Построение математической модели микрополярных упругих тонких балок асимптотическим методом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ БАЛОК АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

© 2012 г. С.О.

Саркисян Самвел Оганесович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений, член-корреспондент НАН Армении, Гюмрийский государственный педагогический институт им. М. Налбандяна, ул. Паруйра Севака, 4, г. Гюмри, Армения, 377526, е-mail: [email protected].

Саркисян

Sarkisyan Samvel Oganesovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of Department of Mathematical Analysis and Differential Equations, Corresponding member of NAS Armenia, M. Nalbandyan Gyumri State Pedagogical Institute, Paruyr Sevak St. 4, Gyumri, Armenia, 377526, e-mail: [email protected].

Асимптотическим методом изучается краевая задача плоской микрополярной теории упругости в тонкой прямоугольной области. Построены внутренняя (одномерная) модель и погранслой. Изучается задача сращивания, при помощи которой краевые условия плоской задачи на кромках прямоугольника перераспределяются между внутренней (одномерной) и погранслойной задачами. Построенная внутренняя одномерная модель трактуется как прикладная модель изгиба микрополярных упругих балок. Показывается идентичность прикладных моделей микрополярных балок, построенных на основе асимптотического метода и метода гипотез.

Ключевые слова: микрополярный, упругий, прямоугольник, тонкий, асимптотический метод, прикладная одномерная модель.

In the present paper boundary-value problem of plane micropolar theory of elasticity is studied by the asymptotic method for thin rectangular domain. Internal (one dimensional) model and boundary layers are constructed. Problem of jointing is studied, when boundary conditions of the plane problem are reallocated between the internal (one dimensional) problem and boundary layers. The constructed internal one dimensional model presents as an applied bending model of micropolar elastic bars. Identity of applied models, constructed on the basis of the asymptotic and hypotheses method, is shown.

Keywords: micropolar, elastic, rectangle, thin, asymptotic method, applied one dimensional model.

Асимптотический метод построения математиче- классической теории упругости разработан в статье ских моделей балок, пластин и оболочек на основе K.O. Friedrichs [1] и основательным образом развит в

работах И.И. Воровича [2] и А.Л. Гольденвейзера [3], их учеников и коллег: Л.А. Агаловяна [4], Ю.Л. Каплу-нова, Л.Ю. Коссовича и Е.В. Нольде [5], Н.Н. Рогаче-вой [6], С.О. Саркисяна [7], Ю.А. Устинова [8, 9] и др.

В [10-14] на основе метода гипотез построены одномерные и двумерные математические модели микрополярных упругих тонких балок, пластин и оболочек.

В данной работе развит асимптотический метод интегрирования [10] микрополярной теории упругости в случае плоского напряженного состояния в области тонкого прямоугольника, построена прикладная одномерная теория микрополярных упругих тонких балок и обосновывается модель микрополярных балок, построенная в работах [11, 12] на основе метода гипотез.

Постановка задачи

Рассмотрим изотропный прямоугольник с постоянной толщиной 2— (0 < XI < а, - к < Х3 < к). Будем исходить из основных уравнений плоской задачи микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [15].

Уравнения равновесия:

да

11

+ -

OO

21

дхп

= 0,

да

12

дх

+

да

22

дх1 2 1

Ф13 , Ф23 , _ ' п ■ + —-+ а12 — а21 = 0.

дх

= 0,

(1)

дх

дх

Физические соотношения в прямой и обратной формах:

Е

СТц =-

1 -U'

E

(у 11 + иУ22 )>

"(У 22 + °У11 )>

ст22 =-2 (У 22

Ст12 =0х + а)у12 +(Ц-а)у 2Ь СТ21 =(Ц + а)у 21 + (ц — а)У12, ^13 = B 'Х^ ц23 = B -Х23;

(2)

У11 =1 (а11 —

E

ц + а

У12 =--а12

4ца

_ ц + а

21 4ца 1

иа22 У 22 ц —а

=E(-22—

иа1

1),

21

4ца

ц —а

4ца 1

-а

21,

' 12,

(3)

Х13 = —•Ц^ X23 = —^23-в в

Геометрические соотношения:

ды2

дм]

У11 = ,

дх1

дм2

У12 = ^ дх1 дю3

Х13 = ■

У 22 =

дх2 дм1

дх

У 21 = Т"1 + ю3,

дх2 дю3

Х23 = -

(4)

дх

2

Здесь а22,ст^,- силовые напряжения; М-13, М-23 - моментные; Ы1, Ы2 - линейные перемещения; Ю3 - независимый поворот точек прямоугольни-

ка вокруг оси Х3; E, и,

ц =

E

2(1 + и)

а, B =

4у8 У + е'

у, е - упругие константы материала

тела (в данном случае имеются четыре независимые упругие постоянные: Е, ц,а,В или Е, и,а,В).

Ниже будем изучать антисимметричную по координате Х2 задачу, т.е. задачу изгиба.

На лицевых сторонах прямоугольника Х2 = +— будем считать заданными силовые и моментные напряжения: ст21 = Чъ ст22 = ±42 ^23 = т2- (5)

На боковых кромках (Х1 = 0 и Х1 = а) примем следующие варианты граничных условий для задач 1, 2, 3:

1) ст11 =Ф1(х2) ст12 =Ф2(х2), Ц13 =Ф3(х2) ; (6)

2) ст11 =Ф1(х2 ) ы2 = 0, Ц13 =Ф3 (х2) ; (7)

3) ы1 = 0, ы2 = 0, С03 = 0 . (8) Отметим, что при а = 0 из граничных задач (1)-

(8) будут отделяться уравнения и граничные условия плоской задачи классической теории упругости.

Будем считать, что рассмотренная область прямоугольника тонкая, т.е. 5 = — << 1; 8 - основной гео-

а

метрический малый параметр задачи.

Придерживаясь основополагающего принципа асимптотического метода интегрирования сингулярно-вырождающихся систем дифференциальных уравнений в тонкой области, в основу рассуждений будем полагать свойство напряженно-деформируемого состояния (НДС) тела, испытывающего статическое воздействие, выражаемое структурной формулой [2, 3]: (НДС)полн=(НДС)Вн+(НДС)Кр.

В этом равенстве краевое НДС возникает вблизи боковых граней прямоугольника (х1 = 0, х1 = а) и быстро (экспоненциально) затухает при удалении от них в глубь двумерной области. Что касается внутреннего НДС, то оно в каждом асимптотическом приближении будет описываться дифференциальными уравнениями меньшей размерности (в данном случае - обыкновенными дифференциальными уравнениями).

При определении внутреннего и краевого НДС в прямоугольнике большую роль играют значения физических констант микрополярного материала. С этой точки зрения введем безразмерные физические параметры: а В

ц ца

,2

(9)

Построение внутреннего итерационного процесса. Модель микрополярной упругой тонкой балки

В уравнениях (1)-(4) плоской задачи несимметричной теории упругости перейдем к безразмерной системе координат и безразмерным величинам:

а h

OL ц _Ц/3

' ц3 --

ц ац

(10) (11)

u

М = —, а

L

а

В итоге получим сингулярно-возмущенную краевую задачу с малым параметром 8 , решение которой складывается из суммы решений внутренней задачи (прикладной одномерной теории) и погранслойных задач (около боковых граней прямоугольника X = 0, Х1 = а).

Решение внутренней задачи представим в виде асимптотического разложения

S

Q = 8-q £8'Q

s=0

(' )

(12)

где Q - любое из напряжений (силовых и моментных), перемещений и поворота; q - натуральное число, различное для разных величин и определяемое из условия получения непротиворечивой рекуррентной системы уравнений в асимптотических приближениях.

Для безразмерных физических параметров (9) примем значения: а , А

Л,

Ц

а 2ц

1.

(13)

В случае (13) для задачи изгиба в выражениях (12) q = 0 аёу ст1Ь ^ иь Д23; q =1 геу а2Ь а^ ^ Цlз, Ю3.

Уравнения (1)-(4) (в координатах (10) и по безразмерным величинам (11)) в асимптотических приближениях примут вид

cb('-2) cbW —11— + —21 = 0,

22

ди(

К

dt д;

= 0,

ди('

ди('

ди(

дю(

2 (1 + v)

2 (1 + v)

b?-vb ё)

Йгт2)-«Н1

3s)=1 teM'^ 4 Й'М'Л

(14)

+ юз %

_£V,(') dü-('-2)

= 5 Ц13, o; = в Ц23 ,

дЦ

+ + CT(s)-b() = 0 .

J21

бМ-1з

а;

При 5 = 0, используя граничные условия на лицевых линиях ; = +1 прямоугольника для а 22 из (5), из (14) получим

о(о) о(о)

и20)= и 2 (t), (0) 0(0)(р)

ю30)=юз (t),

и0

0 0)

b21 (t) + b12 (t)

1 Г0^)

Л

± 1

a 4

^0(0) 0(0) b21 (t)-b12 (t)

(15)

40i)=b(20i)fe),

(0)=0(°4)=-ia

b12 = b12

ц + a

)(0)

0)

0 0)

^-2з (I)

dt

+ ^b21 (t), ц + a

^ 1(0) 1(0)

40i)=;bii (t), где ьп (t) = ;

2(1 + v) dvl^ + v~*

dt

0(0)

b(0) = -; d b12 (t) _ b22 = ; dt "

(0) 0(0)

a 2ц

dÄt) Г0(0) 0(0) Л - b12 (t)-b21 (t)

dt

(16)

Асимптотические приближения внутреннего итерационного процесса с номером 5 = 1 и вообще с нечетными индексами будем принимать нулевыми.

Для полного определения выражения для СТ21 (для которого пока имеем формулу (15)) будем рассматривать первое уравнение из системы (14) при 5 = 2

daf? 0ь(2)

21

= 0.

(17)

Л2)

а^ а;

Из (17) выразим а(2 через величину исключительно исходного асимптотического приближения, т.е. 5 = 0. Это делается следующим образом.

Подставляя из (16) выражение для а(0) в (17), после интегрирования по ; получим

0(2) , 1(0)

b21) =b21

(t)-1;2 (t).

2

(18)

Интеграл по толщине прямоугольника для а(2)

1

* ЬШ

0

(2)

приравняем к нулю, тогда b21 (t)= —

6

21'

Это выражение подставим в (18). Получим

1(0)

т(.2_) =

2 ^

2

d ьц (t)

dt

(19)

Складывая (15) и (19) в смысле (12) для СТ21; размерном виде получим

b21 = Ц8

-1

(0)

0 b21

(t)+82

(

2

1(0) 2 ^ d b11 (t)

dt

(20)

Остальные определяющие задачу величины представим в окончательном размерном виде

+

ч

/

1

+

1

в

+

4

V

/

ч

/

)(0)

w = 5 1 u2 fe), u1 = x2^1 (x1), У1 (x1) = S 1

u 2

Q3 =5 ю( а12 = ц5 а( 22 = ца202 , а11 = ц0!0^ М-13 = ца5—1ц1°),

(21)

ст

" ' » Ц23 = ^23'

С целью приведения двумерной задачи микрополярной теории упругости к одномерной, что уже выполнено для перемещений, свободного поворота, деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, в модели микрополярных упругих балок вместо компонент тензоров силовых и моментных напряжений введем статически эквивалентные им интегральные характеристики: усилия N12,N21 и мок

менты Mll, Llз, по формулам: N12 = {ст^^,

-k

к к к N21 = 1ст21^х2 , Mll = |стпх2^х2, 1ь3 = —к — к — к

Здесь важно отметить, что усредненное усилие N21 от силового напряжения СТ21 одинаково как на уровне (15), так и (20).

На основе (16), (20), (21), удовлетворяя граничные условия (5) на лицевых линиях прямоугольника х2 = +—, получим основные уравнения (одномерные) изгиба микрополярной балки с независимыми полями перемещений и вращений.

dN

12

dx1

dL13 dx1

= -2^2, N21 —

dM|

11

dx1

+ N12 — N21 = —2^2.

= 2hq1,

N12 = 2h N21 = 2h

(ц + а)Г12 +(ц — а)Г21 (ц + а)Г21 +(ц — а)Г12

(22) (23)

Mn =

2Eh* 2h2 r „ Л1, ~^~K11 ^~vq2, L13 = 2Bhk13.

Г12 = ^ — "3,

0x1

K11 =

d^1 dxi

k13 =

Г21 =V1 + ^ d"3

dx,

Построение погранслоя

Обратимся к изучению краевых упругих явлений несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений в тонком прямоугольнике. Допустим, что краем прямоугольника, вблизи которого будем исследовать напряженное состояние пограничного слоя, будет сторона прямоугольника хъ = 0.

Введем в уравнения плоской задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений (1)-(4) преобразования растя-

х1 х жения t = —l =

h h

2

и перейдем к безразмерным

величинам по формулам (11).

Решение преобразованной таким образом системы отыщем в виде асимптотического разложения

R = 25Хя+s -R

(s)

(24)

s=0

где ^ - любая из величин рассматриваемой задачи. Так как силовые и моментные неоднородные граничные условия (5), заданные на лицевых сторонах прямоугольника С=±1, были удовлетворены решением внутренней задачи, то решение (24) должно удовлетворять однородным граничным условиям:

СТ21 =ст22 = 0 , Ц23 = 0 !бе С = ±1 - (25)

После подстановки (24) в преобразованную систему уравнений (1)-(4) с учетом (13) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра 5 в правых и левых частях, начиная с наименьшей, получим непротиворечивую систему

рекуррентных уравнений относительно величин Я^,

5

если

м =

= 5Х1 5sa(s) (ij: 11, 22, 12, 21),

s=0 L

5Х+1 15s v(s) (i = 1, 2) ,

s=0

S

Ц* = 5х 15*(/ = 1, 2) , Ш3 = 5Х+1 I 5*4*)-*=0 *=0

Целое число х характеризует интенсивность пограничного слоя.

Полученную систему уравнений в асимптотических приближениях * можно представить в следующем виде:

' ЛТг(*) Лгг(*) Лгг(*) дст(*3

дt - + —— = ÖC

ÖU (s) 1

öt 2(1+0)

ÖU^ 1 4

öu2s } 1

5t

+ -

22

SC

= 0,

(oi;>—oaSs?)

21,

(a^

-a2V.

ÖL 2(1 + o)

5uV) 1

4

öt

(ag —ooM) +02*1')+ ц (ai2)—s2*,')

(26)

+ Ю

(*—1).

Г^Ф 0Ц2*3) (s—1) (s—1)

--1--= 09, 0,9

öt öC 21 12

ö4s) _ a2ц_^) öt " в ц13,

дю

2

(s) 2

- ц23 .

(27)

дС В

Забегая вперед, отметим, что погранслойная задача отлична от нуля при любом * , четном или нечетном. Важно константировать, что при любом * решения погранслойных уравнений (26), (27) обладают некоторыми важными свойствами, которые можно получить непосредственно из указанных уравнений, если к ним применить следующие опера-

1 да 1 да 1 да

торы: { dС {dt, { СdС1 dt, { dСj tdt.

—10 —1 0 —10 В итоге будем иметь интегральные соотношения, которые иначе называют условиями затухания решения задачи пограничного слоя (ниже приводятся условия затухания в случае задачи изгиба):

У

—i s

+

а

jbj(t = 0)d; = 0, }ц|')(t = 0)d; = j d;j(b'-1) -b('f1 )]tfi, -1 -1 -1 0

j ra3s) (t = 0)d; = ^ ]tdt j (ä^ - ct^-1)-;. (28) -1 B 0 -1

Ы') (t = 0)d;+— j u(2') (t = 0)d; =

-1 Ц-a -1

4a

Ц-а_1 (s-1)dt.

j -;|Ю Ц- a -1 0 3 При s = 0 из (28) имеем

(t = 0d; = 0, j ц(0) (t = 0d; = 0, -1

(0) (t = 0)d; = 0,

(29)

;ст{°) (t = 0d; +

4a 1_

-1

ц-a^

j u(0) (t = 0)d; = 0.

Легко убедиться, что ю(0) имеет самоуравновешенный характер не только при t = 0, но и при любом Г. Действительно, если положить 5 = 0, то 2-е уравнение из системы (27) запишется в виде

1 ^бю(0) ца2 I 1 /тл 1 *;1—33-*г = 1 ;ц13)*;*t, откуда "1 г бt в t "1

" I . (30)

"1 в t "1

На основе 1-го уравнения системы (27) при 5 = 0 получим

?ац13

1 ]дц(0) ] 1 дц (0) j d;^-5-1^dt + jdt j -i-23-d; = 0.

-1 t

dt

-1 d;

Так как Ц23 = 0 ((26)) при ; = +1, получаем 0)(;, t)*; = 0 , откуда следует

-1

] bgt t)— = 0.

(31)

t -1

Тогда на основании (30) и (31) получим

1ю30) (;, t )*; = 0. (32)

"1

Из (32), как следствие, вытекает равенство

11ю30)(;, t ** = 0. (33)

0 "1

Имея в виду (33), из 3-го соотношения (28) при 5 = 1 получаем

1; • аЦ (г = 0)*;+1 и(1) (г = 0)*; = 0. (34)

"1 Ц"а"1

Это означает, что последнее равенство (29) имеет место как при 5 = 0, так и при 5 = 1 ((34)).

При 5 = 0 из 4-го и 6-го уравнений системы (26) получим

1 бА , ц + а 1 ам(0)/ , 1 —(г = 0)*;+1 —(г = 0)*; = 0. (35)

-1 о;

Ц - a -1 dt

Так как равенство (29), (34), (35) должны иметь место для любого материала (удовлетворяющего условиям (13)), из них будут следовать соотношения:

1;а (1) (г = 0)*; = 0, 14) (Г = 0)*;, / = 0,1; (36)

"1 "1

1 -и^, ч 1 аи (0), ч

1-^- (г = 0)*;=0, (г = 0)*; = 0.

"1 "1 -

Интегральные соотношения (29), (36) ниже будут играть важную роль при сращивании асимптотических разложений внутреннего итерационного процесса и погранслоя, когда необходимо разделить общие граничные условия (6)-(8) плоской задачи между указанными итерационными процессами. В результате получим граничные условия прикладной одномерной теории микрополярных упругих тонких балок (23) (конечно, отдельно получим также граничные условия погранслойной задачи (26), (27) при 5 = 0, 5 = 1 и т.д.).

Выше было описано явление пограничного слоя вблизи торца прямоугольника Х1 = 0. Вблизи противоположного торца Х1 = а он строится аналогичным образом. Если отсчет вести от торца х = 0, данные для пограничного слоя около торца Х1 = а можно получить из изложенного выше формальной заменой

t на t1 =

a - X1 h

Таким образом, построены 2 типа решений: внутренней и пограничной задач. Их сумма

I = Q + 4Х)+ (37)

является решением исходной сингулярно-возмущенной краевой задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений в тонкой прямоугольной области. Здесь Q - решение внутренней

задачи; Яр),Я^2 - задач пограничных слоев, построенные соответственно вблизи торцов 6 = 0 и 61 = а .

Сращивание асимптотических разложений внутренного итерационного процесса

и погранслоя. Получение граничных условий для прикладной одномерной модели

Перейдем к изучению проблемы разделения двумерных граничных условий (6)-(8) несимметричной теории упругости на граничных кромках прямоугольника Х1 = 0 и Х1 = а . Необходимо выяснить вопрос о том, какие граничные условия надо приписывать к внутренним (к прикладной теории) и какие - к по-гранслойным дифференциальным уравнениям. Приступим к удовлетворению граничных условий (6)-(8) на кромке Х1 = 0 прямоугольника. Сначала рассмотрим первую краевую задачу (6).

Подставляя (37) в (6) и учитывая (12) и (24), а также, что при Х1 = 0 проявляет себя только погранслой

Я^, т.е. продольный размер а прямоугольника настолько велик, что влиянием погранслоя Я2 (около торца х = а ) можно пренебречь, выберем % = -1, обеспечивающее непротиворечивый итерационный процесс удовлетворения граничных условий. Таким

]

1

ю

t

образом, граничные условия (6) в асимптотических приближениях примут вид

at (s -1) nc (s) , л Mm I \

с 11 + ац =ф,(* -1), ф(0)=^1, # = 0, s > 1, 1 H- 1

at(s) nc(s) / /m , n

C12 + C12 = ф(Ч ф(г= 0, S > 1, (38)

at (s) nc(s) / ЛЛ m I \

ц13 + ц13 = ф(5), ф50)=ф3, ф^) = 0, s > 1. При s = 0 из (38) получим

nc(0) at(0) nc(0) _f , at(0) nc(0) ,

C11 = 0, C12 + C12 =ф2 ), Ц13 + Ц13 =фз) . (39) Применяя ко второму равенству из (39) одно из свойств (первое равенство из (29)) погранслойного

ш(0)

решения, для величин СТ12 внутренней задачи при = 0 (t = 0) получим граничное условие

0(0) -

J ф( или в размерном виде

-1

2 СТ12 (t)

t=0

h

Ndx =0 = J>2(x2)dx2 •

X1 =0 -h

(40)

На основе третьего равенства из (39), с учетом 2-го из (29) (свойство погранслойного решения), приходим

к граничному условию

0 (0)

для

ш(0) ^ 13

при t = 0:

2 ¡4з (t) =

или в размерном виде

it=0

-1

h

L131x =0 = J>3 (x2 )dx2 •

(41)

- h

Для погранслойной задачи (26), (27) при * = 0 получим граничные условия при t = 0 (отметим, что система (26) при * = 0 отделяется от (27)):

(0)

nc CT11

nc(0) ^ 13

nc (0) = 0, CT 12

t=0

=Ф20)- 1 1Ф20)(СК, 2 -1

t=0

=Ф20)- 1|Ф30)(Ск.

(42)

t=0

-1

Здесь первые два граничные условия относятся к системе уравнений (26) при * = 0 , а последнее - к (27) при * = 0 .

Чтобы получить недостающее граничное условие для системы уравнений прикладной одномерной теории микрополярных балок (система уравнений (22)-

(23)), в первое граничное условие из (38) подставим

-(0) йс(1)

* = 1, тогда при t = 0 ст 11 + ст 11 = Ф( ), или

nc(1) äi(0)

CT11 =Ф1( ) CT 11 •

(43)

Примем во внимание первое равенство из (36) при * = 1 (свойства погранслойного решения). На основе

3-го равенства приходим к граничному условию для

1 (0) 1 (0) C11 (t) при t = 0 C11 (t) = 1ф,(0)С^С,

t=0

-1

или в размерном виде

h

Mn\ x =0 = J>1(x2 )x2dx2-

X1 =0 -h

(44)

Если подставить (44) в (43), то для погранслойной задачи получим одно из граничных условий для следующего приближения * = 1 при t = 0

(1)

nc CT11

м 1 (0) = Ф}0)-ССТ11 (t = 0).

t=0

Объединим (40), (41), (44)

N

h

121 x =0 = 1Ф2 (x2 )dx2, L131 x =0 = h - h h = 1Ф3(x2)dx2, Mn\x = 0 = iФ1 (x2)x2dx3

(45)

-h

-h

Получим граничные условия прикладной одномерной теории микрополярных упругих тонких балок для (22)-(23).

Таким образом, построена модель прикладной одномерной теории изгиба микрополярных упругих тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений. Эта модель представляет собой систему основных уравнений (22)-(23) и граничных условий (45) (в случае граничных условий (6)).

Модель погранслойной задачи при * = 0 тоже построена. Это - система основных уравнений (26), (27) при * = 0 и граничных условий (42).

Понятно, что задача построения моделей в последующих приближениях будет иметь итерационный характер.

Аналогичным образом можно изучить задачу сращивания внутреннего и погранслойного итерационного процесса при граничных условиях (7) либо (8).

В случае шарнирного опирания края прямоугольника граничные условия при х1 = 0 для основной системы уравнений прикладной теории микрополярных балок будут (отметим, что в этом случае х = —1)

М11 = 1 х2Фъ(х2^"2, Ш = 0, ¿13 = 1Ф3(х2)dX2 , (46)

—к — к

а для защемленного края (и в этом случае х = — 1) ^ = 0, ш = 0, = 0. (47)

Сравнение моделей прикладной одномерной теории изгиба микрополярных упругих тонких балок, построенной на основе метода гипотез и асимптотического

Отметим, что в [11, 12] прикладная одномерная теория балок построена на основе метода гипотез:

а) нормальный элемент, первоначально перпендикулярный к оси х1, остается после деформации прямолинейным, но уже не перпендикулярным к деформированной оси, свободно вращается на некоторый

угол, не изменяя при этом своей длины. Вследствие этого имеем линейный закон изменения перемещений ^1,^3 и свободного поворота ^ по толщине прямоугольника: ¥3 = м^), V = х3^(х1), ®2 =^2 (Х1), где м" прогиб балки; ^ " угол свободного поворота; у " полный угол поворота нормального элемента;

б) при определении деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений для силового

0

напряжения СТ31 сначала примем СТ31 = Ъ31 (х1).

После определения указанных величин <^31 окончательно определим как сумму значения (12) и результата интегрирования первого уравнения равновесия из (1), для которого потребуем, чтобы ее величина, усредненная по толщине прямоугольника, была равна нулю.

Как убедимся, эти гипотезы соответствуют свойствам асимптотического решения (внутреннего итерационного процесса) краевой задачи плоской микрополярной теории упругости в тонкой прямоугольной области (1)-(8).

Будем сравнивать основные уравнения и граничные условия прикладной одномерной теории микрополярных упругих тонких балок (22)-(23), (45)-(47) с основными уравнениями и граничными условиями той же теории, построенной на основе метода гипотез [11, 12]. Легко убедиться, что разница лишь в выра-

жении момента Мц . Речь идет о величине

2h 3

которая присутствует в (23) и отсутствует в аналогичной формуле из [11, 12]. Это результат того, что в формуле обобщенного законы Гука для величин уп по асимптотическому методу силовое напряжение а 22 не пренебрегается относительно силового напряжения ъц , но по методу гипотез такое прене-

брегание оправдано, что и сделано в [11, 12]. Отметим, что численные результаты тоже подтверждают это пренебрегание.

Таким образом, можем констатировать, что построенная прикладная одномерная модель микропо-

лярных упругих тонких балок [11, 12] представляет собой асимптотически точную модель.

Литература

1. Friedrichs K.O., Dressler R.F. Boundary Layer Theory for

Elastic Plates // Comm. Pure and Apll. Math. 1961. Vol. 14, № 1. P. 1-33.

2. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимп-

тотической теории пластин и оболочек // Материалы I Всесоюз. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси, 1975. С. 51-149.

3. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек.

М., 1976. 510 с.

4. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных

пластин и оболочек. М, 1997. 414 с.

5. Ворович И.И., Кадомцов И.Г., Устинов Ю.А. К теории

неоднородных по толщине плит // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 3. С. 870-876.

6. Устинов Ю.А. Некоторые свойства однородных реше-

ний неоднородных плит // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216, № 4. С. 755-758.

7. Rogacheva N.N. The Theory of Piezoelectric Plates and

Shells. Boca Ration Ann Arbor; London; Tokyo, 1994. 260 p.

8. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of

Thin Wolled Elastic Bodies. San-Diego, 1998. 225 p.

9. Саркисян С.О. Общая двумерная теория магнитоупруго-

сти тонких оболочек. Ереван, 1992. 232 с.

10. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок

на основе несимметричной теории упругости // Физическая мезомеханика. 2008. Т. 11, № 5. С. 41-54.

11. Саркисян С.О. Математические модели микрополярных

упругих тонких балок // Докл. НАН Армении. 2011. Т. 111, № 2. С. 121-128.

12. Sargsyan S.H. Effective Manifestations of Characteristics of

Strength and Rigidity of Micropolar Elastic Thin Bars // J. of Materials Science and Engineering. 2012. Vol. 2, № 1. P. 98-108.

13. Саркисян С.О. Общие математические модели микропо-

лярных упругих тонких пластин // Изв. НАН Армении. Механика. 2011. T. 64, № 1. С. 58-67.

14. Саркисян С.О. Общая динамическая теория микропо-

лярных упругих тонких оболочек // Докл. РАН. 2011. Т. 436, № 2. С. 195-198.

15. Пальмов В. А. Плоская задача теории несимметричной

упругости // ПММ. 1964. Т. 28, вып. 6. С. 1117-1120.

Поступила в редакцию

12 апреля 2012 г.