чисто моментной» части задачи Уравнения равновесия:

дЧ + Я™. = -(т+ + т- ) ^ + 3122 = -(т+ + да-), (4.3)

дх1 дх2 дх1 ох.

L11 = 2h

L22 = 2И

Соотношения упругости:

Р

4у(р+у] к + 2ру к +

Л11 о ~ 22 ^

Р + 2у 4У(р + у)

Р + 2у

2(р + 2у)

(тз+ - ш-]

к22 + т^Р кп +

Р

:(ш3+- т-)

Р + 2у 22 р + 2у 11 2(р + 2у)

^2 = 2h[(У + є]к12 + (у - є)к21 1 L21 = 2И[(Г + є)к21 + (у - є]к12 ] . Геометрические соотношения:

(4.4)

к11 =

дО (хь Х2 ] 502 (*1, Х2 )

дх1

к = 22

к12 =

50 2 (Х1, Х2 )

к21 =

501 (х1, х2)

дх2 дх1

Уравнения «силовой» части задачи Уравнения равновесия:

дх2

(4.5)

N31 -'

М- _М- = р-] N32 -

дх1

дх

дМ‘2 дМ22 = а(р+- Р2-)

дх1

дх

2

5.^13 + д# 23

дх1 дх2

-(р+ + р3] .

(4.6)

Л/Г 2Eh3

"" = 3Р2

2ЕИ / ч h V ( + -\

I. 2\(К11 + ^22]-^ї----ІР3 + р3 />

(1 - V2 ] 3 1 - V ^

М12 =

2 ЕИ* ґ ч h2 V

М 22 = ^ (* 22 + ^*11 ]

3(>^

Физические соотношения: + Л _ 2И3

3 1 - V

(р3 + р3 ]> М21 =

3

2И3

3 1-V

3

[М(К12 + *21 ]- 2ш1

И* 21 + К12 ]+ 2аг],

N31 = 2|^[у 31 + у 13 ]-4аИ0 21 N32 = 2И8[у 32 +у 23 ]+ 4аИ01|

Ы13 = N31 + 8аИ02, N23 = N32 -8аИ01.

Геометрические соотношения:

(4.7)

*11 =

дУ1 (х1| х2 ]

* 22 =

ду 2 (Х1, Х2 ]

*12 =

ду 2 (Х1, Х2 ]

дх1 дх2 дх1

у 31 =У1 (х1| х2 ]-0 2 (х1| х2 ] у 32 = У 2 (х1| х2 ] + 01 (х1| Х2 ]

К 21 =

дУ1 (х1| х2 ]

5х2

у 13 =

5^(х1, х2 ] дх1

+ 0 2 (х1| х2 ] у 23 =

5^(х1, х2 ]

дх

-01 (х1| х2 ],

(4.8)

г(х,,х2] = —1— (ш -т ]-4 2 Р + 2у у

г3+

)-рТ

д01 (х1, х2 ] + 502 (х1, х2 ]

V

дх1

дх

Погранслой при условии (4.1) построен и изучен в работе [9]. Задача сращивания построенной внутренней-двумерной задачи и соответствующего погранслоя приводит к двумерным граничным условиям для систем (4.3)-(4.5) и (4.6)-(4.8):

и и

(4.9)

-И

И

-И

И

N

13

Х1=0 = | р**^1 Мп\Х1=0 = | х3 р*^ Мп\Х1=0 = | х3 р* ^3. (4.10)

И И И

Совокупность систем двумерых уравнений (4.3)-(4.5), (4.6)-(4.8) и граничных условий (4.9),(4.10) определяют общую двумерную модель микрополярных пластин «с малой сдвиговой жесткостью», при которой учитываются все угловые-сдвиговые

2

деформации. Построенная микрополярная теория пластин названа теорией «с малой сдвиговой жесткостью», имея ввиду, что а - это тоже модуль сдвига, как и классический модуль сдвига д, а так же имея в виду значение безразмерного параметра

. Если в уравнения (4.6)-(4.8) подставить физические постоянные а, Р, у, s, равные

4а

нулю, то опять, как в предыдующих случаях, приходим к уточненной классической теории пластин типа Тимошенко-Рейсснера [14].

Библиографический список

1. Palmov V.A., Uber eine cosseratsche theorie fur elastische platen / V.A. Palmov, H. Altenbach // Thechn. Mech. - 1982. - H. 3. - S. 5-9.

2. Жилин П. А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек/ П. А. Жилин // Динамика и прочность машин: тр. Ленингр. политех. ин-та. - № 386. -1982.- С.29-42.

3. Пальмов В. А. Простейшая непротиворечивая система уравнений теории тонких упругих оболочек / В. А. Пальмов // Механика деформируемого тела. - М.: Наука, -1986. - С. 106-112.

4. Шкутин А. И. Механика деформаций гибких тел / А. И. Шкутин.-Новосибирск: Наука. - 1988. - 128 с.

5. Green A. E. The Linear Elastic Cosserat Surface and Shell Theory / A. E. Green, P. M. Naghdi // Intern. J. Solid and Struct. - 1968. - Vol.4. - № 6. - P.585 - 592.

6. Зубов Л.М. Механика упругих микрополярных оболочек / Л.М. Зубов,

B.А. Еремеев // Дальневосточный математический журнал. - 2003. - Т.4. - № 2. - С.182

- 225.

7. Ванин Г. А. Моментная механика тонких оболочек / Г. А. Ванин // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2004. - № 4. - С.116 - 138.

8. Амбарцумян С. А. Микрополярная теория оболочек и пластин /

C. А. Амбарцумян. - Ереван: Изд-во НАН Армении, 1999. - 214 с.

9. Саркисян С. О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости / С. О. Саркисян // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т.72. - № 1.

- С. 129-147.

10. Sargsyan S.H. Dynamic Problem of Thin Plates on the Basis of Asymmetric Theory of Elasticity / S.H. Sargsyan // Proc. of XXXIV Summer School «Advanced Problems in Mechanics». - Saint-Petersbary: - IPME RAS, 2006. - P.447-458.

11. Саркисян С. О. Общая теория упругих тонких оболочек на основе несиметричной теории упругости / С. О. Саркисян // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т.72 (в печати).

12. Саркисян С. О. Прикладные-одномерные теории балок на основе несиметричной теории упругости / С. О. Саркисян // Физическая мезомеханика. - 2008. - Т.11. - № 5.

13. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity / W. Nowacki. - Oxford, etc.: Pergamon Press. - 1986. - 383 p.

14. Перцев А. К. Динамика оболочек и пластин / А. К. Перцев, Э. Г. Платонов.-Ленинград: Судостроение, 1987. - 316 с.

Получено 25.08.2008