CC BY
24Для оценки скорости потока в случае переменной вязкости выражение для вязкости из (5) подставляется в (1), затем уравнения движения и неразрывности численно интегрируются.
На рис. 3 представлены профили горизонтальной составляющей скорости в точке, удаленной на 1/3 длины потока от его переднего края, в случае постоянной и переменной вязкости. Максимальное значение скорости уменьшается примерно на 33% при учете переменной вязкости, градиент скорости в температурном слое существенно меньше. Перераспределение скоростей приводит к незначительному (2%) уменьшению расхода лавы при том же градиенте давления.
Заключение. Построена модель остывающего лавового потока. Показано, что на поверхности лавы образуется слой, в котором резко меняется температура. Оценено его влияние на поле скоростей и расход магмы.
Исследование выполнено по гранту РНФ (проект № 14-17-00520).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Costa A., Macedonia G. Numerical simulation of lava flows based on depth-averaged equations // Geophys. Res. Lett. 2005. 32. L05304. DOI: 10.1029/2004GL021817.
2. Cordonnier В., Lev E., Garel F. Benchmarking lava-flow models // Geol. Soc. Spec. Publ. 2015. 426. 425-445. DOI: 10.1144/SP426.7.
3. Crisci G., Kongo R., Gregorio S., Spataro W. The simulation model SCIARA: the 1991 and 2001 lava flows at Mount Etna // J. Volcanol. Geotherm. Res. 2004. 132. 253-267. DOI: 10.1016/S0377-0273(03)00349-4.
4. Favalli M., Pareschi M., Neri A., Isola I. Forecasting lava flow paths by a stochastic approach // Geophys. Res. Lett. 2005. 32. L03305. DOI: 10.1029/2004GL021718.
5. Cappello A., Hérault A., Bilotta G. et al. MAGFLOW: a physics-based model for the dynamics of lava-flow emplacement // Geol. Soc. Spec. Publ. 2015. 426. 357-373. DOI: 10.1144/SP426.16.
6. Hérault A., Bilotta G., Vicari A. et al. Numerical simulation of lava flow using a GPU SPH model // Ann. Geophys. 2011. 54. 600-620. DOI: 10.4401/ag-5343.
7. Huppert H. The propagation of two-dimensional and axisymmetric viscous gravity currents over a rigid horizontal surface // J. Fluid Mech. 1982. 121. 43-58. DOI: 10.1017/S0022112082001797.
8. Neri A. A local heat transfer analysis of lava cooling in the atmosphere: application to thermal diffusiondominated lava flows // J. Vole. Geotherm. Res. 1998. 81. 215-243. DOI: 10.1016/S0377-0273(98)00010-9.
9. Sakimoto S.E.H., Zuber M.T. Flow and convective cooling in lava tubes //J. Geophys. Res. 1998. 103. 2746527487. DOI: 10.1029/97JB03108.
10. Hess K.-U., Dingwell D. Viscosities of hydrous leucogranitic melts: non-Arrhenian model / / Amer. Miner. 1996. 81. 1297-1300. DOI: 10.2138/am-1996-9-1031.
Поступила в редакцию 11.05.2016
УДК 532.528
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ЩЕЛЬ В ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ ПРИ НАЛИЧИИ ИСТОЧНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ НА ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ ТЕЧЕНИЯ
С. Л. Толоконников1
Рассматривается плоская задача о струйном нестационарном истечении идеальной несжимаемой невесомой жидкости через отверстие в стенке при наличии точечного источника переменной интенсивности на плоскости симметрии течения. Предполагается, что скорости возмущенного течения, вызванные изменением расхода источника, малы по сравнению со скоростями стационарного течения. Для решения задачи используется метод
1 Толоконников Сергей Львович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolslQmech.math.msu.su.
Гуревича Хаскинда. Формулируется и решается краевая задача для комплексного потенциала возмущенного течения. Для гармонического закона изменения расхода источника найдено распределение давления на твердых стенках, изучена эволюция формы свободных границ струи.
Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, струйное течение, источник, нестационарность .
A plane problem of unsteady jet outflow of an inviscid incompressible imponderable fluid through an orifice in a wall is considered in the presence of a variable-strength point source in a symmetry plane of the flow. The velocities of perturbed flow induced by the change in the source flow rate are assumed to be small compared to stationary flow velocities. The Gurevich Haskind method is used to solve the problem. A boundary value problem for the complex potential of the perturbed flow is formulated and solved. The pressure distribution on solid walls is determined for the harmonic source strength variation with time. The evolution of the shape of the jet's free boundary is studied.
Key words: inviscid incompressible fluid, jet flow, point source, unsteadiness.
Задача о стационарном истечении струи через щель в плоской стенке под действием перепада давления является классической, и ее решение хорошо известно [1]. В приближении линейной теории малых возмущений задачи о неустановившемся истечении из щели и каналов были изучены в ряде работ. В [2| исследована задача о деформации струи, вытекающей из отверстия в плоской стенке в среду, давление в которой меняется со временем. Работа [3] посвящена изучению истечения струи из отверстия неременной ширины. В [4, 5] рассмотрены задачи о нестационарном истечении струи из каналов при заданных законах изменения скорости или давления на бесконечности. Устойчивость струи, вытекающей из щели, исследовалась в [6].
Решение задачи о стационарном истечении струи при наличии источника на плоскости симметрии течения получено в [7]. На рис. 1 ,а показана одна из рассмотренных в [7] схем стационаржи'о течения такохх) вида. В бесконечно удаленной точке И сосуда скорость равна нулю, а давление Рооо в этой точке больше давления Рос в области, в которую происходит истечение струи. Из интсгра-ла Бернулли следует, что на свободных поверхностях струи модуль скорости постоянен и равен Уос = ^2(Р0со — Рос)/Р, ГДС р плотность жидкости. ЕВ и ЕВ являются свободными 1'раница-ми струи, отверстие в стенке ЕЕ имеет ширину II. На плоскости симметрии течения, в точке С, расположен источник интенсивности > 0. Для указанной схемы течения расход в бесконечно удаленной точке сосуда равен нулю, а расход в струе равен расходу источника.
а
б
D_
©
В
Е
£>_ D+
F
F х
в
©
-1 -d
d 1
-•-»
-»
В Е D_
С
D+ F В
Рис. 1. Схема течения (о) и параметрические области (б, в)
В настоящей работе рассматривается нестационарное течение, вызванное малым изменением со временем расхода источника по закону Q(t) = Qo + q(t)- На свободной поверхности давление не меняется, стенки каналов неподвижны. Предполагается, что скорости возмущенного течения малы по сравнению со скоростями стационарного течения.
В качестве параметрической области выбрана верхняя полуплоскость и. Соответствие точек физической z и параметрической и плоскостей указано на рис. 1, а,в.
Комплексный потенциал неустановившегося течения представляется в виде суммы комплексных потенциалов установившегося и возмущенного течений: w(u,t) = Wq(u) +w(u,t).
Согласно идее, предложенной A.B. Кузнецовым [8], формулируется и решается краевая задача не для функции w(u, t) = <р(и, t) + гф(и, t), а для ее изображения по Лапласу w(u, s).
Для стационарного течения
Wo (и) = — In и,
7Г
z = z(u).
(1)
Функция г (и) определяется из решения стационарной задачи [7].
д
Так как твердые стенки неподвижны, то на них — = 0, поэтому гр = ф^). Предполагается, что
дп
изменение расхода источника не приводит к изменению расхода в бесконечно удаленной точке И. В ином случае в точке И давление окажется бесконечным, поскольку в точках и = =Ы комплексный потенциал возмущенного течения ъи(и^) будет иметь логарифмические особенности. Таким образом, можно принять 1р = — д(Ь)/2 при и € (0,1) и ф = д(Ь)/2 при и € ( — 1, 0). Интеграл Коши-Лагранжа запишем в виде
Р = Р0оо~Р
^ + V) dt 2
где Р — давление, V = Уо + Уу, Уо — скорость стационарного течения. С использованием интеграла Бернулли с точностью до 0(У<£>) находим
д <р
АР = Р - Р0 = -р
dt
+ (V0 c,V<p)
(2)
где Ро — давление в стационарном течении.
Так как в окружающей среде давление постоянно, то на свободной поверхности АР = 0. Тогда из (2) получается следующее соотношение на свободной поверхности [9]:
~dt+VocWo
0.
(3)
Здесь сро = Иеъио(и) — потенциал невозмущенного течения. Упрощенное динамическое условие (3) получено с ошибкой порядка г]к, где к — кривизна свободной поверхности, г? — нормальная составляющая отклонения свободной границы от стационарного положения [9, 10].
V2 t
После перехода к безразмерному времени г = —рР— условие (3) запишется в виде
Qo
1 dip dip
Qo дт dipo
0.
1 _ ~7Tipo
= 0, откуда — Lp = D2(s)e Qo
В изображениях по Лапласу получаем — ш + ——
д0 й<р о
Из (1) следует, что <ро(и) = — 1п \и\ при и € (—оо, —1) и (1, оо). Таким образом, аналитическая
7Г_
в верхней полуплоскости функция гП(и, з) удовлетворяет следующим краевым условиям на действительной оси:
\ , = «€(-1,0);
1т—уи(и,8) = < ¿Чо
1 -£>!(«), ^ е (0,1);
Re^- w(u,s) = D2(s)\u\~s/7T, Qo
и € (-ОО, -1) и (1, оо).
Решение поставленной смешанной краевой задачи находится с помощью формулы Келдыша-Седова [11]:
(¿о « 1 ( - «2)
"^/тг
-сче-у2)
(4)
Из формулы (4) при |и| < 1 следует выражение для потенциала
1
О~о
л _ 2Р2{8) VI - и2 [ ^ 1 + л/Т^п2
.8) — I ■ ■ , _ — 1П
7Г
и'
(5)
Из (5) получим
1
2 и
Яо Ли
7Г
и"
оо _
7Г
е2 - и2
(6)
Для ограниченности скорости возмущенного течения в точках Е и Р следует потребовать, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках в (6), равнялось нулю при и = ±1. Тогда находим
В2{8) = -
тгАОО 83 ;
3
2А Р
Коэффициент избыточного давления Ср = -на стенке I) \ 1Г найдем из формулы (2) при
и € (с1, 1]:
РУг
0 С
Ср(и,,в) =
2АР(и,в)
Рус
= —в ■
о с
Яо
УоЧи)
къ
7Г и ■
Яо (1и
(7)
Входящие в (7)
I, 8) и
1,8)
йи
определяются формулами (5) и (6) соответственно. Для отыс-
кания распределения модуля скорости Уо на стенке I) \ /■' воспользуемся результатами работы [7], где решение построено отображением областей изменения комплексного потенциала и комплексной скорости стационарного течения на область изменения параметрического переменного я, в качестве которой выбран полукруг единичного радиуса (рис. 1,6). Чтобы найти зависимость этих величин от переменной и, построим конформное отображение и на
к =
V'«2 - й2
л/Т^Р + л/Т^и2'*
(8)
где (1 =
2 с
1 + с-
:. Значение параметра с, задающего положение источника в параметрической обла-
сти я, определяется безразмерным расходом источника до = Яо/{УосН) и его расположением на плоскости симметрии течения [7]. Получаем для и € (с1,1]
У2(и) _ к&{1 + с2к2)2
V2 уос
{ж2 + с2)2 '
где зависимость ж = я (и) задается формулой (8). Связь между областями г ш я имеет вид [7]:
г г{Е{ж) - 1))
(.к2 - 1) йх
Н F(-l)-F(l), * } м2{м2 + !){! +с2 м2)2'
Выражение для функции Е(я) является громоздким и здесь не приводится.
Для отыскания деформации свободных границ используется кинематическое условие [10]
9r¡ 2 д'П т/ д^
+ voc = ~~ V0C
dt ио dipo д<ро'
которое после перехода к безразмерному времени т и применения преобразования Лапласа принимает вид
s _ Qo (Щ dtp
Hr] + líWo=~q0Wo- (9)
Для решения дифференциального уравнения (9) определим явный вид его правой части. Из (4) при |г/,| > 1 находим
/- 00 / /-
1 . /• , 2A(S) s/vF^l
— w{u,s) =--ÍJ'2{s) / —i----arceos-.
Q О Ui vfT1(^2 _И2) 7Г ti
7 dí 1 a
Чтобы вычислить интеграл I = —. -, сделаем замену переменных — = eos—,
■( VF^(е-и'У ' и 2'
1 в ( °°
- = cos-, где а, в € [0,7г). После разложения ( cos - j = coskO и применения формулы
^ ^ ' к=о
7Г
f cos кв sin ka т 7г cos2 f . . . ,
/ -- = —7Г- находим 1 =--- > a.fc(s) sin ka.
J cos a; — cos в sin a sin a
о fc=°
С учетом сделанных преобразований уравнение (9) можно записать в виде
s a r}(a, s) a dr}(a, s) а ( Di(s)\ 2тт Sm 2 ~~Н--h COS 2 Hda = ~q° °OS 2 1 ^ kak(s) cos ka H--— I . (10)
Решение уравнения (10) ищется при граничном условии r}(0,s) = 0.
Численные расчеты проводились для случая гармонического изменения расхода источника: q(t) = или q(r) = ee2iUT, где и = 7—тр угловая частота, j временная мнимая еди-
ница.
Предполагалось, что колебания продолжаются достаточно долго и поэтому можно пренебречь влиянием переходного процесса, вызванного включением колебаний в момент т = 0. При этом можно допустить, что комплексный потенциал возмущенного течения представляет собой периодическую по времени функцию, изменяющуюся с той же угловой частотой, что и функция q(r). В этом случае отпадает необходимость в отыскании оригиналов, решение определяется самими изображениями при s = 2'jw [101.
Рис. 2. Форма свободной границы РВ в моменты времени г = Зтт/4, 0, тт/4, 7г/2 (кривые 1 4 соответственно) при значениях ш = 1, е = 0,1, </о = 0,7 и Zc = —0,54Н + 0,5Нц кривая 5 стационарная
свободная граница
Расчеты показали, что гармоническое изменение но времени расхода источника приводит к возникновению на свободных границах струи волны, которая при удалении от щели, на участке практически нулевой кривизны стационарной свободной границы, представляет собой бегущую волну,
движущуюся со скоростью Vqc • Амплитуда этой волны пропорциональна амплитуде возмущающего воздействия е, длина волны убывает с увеличением угловой частоты со. На рис. 2 показана форма свободной поверхности FB в разные моменты времени для значений е = 0,1, со = 1, до = 0,7. При этом источник расположен в точке Zc = —0,54Н + 0,5Hi.
На рис. 3 приведено найденное распределение на стенке D+F амплитуды коэффициента давления Л(со,у) = |АСР| для е = 0,1, до = 0,7 и нескольких значений со. Расчеты показывают, что при удалении от щели величина Л монотонно растет от нуля и асимптотически приближается к некоторому зависящему от со значению. Рост частоты со приводит к увеличению значений величины Л.
В заключение отметим, что решение нестационарной задачи для других возможных схем стационарного течения с ненулевым расходом в бесконечно удаленной точке D не имеет принципиальных отличий от представленного в настоящей работе. Изменятся лишь вид функции ipo{u), входящей в постановку смешанной краевой задачи для комплексного потенциала возмущенного течения, а также необходимые для проведения расчетов формулы для комплексного потенциала и комплексной скорости соответствующего стационарного течения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 16 01 ÜÜ519, 15 01 00361).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука. 1979.
2. Кузнецов A.B. Истечение жидкости через щель в плоской стенке в среду с переменным давлением // Тр. семинара по краевым задачам. Вып. 5. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1968. 161 173.
3. Кузнецов A.B., Троепольская О.В. Истечение струи из отверстия переменной ширины // Тр. семинара по краевым задачам. Вып. 23. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1987. 146 154.
4. Кузнецов A.B., Сайкин С. С. Нестационарное истечение несжимаемой жидкости из сосуда /'/' Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 2. Чебоксары: Изд-во ЧГУ, 1972. 46 54.
5. Кузнецов A.B., Троепольская О.В. Об одной задаче нестационарного истечения жидкости из канала /'/' Тр. семинара по краевым задачам. Вып. 19. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1983. 97 103.
6. Козин E.G. Малые возмущения струи, вытекающей из щели // Прикл. матем. и механ. 1972. 36. вып. 4. 640 646.
7. Толоконников С. Л. Истечение жидкости через отверстие в стенке при наличии источника на плоскости симметрии течения // Изв. ТулГУ. Естеств. науки. 2010. Вып. 2. 126 133.
8. Кузнецов A.B. Нестационарные возмущения течений жидкости со свободными границами. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1975.
9. Гуревич М.И., Хаскинд М.Д. Струйное обтекание контура, совершающего малые колебания// Прикл. матем. и механ. 1953. 17. вып. 5. 58 65.
10. Кузнецов A.B. Нестационарные возмущения течений жидкости со свободными границами. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та. 1975.
11. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977.
Поступила в редакцию 21.06.2016
X
0,4 -
4
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 Я
Рис. 3. Распределение на стенке D+F амплитуды коэффициента давления для ш = 1, 2, 3,4 (кривые 1 4 соответственно) при значениях е = 0,1, q0 = 0,7 и Zc = -0,54Я + 0,ЪНг
