CC BY
39
Механика деформируемого твердого тела 1750 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1750-1752
УДК 539.3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК, ПЛАСТИН И БАЛОК. ПРОЧНОСТЬ, ДИНАМИКА, ТЕРМОУПРУГОСТЬ
© 2011 г. С. О. Саркисян
Гюмрийский государственный педагогический институт им. М. Налбандяна (Армения)
Поступила в редакцию 15.06.2011
На основе асимптотического анализа краевых и начально-краевых задач микрополярной теории упругости и термсупругости формулируются достаточно общие гипотезы и построены математические модели статической деформации, динамики и термоупругости микрополярных упругих тонких оболочек, пластин и балок. Изучены конкретные задачи о прочности, температурных напряжениях и колебаниях микрополярных балок, пластин и оболочек.
Ключевые слова: микрополярно-упругий, оболочка, пластинка, балка, теория, статика, динамика, термоупругость.
С учетом качеств енных результатов асимптотического решения системы уравнений трехмерной микрополярной теории упругости [1] в основу построения математических моделей тонких оболочек можно ставить следующие достаточно общие предположения (гипотезы):
1. Тангенциальные перемещения и нормальный поворот распределены по толщине оболочки по линейному закону:
У = щ (аь а2) + азу , (аь а2),
Ю3 = Пз(а!, а2) + азг^, а2)
(1)
а нормальное перемещение и тангенциальные повороты не зависят от поперечной координаты а3, т.е.
У3 = м>(а1, а2), а, = 0., (а1, а2). (2)
Отметим, что с точки зрения перемещений принятая гипотеза (1) по сути, совпадает с кинематической гипотезой Тимошенко в классической теории упругих оболочек. Гипотезу (1), (2) в целом назовем обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко в микрополярной теории оболочек.
2. Силовым напряжением о33 в обобщенном законе Гука (2) можно пренебрегать относительно силовых напряжений о,,.
3. При определении деформаций, изгиба-кручения, силовых и моментных напряжений для силовых напряжений о3,. и моментного напряжения Ц33 примем
0 0 =03, (аь а 2), Ц.33 = ^ (аь а 2). (3)
После вычисления указанных величин о3, и Ц33 окончательно определим прибавлением к этим значениям соответствующих слагаемых, получаемых интегрированием первых двух или шестого уравнений равновесия, для которых потребуем условие, чтобы усредненные по толщине оболочки величины были равны нулю.
4. Величинами а3/Я, по сравнению с единицей можно пренебрегать.
Основная система уравнений статики микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений будет иметь вид: уравнения равновесия
1 дТ,, 1 дЛ,
1 дБ
- +--- (Гц - ти) +
Л, да, Л,Л,- да, п Л, да
,
+
, , , ,
.1 .1
1 дЛ, Ы, 3 + -
1 дМ„
-+-
, , 1 дЛ
.1
Л, да, Л, Л да,
(М,, -М,,) +
1 дН
,
Лз даз
+
1 дЛ
+--^(Н, + Н,,) - N3, = -Н(д+- д-),
Л, Л да Т11_+ Т22__1
Я Я Л1Л2
д( Л2 N13) + д( лы 23)
1 дЬ,,
- + -
да1 1 дЛ
да2
=д++43-
Л, да, Л, Л да,
(Ь,,- Ь,+
± дЬ-Л да
-+
+
1 дЛ,
Ь,
--±-(Ь , + Ь,,) +
Л,Л, да, - 1} Я,
т з
з
Аналитическая механика микрополярных упругих тонких оболочек, пластин и балок
1751
+ (-1)J (N. 3 - N3 j) = -(m++ m-),
d( Л Аз) + d( ail23)
L11 L
+
22
R1 R2
A1A2
5a1
5a 2
- (^12 - ^21) = (m+ + тз ),
L33
1
A1A2
d( А2Л13) + d( А1Л 23)
5a1
da2
- (H12 - H21) = h(m3+ - m3 );
соотношения упругости 2Fh
T,, =-- [Г,, + vr ,, ], Su = 2h[(| + a)r,, +
1 -v
jj
'J
- 'J
+ (|-a)r,, ], M ,, =
2 Fh
3
3(1 -v 2)
-[Ktt +vK,, ],
H, = ■
2h3
[(| + a) K t j + (| - a)K jt ],
N 13 = 2h(| + a)rt 3 + 2h(|-a)r3t, N3t = 2h(| + a) r3t + 2h(|-a)rt 3,
Lt t = 2h
4 Y(P + Y)
P + 2Y
k„ +
2yp P + 2Y
-k ,
+
P
P + 2Y
L
Lj = 2h[(y + b)k,j + (y-b)kj' ],
L33 = 2h[(P + 2y)i + P(ku +k 22)],
L3 = 2h
4 yb
Kt3 +
Y - b mt - mt
Лг-3 =
2h
3
y+b y+b 2
4yb 7 y - b m+ + m-'t3 +
Y + b y + b 2h
L , = 2h[( Y + b)kj + (Y -b)k J ],
j
L33 = 2h[(P + 2y)i + P(ku + K22)],
L3 = 2h
4 yb Y + b
Kt3 +
Лг-3 =
2h
Y - b mt - mt
y + b 2
4 ye , Y - e m+ + m-
-1, 3 +
y+e y + e 2h
геометрические соотношения
Г t =
1 du,
+
1 dA,
u+
w
At da t AtAj 5a j J Rt
r.. = 1 8uJ
1 dA,
,J At da t AtAj da .
ut - (-1)J Q3,
dA
K„= ± __
At da t AtAj 5a.
-V j
1 1
K j= ,J A da ,
1 dAt
V- (-1)J1,
= + (-1)J Qj , A?3f = V - (-1)JQJ,
S, = -
1 dw
+
1 dQ,
A da,
1 dA
+
(4)
A dat A A. da
Q2 +
Q3
r,
1 dQ j к , =---
IJ A, da,
JJ
— q,,
a,A. da, '
J
J
1 dQ 3 Q
A, da,
R, ' 1,3 =
Л A
A, da,
«Смягченные» граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки, считая, что этот контур совпадает с координатной линией a1 = const, можно записать в виде:
S12 = S* или U2 = u2,
Тц = Т* или u1 = u
11
1
33
(5)
N13 = N13 или w = w M11 = M* или K11 = Ki
11
11
11
H12 = H12 или K12 = K12,
(7)
L11 = Lu или K11 = кш
L12 = L12 ™и K12 = K12,
L13 = L13
или = K,
Л13 =Л13 или 113 = ^13 •
43 " "43'
В модели (4)-(7) микрополярных упругих оболочек с независимыми полями перемещений и вращений полностью учитывались поперечные сдвиговые и родственные им деформации.
На основе принципа Даламбера получим модель динамики микрополярных оболочек со свободным вращением. Построена также модель термоупругости микрополярных оболочек. Математические модели для микрополярных пластин и балок получены как частные случаи модели оболочек. Рассмотрены некоторые классы прикладных задач для микрополярных балок, пластин и оболочек.
Список литературы
1. Саркисян С.О. Общая теория упругих тонких оболочек на основе несимметричной теории упругости // Докл. НАН Армении. 2008. Т. 108, №4. С. 309-319.
u
K, t =
3
3
1752
С.О. CapKUCMH
ANALYTICAL MECHANICS OF MICROPOLAR ELASTIC THIN SHELLS, PLATES AND BARS.
STRENGTH, DYNAMICS, THERMOELASTICITY
S.O. Sargsyan
Based on the asymptotic analysis of boundary and initial-edge problems of the micropolar theory of elasticity and thermoelasticity in thin regions, general hypotheses are formulated, which lead to the construction of mathematical models of static deformation, dynamics and thermoelasticity of micropolar elastic thin shells, plates and bars. Special attention is given to the study of specific problems of strength, temperature stresses and vibrations in terms of micropolar bars, plates and shells.
Keywords: micropolar-elastic, shell, plate, bar, theory, statics, dynamics, thermoelasticity.
