CC BY
22
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VII
197 6
№ 3
УДК 629.7.015.3.03
ТЕЧЕНИЕ В ЛОПАТОЧНОЙ МАШИНЕ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ВО ВХОДНОМ КАНАЛЕ
Б. Г. Дульский, А. Г. Куканов
Рассматриваются нестационарные возмущения течения в системе решеток, заключенных между плоскими стенками. Возмущения скорости в пространстве перед решетками неравномерны по сечению канала и изменяются во времени по гармоническому закону. Определяются возмущения составляющих скорости и давления внутри лопаточной машины и вблизи от нее. Приведены примеры расчета, иллюстрирующие некоторые закономерности распределения возмущений в лопаточной машине.
1. При решении трехмерной задачи распространения возмущений давления и скорости в лопаточной машине принимается упрощенная модель явления. В работах [1] и [2] было рассмотрено обтекание стационарным потоком идеальной несжимаемой жидкости системы решеток с бесконечно большим числом лопаток, расположенных между плоскими стенками (фиг. 1). В настоящей работе, являющейся продолжением работы [2], в той же постановке решается задача обтекания лопаточной машины нестационарным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Возмущения в канале вдали от лопаточной машины создаются завихренностью течения, перемещающейся вдоль канала со скоростью невозмущенного потока.
2. Рассмотрим сначала модель пульсирующего потока в свободном канале (т. е. без лопаточной машины). Пусть невозмущенный поток движется со скоростью V вдоль оси х. Линеаризованные уравнения движения и неразрывности имеют вид:
дух , у дух _____________________1_ др . дУу дуу ___________др^ ^
дЬ дх р дх ' дt дх р ду ’
дУх , 1/^г _______________\_йР_ .
дt дх р дг ’
'г
(1)
дх
дух дуу ( дуг _
дх ду _г дг
Найдем частное решение этой системы, соответствующее возмущению давления, равному нулю. Из уравнений (1) следует, что в этом случае составляющие скорости имеют вид:
vy = vy(x-vz = v2(x-
Vt, y, z); Vt, у, г); Vt, y, z).
(3)
Таким образом, получается следующая модель возмущенного потока в свободном канале. В системе координат, движущейся со скоростью V невозмущенного потока, составляющие скорости
1РК
/////./,
1СЛ
////¿/t
2£К
2СЯ
V
і
test Ъ
Сечения 1 2 1 2 3 2
РК—рабочее колесо, СА—спрямляющий аппарат
Фиг. I
согласно (3) не зависят от времени. В этой системе координат имеется стационарное, переменное в пространстве, поле скоростей. Пульсации потока во времени в неподвижной системе координат возникают в результате перемещения этого поля вдоль канала.
Чтобы получить конкретный вид выражений для составляющих скорости, положим, что в каждой точке канала они изменяются во времени по гармоническому закону. Кроме того, распределение составляющих скорости периодично вдоль оси у (в направлении, параллельном фронту решеток) и составляющая vz обращается в нуль на стенках, ограничивающих поток. Этим условиям удовлетворяют следующие выражения:
vx = Ае'“ v-xv) е‘тУ cos kz; vy = B е‘ш (1~х!У) timy cos kz\ vz = С eio> éimy sin kz.
Здесь А, В, С —комплексные постоянные; k=).~ (^ = 0, 1, 2, . . .);
(¡а = 0, +1, +2); I — расстояние между стенками канала;
¿ — период изменения составляющих скорости вдоль оси у.
Из постоянных Л, 5 и С в выражениях (4) только две являются независимыми, третья находится из соотношения, которое получается при подстановке (4) в уравнение (2). Для определения
(4)
двух свободных постоянных можно задать возмущения двух составляющих скорости в каком-нибудь сечении канала (х — const).
Выражения (4) представляют собой частное решение системы (1) и (2). Суперпозицией этих выражений (в виде ряда или интеграла Фурье) могут быть описаны возмущения произвольного вида.
При расчете обтекания препятствий в некоторых случаях удобно возмущенное течение в канале представлять в виде двух течений,, каждое из которых определяется заданием одной составляющей скорости. В качестве таких течений выберем течение, содержащее возмущение осевой составляющей скорости [его характеристики будем обозначать значком (0) сверху], и течение в плоскостях, перпендикулярных оси х, содержащее две составляющих скорости vy и vz (характеристики со значком сверху). В первом течении задана одна составляющая скорости Vx) = Vx) (х—Vt, у, z) и для определения двух других составляющих имеется только уравнение (2). В качестве второго уравнения принимается равенство нулю осевой составляющей вихря скорости:
тг-тг=0*- W
Возмущение осевой составляющей скорости в свободном канале пропорционально возмущению полного напора h — pVvX). поэтому данное течение полностью определяется, если известно возмущение полного капора.
Второе течение определяется заданием одной из составляющих скорости V* или v*z [вторая находится из уравнения (2)]. Определяющая течение составляющая, например v*y, принимается равной:
vy = vy(x—Vt, у, z) — vf(x—Vt, у, г),
где vy(x—Vt, у, z) — полное возмущение составляющей vy в свободном канале;
vf'1 (х — Vt, у, z) — составляющая vy, соответствующая первому течению.
Во втором течении возмущения полного напора равны нулю.
Выражения (4) для рассматриваемых течений будут иметь вид.
(0) «(0) (< - 4г) +1тУ и (0) п(0) *'“(/--77 )+1ту ,
Vx=AK!e у v> cos kz\ Vy = В' ’e v соskz;
w<o)_c<o)e‘“('-£)+*»> sinkz-,
V*y = B* e<l” ^ v^+tmy COSkZ] 1)2=С*е,Ш^ v^+imvs\nkz,
В этих выражениях постоянные связаны соотношениями:
1тВф) - ~AW + kCM = 0; m С<°> + = 0; imB* + kC* = 0.
На фиг. 2 изображены линии тока первого течения в движущейся системе координат.
При расчете течения вблизи препятствий, установленных в канале, уже нельзя считать возмущение давления равным нулю.. Исключая из уравнений (1) и (2) составляющие скорости, убедимся, что возмущение давления удовлетворяет уравнению Лапласа.
* Условие (5) соответствует минимуму кинетической энергии возмущенного движения жидкости в объеме, заключенном между сечениями, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном периоду изменения возмущений вдоль оси х [3].
Решение этого уравнения, периодичное вдоль оси у и удовлетворяющее на стенках условию ~ =0, вытекающему из последнего
уравнения (1), имеет вид:
p = pVD(t) e±nx+imv cos kz, где D(t) — произвольная функция времени; /г2 = &2 + от2.
777 > О
/77 < О
Полагая, что давление, как и возмущения скорости в свободном канале, изменяется во времени по гармоническому закону, имеем
р — рО е±пх+‘ ('пу+ио соэ кг. (6)
Чтобы возмущение давления при удалении от препятствия не росло до бесконечности, в этом выражении берется знак „ + “ для пространства перед препятствием и знак „—“ для пространства за ним.
Составляющие скорости, индуцируемые решетками, ищутся в виде, аналогичном (6):
их = А е±пх+‘ (тУ+ш0 сов^г; 1>у = В е±пх+1 (Я1у+ш0 сов&г;
<иг = С е±л*+г (тУ+т‘) &г.
Из уравнений (1) получаются следующие соотношения между коэффициентами:
(¿со + п V) А + я 1/1) = 0; (¿<о + п V) В + ш Уй = 0;
(/ш -}- п V) С — А !/£> = 0.
3. Расчет течения в решетках лопаточной машины остается таким же, что и в [2]. Напомним только идею этого метода расчета и некоторые обозначения, применяемые ниже. Вводятся комплексные амплитуды возмущений параметров потока и, V, та/ и g непосредственно перед и за решетками с помощью соотношений:
vx = V ег (-wt+my'> cos kz\ vy = w e‘(ml+my> cos kz;
(7)
vz = и e‘ sin kz\ h = Vg e‘ cos kz.
При бесконечно большом числе лопаток межлопаточный канал представляет собой тонкий слой жидкости, течение в котором зависит от двух координат, определяющих положение точки на поверхности лопатки (например, л и z). Уравнения движения и неразрывности в межлопаточном канале, записанные для составляющих скорости и полного напора, имеют вид
dvjc
dt
+ cos2
,ал
' dx
-0;
+ V
àv.
_a_
dx
dvz
dx
: 0:
t£ + ^=o.
dz
(8)
Параметры течения, входящие в эти уравнения, представляются в виде:
Vx — V (X) cos kz е'(ш + ти'> *; vz = u(x) sin kz е' (“+m6') h — Vg (х) cos kz е‘(a+mU'> ‘,
где U — скорость движения решетки.
При подстановке этих выражений в (8) получается система обыкновенных дифференциальных уравнений для v(x),u{x) Hg-(x). Решение этой системы позволяет выразить v(x), u(x)ug(x) в концевом сечении межлопаточного канала через их значения в начальном сечении. Эти значения связаны с величинами, входящими в выражения (7), соотношениями:
v1 — v(x1), «! = **(.*:,), gi = g(Xi) + Uwú v2 = v (х2), и2 = и (х2), gt = g(x2) + Uw2.
Здесь индексами „1“ и „2“ обозначены параметры потока в свободном пространстве соответственно перед и за решеткой; JtTi» аг2— координаты начального и концевого сечений межлопаточного канала решетки.
Величина w2 связана с v2 соотношением
да2 = — v2tg$2, (9)
вытекающим из условия, что вектор возмущенной скорости лежит в касательной плоскости к поверхности лопатки. Величина та», связана с vt соотношением, аналогичным (9) для предыдущей решетки.
В результате комплексные амплитуды возмущений перед и за решеткой щ, . . . \ и2, v2, . . . оказываются связанными системой линейных алгебраических уравнений [формулы (20) и (21) работы [2], где величина о должна быть заменена на а = (ш + mUi/V].
В случае неподвижной решетки £7 = 0, w2 — v2 tg <х2. Система уравнений для расчета комплексных амплитуд возмущений во всех сечениях лопаточной машины имеет следующий вид:
.ли «i =
<)= - л<°>+
ink .<0)
■Ifi Л1
■Ай
.(i)
(0)
П2 ■ п 11 1 ti
уравнения вида (20) работы [2J для первой решетки;
„(1) _ „,(2). V2 — Vi ,
g2]
g?\
W{2^
■ ®i2);
уравнения вида (20) работы [2] для второй решетки;
vV = Af + А2; 4v) = А(20) + 4 Аз + С*;
*2. -z — я2 ^
™>>__ ат Л (°) I ik Г* Ш Л • <r(v>— Л(0,Л- h Л
W2 —Л2 + — с2-— А2, g2 —л2 + — л2.
(10)
Здесь цифры в верхних индексах величин V, и, g и т обозначают номер решетки.
Система (10) записана для случая, когда во входном канале имеется возмущенное течение с пульсациями полного напора
(характеризуемое постоянной Л*0)). За лопаточной машиной, кроме этого течения, должно быть возмущенное течение в плоскостях, перпендикулярных оси лопаточной машины (постоянная С\). В противном случае число уравнений в системе (10) оказывается больше, чем число неизвестных*. В общем случае в первых четырех уравнениях системы (10) добавятся члены, содержащие постоянную С* .
В случае, когда возмущения постоянны по высоте лопатки, возмущение осевой составляющей скорости vx постоянно вдоль межлопаточного канала. Система уравнений, связывающих комплексные амплитуды возмущений перед решеткой и за ней, имеет вид:
v2 = vt-, w2 = —tf.tgpa; g2 — g1 = ^r{w2~wl)-
JTa
— гаг/, j sec2 ¡3 (x) dx.
4. На фиг. 3—6 показаны некоторые результаты расчетов обтекания лопаточной машины потоком с пульсациями полного напора.
т ? to-] Z/1 i 4 \\ ij № ■
tw VS / и 9
т 2' / : >< X
7 \ \ \ \
// ■ t 1 7 \\ \\ ¡1
-10 1 -1 О 1
| 1 I-----•
-10 1 ■Г=-=° ¿С — О jr= + oo
Фиг. 3
Фиг. 3 и 4 иллюстрируют физическую картину течения в лопаточной машине и вблизи нее. На фиг. 3 показано распределение возмущений осевой составляющей скорости на бесконечности перед и за лопаточной машиной и на входе в первую решетку в случае, когда возмущения изменяются только вдоль размаха
лопаток |д;=_со = е'“ (/_ДГ/К) со б-у-); на фиг. 4 аналогичная к*артина
для возмущений, изменяющихся вдоль фронта решеток{ъх\х=-оо— = ет(*-лг/ю е/тгу/1^ Распределения скорости показаны в отдельные моменты времени, измеряемые в долях периода колебаний (фаза колебаний вычисляется во всех случаях для сечения, расположенного на входе в лопаточную машину; амплитуда колебаний в канале перед лопаточной машиной принята равной единице). Лопаточная машина состоит из ступеней, имеющих коэффициент
расхода У/и = 0,5 и коэффициент напора Нт = ^ & — tg р2) V/и — = 0,5; высота лопаток 1 = 0,5, период изменения возмущений вдоль фронта решеток Ь = 2к. Осевая проекция хорды 6 = 0,4/; безраз-
— 21
мерная частота колебаний ш = <в = 2^. Из графиков видно, что
* Такая ситуация получалась в работе [I].
9 '-іиф
VO Hä VO Xd VO Ud vo xÀvO Hi
/7 Ъ / / / / / ) ~77T /////)///// тп/
—
Г -rt
/=л •
0=<2 3tZ=<2
SO
\t-íA
g -лиф
fr ‘ЛИф
возмущения скорости в лопаточной машине и за ней существенно отличаются по величине амплитуды и фазе колебаний от возмущений в свободном канале.
На фиг. 5 показаны амплитуды возмущений осевой составляющей скорости в различных сечениях лопаточной машины в тех случаях, когда они изменяются по высоте лопатки и одновременно по высоте лопатки и вдоль фронта решетки
^,|*=_оо = е‘" «~Х!У) е1'2 *>/£ сое ") . Сравнение возмущений в стационарном и нестационарном (о> = 27г) случаях показывает, что неста-ционарность течения увеличивает величину возмущений, однако в первой ступени, где возмущения имеют максимальную величину, это увеличение незначительно.
На фиг. 6 показаны амплитуды возмущения осевой составляющей скорости и угла атаки [отнесенного к амплитуде 1)х{—со/ У)\ в лопаточной машине, состоящей из одной, трех и пяти ступеней, в случае, когда возмущения изменяются вдоль фронта решеток. Видно, как и на фиг. 5, что нестационарность течения приводит к увеличению возмущения в лопаточной машине, причем особенно значительно увеличивается угол атаки в первой решетке (это происходит в основном из-за увеличения тангенциальной составляющей скорости перед решеткой). Возмущения осевой составляющей скорости и углы атаки во второй и последующих решетках уменьшаются с увеличением числа ступеней.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ye h Н. Ап actuator dise analysis of inlet distortion and rotating stall in axial flow turbomachines. JASS, vol. 26, N 11, 1959.
2. Дульский Б. Г., Кук и нов А. Г. Течение в лопаточной машине при неравномерном распределении скоростей во входном канале. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 3, 1974.
3. Колесинский Л. Д., Кукинов А. Г. Нестационарное течение идеальной жидкости в цилиндрической трубе и обтекание хонейкомба. Труды ЦАГИ, вып. 1506, 1973.
Рукопись поступила 30/IX 1974 г.
