CC BY
9
УДК 530.1
DOI:10.51844-2077-4990-2022-1-206-216
ИСТИФОДАИ УСУЛИ ХУРДТАРИНИ КВАДРАТНО БАРОИ КОРКАРДИ НАТЩА^ОИ ЧЕНКУНИИ ФИЗИКИ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
USING THE LEAST SQUARES METHOD FOR PROCESSING THE RESULTS OF PHYSICAL MEASUREMENTS
Ра^матов Му^амадй Нуридинович, омузгори кафедраи кафедраи физикаи умумй ва цисм^ои сахт; Ра^монов Бе^зод Акбаралиевич, омузгори кафедраи анализи математикии МДТ «ДДХ ба номи акад. Б.Гафуров» (Тоцикистон, Хуцанд)
Рахматов Мухамади Нуридинович, преподаватель кафедры общей физики и твердого тела; Рахмонов Бехзод Акбаралиевич, преподаватель кафедры математического анализа ГОУ «ХГУ имени акад. Б.Гафурова», (Таджикистан, Худжанд)
Rahmatov Muhamadi Nuridinovich, lecturer of the department of general physics and solid, E-mail: muhamadi.rahmatov@yandex.ru; Rakhmonov Behzod Akbaralievich, lecturer of the department of mathematical analysis under the SEI "KhSU named after acad. B.Gafurov" (Tajikistan, Khujand), E-mail: rahmonov.behzod@mail.ru
Вожщои калиди: усули хурдтарини квадратно, коэффитсиенти Стюдент, методи Крамер, алгоритми коркарди натицауо, хатогщо, суммаи тамоюли квадратуои нуцтауои экспериментали
Дар мацола оид ба заминауои илмии истифодаи усули хурдтарини квадратно дар коркарди натицауои ченкунии бевоситаи физики маълумоти дациц оварда шудааст. Аз чунин пешнщод, ки бори аввал сурат мегирад, толибилмон барои ташаккули дониши физики ва математикии худ, омузгорон барои пурцувват шудани мотиватсияи омузиш дар раванди таълими физикаи тацрибави ва уангоми тадцицотуои физики истифода бурда метавонанд. Хангоми щлли масъалауои тацрибавй дар физика баъзан вацт зарур меояд, ки бузургщои физикие, ки вобастагии функсионали доранд, чен карда шавад. Одатан, баъди ченкунихо аз графикхое, ки натицауои ба таври тачриба бадастовардашуда сохта шудаанд, маълумот дар бораи ходисаи физики гирифта мешавад ва вобастагии байни ду бузургии физики х ва у дар шакли чадвалуо оварда мешавад.Усули хурдтарини квадратно яке аз усулуои таулили регрессиони барои бщодщии бузургщои номаълум аз руи натицаи ченкуни дорои хатоуои тасодуфи мебошад. Усули хурдтарини квадратуо инчунин барои наздик кардани функсияи додашуда бо дигар функсияуо (одди) татбиц карда мешавад ва аксар вацт уангоми коркарди натицауо фоидаовар аст. Вазифаи усули хурдтарини квадратуо аз интихоби векторе иборат мебошад, ки хатогии натицауои ченкуниро кам менамояд.
Ключевые слова: метод наименьших квадратов, коэффициент Стьюдента, метод Крамера, алгоритм обработки данных, погрешности, сумма квадратов отклонений экспериментальных точек
В рамках статьи показаны научные основания метода наименьших квадратов и приложение его для обработки результатов физических измерений. Такое сочетание способствует лучшему восприятию представленного материала студентами, преподователи могут использовать их для повышения мотивации в учебном процессе по экспериментальной физике и при физических исследованиях. При решении экспериментальных задач по физике часто возникает необходимость измерения физических величин, находящихся в функциональной зависимости. Как правило, после измерений информация о физическом явлении извлекается из графиков, построенных по данным, полученным экспериментальным путем, а зависимость между двумя физическими величинами - х и у представляется в виде таблицы. Подчеркивается, что метод наименьших квадратов - один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки, применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений. Делается вывод о том, что задача метода наименьших квадратов состоит в выборе вектора, минимизирующего ошибку.
Key words: least squares method, Student's coefficient, Cramer's method, data processing algorithm, errors, sum of squares of deviations of experimental points
The article shows the scientific foundations of the least squares method and its application for processing the results of physical measurements. This combination contributes to a better perception of the presented material by students, teachers can use them to increase motivation in the educational process in experimental physics and in physical research. When solving experimental problems in physics, it often becomes necessary to measure physical quantities that are in functional dependence. As a rule, after measurements, information about a physical phenomenon is extracted from graphs constructed from data obtained experimentally, and the relationship between two physical quantities - x and y - is presented in the form of a table. The least squares method is one of the methods of regression analysis for estimating unknown quantities from measurement results containing random errors. The least squares method is also used to approximate a given function by other (simpler) functions and is often useful in processing observations. The task of the least squares method is to choose a vector that minimizes the error.
Пешбурди зиндагй дар чахони муосир бе донишхои илмй ва истифодаи амалии онхо амалан гайриимкон аст. Одамон аз истифодаи наклиёт, неруи барк, телефон, компютер, телевизор, хдвопаймо, киштихои обй, тачхизоту дастгоххои истехсолй ва гайра хеч гох даст намекашанд. Зеро истифодаи онхо хдма гуна корро осон, самараи истехсолй ва сатхи зиндагиро боло бурдааст. Дар байни донишхои илмхои табий донишхои физикй мавкеи асосиро ишгол менамоянд [1,с.2]. Донишхои физикй гуфта мачмуи донишхоеро меноманд, ки зимни омузиш ва тахлили мантикии ходисахои физикй олимон тули асрхо ба даст овардаанд. Физикаи муосир бинои мухташами донишхо дар бораи ходисахои табиат мебошад. Агар гуем, ки «Физика асоси техника ва технологияи имрузаву оянда мебошад», муболигае намешавад [1,с.2].
Хушбахтона, донишхои илмхои табий, аз чумла, физика сархадхо надоранд. Дар ба вучуд овардани донишхо оид ба ходисахои табиат намояндагони халку миллатхои мухталиф ба кадри имкон ширкат менамоянд. Зимни омузиш конунияти равандхои табий мукаррар карда мешавад. Татбики амалии ин конунхо хатман сабаби ба вучуд омадани воситаи техникиву усулхои технологй мегардад. Аз ин воситахо хамаи одамони чахон метавонанд истифода баранд. Фахмост, ки сатхи зиндагй аз самаранокии истифодаи техника ва технологияи зимни донишхои илмхои дакик бадастомада вобаста аст[1,с.2]. Мамлакатхои пешрафта аз дастовардхои илмхои табий, аз чумла физика бо максадхои иктисодй, ичтимой ва хифзи манфиатхои давлатии худ истифода мебаранд. Точикистони сохибистиклол аз ин раванди чахонй дар канор буда наметавонад. Ч,омеаи мо, хусусан, ахли маориф ва насли чавонро, лозим аст, ки ба масъалаи омузиши илмхои дакик таваччухи бештар дошта бошанд. Ин нукта солхои охир дар сархати суханронихои Президенти Точикистон мухтарам Эмомалй Рахмон карор дорад. Саноатикунонии босуръат, ки хамчун хадафи чоруми стратегии Х,укумати Точикистон эълон шудааст, омузиши амики илмхои дакик, аз чумла физикаро дар хамаи зинахои тахсилот боз хам актуалй менамояд [3]. Сарвари давлат амикан дарк менамоянд, ки рушди бемайлони иктисодй ва ичтимоии Точикистон ва таъмини зиндагии шоистаи мардуми мо ба чахонбинии илмии ахолй, ба самаранокии истифодаи технологияи муосир ва савияи касбии мутахассисон сахт вобаста мебошад.
Хдлли масъалахо чузъи таркибии таълими фанни физика мебошад [1,с.2]. Зимни омузиши асосхои назариявии ходиса ва кумаки омузгор толибилм, тадричан, масъалахои физикиро мустакилона хал карда метавонистагй мешавад. Ин махоратро толибилм бо рохи мустакилона машк кардан низ сохиб шуда метавонад. Чунин "тавонистан"- хо рагбати хонандаро ба халли масъалахо бештар менамояд. Минбаъд, у ба халли масъалахо бе супориши муаллим машгул мешавад ва тадричан ба халли масъалахои мушкилтар мегузарад. Чунин толибилмон дар озмунхои фаннй дастболо мешаванд. Бо баробари халли масъалахо толибилм дар рохи донишандузй "кашфиёт"-хо мекунад, боварй ба "тавонистан"- хои худро зиёд менамояд. Толибилми ба ин зина расидаро ба донишомузй таргиб кардан зарурат намемонад. Уро чозибаи омузиши маълумоти илмй ба пеш мебарад ва аз захмати омухтан хаста намешавад. Алберт Эйнштейн дар ин бора хеле нишонрас навиштааст: "Хурсандие, ки хангоми дидан ва фахмидани чизи нав эхсос мешавад, атои бемисли табиат мебошад" [1,с.2].
^амин тавр, хангоми халли масъалахо истифодаи формулахо, аз онхо дарёфт намудани номаълумхо (бузургихои физикй) робитаи физикаро бо унсурхои математикаи оморй таъмин менамояд.
Ба андешаи мо, барои он, ки толибилмон зарурияти омузиши дигар фанхоро харчй барвакттар дарк намоянд, омузгорони фанхои табий (табиатшиносй, геграфия, ботаника,
биология, химия ва физика) бо таври доимй дар бораи ахмияти ин масъала корхои фахмондадихиро бо мисолхои мушаххас анчом доданашон лозим аст. Хднгоме, ки толибилм пешрафти худро дар омузиши физика бо донишхои худ аз фанхои дигар (математика, география, химия, биология ва гайра) вобаста эхсос менамояд, фаъолияти у дар тахсил бошуурона ва бешубха босамар мегардад [1,с.2].
Лекин расидан ба ин савияи фаъолияти омузишии толибилм, аз тарафи омузгорон захмати зиёд ва махорати касбии баландро такозо менамояд. Расидан ба ин хадаф, ба андешаи мо роххои мухталифро дорад. Мухимаш он аст, ки дар раванди омузиши физика дар зехни толибилм хулоса оид ба мухимияти донишхо аз фанхои дигар ба вучуд ояд. Чунин «кашфиёт» ба болида шудани рухияи толибилм сабаб гардида, дар натича имкониятхои зехнии у ба кор медарояд. Ин ба он сабаб мегардад, ки толибилм ба омузиши фанхо бошуурона ва бо чиддият муносибат менамояд. Дарвокеъ, омузиши илм хамин гуна муносибати чиддй ва максаднокро такозо менамояд[1,с.2].
Дар мацолаи мазкур доир ба махсусиятхои масъалахои дар натичаи тачриба бадастомада ва накши онхо дар ташаккули дониши физикии толибилмон дар зинаи аввали таълими физикаи тачрибавй сухан меравад.
Тачриба яке аз асоситарин воситаи омузиши ходисахои физикй ба шумор меравад. Х,арчанд тавассути моделхои математики бо усули назариявй ходисахо тадкик карда мешаванд, лекин натичахои назарияро бояд тачриба тасдик намояд. Вакте ки "тачриба меъёри хакикат аст" мегуянд, инро дар назар доранд. Яъне дар сурати дар тачриба тасдик шудани нуктаи назар, гипотеза ва андеша вай ба дониши вокей табдил меёбад ва аз он истифода мебаранд. Дар сурати дар тачриба исбот нашудани нуктаи назар (назария, моделхои математикй), ё аз бахри он мебароянд, ё ки онро бо назардошти вокеият такмил медиханд. Дар хар сурат, натичаи хулосахои мантикиро дар тачриба санчида ба дурустии онхо боварй хосил карда мешавад [4].
Ба масъалахои физикаи эксперименталй на танхо чен кардани бузургихои доимй дохил мешавад, балки тад;и;и вобастагии байни характеристикахои гуногуни физикй низ дохил мешавад [1,с.2].
Бештари ;онунхои физикй, аз чумла фундаменталй дар намуди муодилахо тартиб дода мешавад, ки байни худ бузургихои физикии гуногунро ало;аманд менамоянд. Барои тад;и;и ало;амандии бузургихои физикй хам методхои эксперименталй ва хам тачрибавй истифода бурда мешавад. Пеш аз гузаронидани дилхох тачриба ратман бояд вобаста аз масъалаи гузошташуда тахлили назариявй гузаронида шавад.
Баъди ба итмом расидани эксперименти физикй, тад;и;отчй одатан натичахоро ба намуди ;иматхои ра;амй дар чадвал гузошташударо ба даст меорад, ки хатогии онро бо усули коркарди оморй муайян менамояд. Коркарди минбаъдаи натичахои тачрибахо аз ёфтани вобастагии функсионалй иборат аст, ки он бузургихои ченшавандаро ало;аманд менамояд. Агар ченкунй бо ма;сади истехсолот гузаронида шуда бошад, ин гуна вобастагиро хангоми тахлил кардани сифати махсулот истифода бурда мешавад. Хднгоми ичро кардани корхои илмй-тад;и;отй барои фахмидани робитаи байни бузургихои физикй дар тад;и;отхои назариявии ходисахо ё равандхои минбаъда лозиманд. Усули хурдтарини квадратй дар бисёр сохахо татби; мешавад, зеро он яке аз усулхои баходихии бузургихо аз руи натичаи ченкунй мебошад, ки дорои хатогии тасодуфй мебошад. Он аксар ва;т хангоми коркарди натичахо муфид аст[1,с.2].
Хднгоми ичро кардани тачрибаи физикй лозим аст, ки ягон гуна намуди вобастагии бузургихои физикй тартиб дода шавад, масалан байни x ва y. Ин маънои онро дорад, ки ягон намуди маълуми функсияи математикй y =f(x) ёфта шавад. Пас, функсияи мураккаби дар физика хеле кам дучорояндаи
y = exp(ax), (1) y = ха У = a • f(x)
метавонад шаходат аз вобастагии содаи хаттии намуди y = a + bx (2) ё ки y = ax- ро дихад [4,с.5].
Одатан барои ин муодилаи хаттй кофй аст, ки бо тагийрёбандахои мувофи; иваз намоем.
Масалан, чй тавр ифодаи экспоналиро y = exp (ax) ба хаттй y = a + bx гардонданро дида мебароем. Аз ифодаи (1) логарифма мегирем:
ln y = ax,
ln y - ро бо z иваз менамоем, ln y =z дар натичаи ифодаи зеринро ба даст меорем: z = ax.
Вазифаи навбатй ин ёфтани коэффитсиентхои номаълум мебошад: а дар ифодаи у = ах ё ки а в а Ь дар ифодаи у = а + Ьх [4,с. 5].
Агар бузургихои х ва у бехато чен карда шаванд, пас дар асоси теоремаву аксиомахои ге ометрияи евклидй гуфтан мумкин аст, ки барои муайян намудани ;иматхои а ва Ь дуто ченкунии комилан сахех кифоя аст, дар холати у = ах будан танхо якто ченкунии сахех кофй мебошад. Аммо, чй тавре, ки медонем ва ё исбот кардан мумкин аст, ки ченкунии мутла; сахех вучуд надорад. Хдр як ченкунй ба мо як муодила медихад, ки коэффисиентхои номаълумро ало;аманд менамояд. Дар натича мо системаи муодилахоро ба даст меорем, ки дар он шумораи муодилахо аз шумораи номаълумхо зиёд аст. Вазифа аз он иборат аст, ки ;иматхои эхтимолии коэффитсиентхо аз ин система ёфта шаванд. Барои баходод кардани параметрхои а ва Ь одатан усули хурдтарини квадратиро истифода мебаранд [4,с.5].
Яке аз роххои имконпазир ва аксаран истифодашаванда барои дарёфти ;иматхои а ва Ь ба таври графикй мебошад. Бузургихои х^ ва у; дар намуди ну;тахо дар ;огазй миллиметрй ворид менамоянд, баъд хати ростро тавассути онхо бо чашми одй мегузаронанд, аммо усули халли графикй на хама ва;т, сахехии лозимаро таъмин карда метавонад. Барои боз хам сахехтар шудани хал, методхои аналитикй, масалан - усули хурдтарини квадратй истифода бурда мешавад.Усули хурдтарини квадратй яке аз усулхои тахлили регрессионист, ки барои дарёфти баходихии параметрхои регрессия дар асоси кам кардани суммаи квадратхои хамаи хатохо истифода мешавад [5].
Дар расми 1 дар намуди ну;тахо ;имати тачрибавии ёфташудаи бузургихои х ва у оварда шудаанд. Азбаски ченкунихо хатохо доранд, натичахо дар болои хатй рост нахобидаанд, балки дар атрофи хатти рост парокандагии ну;тахо вучуд дорад. Фарз мекунем, ки бузургихои х ва у ба ;онуни та;симоти нормалй итоат кунад, ченкунихои Х( ва у( барои хар як ну;та як маротиба гузаронида шуда бошад, чуноне ки аксаран дар корхои лаборатории физикй дида мешавад. Пас наздикшавии бехтарин чунин хатест, ки барои он суммаи квадратхои масофаи вертикалй ХГ=1 (ДУ()2 аз иуктахо то хати рост минималй шавад.
Расми 1. Графики усули хурдтарини квадраты
Суммаи тамоюли квадратхои ну;тахои эксперименталии х^ ва У(-ро аз ;онуни у = а + Ьх истифода бурда тартиб медихем.
°(а,Ь) = !Г=1Лу? = + Ь - у¿)2, (3)
дар ин чо п - шумораи ну;тахо дар график ё ки ададхои мувофи;и чуфти х^ ва у; мебошад. Киматхои а ва Ь бояд тавре бошанд, ки ;имати о минималй шавад. Аз курси анализи математикй маълум аст, ки функсияи хосилшуда нисбат ба параметрхои а ва Ь параболоидро ифода мекунад. Квадрати дар нишондихандаистода ба мо кафолат медихдд, ки шохахои ин параболоид ба боло равон карда шудааст. Аз ин бармеояд, ки ин сатх ну;таи минималй дорад. Азбаски тартиби сатх ба ду баробар аст, баъзе хосиятхояшро ба назар гирифта нишон додан
мумкин аст, ки нуктахои экстрималии ягона дорад. Аз ин ру, хосилаи хусуси аз о нисбат ба а ва Ь бояд ба сифр баробар мешавад, яъне
ОО V-1
— = I 2(а%1 + Ь — у1) • = 0,
1=1 п
О О
— = ^2(ах1 + Ь—у1)^ = 0.
п
Ифодаи ба дастомадаро аз сари нав ба чунин намуд менависем:
п п п
,2
=1 =1 =1 п п
=1
=1
Хдмин тавр, системаи муодилаи хаттии бо ду параметрхои номаълуми а ва Ь - ро ба даст меорем. Коэффитсиентхо хангоми номаълум будани а ва Ь (суммахои мувофи;) аз вобастагии натичаи чадвал бармеояд ва барои хамин натичахо доимИ мебошанд. Хднгоми гуногун будани киматхои XI муайянкунандаи асосии ин системахо аз сифр фар; мекунад. Аз ин хулосае бармоеяд, ки система халли ягона дорад [4,с.5].
Решаи система муодилахои хаттии хосилшударо бо ёрии методи Крамер ёфта мешавад. Бо ёрии дигар методхо низ ёфтан мумкин аст. Аммо барои исботи баъзе фарзияхо натичахое, ки дар ин чо хосил мешавад мувофи; аст.
К =
Аъ =
=1 =1 п
IXI п =1
п
^XI
=1 п
I"
=1
п п
I х2 I
=1 =1 п п
IX' I
п 1=1
п п
1=1 1=1
=1 п
п п п
= п•Iхi•уi—Iхi•I
У1
=1
=1 =1
п п
х
=1 =1
п п п п
=1 =1
_ _ = Ъ=1х1^п=1у1
а = = ^"Тх^П
Хдлли якчояи ин муодила чунин мешавад:
_ Еп= 1у Еп 1хI T,i=lхiЕп 1х • уi ... а= пЕП=1х2— СЕП=1хд2
^ _ nZi=1xi^yi ^i=1xi^i=1yi nZi = 1x2 — (£i=ixi)2
Агар ;имати миёнаи x ва y - ро гирем, формулами (4) ва (5) шакли содатарро мегиранд.
Т7
1
= -^У Xi,
=1 i
=-yyi■
дар ин хол а = y — bx, (6)
=1
, l'i=i(xi — x)(yi — У) ïf=ibxibyi b = -^-—-= „„ . , (7)
Ж=1(х1-х)2 1?=1&х2
Интервали боварибахш (хатои мутла;) барои а ва Ь аз руи формулаи зерин баходод карда мешавад:
Аа = Ab
M
x2 +
x)2 = Ab
M
x2 +
(8)
A b = tP,N-2
M
1 fl(yi-y)
n
2
2\Uxi — x)2
— b2
2
P,N-2
M
1
n
*A* — b2
2\IAxH
(9)
дар ин чо tP N-2 - коэффитсиенти Стюдент мебошад, ки барои муайян намудани шумора (N — 2) ва эхтимолияти Р додашуда пешбинй шудааст.
Ёфтани коэффисиент дар муодилаи хати рости y = ax
Агар вобастагии байни x ва y намуди зерин дошта бошад:
y = ax (10)
дар ин хол ёфтани коэффитсиенти a дар муодилаи хати рост ба ёфтани минимуми дисперсияхои бо;имонда (<7у ==—^°(а1,а2, ^,а£) =-^■Yi[yi — f(xita1ta2, ^,ак~)]2) оварда мерасонад, ки
У N—K N—K
дар ин чо ми;дори параметрхои номаълум К = 1 мешавад. Пас аз хурдтарини квадратй ифодаи зеринро медихад[6].
истифодабарии усули
(а) = у Ayi = y(y; — ащ)2, i=1 i=1 i
Ш = 2У xi(yi — axi) = 0,
(11)
а =
=1
M
(12)
Аа= t
P,N—2
M
1 (Zx2Zyf — (Zxiyi)2
N — 1
(Zx2)2
(13)
Дар ин цо мо ба сифати мисол намунаи халли чанд масъалаи физикиро тавассути усули хурдтарини квадратхо меорем. Толибилми зирак хангоми шиносой бо рафти халли масъалахо бе душворй фахмида метавонад, ки барои халли масъалахо аз донишхои математикй истифода шудаанд. Дида метавонад, ки дар баъзе маврид танхо истифодаи дурусти формулахои маъмул, тасвири графикии ходиса ба натичаи даркорй мебарад. Чунин мисолхоро муаллимон ва толибилмони омода метавонанд дар китобу дастурхои физикаи тачрибавй дар адабиётои зерин овардашуда дарёбанд [3,с.1].
Масъалаи 1. Коэффитсиенти хароратии му;овимати металлхоро мувофи;и усули хурдтарини квадратхо хисоб менамоем. Вобастагии му;овимати металлхо аз харорат хаттй мебошад[4,с.5].
^ = Я0(1 + аЬ0) = Я0+ Я0М0 Хднгоми харорат 0 °С будан му;овимати металл Я0 аст.
Натичахои ченкунии муцовимати элекрикии ноцил дар хароратхои гуногун дар чадвали 1 дар сутунхои дуюм ва сеюм оварда шудааст. Дар сутунхои боцимонда натичахои хисобнамоии математикии бузургихои ченшуда чойгир карда шудааст. Дар ин холат чунин ишорахоро ворид менамоем:
Цадвали 1. Ченкунии муцовимати ноцил^ дар .\арорат\ои гуногун^
№р/т к, 0С Ъ , Ом Щ, 0С А12 , 0С 2 д^, Ом дя2, Ом2 0С Ом
1 20,0 86,70 -15,0 225,00 -4,827 23,300 72,405
2 24,8 88,03 -10,2 104,04 -3,497 12,229 35,669
3 30,2 90,32 -4,8 23,04 -1,207 1,457 5,794
4 35,0 91,15 0 0 -0,377 0,142 0
5 40,1 93,26 5,1 26,01 1,733 3,003 8,838
6 44,9 94,90 9,9 98,01 3,373 11,377 33,393
7 50,0 96,33 15,0 225,00 4,803 23,069 72,045
£ , 0С 35,0 д , Ом 91,527 ЗД2, ос 2 701,1 Ом2 74,577 0С Ом 228,144
Барои муайян кардани параметрхои Я0 ва а дар формулаи (1) методи хурдтарини квадратиро истифода мебарем. Ифодаи зеринро истифода бурда Ь = ^ = Ах'А2!1 ,
коэффитсиенти хароратии муцовимати ноцилро меёбем.
а =
228,14
= 0,3254 Ом/ОС
1М2 701,1
Хдмин тавр, Я0= Я-Ы = 91.527-0,3254 = 80,14 Ом. Хатогии циматхои а ва Я0 бадастомадаро аз формулахои (8) ва (9) истифодабурда баходод менамоем:
А«= Ь,М_2^(Щ-Ь2) =2,57 (14511-(0,3254)2) = 0,025 oм/0С,
АЯ0 = Аа Jt2+1lAt2 = 0,025^(35,0)2 + 1 • 701,1 = 0,91 Ом.
Хдмин тавр натичаи нихоиро ба даст меорем:
Я0= (80,14±0,91) Ом, £Ко = 1,1 %; а= (0,325±0,025) Ом/0С, £Ко = 77 %;
Я = (80,14±0,325г) Ом.
Масъалаи 2. Хднгоми омухтани гироскоп як цатор ченкунии бузургихо гузаронида шуданд, ки ин имконият дод, ки моменти цувваи М ба гироскоп таъсиркунанда ва суръати кунчии претсессия ю хисоб карда шавад. Формулаи алоцамандкунандаи ин бузургихо ба формулаи [10] монанд аст: М = Lю, дар ин чо Ь- моменти импулси гироскоп мебошад. Моменти импулси гироскопро Ь бо истифода аз усули хурдтарини квадратй меёбем ва хатогиро баходод менамоем. Натичахои хисобнамудаи цимати М ва ю дар чадвал оварда шудааст[4,с.5].
№ р/т Щ , с"1 М1 Нм щ2, с"2 М? (Н-м)2 с"1 Нм (щм) (с"1 Н ■ м)2
1 0,101 0,165 1,020-10-2 2,722-10"2 1,666-10"2 2,776-10"4
2 0,078 0,129 0.608-10"2 1,664-10"2 1,006-10"2 1,012-10"4
3 0,054 0,092 0,292-10"2 0,846-10"2 0,497-10"2 0,247-10"4
4 0,079 0,129 0,624-10"2 1,664-10"2 1,019-10"2 1,038-10"4
5 0,103 0,165 1,061-10-2 2,722-10"2 1,700-10"2 2,890-10"4
6 0,126 0,202 1,588-10"2 4,080-10"2 2,545-10"2 6,477-10"4
I 5,193-10"2 13,698-10"2 8,433-10"2 14,440-10-4
Мувофщи формулаи (12) Ь - ро меёбем
Т _ Т?=1 8,433-10-2
Ь V™ ,2
1,624 кг-м2 • с'
5,193-10-2
Акнун хатогии мутла^и ^имати ба даст омадаи моменти импулсро мувофщи формулаи (13) хисоб менамоем:
Ы = 2,8 ¡1-(5
5,193Л3,698-(8,433)'
) = 0,033 кгм2
• С
15 V (5,193)2
Хатогии нисбии моменти импулси хисоб намудаамонро хисоб менамоем:
0,033
= ^ ^ % = 2 %. ь 1,624
I = (1,624 ±0,033) кг^м2 • с-1, е = 2 %.
Масъалаи 3. Алгоритми коркарди натичахо мувофщи усули квадратии хурдтарин барои муодилаи у = ax + Ь дар мисоли муайян намудани параметрхои харакати собитшитобро дида мебароем. Тачрибаи оиди муайян намудани суръати чисм 0 =а1 + т90 хангоми харакати собитшитобро аз руи натичахое, ки шитоби чисм а ва суръати ибтидоии д0 онро дида мебароем. Бигзор хатогии асбоби муайянкунандаи вак;т ва суръат мувофщан ба = 1с ва А$ = 0,2 м/с баробар бошад [1]. Натичахои коркарди экспериментам мувофщи УХК дар чадвал маълумот дода шудааст.
№ х=г, Ах/ х , — х (Ах,)2 Ау = У1— У (Ауг) 2 Ах,- Ау,-
1 0 10.1 -12.5 156.25 -12.517 156.675 156.463
2 5 15.3 -7.5 56.25 -7.317 53.538 54.877
3 10 19.8 -2.5 6.25 -2.817 7.935 7.043
4 15 24.6 2.5 6.25 1.983 3.932 4.958
5 20 30.4 7.5 56.25 7.783 60.575 58.373
6 25 35.5 12.5 156.25 12.883 165.972 161.037
I !х; = = 75 I у = = 135.7 1А = х/ = 0 1А = х2 = 437.5 1Ау = = -0.002 = 448.628 1Ах гАуг = 442.751
1. ^имати миёнаи х ва у - ро меёбем:
х=^=12.5с, у = ^=22.617 м/с2
_ N N '
1. ^имати миёнаи а ва Ь - ро меёбем:
а = ^^^ = 1.012 м/с2, Ь = у-ах = 9.967 м/с.
х КАуО 2
2. Дисперсия ва ^имати тамоюли миёнаи квадратии а - ро меёбем.
2
аа = N-2 (X АХ2
1 £Ьу2
2
а2
=3.22940'
Уа=1о2 = 1.797•Ю-2 м/с
°ь = К =0.167 м/с.
= 2.78,
3. Дисперсия ва ^имати тамоюли миёнаи квадратии Ь- ро меёбем.
о2 = о1(х2+±ХЬх2) = 0.028,
4. Хатогии тасодуфии а ва Ь - ро хисоб менамоем. Коэффитсиенти Стюдентро барои Р = 95 % ва N - 1 = 5 Аа = ЬР^-1аа =0.04996 м/с2, АЬ = =0.464 м/с.
5. Хатогии асбобро барои коэффисиенти Ь хисоб менамоем.
Аь= \а\ Ах + Ау = 1.212 м/с, бо назардошти Ах-1сва Ау = 0.2 м/с.
6. Хатогии умумии коэффисиентхои а ва Ь - ро хисоб менамоем.
Аа = Аа = 0.04996 м/с2 ва АЬ = АЬ +АЪ =1.676 м/с.
7. Натичаи нихой: у =(1.012±0.04996) х + (9.967 ±1.676).
8. Натичаи нихой дар шакли яклухтшуда чунин навишта мешавад:
у= (1.01±0.05) х + (10.0 ±1.7), бо эхтимолияти Р = 95 %.
1
4
2
Масъалаи 4. Дар чадвал баъзе ;иматхои вобастагии функсионалии аз тачрибаи К= 6 бадастовардашуда пешниход шудааст.
Х- Уг х2 х1У1
1 1 1 1
2 1,5 4 3
3 3 9 9
4 4,5 16 18
5 7 25 35
6 8,5 36 51
=21 ЕУ;=25,5 £х2 = 91 Хх(У( = 117
Вазифа:
Аз руи натичаи чадвал функсияи хаттии вобастагии аппроксиматсияро бо усули хурдтарини квадратй меёбем: у = ах + Ь.
Х,ал
1. Вобастагии у аз х - ро дар намуди функсияи хаттй у = ах + Ь меёбем.
^имати коэффисиентхои а ва Ь - ро чунон интихоб менамоем, ки суммаи тамоюли квадратй 5 (а, Ь) = Тп^Ауд2 = ТП=1(ах( + Ь — у{)2 ^ шт бояд минимум шавад.
Функсияи 5 (а, Ь) дар он холе ;имати минималиро ;абул мекунад, ки агар хосилаи хусусии Ба ва 5'ъ ба сифр майл кунад.
5а(а, Ь)= ^ 2(ах{ + Ь — у^ • XI = 0,
1=1 п
Б'ь(а, Ь) = ^ 2(ах^ + Ь — у{) • 1 = 0.
аз ин чо ба системаи муодилаи хаттии гайриякчиса меоем.
п п п
1=1
1=1
п
1=1 п
^х1 + п^Ь =
1=1
1=1
аз ин чо ТЦ=1х1 = 21, Т(6=1У1 = 25,5, = 91, ^х1У1 =117.
дар ин хол системаи муодила намуди зеринро мегирад:
(91а + 21Ь = 117, { 21а+ 6Ь = 25,5.
Системаи муодидаро мувофи;и формулаи Крамер хал менамоем:
Аа / Аь а = —, Ь = —,
А А
аз ин чо
А =
91 21 21 6
= 546 • 441 = 105, Аа =
91 117 21 25,5
А=
117 21 25,5 6
= 2320,5 — 2457 = 136,5.
= 702 — 535,5 = 166,5,
дар ин хол
Аа 166.5 * . Аь 136,5
а = -а =-=1,59 ва Ь =-^ =-
А 105 А 105
= 1,3 мешавад.
п
V
а
Дар натича, функсияи хаттии номаълум намуди зеринро мегирад:
у = 1,59х-1,3.
Алгоритми коркарди натицауо мувофщи УХК барои муодилаи у = ах дар мисоли муайянкардани шитоби афтиши озод
Масъалаи 5. Тачрибаеро оиди муайян намудани шитоби афтиши озод g хамчоя бо ченкунии даври лаппиши равдосаки математикй Т ва дарозии I онро дида мебароем, ^имати натичахои ченкунй дар чадвал оварда шудааст [6]._
Параметр №: шумораи тачрибахо Д
1 2 3 4 5
1 , м 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 5-10-4
Т, с 1.415 1.563 1.670 1.791 1.910 10-4
Коркарди минбаъдаи натицауо бо чунин амалуои пайдарпай ицро карда мешавад. Вобастагии Т = 2ж^1/д - ро хаттй менамоем ба формулаи муодилаи хаттй у = ах ^иматхои мувофщро мегузорем, яъне у = Т, х = VI,
Мувофщи УХК барои муодилаи у = ах натичахоро коркард намуда чадвали 2 - ро пур менамоем, натичахои номаълумро дар шакли тагийрёбандахои нав пешниход менамоем, (х^ у{)
= (VI, Т)
_Цадвали 5
№ II 1 Ух = Ъ у2
1 0.7071 1.415 0.500 2.0022 1.0005
2 0.7746 1.563 0.600 2.4430 1.2107
3 0.8367 1.670 0.700 2.7889 1.3973
4 0.8944 1.791 0.800 3.2077 1.6019
5 0.9487 1.910 0.900 3.6481 1.8120
I I х^ = 4.1615 I У1 = 8.349 I х2 = 3.500 I у?= 14.0899 I х^ = 7.0224
^имати миёнаи а - ро хисоб менамоем:
а = = 2.0064.
Я Ч
Дисперсия ва тамоюли миёнаи квадратии а - ро хисоб менамоем:
Хатогии тасодуфии коэффитсиенти а - ро барои Р = 95 % ва N = 5 бо назардошти он, ки коэффисиенти Стюдент ба ЬР= 2.78 баробар аст, дар ин хол Да ЬР к&а= 9,31 -10
V
-3
Хатогии асбоби ченкунии бевоситаи бузургии у = Т ба Ау= Ат= 10 4 с баробар аст, хатогии асбоби ченкунии бовоситаи бузургии х = VI бошад намуди зерин дорад:
1 ^ д г- А^ V-1 1
Ах= N¿1^= пЬ^М^ = ыЛ =мЛШ=
( ( ( ( V 1 (
Натичахои чадвали 1 ва 2 - ро истифода бурда натичаи зеринро ба даст меорем:
-1.1- = 1.215, Ах= 3.036 •Ю-4.
N XI х
Дар ин хол хатогии асбоби коэффитсиенти а чунин мешавад:
Аа= (\а\Ах + Ау) = 8.432 • 10-4
Хатогии умумии коэффисиенти а чунин мешавад:
Да = Аа + Аа = 1.015 -10-2. Натичаи нихоии ченкуниро дар намуди яклухтшуда менависем:
а = а±Аа = 2.0064 ± 0.0010 бо эхтимолияти Р = 95 %.
Мувофщи коэффитсиенти а = 2п/^д шитоби афтиши озодро g = = 9.8107 м/ с2 аз руи
на^шаи коркарди натичахои ченкунии бовосита бо усули барандаи хатогихо ёфтан мумкин аст. ^имати миёнаи шитоби афтиши озодро хисоб менамоем:
д = = 9.8107 м/с2
а
Хатогии тасодуфии ченкуних,ои бовоситаро х,исоб менамоем.
8тг
-^-A а
8п-
22
= ЧтАа = 0.0088 м/с2
л3
а
д - 91да — I 9 ( \ Aal —
9а \da\ä2J I
Хатогии умумиро х,исоб менамоем:
g = g ± Ag = 9.811 ±0.017 м/с2 бо эхтимолияти P = 95 %.
Маълумоте, ки дар ин ма;ола оварда шудааст, барои инкишоф ва такмили минбаъдаи коркарди натичах,ои ченкуних,ои физикй бо усулх,ои омории дар боло зикршуда кумак мерасонад. Барои хдр як ин усулхои тавсифшуда метавон масъалаи сохтани алгоритмхои мувофи;ро барои коркардй масйалахои конретй истифода кард.
Тиб;и алгоритмхои тахдяшуда минбаъда барои коркарди натичахое, ки дар рафти корхои илмй-тад;и;отй, корхои лабораторй ва гайра ба дастоварда мешаванд истифода кардан мумкин аст.
ПАЙНАВИШТ:
1. Абдуманонов, А. Истифодаи во;еияти Точикистон дар ташаккули донишандузии хонандагон аз физика / А. Абдуманонов, Ф.Х. Каримова, М.Ш. Абдуманонова, Ф.А. Абдуманонова // Номаи донишгох.-2017.-№2(4).-С. 235-245.
2. Абдуманонов, А. Хдлли масъалах,ои тачрибавй - омили мухдми ташаккули дониши хонандагон аз физика / А. Абдуманонов, Э.Исоков, Ф. Абдуманонова // Номаи донишгох,.-2017.- №2(4),- С.245-247.
3.https://parlament.tj/news/713-sanoatikunonii-bosur-ati-kishvar-baroi-ta-mini-ustuvorii-i-tisodiyot-zaminai- ami-meguzorad
4. Гринкруг, М. С. Лабораторный практикум по физике / М. С. Гринкруг, А.А. Вакулюк, Учебное пособие. - СПб.: Издательство «Лань».- 2012. - 480 с.
5.Зайдель,А.Н. Ошибки измерений физических величин / А.Н. Зайдель. - Л.: Наука. 1974.- 552 с.
6. Фаддеев, М.А. Элементарная обработка результатов эксперимента/ М.А.Фаддеев. Изд-во Нижегородского госуниверситета.-2002.-108 с.
7.https://parlament.tj/news/713-sanoatikunonii-bosur-ati-kishvar-baroi-ta-mini-ustuvorii-i-tisodiyot-zaminai-ami-meguzorad
REFERENCES:
1. Abdumanonov, A. Use of realities of independent in informative process of on physics lessons in school / A. Abdumanonov, F.Kh. Karimova, M.Sh. Abdumanonova, F.A. Abdumanonova// Scientific notes.- 2017.- №2(4).-Р.235-245.
2. Abdumanonov, A. Solving experimental examples as significant on developing the knowledge of physics in the school / A. Abdumanonov, E. Isoqov, F.Abdumanonova // Scientific notes.- 2017. -№2(4),Р. 245-247.
3. https://parlament.tj/news/713-sanoatikunonii-bosur-ati-kishvar-baroi-ta-mini-ustuvorii-i-tisodiyot-zaminai-ami-meguzorad
4. Grinkrug, M.S. Laboratory practice in physics / M.S. Grinkrug, A.A. Vakulyuk, Textbook. - St. Petersburg: Publishing house "Lan",- 2012. - 480 p.
5. Zaidel, A.N. Measurement errors of physical quantities / A.N. Seidel. - L.: Science. -1974, 552 p.
6. Faddeev, M.A. Elementary processing of the results of the experiment / M.A. Faddeev. Publishing House of the Nizhny Novgorod State University.-2002.-108 p.
7. https://parlament.tj/news/713-sanoatikunonii-bosur-ati-kishvar-baroi-ta-mini-ustuvorii-i-tisodiyot-zaminai-ami-meguzorad
