Научная статья на тему 'Численное моделирование вдавливания индентора в металлический слой при конечных деформациях'

Численное моделирование вдавливания индентора в металлический слой при конечных деформациях Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
83
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Вестник МГСУ
ВАК
RSCI
Область наук
Ключевые слова
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / NUMERICAL SIMULATION / КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ / ELASTOPLASTIC DEFORMATION / УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ / НЕЛИНЕЙНОЕ УПРОЧНЕНИЕ / NONLINEAR HARDENING / LARGE STRAINS

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Исаев С.В.

В статье рассматривается задача квазистатического вдавливания жесткого шара в пластинки из упругопластических материалов. На основе сравнения результатов численного решения задачи о прогибе пластинки с экспериментальными данными найден закон упругопластического деформирования с упрочнением.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Исаев С.В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

NUMERICAL SIMULATION OF INDENTATION IN THE METAL LAYER AT LARGE STRAINS

We consider the problem of quasi-static indentation of hard balls in a plate of elastic-plastic materials. Based on a comparison of the results of the numerical solution of the problem of deflection plates and the experimental data found law elasto-plastic deformation with hardening.

Текст научной работы на тему «Численное моделирование вдавливания индентора в металлический слой при конечных деформациях»

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВДАВЛИВАНИЯ ИНДЕН-ТОРА В МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ СЛОЙ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

NUMERICAL SIMULATION OF INDENTATION IN THE METAL LAYER AT LARGE STRAINS

C.B. Исаев S.V. Isaev

ГОУ ВПО МГСУ

В статье рассматривается задача квазистатического вдавливания жесткого шара в пластинки из упругопластических материалов. На основе сравнения результатов численного решения задачи о прогибе пластинки с экспериментальными данными найден закон упругопластического деформирования с упрочнением.

We consider the problem of quasi-static indentation of hard balls in a plate of elastic-plastic materials. Based on a comparison of the results of the numerical solution of the problem of deflection plates and the experimental data found law elasto-plastic deformation with hardening.

Введение

При решении задач оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) тел с учетом конечных деформаций, неизбежно возникают затруднения. Все они связаны, так или иначе, с заданием констант и функций, входящих в определяющие соотношения для выбранной модели материала. Одной из часто используемых моделей материала является модель упругопластического материала с упрочнением, характерная для металлов. Для такой модели неизвестными параметрами будут предел текучести и функция упрочнения.

В данной работе исследуется возможность применения численного моделирования в сравнении с экспериментальными данными для установления закона упругопластического деформирования с упрочнением для пластинок. В качестве критерия появления пластических деформаций выбран критерий Мизеса.

1. Общие сведения о модели задачи

В ИПМех РАН были проведены эксперименты по осесимметричному квазистатическому вдавливанию стального шара как жесткого тела в круглые в плане пластинки из алюминиевых сплавов [1]. Пластинки были жестко зажаты по контуру. Их геометрические характеристики: диаметр пластинки - 81.5 мм; толщина - 1 мм; диаметр шарика - 10 мм. Материал пластинок - АМЦМ и Д16АТ. Результатами экспериментов явились зависимости «приложенная сила P - прогиб в центре пластинки w» (рис. 1).

2/2011

ВЕСТНИК _МГСУ

Здесь треугольниками обозначена зависимость для Д16АТ, а кружками - для АМЦМ, сила измеряется в ньютонах, прогиб - в мм.

Рис. 1

Материалы пластинок имеют следующие механические характеристики: АМЦМ

г( = 10рПа. сгм = 5 -10* Еа, & = ЯМ. ? = 7,1 -Ю^Еа. ь =

Д16АТ

гЕ = 4,4- 10рЕа,о-: = 3 ■ 10рЕа. Я = ^ = М-И^Щ г=Ш Согласно классификации пластин, при данном отношении характерного размера в плане к толщине ~ 40 пластинку можно считать тонкой. Поэтому, казалось бы, целесообразно использовать теорию тонких пластин для постановки задачи. Но из экспериментальных данных установлено наличие больших поперечных деформаций (~50 %) в пластинке. Поэтому теория тонких пластин здесь не применима и будем рассматривать ее как упругопластический слой и использовать 2Б уравнения механики сплошных сред. На рис. 2 показана геометрия задачи.

Рис. 2

2. Математическая модель задачи

Приступим к выводу соотношений для пластинки. При решении задачи будем использовать подход Лагранжа. Решение задачи аналитическим путем невозможно, поэтому для решения задачи воспользуемся программным комплексом ЛКБУБ. Этот

программный комплекс, как известно, включает в качестве меры деформаций тензор Генки.

Пусть в момент времени (начальная конфигурация) сплошная среда занимает некоторую область Й С К'. За отсчетную конфигурацию примем начальную. Введем в рассматриваемой области декартову систему координат х*.

Так как в задаче рассматривается осесимметричная деформация тела вращения, то также введем лагранжеву систему вмороженных координат

г ? = = -

Данная система координат, в нашем случае, цилиндрическая. Условимся в дальнейшем все величины, имеющие тензорный характер, обозначать жирным шрифтом. Для упрощения все формулы будем записывать в общем виде (тензорном), не приводя их выражения в принятом лагранжевом базисе, однако при постановке граничных условий учтем симметрию задачи.

Перейдем к соотношениям кинематики сплошной среды. Введем вектор перемещений. Только две его компоненты отличны от нуля

к = £ыЧ 0 гм31 й 2 = №

Введем в рассмотрение тензор градиента деформации В теории конечных упру-гопластических деформаций тензор градиента деформации разлагается на две составляющие - упругую и пластическую [3,4]

где и - соответственно, тензор градиента упругой и пластической деформации. Везде в дальнейшем индекс е означает упругую составляющую, а индекс р - пластическую. Введем также тензор градиента скорости

Он представляется в виде суммы упругой и пластической составляющих

Н- 1Р,

где = и = ПГ(/РУ-Ч&>+.

По теореме о полярном разложении тензора [3,4]

где - тензор ротации, и~- тензор коэффициентов длины.

Тензор упругой деформации Генки имеет следующий вид

Уравнение равновесия (векторное) имеет вид [2]

где т- тензор условных напряжений,

Граничные условия:

Перейдем к формулировке уравнений определяющих соотношений МДТТ. Для описания пластических деформаций принимаем теорию пластического течения с изотропным упрочнением. Материал предполагается пластически несжимаемым, следовательно

Тогда якобиан преобразования координат от начальной к текущей конфигурации будет выглядеть следующим образом

2/2011

ВЕСТНИК _МГСУ

/= ¿гМК =

В качестве тензора напряжений в теории конечных деформаций принимается тензор истинных напряжений Коши. Он связан с тензором условных напряжений Кирх-гоффа т следующим образом

5 = /(Я^ЧЯ-.

С этим тензором связана упругая работа

где ¡3" - симметричная часть упругой составляющей тензора градиента скорости. Девиаторная часть тензора напряжений связана с девиаторной частью тензора упругих деформаций

3 = 2$Е*Г

а шаровая часть тензора напряжений - с шаровой частью тензора упругих деформаций

= .

Интенсивность напряжений определяется следующим образом

Гз , 1яГ"

где Б - девиатор тензора напряжений Коши, а Б - девиатор тензора напряжений Кирхгоффа. Тогда нормаль к поверхности текучести будет определяться следующим образом

Представим пластическую составляющую тензора скорости согласно [3]

Г? = (И-ЧР^ =

Тогда тензор скорости пластических деформаций (симметричная часть пластической составляющей тензора скорости будет иметь следующий вид

геде - зф фйпинная скорость гыаохичейкик деформаций

Функция г = есть зависимость «скорость интенсивности напряжений -

скорость интенсивности пластических деформаций» [3]. Эта функция находится по зависимости второго инварианта тензора напряжений Коши от второго инварианта тензора пластических деформаций р = Указанная функция в случае нелиней-

ного упрочнения имеет следующий вид

а + +ДЛ - в

где - интенсивность пластических деформаций; Л'.. Л-. Ь - неизвестные кон-

станты материала.

Зная функцию г = iffV^J. всегда можно построить функцию с7 - зависи-

мость «интенсивности напряжений от интенсивности деформаций», добавляя упругую составляющую деформации. Напомним, что напряжения являются «истинными», а деформации «логарифмическими» (см. выше). Целью работы является поиск именно этих зависимостей для обоих материалов.

Перейдем к формулировке контактной задачи. Данная задача относится к классу задач контакта жесткого и деформируемого тела. Если два тела входят в контакт друг с другом, значит, они имеют общую границу, на которой выполнены условия непроникания одного тела в другое

fl-Г: ix^-x^l-nZ 0.

где з - нормальный зазор, хг и я1 - радиус-векторы первого и второго тел соответственно, vi - единичный вектор нормали к контактной поверхности. При контакте двух тел выполняется равенство, а при расхождении - неравенство. На границе контакта возникают сжимающие распределенные контактные нормальные силы

/с =/■ Я

В нашем случае первое тело (шар) - не деформируется, поэтому поверхность возможного контакта не изменяет свою форму и движется поступательно. Трением в задаче пренебрегаем.

3. Численное решение задачи

Численное решение задачи осуществляется методом конечных элементов с использованием программного комплекса ANS YS. Для интегрирования уравнений по времени используется метод Ньюмарка. Контактная задача решается методом множителей Лагранжа. На каждом шаге интегрирования по времени производится итерационное уточнение решения методом Ньютона-Рафсона.

Целью численного решения задачи, как указывалось ранее, является определение зависимости ¡7 = f]¡fj. Во всех случаях подбираемая кривая нагружения ¡7 = разбита на два участка: с начала нагружения и до предела текучести расположен участок линейного нагружения согласно теории упругости, а затем следует участок либо кусочно-линейного, либо нелинейного упрочнения.

Рис. 3

2/2011

ВЕСТНИК

МГСУ

Рис. 4

Па рис. 3 для пластинки из АМЦМ показана искомая функции с7 = с кусочно-линейным упрочнением и соответствующее ей решение «Р - ж» в сравнении с экспериментальной зависимостью. Здесь экспериментальная кривая «Р - ж» показана пунктиром. То же, но с использованием закона нелинейного упрочнения показано на рис. 4. На рис. 5 и 6 показаны оба вышеуказанных случая, но для пластинки из Д16АТ. Напряжения указаны в МПа.

Рис. 5

Рис. 6

Нелинейным функциям упрочнения соответствуют следующие коэффициенты:

АМЦМ

tf = 3?MEa. = S., = JSSMIb fr=P,E:

Д16АТ

Я = /Г^ИКИП* = ZSO № & = 5,

Выводы по результатам исследования:

- показана возможность совместного применения численного моделирования и эксперимента для определения функций параметров модели упругопластического деформирования с упрочнением;

- для пластин из двух сплавов получены кривые нагружения с кусочно-линейной и нелинейной функцией упрочнения;

- из сравнения решения для прогибов под нагрузкой для обоих материалов с соответствующими экспериментальными зависимостями можно сделать вывод о том, что кусочно-линейные функции упрочнения ничем не хуже нелинейных, и при различных исследованиях их применение упростит решение.

Найденные зависимости могут применяться для анализа НДС подобных пластин при больших деформациях или для моделирования разрушения таких пластин [5-7].

Литература

1. Ю. К. Бивин. Деформация и разрушение круглых пластин при статическом и динамическом нагружении сферическим телом. Изв. РАН, МТТ. 2008. № 5. С. 130-140.

2. С. Н. Коробейников. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: СО РАН. 2000. 262 с.

3. K.-J. Bathe. Finite Element Procedures. Prentice-Hall, New Jersey. 1996. 1037 P.

4. A.L. Eterovic, K.J. Bathe. On large strain elasto-plastic analysis with frictional contact conditions. Int. Conf. on Numerical Methods in Applied Science and Industry. 1991. V. 49. P. 81-93.

5. F. Grytten, T. Borvik, O.S. Hopperstad, M. Langseth. Quasi-static perforation of thin aluminum plates. Int. J. Impact Engng. 2009. V. 36. No. 3. P. 486-497.

6. N.K. Gupta, R. Ansari, S.K. Gupta. Normal impact of ogive nosed projectiles on thin plates. Int. J. Impact Engng. 2001. V. 25. No. 7. P. 641-660.

7. M. Raguraman, A. Deb, G. Jagadeesh. A numerical Study of Projectile Impact on Thin Aluminum Plates. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: J. Mech. Engng Sci. 2009. V. 223. No. 11. P. 2519-2530.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

The literature

1. Y. K. Bivin. Strain and fracture of circular plates under static and dynamical loading by a spherical body Mech. of Solids, 2008. № 5. P. 130-140.

2. S. N. Korobeinikov. Nonlinear Deformation of Solids. Novosibirsk: SB RAS. 2000. 262 P.

Ключевые слова: численное моделирование, конечные деформации, упругопластическое деформирование, нелинейное упрочнение.

Keywords: Numerical simulation, large strains, elastoplastic deformation, nonlinear hardening.

Рецензент: Симонов Игорь Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. лаб. ИПМех РАН.

e-mail автора: sergey-isaev@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.