CC BY
6Результаты расчетов показывают, что, как и в случае применения классической теории [2], оптимальное перераспределение материала оболочки в сторону увеличения ее толщины в зоне краевого эффекта приводит к значительному увеличению ее несущей способности. При этом согласно таблице уточненная теория по сравнению с классической дает существенные поправки для оболочек большей толщины. Так, при ho = ho/R = 0,0025; 0,005; 0,01; 0,02 разница значений допустимой нагрузки, полученных на основе уточненной и классической теорий, составляет 6-9%, а при ho = 0,05; 0,075; 0,10 - от 14 до 50%.'
Выводы. Проведенные расчеты позволяют заключить, что применение классической теории изгиба ортотропных оболочек дает практически достоверные результаты для тонких цилиндрических композитных оболочек переменной толщины. В случае сравнительно толстых конструкций следует использовать более точные теории, в которых учитывается влияние поперечных сдвигов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.
2. Belubekyan E.V., Poghosyan A.G., Khanikyan V.M. Optimization of a cylindrical shell piecewise constant thickness, prepared from the composite material // Proc. 4th Int. conf. "Contemporary problems in architecture and construction sustainable building industry of the future". September 24-27, 2012. Vol. 2. Czestochowa, Poland, 612-617.
3. Гольденблат И.И., Коппов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Наука, 1988.
4. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.
Поступила в редакцию 30.11.2015
УДК 550.311
ОХЛАЖДЕНИЕ ПОТОКА ЛАВЫ, РАСТЕКАЮЩЕЙСЯ ПО ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Е. А. Веденеева1, О. Э. Мельник2, И. С. Уткин3
В работе рассматривается задача об охлаждении потока лавы, моделируемой вязкой несжимаемой жидкостью, растекающейся по плоской поверхности. Для моделирования свободной поверхности используется известное аналитическое решение в приближении тонкого слоя. Получены значения для толщины температурного слоя у поверхности потока, исследована эволюция температурных полей в лаве.
Ключевые слова: вулканические извержения, лавовые потоки.
The problem of cooling of a lava flow modelled by a viscous incompressible fluid spreading over a flat surface is considered. In order to model the free surface, a known analytical solution is used in the thin-layer approximation. The thickness of a thermal boundary layer is determined and the evolution of thermal fields in the lava profile is studied.
Key words: volcanic eruptions, lava flows.
Для вулканических извержений с небольшими расходами магмы характерно формирование лавовых потоков, которые могут распространяться на десятки километров, причиняя существенный вред инфраструктуре. С целью прогнозирования распространения лавового потока в настоящее время активно применяется математическое моделирование, основанное на методах гидромеханики. Обзор современного состояния проблемы можно найти в работах [1, 2]. Выделяются три класса моделей: модели, основанные на методе клеточных автоматов [3-5], модели, основанные на приближении мелкой воды [1], и, наконец, полностью трехмерные модели [6].
1 Веденеева Елена Анатольевна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. гидромеханики НИИ механики МГУ, e-mail: el_vedeneeva®imec.msu.ru.
2 Мельник Олег Эдуардович — чл.-корр. РАН, доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. гидромеханики НИИ механики МГУ, e-mail: melnikQimec.msu.ru.
3 Уткин Иван Сергеевич — асп. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ivan.utkin94@gmail.com.
В первом классе моделей используются приближенные решения уравнений течения вязкой жидкости по наклонной плоскости. Вся область разделяется на отдельные клетки, состояние и перетоки массы в которых определяются только параметрами в ближайших клетках. С помощью этих моделей можно быстро оценить направление распространения потока и с некоторой достоверностью его толщину. В моделях второго класса производится осреднение уравнений Навье-Стокса и энергии по толщине потока, которая считается малой по сравнению с другими линейными размерами. Данный подход не позволяет учесть распределение температуры и вязкости магмы по толщине, что может приводить к существенным ошибкам при описании течения.
В последнее время появляются полностью трехмерные модели, основанные на совместном решении уравнений Навье-Стокса и энергии с учетом нелинейных граничных условий для температуры на свободной поверхности. Эти модели пока не получили распространения ввиду больших вычислительных затрат и необходимости всестороннего тестирования на модельных задачах.
Целью настоящей работы является построение модели для определения поля температуры в лаве, растекающейся по плоской поверхности. В этой модели гидродинамика описывается известным решением уравнений движения в приближении тонкого слоя [7], а распределение температуры вычисляется из решения неосредненного уравнения энергии. Вязкость магмы считается постоянной. Даны оценки влияния зависимости вязкости от температуры на динамику потока. Представленную модель можно использовать для оценки толщины температурного слоя у поверхности лавы.
Постановка задачи. Для определения формы свободной поверхности и поля скоростей в потоке используется известное аналитическое решение о растекании жидкости по горизонтальной плоскости в асимптотическом приближении, описанном в [7]. Затем внутри области, ограниченной свободной поверхностью, решается тепловая задача об охлаждении потока с учетом конвективного и радиационного теплообмена с атмосферой.
Эволюция свободной поверхности. В [7] уравнения Стокса и неразрывности рассматриваются в приближении тонкого слоя: производные в горизонтальном направлении пренебрежимо малы в сравнении с производными по вертикали, так как длина потока значительно превосходит его толщину. Задача рассматривается в плоской постановке. Поверхность раздела лава-воздух задана линией г = Л,(ж,£). Для нее в случае постоянного расхода магмы, истекающей из точечного источника, в [7] получено автомодельное решение
,2„\ 1/5
12 У
1/3
(1 -У)1/3
1 + ^(1-у) + о(1-у)2
Здесь ж — горизонтальная координата, £ — время, р — плотность жидкости, /л — динамическая вязкость, д — расход магмы, д — ускорение свободного падения, г?дг — значение автомодельной координаты на фронте потока.
Длина потока определяется из условия Л-(жлг) = 0:
3 \ 1/5
Значение горизонтальной составляющей скорости и определяется выражением
1 ра сШ , 7
и(х,г,1) = --^ — г(21г-г), (1)
значение вертикальной составляющей и — из уравнения неразрывности
ди ду дх ду
Тепловая задача. Внутри области, ограниченной поверхностью Л,(ж,£), ставится задача об охлаждении потока:
(дТ дТ дТ\ , д2Т
Р^[^т+и— + у—)=к—, (3)
ч (Я дх дг) дг2
где Т — температура, Сц — удельная теплоемкость при постоянном объеме, к — коэффициент теплопроводности. В приближении тонкого слоя вторая производная от температуры в горизонтальном
направлении отброшена, так как она мала по сравнению со второй производной по вертикали и с адвективным членом. Вязкой диссипацией вблизи свободной поверхности можно пренебречь в связи с нулевыми градиентами скоростей. В уравнении (3) горизонтальная составляющая скорости берется из (1). Вертикальная составляющая определяется как линейная комбинация скорости на поверхности г>8и1^, рассчитанной как полная производная функции Л,(ж,£), и скорости г>с, полученной из уравнения неразрывности (2):
Л ¿Л
У = ус [I-
Использование в расчетах только г>с приводит к некорректным результатам, поскольку выражение для высоты поверхности Л,(ж, является приближенным, а следовательно, скорость, рассчитанная из (2), не равна скорости движения поверхности, что противоречит кинематическому граничному условию. Так как вне температурного слоя, внутри потока, температура меняется медленно, отличие скорости от значения, определяемого из (2), вносит малый вклад в изменение температуры.
При расчете необходимо учитывать приток горячей лавы. Предполагается, что лава притекает из щели шириной 2жсг. Для ж < жсг из тех же соображений для скорости берется линейная комбинация параболического профиля скорости для плоской щели и скорости на поверхности г>8и1^:
2д
у = -(ж -Жег) 1-Т
ЖГГ V П/ П
Остывание поверхности лавы вызвано в первую очередь тепловым излучением и конвекцией [8], поэтому на поверхности жидкости задается тепловой поток в виде комбинации закона Стефана-Больцмана и закона Ньютона:
-кп • УТ\Х=Н = еа (Т4 - Та4) + А(Т - Та)4/3, (4)
где п — нормаль к поверхности, е — излучательная способность (для базальта е ~ 0,8), а — постоянная Стефана-Больцмана, Т — температура лавы на поверхности тела, Та — температура атмосферы, А — коэффициент теплоотдачи. Граничное условие при г = 0 состоит из двух частей. При ж жсг ставится условие равенства температуры температуре втекающей лавы: Т = То. Отток тепла к подстилающей поверхности незначителен по сравнению с оттоком с поверхности лавы, поэтому на подложке задается условие теплоизолированности: ^ = 0. При ж = 0 также ставится условие равенства теплового потока нулю исходя из симметрии потока.
Для удобства численного решения область отображается на квадрат [0; 1] х [0; 1] с помощью преобразования координат
£ = Х , р= г
Поскольку на переднем фронте потока его высота равна нулю, отображение производится только при 0 < ж < 0,9жлг- Остывание фронта потока и его обратное влияние на распределение температуры не рассматриваются. В новых координатах уравнение (3) переписывается следующим образом:
и-(х'мдТ + + §) даЛ _ к д*Т
хм д^ к дв Ь? дв2
Здесь ж'дг = (1хм/(И. Задача решается с помощью метода конечных разностей с использованием неявной схемы. Так как градиент температуры велик только вблизи поверхности, была выбрана сетка, сгущающаяся ближе к поверхности:
На каждом шаге по времени граничное условие (4) линеаризуется и далее итерационный процесс организуется для приращений температуры. На первом полушаге по времени в вертикальном направлении после дискретизации получается система уравнений с трехдиагональной матрицей, которая решается методом прогонки. На втором полушаге решается уравнение переноса по горизонтальной координате. Путем измельчения сетки проверяется независимость решения от разрешения сетки. Схема обладает первым порядком точности по времени и пространственным координатам. За счет
малости адвективных членов вносимая схемная теплопроводность имеет порядок отношения толщины потока к его длине.
Результаты. На рис. 1 представлено распределение температуры в лавовом потоке при р = 2500^, 11 = 5 • 103 Па • с, д = 1^, а = 1, Л = 1 к = 2-^,1 = 60 ч, Т0 = 1373 К, Та = 300К. За счет оттока тепла на поверхности потока происходит нарастание температурного слоя, в котором температура резко меняется от значений, близких к атмосферным, до температуры втекающей лавы.
Рис. 1. Распределение температур в потоке после 60 ч остывания Температура поверхности лавы существенно ниже температуры солидуса (полного затвердевания), поэтому предположение о постоянной вязкости в пределах лавового потока неприменимо в области температурного слоя у поверхности. На реальных потоках образуется затвердевшая корка, которая существенно уменьшает теплоотдачу и в зависимости от условий на поверхности потока может свободно транспортироваться жидкой лавой или образовывать твердую неподвижную стенку. В последнем случае образуются лавовые трубы, способствующие распространению лавовых потоков на большие расстояния [9].
Тем не менее возможно оценить приблизительную толщину этого слоя, а также влияние неременной вязкости на параметры течения. Для этого воспользуемся моделью вязкости лавы из [10]:
log /л = А +
В
(5)
Г-С"
где А, В, С параметры. На рис. 2 представлена зависимость относительной толщины температурного слоя от времени в точках, удаленных на 1/3, 1/2 и 2/3 длины потока от его передних) края. Границу слоя определим значением температуры, при котором вязкость на порядок превосходит вязкость лавы при Т = То.
Рис. 2. Относительная толщина температурного слоя у поверхности лавы в разных частях потока:
кривая 1 х
1
ждг: 2
\xN: S
■ xN
Рис. 3. Влияние зависимости вязкости от температуры на профиль горизонтальной составляющей скорости лавы: кривая 1 р = const. 2 Р(Т)
16
Время
дни
Для оценки скорости потока в случае переменной вязкости выражение для вязкости из (5) подставляется в (1), затем уравнения движения и неразрывности численно интегрируются.
На рис. 3 представлены профили горизонтальной составляющей скорости в точке, удаленной на 1/3 длины потока от его переднего края, в случае постоянной и переменной вязкости. Максимальное значение скорости уменьшается примерно на 33% при учете переменной вязкости, градиент скорости в температурном слое существенно меньше. Перераспределение скоростей приводит к незначительному (2%) уменьшению расхода лавы при том же градиенте давления.
Заключение. Построена модель остывающего лавового потока. Показано, что на поверхности лавы образуется слой, в котором резко меняется температура. Оценено его влияние на поле скоростей и расход магмы.
Исследование выполнено по гранту РНФ (проект № 14-17-00520).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Costa A., Macedonia G. Numerical simulation of lava flows based on depth-averaged equations // Geophys. Res. Lett. 2005. 32. L05304. DOI: 10.1029/2004GL021817.
2. Cordonnier В., Lev E., Garel F. Benchmarking lava-flow models // Geol. Soc. Spec. Publ. 2015. 426. 425-445. DOI: 10.1144/SP426.7.
3. Crisci G., Kongo R., Gregorio S., Spataro W. The simulation model SCIARA: the 1991 and 2001 lava flows at Mount Etna // J. Volcanol. Geotherm. Res. 2004. 132. 253-267. DOI: 10.1016/S0377-0273(03)00349-4.
4. Favalli M., Pareschi M., Neri A., Isola I. Forecasting lava flow paths by a stochastic approach // Geophys. Res. Lett. 2005. 32. L03305. DOI: 10.1029/2004GL021718.
5. Cappello A., Hérault A., Bilotta G. et al. MAGFLOW: a physics-based model for the dynamics of lava-flow emplacement // Geol. Soc. Spec. Publ. 2015. 426. 357-373. DOI: 10.1144/SP426.16.
6. Hérault A., Bilotta G., Vicari A. et al. Numerical simulation of lava flow using a GPU SPH model // Ann. Geophys. 2011. 54. 600-620. DOI: 10.4401/ag-5343.
7. Huppert H. The propagation of two-dimensional and axisymmetric viscous gravity currents over a rigid horizontal surface // J. Fluid Mech. 1982. 121. 43-58. DOI: 10.1017/S0022112082001797.
8. Neri A. A local heat transfer analysis of lava cooling in the atmosphere: application to thermal diffusiondominated lava flows // J. Vole. Geotherm. Res. 1998. 81. 215-243. DOI: 10.1016/S0377-0273(98)00010-9.
9. Sakimoto S.E.H., Zuber M.T. Flow and convective cooling in lava tubes //J. Geophys. Res. 1998. 103. 2746527487. DOI: 10.1029/97JB03108.
10. Hess K.-U., Dingwell D. Viscosities of hydrous leucogranitic melts: non-Arrhenian model / / Amer. Miner. 1996. 81. 1297-1300. DOI: 10.2138/am-1996-9-1031.
Поступила в редакцию 11.05.2016
УДК 532.528
ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ЩЕЛЬ В ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ ПРИ НАЛИЧИИ ИСТОЧНИКА ПЕРЕМЕННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ НА ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ ТЕЧЕНИЯ
С. Л. Толоконников1
Рассматривается плоская задача о струйном нестационарном истечении идеальной несжимаемой невесомой жидкости через отверстие в стенке при наличии точечного источника переменной интенсивности на плоскости симметрии течения. Предполагается, что скорости возмущенного течения, вызванные изменением расхода источника, малы по сравнению со скоростями стационарного течения. Для решения задачи используется метод
1 Толоконников Сергей Львович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolslQmech.math.msu.su.
