О вращающемся срыве в лопаточных машинах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VI

197 5

№5

УДК 629.7.03

О ВРАЩАЮЩЕМСЯ СРЫВЕ В ЛОПАТОЧНЫХ

МАШИНАХ

А. Г. Кукинов

Делается попытка распространения линейной теории вращающегося срыва на лопаточную машину, состоящую из нескольких решеток, и учета течения в пространстве за решетками. Предполагается, что высота лопаток мала по сравнению с радиусом лопаточной машины. Это позволяет рассматривать течение на развертке цилиндрической поверхности, проходящей через середину высоты лопаток. Для описания течения в пространстве перед решеткой и за ней используются уравнения гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости; течение в межлопаточных каналах решеток считается одномерным и описывается уравнениями гидравлики.

Явление вращающегося срыва считается одним из проявлений неустойчивости течения в лопаточных машинах. Оно заключается в том, что в лопаточной машине возникают зоны пониженных скоростей, которые вращаются вокруг ее оси с постоянной угловой скоростью [1]. Опубликовано большое количество теоретических работ с попытками найти условия, при которых может существовать вращающийся срыв, и определить скорость его вращения. Значительная часть этих работ базируется на линеаризированных уравнениях гидродинамики (например, [2, 3]). Рассматривалась изолированная решетка с бесконечно большим числом лопаток и использовались точные решения уравнений для течения в пространстве перед решеткой. Течение за решеткой не рассматривалось, а для замыкания системы уравнений делались различного рода предположения об условиях на выходе из межлопаточных каналов решетки.

Рассмотрим сначала течение перед лопаточной машиной и за ней. Уравнения для малых возмущений течения, записанные в безразмерном виде, будут

(1)

здесь vx, г»е — возмущения осевой и тангенциальной составляющих скорости, отнесенные к осевой составляющей скорости ]/х невозмущенного потока; р — возмущение давления, отнесенное к р]/1; 5 = х/Я — безразмерная осевая координата (ось х направлена вниз по потоку), 8 =у/Я — безразмерная окружная координата (полярный угол), фиг. 1; x = tVx|R — безразмерное время; а — угол между вектором скорости невозмущенного потока и осью лопаточной машины = Ув/Ух).

Решение уравнений (1) ищется в виде показательных функций:

чзх = щ = ; |

(2)

Подстановка выражений (2) в уравнения (1) дает следующую систему уравнений для произвольных постоянных:

(ш + Х — гretga)5 - тС = 0; [ (3)

Ы — тВ =0. ]

Приравнивая нулю ее определитель, получаем (X + _ ¿п а) (X2 _ п2) = 0. Это уравнение имеет корни:

Х<°>= ~ ¿(ш-^а), Х0)=/г, Х(2) = — п.

Каждому корню соответствует решение вида (2), причем две из постоянных А, В и С выражаются через третью с помощью уравнений (3). В силу линейности системы (1) сумма решений, соответствующих разным значениям X, также является решением. Поэтому искомое решение запишем в виде:

^ _ Д (1) £/<»т— (я8 + я? Д(2) ¿1о>т—1яв-л£ Д(0) (т—п «) — _ /Д (1) ¿¿ют—гя8 + пЕ ¿Д (2) ^¡ш-—¡пЬ—пЬ _

(4)

.— Д(0) __^ aj /яв-г (т—п 1г а) 5.

р = — А(» г — 4-1 +

+ Д(2) ^ — 1 -л5

п

Полученное решение содержит три произвольных постоянных, для определения которых должны быть заданы граничные условия. Рассмотрим сначала условия на бесконечности вверх и вниз по потоку от лопаточной машины. Если потребовать, чтобы возмущения имели конечную величину, то перед лопаточной машиной следует положить (в силу принятого направления оси V) Л(2) = 0, а за ней Л(1) = 0. Слагаемые, содержащие А(0), описывают вихревые возмущения течения, переносимые без изменения невозмущенным потоком. Так как на лопаточную машину не производится внешнего воздействия, то в пространстве перед лопаточной машиной

их следует считать равными нулю. Таким образом, возмущения течения окончательно запишутся в виде: перед лопаточной машиной:

ъх = А1 е1шг-1п9+п^, ов = — /Л! ,

р = — А, [г — а) + 1 ;

штчцпищ"' ""////">/>•

1

(5)

I

1 2 3

Фиг. I

за лопаточной машиной:

У — Д 3 (>1<>'~—1пЬ—п(. £,¿0)"—1п8— I (о>—и ^ а) ^

= ¿Аз е1тт~__ / ю _^ а | (>1оп-¡ГА—г (ш—я tg а) ^

•06 =

^7 = Л3 [г — а) — 1

£>/а>т—<л9 —л$

(6)

Получим теперь соотношения, связывающие возмущения течения перед лопаточной машиной и за ней. Будем считать решетки состоящими из бесконечно большого числа лопаток.

Рассмотрим сначалу решетку рабочего колеса. Из уравнения неразрывности следует, что осевая составляющая скорости на входе в межлопаточный канал и на выходе из него имеет одну и ту же величину. Тогда перед решеткой и за ней в точках, расположенных на концах межлопаточного канала, имеем

(7)

V,

-1 X 1 -

Уравнение движения жидкости в межлопаточном канале решетки имеет вид

д' дь

№

д1

1 др , ^ р д1 5 20 '

где I — длина дуги межлопаточного канала; — гидравлический диаметр межлопаточного канала (который принимается равным его значению для реального канала); \—коэффициент гидравлического

д' д , и д

сопротивления; — -щ + -щ'— производная по времени в системе координат, связанной с решеткой; значок относится к параметрам возмущенного течения (например, ХР •= ИР+ Интегрируя это равенство по длине канала, имеем;

р р 1 2 2 1 ] 20 ' д( J

1 1

Интеграл, описывающий гидравлическое сопротивление канала, 2

запишем в виде \ в интеграле, выражающем инер-

1

ционное сопротивление, положим вес р. Пользуясь уравне-

нием неразрывности, получим: 2 2

где Ъ — осевая проекция хорды лопатки; 7 — относительное уменьшение проходного сечения межлопаточного канала за счет толщины лопаток.

Заменяя относительную скорость с помощью соотношения

будем иметь:

р, V? ~ ~ р2 V 9

+ = (8)

Нам осталось записать равенство (8) в малых отклонениях. Поясним вычисления, связанные с записью в малых отклонениях последнего члена этого равенства. Считаем, что величина С, как и при стационарном обтекании, зависит только от направления вектора скорости перед решеткой. Поэтому с точностью до малых второго порядка

где ри р, — углы между вектором относительной скорости перед решеткой и осью лопаточной машины соответственно в возмущенном и невозмущенном потоке.

Выражая — ^ через возмущения скорости

р; -р, « т, - tg ро с082 р,=- с082 р,

—/ 2

и записывая в линеаризированном виде получим

-1- с = 4 ¡Ж +4- шЩ^ (Р, - Р0 + сг, = V,, (а, г/,, + а2 ггв1),

где ^

Теперь соотношение (8) легко может быть записано для малых возмущений течения.

В качестве третьего условия принимается, что направление потока за решеткой не зависит от возмущений течения перед решеткой. Таким образом, система уравнений для решетки рабочего колеса, записанная в безразмерном виде,

х 2>

Л2 —

и (г»е 2 -- кхЬх

а2 vы

ду,

+ и

т, д и

0 )'

(9)

д1 1 дЬ «вгН-«Ра vx2 = 0. Здесь ^—р + ^ + ^^е —безразмерное возмущение полного напора; и = и/Ух — обратная величина коэффициента расхода, Ь1 = Ь\И — относительная величина осевой проекции хорды лопатки.

Соотношения, связывающие возмущения течения перед решеткой направляющего аппарата и за ней, получаются аналогично:

Ч>хЗ — Ъх2\

где

Л, = Л,

1

ааг>

х 2

aive 2 — з = tg а3 г>г3,

ь Ь дих3-

«2 °2 А- '

(10)

а,=

(К

да2

Лё а,.

3 ~~ 2 иа 2

Соотношения вида (9) и (10) можно написааъ и для лопаточной машины, состоящей из нескольких решеток, предполагая, что зазоры между решетками равны нулю. (Расчеты показывают, что величина осевого зазора, даже при значениях, в несколько раз превышающих его реальные значения, практически не влияет на распределение скоростей в лопаточной машине). В этом случае из соотношений (9) и (10) можно исключить величины, относящиеся к зазорам между решетками. Из первых соотношений следует

Второе соотношение запишем сначала для ступени, состоящей из двух решеток, рабочего колеса и спрямляющего аппарата:

= К — + ах + а3 — а4 tg$,)vx 1 — (й+а2)ъ»1 —

■.(¿А + Мг)-^.

к,ь,и дХ)х-'-

¿6

Если ступень имеет входной направляющий аппарат (ВНА), то в этом равенстве нужно положить =tga1vxl. Окончательно соотношения для ступени запишутся в виде:

V

X 1

Ля

А,-

гv

х1

• 8г»в 1 - X, и-^р — (*! + *г)

VII 3 :

дух 1

дх

«3

Здесь для ступени без ВНА

Ъ = и+а2,

(И)

3— Ученые записки № 5

33

для ступени, имеющей ВНА,

8 = и2 (1 — 77т) + а, — а2 ^ а1 + а3 — а4 ф р2;

5 = 0;

//х= 1 — (¿У)-1 ^оч 4- р2) — коэффициент теоретического напора _ _ ступени;

>4 = Ьи х2 — к2Ь2 — коэффициенты, характеризующие инерционность жидкости в межлопаточных каналах решетки. Коэффициенты в правых частях (11) имеют простой физический смысл. Величины е и 8 представляют взятые с обратным знаком частные производные от повышения напора ступени в равномерном потоке соответственно по осевой и тангенциальной составляющим скорости перед ступенью. Члены, обусловленные нестационарностью обтекания решеток, представляют производные по времени от ки- . нетической энергии жидкости, заключенной в межлопаточных каналах, отнесенные к шагу решетки.

В случае нескольких ступеней из соотношений (11) нужно исключить величины в зазорах между ступенями. При этом вид соотношений (11) не изменится, только г и х будут равны

г=1 г=1 ¡=1

где г — номер ступени; г—число ступеней в лопаточной машине. Подставляя в (11) выражения (5) и (6), получаем

Л, _Л3_4°> = 0;

Л3 -И АГ = 0

и

(13)

(для простоты в последнем равенстве (11) полагаем а3 = 0, так как обычно невозмущенный поток за машиной имеет осевое направление).

Приравнивая нулю определитель системы (13) и разделяя в нем действительную и мнимую части, получаем:

[2 + п (х, + х2)] (8 + пиЪ) ^- + 2 + 1=0;

[1-е + л(х1 + ха)]^-(8+-/1*7х1)==0.

(14)

Эта система определяет частоту колебаний ю и величину е, характеризующую режим работы машины. После определения этих величин можно выразить две из постоянных Аи А3 и Лз0) через третью из системы (13) и рассчитать все течение.

Единственное значение е, удовлетворяющее системе (14), есть

е=-1. (15)

Таким образом, самопроизвольные возмущения течения могут существовать только при положительной производной напора лопаточной машины как функции осевой скорости. Этот вывод согласуется с результатами экспериментов, проведенных с изолированными ступенями.

Отметим, что наклон напорной кривой многоступенчатой машины равен сумме наклонов кривых отдельных ступеней [см. (12)]. Поэтому условия для возникновения вращающегося срыва в многоступенчатой машине определяются свойствами всех ее ступеней. Например, в изолированной ступени может иметься вращающийся срыв, а при работе ее в той же точке напорной кривой совместно с другой ступенью, имеющей отрицательный наклон напорной кривой, он существовать не может. Этот вывод также подтверждается экспериментальными данными.

Для частоты колебаний имеем выражение

ш 8 + пЦ-*.1

п 2 + л (*, + *2) •

Выражения (5) и (6) показывают, что возмущения течения в лопаточной машине, не изменяя своей величины, вращаются вокруг оси машины с постоянной угловой скоростью. При этом величина

~ является безразмерной угловой скоростью вращения возмущений.

Размерная угловая скорость вращения возмущений равна = Для относительной угловой скорости 2 = 2 / (~7г)

несенной к угловой скорости ротора) получим: в машине с ВНА

г

п 2 ¿11 ь

а =-5-ы-; (17)

2 + п 2 (¿1 1Ъх I + ¿2 / ¿2 № + &о/Я /=1

в машине без ВНА

8/и+ ЬцЬцЩ а в---«-- . (18)

«=1

Сравним величины угловой скорости вращения, даваемые формулами (17) и (18), с измеряемыми в эксперименте.

В работе [4] приведены результаты испытаний ступени № 12 с ВНА и без него. Необходимая для расчета скорости вращения срывной зоны в ступени без ВНА зависимость = (Р1) определялась на основании зависимостей /7ад ={У^Ц) и Нт =/2 (У^Щ

2 (Н — // ]

для рабочего колеса по формулам: С, = ; Pl = arctg(£^/l/1).

Результаты расчета сравниваются с экспериментальными значениями на фиг. 2 [так как величина С определялась неточно, для ступени без ВНА показана дорожка, соответствующая крайним значениям аг в формуле (18)]. Из графика видно, что при наличии ВНА скорость вращения зоны имеет меньшую величину, чем без ВНА. В обоих случаях расчетные значения 2 близки к экспериментальным.

Скорость вращения срывной зоны согласно формулам (17) и (18) возрастает при увеличении ширины лопаток. На фиг. 3 показаны результаты расчета 2 для ступени № 10, имеющей более

широкие лопатки, чем ступень № 12 (величина а2 взята такой же, как для ступени № 12). Ступень № 10 испытывалась без ВНА. Из графиков видно, что как расчетные, так и экспериментальные значения О в этой ступени выше, чем в ступени № 12.

Учитывая физический смысл величин, входящих в формулы (17) и (18), можно объяснить механизм, поддерживающий вращение срывных зон.

Пусть в лопаточной машине возникло возмущение осевой составляющей скорости, пропорциональное собя6 (начало отсчета угла безразлично). При этом на

входе в лопаточную машину _ СтупеньМЮ

Ступень №12 ¿вяг0,88; bp.^OJi, Ьиа_=0,10

я 0J

0,2 0

ш ш ш Ш У/Уа

_o_J а п ПО« о с», О о { о

zzazz без ВНА - с ВНА i .

0,08

0,16

Я 6

0,3

0,1 о

О. 1 н.а.

'//// V/A у/< ■////

у// У/У /У/ ш УУА

тттттт БезВНА -- с ВНА

i

0,16

0,24

0,32 VJU

Фиг. 2

Фиг. 3

вследствие торможения потока перед зоной пониженных скоростей возникнут тангенциальные составляющие скорости, пропорциональные sin /г 0 [формулы (5)]. Эти составляющие в лопаточной машине без ВНА повлияют на повышение напора в первой ступени. Именно: в тех частях окружности, где направление тангенциальной составляющей скорости совпадает с направлением вращения рабочего колеса, повышение напора уменьшится, а в тех частях окружности, где эти направления противоположны, увеличится. Изменение напора по обе стороны зоны пониженных скоростей вызовет перестроение поля осевых составляющих скорости, в результате которого зона пониженных скоростей сместится в сторону вращения рабочего колеса. Так как возмущение никак не зафиксировано в каком-либо месте окружности, это смещение превращается в непрерывное вращение зон пониженной и повышенной скоростей.

Другая причина, заставляющая перемещаться зону пониженных скоростей, заключается в нестационарности обтекания решетки рабочего колеса при неравномерном распределении осевых скоростей в лопаточной машине. Пусть лопатки рабочего колеса, пройдя зону пониженных скоростей, движутся в сторону увеличения осевой скорости. При этом относительная скорость течения в межлопаточных каналах рабочего колеса увеличивается, что приводит вследствие влияния нестационарности к уменьшению повышения давления в решетке. Последнее вызывает соответствующее уменьшение осевой составляющей скорости, вследствие чего зона пониженных скоростей смещается в сторону вращения рабочего колеса.

В этом заключается причина вращения возмущений в случае лопаточной машины, имеющей ВНА, •

В заключение отметим, что аналогичные (17) и (18) выражения для скорости вращения срывной зоны легко могут быть получены и для изолированной решетки (рабочего колеса или направляющего аппарата), если использовать граничные соотношения (9) или (10).

ЛИТЕРАТУРА

1. Hup pert М., Benser W. Some stall and surge phenomena In axial-flow compressors. Journ. Aeron. Sci., vol. 20, N 12, 1953.

2. S t e n n 1 n g A. H. Stall propagation in cascades of airfoils. Journ. Aeron. Sci., vol. 21, N 10, 1954.

3. Emmons H. W., Pearson С. E. and Grant H. P. Compressor surge and stall propagation Trans. ASME, vol. 77, N 4, 1955.

4. Борисов Г. А., Локштанов E. А., Ольштейн Л. E. Вращающийся срыв в осевом компрессоре. Сб. „Промышленная аэродинамика", вып. 24, Оборонгиз, 1962.

Рукопись поступила /8) VI 1974 г.