CC BY
27Математика к Математическое
моделирование
h I tp: /Anal hírie I рцЬ. i ií ISSN 2412 -5 911 УДК 533.6.011.8
Кинетические методы решения нестационарных задач со струйными течениями
Титарев В.А.1'*, Фролова А.А.1 ''titarev@maiiju
1 Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН, Москва, Россия
В статье представлено численное сравнение решений модельных уравнений (S- модели и ES-модели) и решения полного уравнения Больцмана для нестационарной задачи отражения потока газа от стенки и истечения в резервуар с фоновым газом при низком давлении. На основе численного анализа вспомогательных задач показано слабое влияние на решение вида оператора столкновений в области сильного разрежения и необходимость использования детальной скоростной сетки из-за проявления "эффекта луча". Для уменьшения вычислительных затрат предлагается гибридный метод, основанный на синтезе модельных уравнений и уравнения Больцмана.
Ключевые слова: разреженный газ, уравнение Больцмана, модельные уравнения, эллипсоидально-статистическая модель, модель Шахова
Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. 2018. № 04. С. 27-44
DOI: 10.24108/mathm.0418.0000142
Представлена в редакцию: 05.07.2018
© НП «НЕИКОН»
Введение
Большое количество исследований посвящено задачам о струйных течениях. Такой интерес к этой проблеме связан с развитием микро и нано-электромеханических систем (MEMS/ NEMS), созданием установок для импульсных струй, используемых при нанесении тонких пленок и специальных покрытий на твердых поверхностях. Численные результаты расчетов стационарных струйных течений в различных геометриях и режимах разрежения достаточно полно представлены в литературе, некоторые из последних исследований содержатся, например в [1-7]. Проблемы, связанные с нестационарным истечением газа в сильно разреженную среду, отличаются, как многообразием постановок, так и большой вычислительной сложностью. Численные решения, связанные с нестационарным истечением газа из микроканалов в вакуум, представлены в [8-10]. В [11] и других работах этого автора изучены задачи лазерной абляции. Данная статья является дополнением исследования [12], посвященного изучению нестационарного движения газа, отраженного от
стенки и вытекающего через внезапно образованную щель. В [12] рассмотрены физические аспекты данной постановки и показано влияние выхода газа в вакуумный резервуар на скорость движения фронта ударной волны по каналу. Целью данной статьи является анализ возможных численных подходов для решения такого рода нестационарных задач и выявление сложных моментов, возникающих при их расчетах. Так как при моделировании процессов, происходящих при сильном разрежении, необходимо использовать кинетическое уравнение Больцмана (УБ), численная реализация которого, как правило, достаточно трудоемка, важно иметь альтернативные более экономичные подходы, например использующие модельные кинетические уравнения. Поэтому в статье приводится оценка отклонения решений модельных уравнений от УБ. Для уменьшения вычислительных затрат предлагается гибридный метод, основанный на синтезе модельного уравнения и уравнения Больцмана, позволяющий уменьшить расчетную область полного интеграла столкновений.
Представленные в настоящей работе результаты получены применением двух различных программных комплексов Unified Flow Solver (UFS) [13] и Несветай 3Д [14-15]. Отметим, что в UFS используется метод дискретных ординат для скоростного пространства на равномерной сетке и иерархическая адаптивная сетка (adaptive mesh refinement) в физическом пространстве. При этом реализована возможность расчета, как полного уравнения Больцмана, так и модельных уравнений. Комплекс НесветайЗД создан для решения модельного уравнения Е.М. Шахова (S-модели) и позволяет проводить расчеты на неструктурированных неравномерных сетках, как в скоростном, так и в физическом пространствах.
1. Постановка задачи
Задача рассматривается в двумерной геометрии, представляющей длинный плоский канал и резервуар бесконечной емкости, отделенный от канала тонкой вертикальной пластиной (рис.1). Предполагается, что слева в канал поступает газ с заданными макропараметрами: давлением p, плотностью р0 и вектором скорости и0 = (их0,0) . Справа от пластины первоначально находится покоящийся газ (и = 0), при давлении p, таком, что Р = p. Температура газа в обеих областях в начальный момент времени предполагается одинаковой T0 = T .
В момент t = 0 диафрагма открывается, образуя отверстие шириной 2 d, и начинается истечение газа в разреженную область, при этом движущийся в канале газ смешивается с отраженным газом от торца (вертикальной стенки).
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 к
Рис. 1. Геометрия течения (верхняя полуплоскость)
Канал и резервуар с разреженным газом предполагаются симметричными относительно оси х, поэтому задача рассматривается только в верхней полуплоскости с условиями симметрии. Закон отражения от вертикальной пластины, как в канале (слева), так и в резервуаре (справа), полагается полностью диффузным с функцией распределения Максвелла. На верхней границе канала ставится условие зеркального отражения. На верхней и правой границах области разрежения для входящих в область частиц задается функция распределения в виде функции Максвелла с параметрами фонового газа. Исследуется нестационарное течение, получаемое в результате распада разрыва начальных состояний газа, отражения газа от торца канала и истечение газа через щель. Газ предполагается одноатомным с законом взаимодействия частиц по модели твердых сфер.
Несмотря на достаточно простую геометрию задачи, численная реализация методом дискретных ординат оказывается достаточно трудоемкой, что связано с необходимостью использовать очень подробную сетку в пространстве скоростей. Отметим, что мелкий шаг в скоростном пространстве необходим для получения гладких макропараметров в области сильного разрежения, где течение близко к свободномолекулярному при умеренных значениях числа Кнудсена входящего в канал газа, а также из-за малых значений температуры. Недостаточно подробная скоростная сетка приводит к нефизическим колебаниям макропараметров вследствие эффекта луча [16, 17], вызванного разрывными значениями функции распределения на входе в разреженную область.
Расчеты полного уравнения Больцмана на сильно измельченных сетках достаточно трудоемки, поэтому применение модельных уравнений и оценка возможной ошибки при их использовании представляется важным.
2. Кинетические уравнения
При численном решении задачи используется кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения без учета действия силового члена в виде [18]:
Ц + УГ ■(Ц) = I(/, /)
где функция распределения по скоростям /(г, {), зависит от пространственного вектора
г = (х, у, х), вектора скорости = (£х ) и времени Интеграл столкновений I (/, /)
для упругих соударений одноатомного однокомпонентного газа в классической формулировке записывается следующим образом (зависимость от г и I опущена):
ад 2л
1(/, /) = Ш (/&)/£)-/&.
Л3 0 0
Здесь (Ь, ^) - скорости частиц до соударений, (Ь', 2,- скорости после соударений, связанные законами сохранения импульса и энергии, g = \ - ^ - вектор относительной скорости сталкивающихся частиц, а Ь и £ параметры столкновений. Для модели твердых сфер параметр Ь связано с углом рассеяния частиц х формулой Ь = соб(х / 2), где — диаметр молекул.
По функции распределения макроскопические переменные, такие как, плотность числа частиц п, средняя скорость и, температура Т, компоненты тензора напряжений р,
вектор теплового потока q, давление р и компоненты тензора неравновесных напряжений р определяются следующим образом:
т
п=| ж, и=11 /ь, т=-т- Iс /ь,
пJ 3квп1
р = т | с/ q = т I с /Ь, р = + Р +
Р = Р - Р,
где с = Ь - и вектор относительной скорости молекул, т - масса молекул, кв константа Больцмана. Нижние индексы г и] принимают значения от 1 до 3 и обозначают соответствующие компоненты вдоль осей х,у,2.
Наряду с полным уравнением используются модельные уравнения, общий вид которых записывается следующим образом:
/г •(/ ) = v( Г+ -/).
В случае модели Шахова ^-модели)[19]
2т тс2 5
Г = ¥м (п, и, Т )(1 --— (1 - Pr)q • с(-С- - -)), 5 рквТ 2квТ 2
где Гм (п, и, Т) = п(—т—)3 2 ехр(-тс2 / 2квТ) - функция Максвелла, Рг -число Прандтля, а 2лквТ
V = р / / - частота столкновений, зависящая от коэффициента вязкости / и давления р .
Для эллипсоидально-статистической модели (ES-модели) [20] Г+ и частота столкновений
V равны соответственно
^+ = П ехр(-1 сТ !е), у = -
л/ёе1(2^Т) 2 ' (1 -ЛЕ5
Здесь Т - тензор, который выражается через температуру Т и тензор напряжения Р согласно формуле,
Т = (1 -ЛЕ5) ЯП + ЛЕ8 Р / р,
Рг -1
где р - плотность, Я - газовая постоянная, I — единичный тензор, а параметр Л =-
Рг
может принимать значения от -0.5 до 1.
При расчетах используются безразмерные величины, нормированные на характерный масштаб длины, температуры, плотности и скорости, равные соответственно, ё — полуширине щели, Т> — температуре, рш — плотности и ир = ^2квТш / т — максимально
вероятной скорости молекул. Тепловой поток обезразмеривается на рхир /2, давление на ри2 / 2, коэффициент вязкости на /лх = /л(Тх) . Характерный масштаб времени полагается равным ё / и . Введение характерных величин в уравнение приводит к появлению в
справой части модельных уравнений параметра разреженности о =-, а в уравнении
Л 8
Больцмана числа Кнудсена, которые связаны следующим соотношением Кп = —^ =
ё 5У[л5 '
где Л —длина свободного пробега, вычисляемая по закону вязкости для модели твердых
сфер /ла> = ^ тп,у12лквТа> / тК .
При численной реализации в пространстве скоростей вводится скоростная сетка, ограниченная сферой. Радиус сферы Я определяется как тах(| и | ±3>/Т) , где и и Т без-
г
размерные величины вектора скорости и температуры в поле течения. Так как геометрия течения двумерная, то скоростная сетка при расчетах по уравнению Больцмана задается на половине сферы. Модельные уравнения в ЦББ заменяются системой редуцированных уравнений для усредненных по функциям
/,(4 ¿у) =\Ж. ¿у Шх ¿у) =\^/(£х ¿у Ж, _
При расчетах программным комплексом Несветай 3Д используется трехмерная скоростная сетка.
3. Численный анализ вспомогательных задач
Первоначально рассматриваются две вспомогательные более простые задачи: задача отражения газа от вертикальной стенки и задача истечения газа из щели в разреженную область.
В первой задаче канал предполагается закрытым с одного (правого) конца. В канал поступает газ с заданными параметрами течения р0 = 1, р0 = 1, иж0 = 2, и 0 = 0 . Отражение газа от стенки (закон отражения рассматривается полностью диффузным с температурой стенки Тк = 1) приводит к образованию ударной волны, движущейся по каналу. Исследуется скорость распространения ударной волны и ее структура. В рассматриваемых режимах течения параметры разреженности 5 = 1 и 5 = 10. При расчетах используется равномерная сетка в скоростном пространстве, в физическом пространстве сетка имеет сгущение около стенки. Расчеты с использованием как Ц^, так и Несветай 3Д, проводятся со вторым порядком точности по переменным физического пространства и времени. На рис.2-3 представлены профили макропараметров, полученные из расчетов модельных уравнений и полного уравнения Больцмана. Радиус скоростной сферы = 9, шаг скоростной сетки Ь = 05, а минимальный шаг пространственной сетки Лг = 0.125 при 5 = 1, а при 5 = 10 — Лг = 0.0625. Для контроля точности проводились расчеты с уменьшением шага сетки, как в скоростном, так и в физическом пространствах.
Рис.2. Структура ударной волны при отражении газа от стенки при различных временах, (а) скорость, (б) температура, (в) тепловой поток, (г) продольная компонента тензора вязких напряжений, 5 = 1
Как видно из результатов решения при 5 = 1 (рис.2) модельные уравнения дают правильную скорость движения волны, а экстремальные значения теплового потока и тензора неравновесных напряжений близки к полученным величинам по УБ. В области фронта ударной волны параметры температуры, скорости, теплового потока и продольной компо-
ненты тензора неравновесных напряжении имеют характерные отличия от решения по УБ, которые связаны с постоянством частоты столкновений.
При значениях параметра разреженности 8 = 10 решения по модельным уравнениям и полному уравнению Больцмана практически совпадают (более точно, отличия макропараметров локализованы в более узкой области физического пространства), при этом профили макропараметров приближаются к решению задачи в континуальном режиме. На рис.3 показаны профили скорости и температуры при тех же временах, что и в предыдущем расчете.
Рис.3. Структура ударной волны при отражении газа от стенки при различных временах, а) скорость,
б) температура, 8 = 10
Во второй подзадаче исследуется свободное истечение газа из щели. Несмотря на наличие большого количества работ по струйным течениям, остановимся на решении этой задачи более подробно.
Заметим, что истечение газа при умеренных числах Кнудсена из отверстия в вакуум или в сильно разреженное пространство относится к течениям близким к свободномоле-кулярным. Стационарное решение задачи о свободномолекулярном истечении газа из щели с заданными постоянными параметрами на входе получено аналитически в [21-22], где также приведено сравнение с решением по методу прямого статистического моделирования (ПСМ, ББМС) и показано совпадение численных и аналитических результатов. Для метода дискретных ординат расчет такого рода течений вызывает определенные трудности из-за проявления эффекта луча [16-17], который приводит к нефизическому (немонотонному) поведению макропараметров в дальней области течения от источника. Этот
1 1 у - < у + < эффект есть следствие дискретного набора скоростей и соотношения -< — <-,
х 4 х
определяющего наклон вектора скорости частиц, вылетающих из щели и достигающих точку физического пространства (х,у) [21]. Для векторов скорости, расположенных вне этого угла функция распределения равна нулю. Если значения скорости дискретны, то
выполнение этого условия для удаленных точек от щели, когда угол становиться маленьким, зависит от шага сетки. И небольшие изменения координат в физическом пространстве могут приводить к существенным изменениям функции распределения в силу ее разрывности. Как известно, проблема эффекта луча может быть решена использованием детальной сетки в скоростном пространстве. Отметим, что в ПСМ эффекта луча нет, так как на входе задается достаточно большое число частиц (порядка 1 млн. [21]), вылетающих из отверстия с различными случайными скоростями (отсутствует дискретность), а возникающий при этом стохастический шум подавляется процедурой осреднения.
На рис.4 представлено сравнение аналитического решения и решения, полученного методом дискретных ординат для задачи об истечении струи в вакуум со звуковой скоростью на входе, и0 = V5/6 . Шаг равномерной скоростной сетки к = 0 04, радиус скоростной сферы = 6, а количество скоростных узлов двумерной сетки N : 70 тыс. Из рисунка видно хорошее согласие результатов.
Рис. 4. Аналитическое (вверху) и численное (внизу) решение задачи об истечении свободной струи из щели в вакуум при и0 = V5/6 , а) изолинии плотности, б) изолинии продольной компоненты скорости
Однако при увеличении шага скоростной сетки сначала появляется деформация профилей макропараметров, а при дальнейшем увеличении шага — колебания. Уменьшение объема вычислений дает использование неравномерной скоростной сетки со сгущением в окрестности скорости истечения. Использование такого подхода эффективно для модельных уравнений, но достаточно трудоемко для УБ, несмотря на развитие численных алгоритмов решения кинетических уравнений на адаптивных скоростных сетках [23-24].
При уменьшении начального числа Кнудсена эффект луча ослабевает из-за максвел-лизации функции распределения и сглаживания ее разрывов. Правильное поведение макропараметров достигается при более крупном шаге скоростной сетки, но число скоростных узлов все же остается достаточно большим. Результаты расчетов по Б-модели для
8 = 10 и времени t = 10 с параметрами на входе р0 = 1, р0 = 1, их0 = >/ 5/6, иу0 = 0, давлением в области разрежения р = 1.Е -12 (вариант1) представлен на рис.5. Шаг скоростной сетки по обеим компонентам скорости к = 0.09, при радиусе скоростной сферы Я8 = 6 число скоростных узлов N : 13 тыс.
Рис.5. Истечение свободной струи из щели при и0 = л/57б , а) изолинии плотности, б) изолинии продольной
компоненты скорости, t = 10,8 = 10, вариант 1
Результаты расчетов при 8 = 1 и при t = 10 с параметрами на входе Р = 1, р0 = 1, иж0 = 2, и 0 = 0, р = 1.Е - 3 (вариант 2) представлены на рис. 6. Шаг скоростной сетки к = 0.1, = 8, а N : 20 тыс. Отметим, что в данных расчетах используются редуцированные уравнения и двумерная скоростная сетка. При расчетах с использованием УБ на 3Б равномерной сетки в последнем расчете N : 200тыс.
Рис. 6. Истечение свободной струи из щели в фоновый газ при и0 = 2, а) изолинии плотности, б) изолинии продольной компоненты скорости, t = 10, 8 = 1 , вариант 2
Таким образом, для получения правильного поведения макропараметров в области сильного разрежения даже при наличии столкновений и 8 < 10 использование УБ приводит к большим численным затратам. Однако, как показывают расчеты, вид интеграла столкновений мало влияет на поведение макропараметров течения в разреженной области.
О 5 10 * 15 ЙЙ о 5 15 к 15
Рис.7. Профили макропараметров вдоль оси симметрии при истечении свободной струи из щели для разных
времен процесса, 8 = 10, вариант 1, а) плотность, б) продольная компонента скорости.
2.5
1.5
1=5
Э-Мойе! —■— ВоНгппапп - 1=20
а
1=5 /
ВоИгтапп -
' 1=20
10 X 15
20
10 * 15
20
0.04
-0.04
5-Мос1е1 — I \Bollzmann -
!=20
!=5 /
в
V*
0.8
0.6
0.4
0.2
1=20
Т2
Б-Мойе! —•— ВоПгтап -
т
'у
О
10 х 15
20
О
10 х 15
20
Рис.8. Профили макропараметров вдоль оси симметрии при истечении свободной струи из щели для разных времен процесса, 8 = 1, вариант 2, а) продольная компонента вектора скорости, б) температура, в) продольная компонента вектора теплового потока, г) поперечные температуры
Поведение макропараметров на оси симметрии при расчете по УБ и Б-модели для различных времен показано для 8 = 10 (вариант 1) и 8 = 1 на рис 7-8. На рис. (8 в, г) приведены наиболее чувствительные макропараметры течения — тепловой поток и поперечные температуры Тг и Т при времени / = 20 для варианта 2.
Относительные отклонения макропараметров для Б-модели и УБ в поле течения сведены в таблице 1. Откуда видно, что значения плотности и скорости практически одинаковы. Большее относительное отличие дает тепловой поток для варианта 2 , но при этом сами значения дх близки к нулю.
Таблица 1.
Вариант № Т (время) Ли / п (%) Ли / и (%) ЛТ / Т (%) Лдх / дх тах(%)
1 5,0 0,5 0,4 4,0 3,7
10,0 0,9 0,6 1,3 3,6
30,0 0,5 0,2 1,0 2,6
2 5,0 0,4 0,3 2,0 6,0
20,0 1,0 0,6 3,0 6,0
Подчеркнем, что функция распределения в области разрежения существенно неравновесная, о чем свидетельствуют различные значения поперечных температур (рис.8г), тем не менее, решение по модельным уравнениям мало отличается от решения по УБ .
Такая близость решения связана как с малым значением частоты столкновения (особенно, при 8: 1), так и с уменьшением градиентов макропараметров в дальней области от щели. Это факт дает возможность использовать в разреженной области модельные уравнения без большой потери точности решения.
4. Численный анализ задачи об отражении потока газа от стенки и
истечении в резервуар
Аналогичные результаты получены и для решения исходной задачи (рис. 1) с отражением ударной волны от стенки и истечением в резервуар с разреженным газом. Расчеты для Б- модели были проведены как с использованием иББ на равномерной скоростной сетке, так и комплексом НесветайЗД на неравномерной скоростной сетке со сгущением в окрестности нулевой скорости и показали хорошее согласие. При этом количество скоростных узлов для неравномерной сетки N = 40тыс., а при использовании иББ N = 100 тыс.
Поведение макропараметров вдоль оси симметрии при 8 = 1 для варианта 2, полученные из решения модельных уравнений (Б- модели и ЕБ- модели) и УБ, показаны на рис.9.
ЕЭ-Мойе! - Э-Мойе! —— НпПгтяпп -
1 =20 1 1=5 \ 1
а
-30
-20
-10
0
10 х 20
Рис.9. Отражение потока газа от стенки и истечение в разреженное пространство при р0 / р1 = 1000 , для различных времен процесса, а) продольная составляющая скорости, б) температура, 8 = 1
Поскольку основное различие решений при 8 : 1 проявляется в канале (на рис.9 эта область х<0), эффективно проводить расчеты, сращивая решения модельных уравнений и УБ в области входа в резервуар, при других параметрах разреженности в качестве критерия декомпозиции может служить величина локального Кп.
Такое сращивание без дополнительных ограничений на функцию распределения можно легко реализовать для ББ- модели, которая гарантирует положительность функции распределения во всем скоростном пространстве. Использовать Б- модель более сложно, так как функция распределения в этом случае может принимать отрицательные значения, которые передаются в область решения УБ. Численный алгоритм УБ существенно опирается на положительность функции распределения, поэтому для синтеза этих уравнений необходимы дополнительные ограничения на функцию распределения и более сложная декомпозиция области.
Результаты расчета с использованием гибридного подхода УБ и ББ-модели показаны на рис. 10 для времени / = 20 ( вариант 2), на верхней части рисунка представлены профили, полученные по гибридному методу, а на нижней по УБ. Видно, что изолинии скорости совпадают, а температура имеет небольшое отличие (2-4%) в дальней области от входа в резервуар.
При 8 = 0.1 вся задача может быть решена с использованием модельных уравнений. Отметим, что разработанные в настоящее время гибридные методы [13,25] позволяют уменьшить область применения полного уравнения Больцмана, используя сращивание кинетического решения с решением уравнений Эйлера или Навье-Стокса. Критерием декомпозиции является малое значение интеграла столкновений (или его аппроксимации модельным оператором) при малых числах Кнудсена, что эквивалентно близости функции распределения к равновесной. Однако, как показали выше представленные расчеты, малое значение интеграла столкновений может быть и при сильно неравновесной функции распределения, если локальное число Кнудсена Кп>>1. В этом случае гибридные методы
могут быть дополнены сращиванием решения УБ с решением модельных уравнений, что еще больше сужает область применимости полного уравнения Больцмана.
Рис.10. Отражение ударной волны от стенки и протекание в разреженное пространство p0 / px = 1000 , на верхней полуплоскости решение гибридным методом, на нижней по УБ, а) продольная составляющая
скорости, б) температура, S = 1
Заключение
В данной работе проведено численное сравнение решений, получаемых по модельным уравнениям (S- модели и ES- модели) с решением по уравнению Больцмана для нестационарной задачи отражения потока от стенки и истечения в резервуар, заполненный разреженным газом. Анализ вспомогательных задач показал, что для правильного поведения макропараметров в методе дискретных ординат необходимо детальная скоростная сетка, использование которой затрудняет расчет УБ. Однако слабое влияние на решение формы интеграла столкновения в области резервуара, позволяет использовать гибридный метод, основанный на синтезе модельных уравнений и уравнения Больцмана, что является более экономичным, и как показали расчеты корректным подходом.
Расчеты программным комплексом UFS проводились на многопроцессорных вычислительных комплексах МСЦ РАН MVS10p, а программным комплексом "Несветай-3Д" на системах "Ломоносов" НИВЦ МГУ им. Ломоносова и системах РСК Петастрим, установленных в МСЦ РАН и СПбПУ Петра Великого.
Список литературы
1. Sazhin O. Gas flow through a slit into a vacuum in a wide range of rarefaction // J. of Experimental and Theoretical Physics. 2008. Vol. 107. No. 1. Pp. 162-169. DOI: 10.1134/S1063776108070170
2. Sazhin O. Rarefied gas flow through a channel of finite length into a vacuum // J. of Experimental and Theoretical Physics. 2009. Vol. 109. No. 4. Pp. 700-706.
DOI: 10.1134/S1063776109100161
3. Sharipov F. Numerical simulation of rarefied gas flow through a thin orifice // J. of Fluid Mechanics. 2004. Vol. 518. Pp. 35-60. DOI: 10.1017/S0022112004000710
4. Varoutis S., Valougeorgis D., Sazhin O., Sharipov F. Rarefied gas flow through short tubes into vacuum // J. of Vacuum Science & Technology. A. 2008. Vol. 26. No. 2. Pp. 228-238.
DOI: 10.1116/1.2830639
5. Titarev V.A., Shakhov E.M. Rarefied gas flow into vacuum through a pipe composed of two circular sections of different radii // Vacuum. 2014. Vol. 109. Pp. 236-245.
DOI: 10.1016/j.vacuum.2014.02.019
6. Aristov V.V., Shakhov E.M., Titarev V.A., Zabelok S.A. Comparative study for rarefied gas flow into vacuum through a short circular pipe // Vacuum. 2014. Vol. 103. Pp. 5-8.
DOI: 10.1016/j.vacuum.2013.11.003
7. Титарев В.А., Утюжников С.В., Шахов Е.М. Истечение разреженного газа в вакуум через трубу квадратного сечения, переменного по длине // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. T. 53. № 8. C. 1402-1411.
DOI: 10.7868/S0044466913060197
8. Ларина И.Н., Рыков В.А. Численное исследование нестационарных течений двухатомного разреженного газа в плоском микроканале // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. T. 54. № 8. С. 1332-1344. DOI: 10.7868/S0044466914080080
9. Vargas M., Naris S., Valougeorgis D., Pantazis S., Jousten K. Time-dependent rarefied gas flow of single gases and binary gas mixtures into vacuum // Vacuum. 2014. Vol. 109. Pp. 385-396. DOI: 10.1016/j.vacuum.2014.06.024
10. Конопелько Н.А., Шахов Е.М. Развитие и установление истечения разреженного газа из резервуара через плоский канал в вакуум // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57. № 10. С. 1722-1733. DOI: 10.7868/S004446691710009X
11. Morozov A. A. Analysis of time-of-flight distributions under pulsed laser ablation in vacuum based on the DSMC calculations // Applied Physics A: Materials Science & Processing. 2013. Vol. 111. No. 4. Pp. 1107-1112. DOI: 10.1007/s00339-012-7325-4
12. Титарев В.А., Фролова А.А., Шахов Е.М. Отражение потока разреженного газа от стенки с отверстием и истечение газа в вакуум // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2018 (в печати).
13. Kolobov V.I., Arslanbekov R.R., Aristov V.V., Frolova A.A., Zabelok S.A. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement // J. of Computational Physics. 2007. Vol. 223. No. 2. Pp. 589-608. DOI: 10.1016/j.jcp.2006.09.021
14. Titarev V.A. Efficient deterministic modelling of three-dimensional rarefied gas flows // Communications in Computational Physics. 2012. Vol. 12. No. 1. Pp. 162-192.
DOI: 10.4208/cicp.220111.140711a
15. Титарев В.А. Программный комплекс моделирования трехмерных течений одноатомного разреженного газа «Несветай-3Д». Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ 2017613138 от 10.04.2017.
16. Chai J.C, Lee H.S., Patankar S.V. Ray effect and false scattering in the discrete ordinates method // Numerical Heat Transfer. Pt. B: Fundamentals. 1993. Vol. 24. No. 4. Pp. 373-389.
DOI: 10.1080/10407799308955899
17. Brull S., Mieussens L. Local discrete velocity grids for deterministic rarefied flow simulations // J. of Computational Physics. 2014. Vol. 266. Pp. 22-46. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.01.050
18. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. 440 с.
19. Шахов Е.М. Об обобщении релаксационного кинетического уравнения Крука // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1968. № 5. С. 142-145.
20. Holway L.H.Jr. New statistical models for kinetic theory: Methods of construction // Physics of Fluids. 1966. Vol. 9. No. 9. Pp. 1658-1673. DOI: 10.1063/1.1761920
21. Chunpei Cai, Boyd I.D. Theoretical and numerical study of free molecular-flow problems // J. of Spacecraft and Rockets. 2007. Vol. 44. No. 3. Pp. 619-624. DOI: 10.2514/1.25893
22. Chunpei Cai. Theoretical and numerical studies of plume flows in vacuum chambers: Doct. diss. Ann Arbor: Univ. of Michigan Publ., 2005. 235 p.
23. Arslanbekov R.R., Kolobov V.I., Frolova A.A. Kinetic solvers with adaptive mesh in phase space // Physical Review E. 2013. Vol. 88. No. 6. 063301. DOI: 10.1103/PhysRevE.88.063301
24. Morris A.B., Varghese P.L., Goldstein D.B. Monte Carlo solution of the Boltzmann equation via a discrete velocity model // J. of Computational Physics. 2011. Vol. 230. No. 4.
Pp. 1265-1280. DOI: 10.1016/j.jcp.2010.10.037
25. Chang Liu, Kun Xu, Quanhua Sun, Qingdong Cai. A unified gas-kinetic scheme for continuum and rarefied flows IV: Full Boltzmann and model equations // J. of Computational Physics. 2016. Vol. 314. Pp. 305-340. DOI: 10.1016/j.jcp.2016.03.014
Mathematics & Mathematical Modelling
flltptf/rrtalhmelpub.ru ISSN 2412-5911
Mathematics and Mathematical Modeling, 2018, no. 04, pp. 27-44.
DOI: 10.24108/mathm.0418.0000142
Received: 05.07.2018
© NP "NEICON"
Kinetic Methods for Solving Non-stationary Jet Flow Problems
V.A. Titarev1'*, A.A. Frolova1 'titarevigmailju
federal Research Center «Computer Science and Control» of RAS,
Moscow, Russia
Keywords: rarefied gas, Boltzmann equation, model equations, ellipsoidal statistical model, Shakhov
model
The study of non-stationary rarefied gas flows is, currently, attracting a great deal of attention. Such an interest arises from creating the pulsed jets used for deposition of thin films and special coatings on the solid surfaces. However, the problems of non-stationary rarefied gas flows are still understudied because of their large computational complexity. The paper considers the computational aspects of investigating non-stationary movement of gas reflected from a wall and flowing through a suddenly formed gap. The study objective is to analyse the possible numerical kinetic approaches to solve such problems and identify the difficulties in their solving.
When modeling the gas flows in strong rarefaction one should consider the Boltzmann kinetic equation, but its numerical implementation is rather time-consuming. In order to use more simple approaches based, for example, on approximation kinetic equations (Ellipsoidal-Statistical model, Shakhov model), it is important to estimate the difference between the solutions of the model equations and of the Boltzmann equation. For this purpose, two auxiliary problems are considered, namely reflection of the gas flow from the wall and outflow of the free jet into the rarefied background gas.
A numerical solution of these problems shows a weak dependence of the solution on the type of the collision operator in the rarefied region, but at the same time a strong dependence of a behavior of the macro-parameters on the velocity grid step. The detailed velocity grid is necessary to avoid a non-monotonous behavior of the macro-parameters caused by so-called ray effect. To reduce computational costs of the detailed velocity grid solution, a hybrid method based on the synthesis of model equations and the Boltzmann equation is proposed. Such an approach can be promising since it reduces the domain in which the Boltzmann collision integral should be used.
The article presents the results obtained using two different software packages, namely a Unified Flow Solver (UFS) [13] and a Nesvetay 3D software complex [14-15]. Note that the UFS uses the discrete ordinate method for velocity space on a uniform grid and a hierarchical
adaptive mesh refinement in physical space. The possibility to calculate both the Boltzmann equation and the model equations is realized. The Nesvetay 3D software complex was created to solve the Shakhov model equation (S-model) for calculations based on non-structured nonuniform grids, both in velocity space and in physical one.
References
1. Sazhin O. Gas flow through a slit into a vacuum in a wide range of rarefaction. J. of Experimental and Theoretical Physics, 2008, vol. 107, no. 1, pp. 162-169.
DOI: 10.1134/S1063776108070170
2. Sazhin O. Rarefied gas flow through a channel of finite length into a vacuum. J. of Experimental and Theoretical Physics, 2009, vol. 109, no. 4, pp. 700-706.
DOI: 10.1134/S1063776109100161
3. Sharipov F. Numerical simulation of rarefied gas flow through a thin orifice. J. of Fluid Mechanics, 2004, vol. 518, pp. 35-60. DOI: 10.1017/S0022112004000710
4. Varoutis S., Valougeorgis D., Sazhin O., Sharipov F. Rarefied gas flow through short tubes into vacuum. J. of Vacuum Science & Technology A., 2008, vol. 26, no. 2, pp. 228-238.
DOI: 10.1116/1.2830639
5. Titarev V.A., Shakhov E.M. Rarefied gas flow into vacuum through a pipe composed of two circular sections of different radii. Vacuum, 2014, vol. 109, pp. 236-245.
DOI: 10.1016/j.vacuum.2014.02.019
6. Aristov V.V., Shakhov E.M., Titarev V.A., Zabelok S.A. Comparative study for rarefied gas flow into vacuum through a short circular pipe. Vacuum, 2014, vol. 103, pp. 5-8.
DOI: 10.1016/j.vacuum.2013.11.003
7. Titarev V.A., Utyuzhnikov S.V., Shakhov E.M. Rarefied gas flow through a pipe of variable square cross section into vacuum. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2013, vol. 53, no. 8, pp. 1221-1230. DOI: 10.1134/S0965542513060183
8. Larina I.N., Rykov V.A. Numerical study of unsteady rarefied diatomic gas flows in a plane microchannel. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2014, vol. 54, no. 8, pp. 1293-1304. DOI: 10.1134/S0965542514080065
9. Vargas M., Naris S., Valougeorgis D., Pantazis S., Jousten K. Time-dependent rarefied gas flow of single gases and binary gas mixtures into vacuum. Vacuum, 2014, vol. 109, pp. 385-396. DOI: 10.1016/j.vacuum.2014.06.024
10. Konopel'ko N.A., Shakhov E.M. Evolution to a steady state for a rarefied gas flowing from a tank into a vacuum through a plane channel. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2017, vol. 57, no. 10, pp. 1695-1705. DOI: 10.1134/S0965542517100098
11. Morozov A. A. Analysis of time-of-flight distributions under pulsed laser ablation in vacuum based on the DSMC calculations. Applied Physics A: Materials Science & Processing, 2013, vol. 111, no. 4, pp.1107-1112. DOI: 10.1007/s00339-012-7325-4
12. Titarev V.A., Frolova A.A., Shakhov E.M. Reflection of the rarefied gas flow from a wall with a hole and the outflow into vacuum. Fluid Dynamics, 2018 (not yet published).
13. Kolobov V.I., Arslanbekov R.R., Aristov V.V., Frolova A.A., Zabelok S.A. Unified solver for rarefied and continuum flows with adaptive mesh and algorithm refinement. J. of Computational Physics, 2007, vol. 223, no. 2, pp. 589-608. DOI: 10.1016/j.jcp.2006.09.021
14. Titarev V.A. Efficient deterministic modelling of three-dimensional rarefied gas flows. Communications in Computational Physics, 2012, vol. 12, no. 1, pp. 162-192.
DOI: 10.4208/cicp.220111.140711a
15. Titarev V.A. Programmnyj kompleks modelirovaniia trekhmernykh techenij odnoatomnogo razrezhennogo gaza "Nesvetaj-3D" [Program software for simulating three-dimensional flows of a monoatomic rarefied gas "Nesvetaj-3D". Certificate of state registration of computer programs no. 2017613138. 2017] (in Russian).
16. Chai J.C, Lee H.S., Patankar S.V. Ray effect and false scattering in the discrete ordinates method. Numerical Heat Transfer, Pt. B: Fundamentals, 1993, vol. 24, no. 4, pp. 373-389.
DOI: 10.1080/10407799308955899
17. Brull S., Mieussens L. Local discrete velocity grids for deterministic rarefied flow simulations. J. of Computational Physics, 2014, vol. 266, pp. 22-46. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.01.050
18. Kogan M.N. Dinamika razrezhennogo gaza [Rarefied gas dynamics]. Moscow: Nauka Publ., 1967. 440 p. (in Russian).
19. Shakhov E.M. Generalization of the Krook kinetic relaxation equation. Fluid Dynamics, 1968, vol. 3, no. 5, pp. 95-96. DOI: 10.1007/BF01029546
20. Holway L.H.Jr. New statistical models for kinetic theory: Methods of construction. Physics of Fluids, 1966, vol. 9, no. 9, pp. 1658-1673. DOI: 10.1063/1.1761920
21. Chunpei Cai, Boyd I.D. Theoretical and numerical study of free molecular-flow problems. J. of Spacecraft and Rockets, 2007, vol. 44, no. 3, pp. 619-624. DOI: 10.2514/1.25893
22. Chunpei Cai. Theoretical and numerical studies of plume flows in vacuum chambers: Doct. diss. Ann Arbor: Univ. of Michigan Publ., 2005. 235 p.
23. Arslanbekov R.R., Kolobov V.I., Frolova A.A. Kinetic solvers with adaptive mesh in phase space. Physical Review E, 2013, vol. 88, no. 6, 063301. DOI: 10.1103/PhysRevE.88.063301
24. Morris A.B., Varghese P.L., Goldstein D.B. Monte Carlo solution of the Boltzmann equation via a discrete velocity model. J. of Computational Physics, 2011, vol. 230, no. 4, pp. 1265-1280. DOI: 10.1016/j.jcp.2010.10.037
25. Chang Liu, Kun Xu, Quanhua Sun, Qingdong Cai. A unified gas-kinetic scheme for continuum and rarefied flows IV: Full Boltzmann and model equations. J. of Computational Physics, 2016, vol. 314, pp. 305-340. DOI: 10.1016/j.jcp.2016.03.014
