Ва режима формирования струи при истечении жидкости из щели Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И Т о м XV 198 4

№ 5

УДК 532.527

ДВА РЕЖИМА ФОРМИРОВАНИЯ СТРУИ ПРИ ИСТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ ИЗ ЩЕЛИ

Д. М. Романов

Рассматриваются два типа истечения жидкости в затопленное пространство: режим истечения с фронтом струи, на котором имеются спиральные структуры, и режим истечения с гладким фронтом струи. Для второго режима исследуется симптотическое поведение решения вблизи точки смыкания свободных концов вихревой пелены. Проводится численное решение автомодельной задачи. Обнаружено, что каждый из режимов истечения жидкости реализуется в определенной области изменения параметров задачи — коэффициента расхода и показателя автомодельности.

Асимптотическая стадия формирования струи, когда (^0 — ха-

рактерное время проявления вязких эффектов, 21 — ширина щели, 0 — расход жидкости), связана с образованием и эволюцией линий тангенциального разрыва скорости, отходящих от острых кромок щели. Эти линии являются предельным образом слоя смешения при числе Рейнольдса где Ц—(2/х, V — кинематический коэффи-

циент вязкости. Режимы истечения на этой стадии наиболее просто исследовать в рамках теории автомодельных течений идеальной жидкости.

Ширину щели и расхода при ^>0 и показателе автомодельности я>0,5 буДем считать степенными функциями времени: <2 = 2ят/а2 <2п—1, где а — кинематиче-

ская размерная постоянная, q — безразмерный коэффициент расхода жидкости. Частицы жидкости, сошедшие с острых кромок щели с координатами х'= ±1, у'=0

(рис. 1), на которых должно выполняться условие Чаплыгина — Жуковского, составят вихревую пелену. Решение такого рода задачи полностью определится эволюцией фронта струи.

Ограничимся случаем истечения жидкости в затопленное пространство и будем считать плотности и давления обеих жидкостей, находящихся при /=0 в верхнем и нижнем полупространствах, одинаковыми. В рассматриваемой задаче возможны два типа струйного истечения. В первом случае помимо вихревой пелены на фронте струи могут присутствовать частицы жидкости, не сошедшие с кромок щели и потому не являющиеся частью вихревой пелены. В этом случае правая и левая части вихревой пелены не смыкаются, а их свободные концы закручиваются в спирали (рис. 1 , а).

Во втором случае вихревая пелена составляет весь фронт струи (рис. 1,6). Построим асимптотическое разложение потенциала ср автомодельного течения в некоторой малой окрестности точки смыкания правой и левой частей вихревой пелены, имеющей координаты у'= у0', х'=0. Разложение проведем до первого члена ряда, терпящего разрыв на вихревой пелене. Обозначим величины по разные стороны вихревой пелены верхними индексами « + »■ и «—». Введем полярные координаты г, 0:

ге№ = х 4, / (у — у0),

где л: + г у = (х' + //)//.

а—режим истечения со спиральными структурами /—вихревая пелена, 2—незавихренный участок фронта струи, 3—автомодельные траектории б—режим истечения с гладким фронтом струи Рис. 1

Форму вихревой пелены аналогично [1] зададим в виде ряда

[0о+ т

к

71 _ Ж

.-------= + 0* —---------------------,

2 2

£ > 0, индексы 1 и 2 соответствуют левой и правой частям вихревой пелены. Для жидкости под вихревой пеленой (индекс „+*) от переменных г, 6 перейдем

к переменным г, 1)+, где = ^0 + б^г1 £ [— 1, 1].

Для жидкости над вихревой пеленой (индекс «—»)

71 =[9 в*) К

Значения потенциала будем искать в следующем виде:

?±(Г, -ч) = (’1)/'2 + 'Р1±(1])/-2+* + ..-- (1)

Течение жидкости должно удовлетворять уравнению Лапласа и двум граничным условиям на вихревой пелене: условию непротекания и условию равенства давлений по разные стороны вихревой пелены.

Перейдем в уравнении Лапласа и граничных условиях к переменным г, г)±. Подставим в них разложение (1) и выражение для 0*. Из уравнения Лапласа, удерживая члены порядка О (г2), получим

Ф? (Ч) = с?‘ С08 (0* 2у1 + с?) > ео~ = 0о. в“ = тс - 0О.

Из условия непротекания определяются 0о=я/2 и с2 =0. Из условия равенства давлений по разные стороны вихрейой пелены находим с^ .

Аналогичным образом для члена порядка 0(r2+fc) из уравнения Лапласа получим <Р± (тг|) = с± COS [— (2 + Л) К) + CfJ - sin (nil) ‘Ч*

Из условия непротекания определим с|; =0:

, сз = ai + 2cj + 11 (k + 2) sin ^ (k + 2) JJ ,

а из условия равенства давления

k =— (4С] п + 1)/(л + 2ct л).

Последнее соотношение дает возможность определить необходимое условие су-

1 1

ществования течении с сомкнутой вихревой пеленой: — —<Ci<C——• Это условие

2 4я

соответствует наличию в точке смыкания правой и левой частей вихревой пелены особенности типа «узел». Анализ особенности, проведенный после численного решения задачи, показал, что режим истечения, при котором весь фронт струи завихрен, может реализовываться лишь при п>\.

Как для первого, так и для второго режимов струйного истечения уравнение эволюции вихревой пелены, сходящей с острых кромок щели, имеет, с учетом симметрии, вид (см.; например, [2])

1 1

, dz -

т К------=2 -

d\

1

*-'41

dln

Г dip \ J 4(A) — 5 (Х0)/

(2)

Здесь г = х + 1у, « = Уг2 — 1/г, т = (2п— 1 )/п, Г = 2л п а3 й 12п \ О = й0 К, 0<Х<Ч, Г — циркуляция левой части вихревой пелены, отсчитываемая от ее свободного конца, г = г (А.) — параметрическая форма левой части пелены, для сингулярных интегралов берется главное значение в смысле Коши, черта сверху означает комплексно-сопряженную величину.

Условие Чаплыгина — Жуковского задается в точке ? = 0:

<7=-О0 / р(Х)+ 2(Х) Л, (3)

о

где | + П) = 5.

Уравнение (2) с условием (3) решалось численно. При этом для течения со спиральными структурами на фронте струи и для течения с гладким полностью завихренным фронтом струи использовались различные схемы расчета. Отличия двух схем расчета обусловлены различным поведением свободных концов вихревой пелены для каждого режима течения. Для первого режима внутренняя часть вихревой пелены аппроксимировалась системой «вихрь с разрезам» [3]. Для второго режима координата г/о точки смыкания свободных концов вихревой пелены определяется уравнением

1 1

ч т г---о / 2<7 г г а! X \

■ Л* 1/1 , _ _ Ол I ------ - !П I ----------_1_ ,77 / ------- \ (4)

Уо Vl -vyl = - Re ( 24 - iG0 [ ——------+ /Go f —

J «о-cW J Co-

■W)J

где • + Уо1Уо> полученным из (2) с учетом (1).

Построение решения проводилось с помощью сходящегося итерационного процесса. На каждом шаге новое приближение для функции 2(Х) находилось путем численного решения уравнения (2) модифицированным методом Эйлера. При этом правая часть уравнения вычислялась на основе предыдущего приближения для г(Х), а величина Со определялась из условия (3). Интегралы в (2) — (4) вычислялись методом прямоугольников с учетом асимптотического поведения функции г (Я.) в малой окрестности острых кромок щели. Для первого режима — со спиральными структурами на фронте струи — постепенное наращивание вихрево^ пелены производилось итерациями, начиная с простейшей модели «вихрь с разрезом*.; Для второго режима — с гладким фронтом струи, реализуемым при я>1, — для начала процесса итераций использовалось линейное решение задачи [4]: х=±Х11т , у—0.

На рис. 2 показаны области существования режимов течения жидкости. Сплошная линия отделяет область существования режима течения жидкости со спиральными структурами на фронте струи (рис. 1,в) от области существования режима течения жидкости 02 с гладким фронтом струи (рис. 1,6). В процессе численного счета было обнаружено, что с помощью первой схемы численного расчета удается получить решение, которое соответствует спиральному режиму истечения жидкости, только в

Рис. 2. Области существования режимов истечения жидкости

области плоскости nOq. Вторая схема расчета позволила получить решение задачи в области &2, а для области Й1 она оказалась непригодной.

Таким образом, результаты численного расчета позволили сделать вывод о существовании двух режимов автомодельного струйного истечения жидкости из щели в затопленное пространство, причем численное решение для каждого из них удается получить в определенной области изменения параметров п и <7.

Для того чтобы подробно изучить характер изменения режима струйного истечения жидкости при переходе из области 01 в область £22. рассмотрим полную картину течения, образованную автомодельными траекториями (линиями, состоящими в каждый момент времени из одних и тех же частиц). Топологический характер поля течения определяется расположением и типом особых точек. Их координаты находятся из уравнения г—У, где V — комплексно-сопряженная скорость течения жидкости [5, 6]:

1 1

.„Г 41. .„С (IX

дг\ 1

+ Шо1 с—Г(Х) =

■С(Х)

Для первого режима течения в потоке существуют единственная особенность типа «седло», находящаяся в плоскости симметрии, и две особенности типа «фокус» в центрах спиралей. При уменьшении коэффициента расхода ^ ниже некоторых критического уровня (штриховая линия на рис. 2) происходит изменение типа особенности, лежащей в плоскости симметрии, на особенность типа «узел». Кроме того, в потоке появляются две новые особенности типа «седло» вблизи оси Оу. Дальнейшее уменьшение д сопровождается движением этих особенностей от оси Оу к спиральным структурам вокруг особенности типа «фокус». Когда ц соответствует линии раздела областей £21 и £3г (рис. 2), эти особенности разных типов сливаются.

Построение незавихренного участка фронта струи для режима течения жидкости со спиральными структурами проводилось путем численного решения уравнения

<1у1(1х=\т(г — У)/Яе(и — г).

В области существует единственная особенность типа «узел» в точке с координатами х=0, 1/= г/о- При увеличении ^ такой режим течения существует только до тех пор, пока на фронте струи не возникают новые особенности, вызывающие разрушение гладкой вихревой пелены. Следовательно, тот факт, что численное решение для каждого из двух режимов течения удается получить только в определенной области изменения параметров п и ?, является следствием изменения общей структуры течения при изменении п и <?.

Кроме вопросов сгруйной автоматики, рассмотренная задача имеет приложения к исследованию трехмерных стационарных течений. Действительно, согласно закону плоских сечений нестационарное истечение жидкости из щели эквивалентно стационарному обтеканию узкого продольного выреза в экране. Проведенные в гидродина-

мяческой трубе опыты по визуализации обтекания крыла с продольным треугольным вырезом, что соответствует автомодельной задаче об истечении из плоской щели с д= 1, подтвердили существование режима течения со спиральными структурами. Аналогичная задач (с периодически распределенными щелями) возникает при исследовании перетекания газа через перфорированные границы с продольными щелями. Невязкой механизм возникновения сопротивления перетеканию газа связан с образованием отходящих от кромок щели линий тангенциального разрыва скоростц. При учете этого явления отпадает необходимость в задании эмпирических граничных условий на перфорированных стенках.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mangier К. W., Weber I. The flow fild near the center of a rolled —up vortex sheet. — J. Fluid Mech., 1967, vol. 30, N 1.

2. Никольский А. А. О второй форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков).— ДАН СССР, 1957, т. 116, № 2.

3. S m i t h J. H. B. Improved calculation of leading-edge separation.—

Proc. of Roy. Soc., Ser A., 1968, vol. 306.

4. Бетяев С. К. Формирование струи при нестационарном истечении идеальной жидкости из щели. — ПММ, 1981, № 6.

5. Никольский А. А., Бетяев С. К-, Малышев И. П.

О предельной форме отрывного автомодельного течения идеальной жидкости. — В сб. Проблемы прикладной математики и механики. М.: Наука,

1971.

6. S m i t h J. Н. В. Remarks on the structure of conical flow. — Progress in Aerospace Sciences, 1973, vol. 12, N 2.

Рукопись поступила 12/VIII 1983 г.