CC BY
83
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Т о м VI 197 5
№ 4
УДК 533.6.011.3:62—135
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ПОТОКА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В СТУПЕНИ ТУРБОМАШИНЫ
М. у7. Иванов, Ю. И. Кимасов
С помощью конечноразностной схемы сквозного счета С. К. Годунова [1, 2] проведен расчет стационарных и нестационарных режимов осредненного по окружной координате течения невязкого и нетеплопроводного газа в проточной части ступени турбомашины. Использованный численный подход позволяет получать решение задачи в широком диапазоне скоростей потока, включая также область трансзвуковых скоростей. Рассмотрены некоторые особенности течения газа в межлопаточном канале, в частности численно определена граница устойчивой работы вентилятора. Представлено сравнение результатов с экспериментальными данными и расчетами по другим известным методам исследования двумерного потока в турбомашинах.
Большинство методов расчета газового потока в турбомашинах основывается на ряде упрощающих предположений, главными из которых являются приближение идеального газа, стационарность течения и переход от трехмерной задачи к двум двумерным {к задаче осесимметричного осредненного течения в межлопаточном канале и к задаче обтекания решетки профилей на осесимметричных поверхностях слоя переменной толщины). Обзор развитых методов решения указанных задач, а также обширную библиографию по этому вопросу можно найти в [3 — 5]. Отметим, однако, что многие из известных теоретических подходов не позволяют получить решение во всем возможном диапазоне скоростей потока в турбомашинах. Так, дополнительные трудности возникают при наличии в потоке звуковых линий, разделяющих области дозвукового и сверхзвукового течения (напомним, что стационарная система уравнений газодинамики имеет эллиптический тип в дозвуковой и гиперболический тип— в сверхзвуковой области потока).
В ряде опубликованных работ [6 — 9] анализ смешанных течений в плоской решетке профилей удалось провести интегрированием нестационарной двумерной системы уравнений газодинамики с помощью конечноразностных схем сквозного счета. При этом
введение третьей независимой переменной — времени, несмотря на увеличение размерности задачи, позволяет облегчить получение стационарного решения (методом установления).
Из работ, посвященных расчету осредненного осесимметричного течения в межлопаточном канале, упомянем, к примеру, исследования [10, 11], в которых предложены приближенные численные методы решения указанной задачи как в прямой, так и в обратной постановке. Однако попытки применить метод [10] к решению прямой задачи в случае смешанных течений (в относительном движении) не дали положительного результата из-за неустойчивости схемы в трансзвуковой области.
Что касается пространственных течений в турбомашинах, то здесь решение задачи было получено с помощью квазитрехмерного подхода [12—14], когда на первом этапе определяется двумерное течение на предполагаемой средней поверхности между лопатками и на втором — ищется решение на осесимметричной поверхности тока в решетке профилей. В работах [12, 13] использован так называемый метод квазиортогоналей, а в [14] — двумерный метод характеристик. Методы, развитые в [10—14], можно применять только для расчета гладких стационарных течений, причем изменение скорости потока допускается лишь в ограниченном диапазоне.
В настоящей статье решена прямая задача по определению осредненных параметров осесимметричного потока в межлопаточном канале.
1. Рассмотрим течение невязкого и нетеплопроводного газа в осесимметричном кольцевом канале с заданной формой верхней и нижней стенок. Внутри канала допускается наличие нескольких лопаточных венцов (например, рабочего колеса, выходного и входного направляющих аппаратов). Предположим, что известны угловая скорость вращения рабочего колеса и> и форма лопаток в венцах. Все границы венцов, а также начальное и конечное сечения канала аппроксимируются коническими поверхностями, соосными с каналом, т. е. в меридиональной плоскости заменяются отрезками прямых линий. На входе и выходе задаются осесимметричные граничные условия. В качестве поверхностей тока в венцах выбирается средняя поверхность лопатки, которую в окрестности входной и выходной кромок лопаток можно уточнить с помощью углов атаки и отставания потока. Сечение канала меридиональной плоскостью, содержащей оси х я г цилиндрической системы координат хпр, показано на фиг. 1, а. Образующие верхней и нижней стенок канала задаются уравнениями г = г+(х) и г = г-(х). Отрезок прямой, отвечающий начальному сечению канала, соединяет точку а на нижней стенке с точкой b на верхней стенке. Точки cud принадлежат линиям г+(х) и Г-(х) и определяют положение конечного сечения. Координаты х и г точек а, Ъ, с и d обозначаются с соответствующими индексами [ха, га — г-(ха) и т. д.]. Требуется рассчитать осредненный осесимметричный поток в области abed.
Пусть t — время; р, р, е и i — давление, плотность, удельные внутренняя энергия и энтальпия; U, V, W — проекции вектора
скорости газа Q в абсолютном движении на оси цилиндрической
системы координат х, г, % u, v, w — проекции вектора скорости q в относительном движении на оси цилиндрической системы координат, связанной с венцом. Все величины удобно считать безразмерными. Для этого значения координат х и г относятся к харак-
терной длине /*, величины плотности и компонентов скорости — к их критическим значениям в абсолютной системе координат в начальном сечении канала р* и а*, давления —к произведению Р*а?, времени — к /*/«*, угловой скорости со—к а*//* и, наконец, величины внутренней энергии и энтальпии —к а*. За характерный размер удобно выбрать радиус наиболее удаленной от оси х точки рабочего колеса, и тогда произведение о>/* равняется окружной скорости конца лопатки колеса.
100
1 /> 1
2
?
=яг==3'<
0,5
1,0
Б)
1,5
Фиг. 1
Для совершенного газа с постоянным показателем адиабаты * величины ей I определяются через р и р в виде
е =
% — 1 р
I =
(1)
На входе канала в сечении аЬ предполагаются заданными полная энтальпия и энтропия газа, а также окружная компонента скорости ИТ". Осевая компонента скорости С/ на линии аЬ определяется в процессе решения с помощью линейной экстраполяции по известному в данный момент времени распределению и около начальной границы. Радиальная компонента скорости V находится из предположения линейности изменения угла аг^ (VIII) от величины аг^ [г'_ (д:а)] на нижней стенке до соответствующего значения аг^ [г'+ (х4)] на верхней стенке. Эти условия позволяют определить все параметры газа в сечении входа канала. В выходном сечении на линии сс1 задается распределение статического давления по сечению ре(г). На верхней и нижней стенках канала выполняется условие непротекания.
Сечение входа выбирается на достаточном удалении от первого лопаточного венца так, чтобы указанная приближенная постановка граничных условий на линии аЬ не приводила к искажению течения в межлопаточном канале. Дополнительные расчеты, проведенные при выборе сечения аЬ на различных расстояниях от лопаточного венца показали, что метод определения и на аЬ (линейная экстраполяция) весьма незначительно сказывается только в окрестности входа канала (в двух-трех начальных слоях расчетной сетки). Аналогичная постановка граничных условий в сечении входа сопла была использована в [15].
Система уравнений, описывающих осредненное по <р течение на безлопаточных участках проточной части турбомашины, записывается для абсолютного движения в виде интегральных законов сохранения
й__
м
(2)
I”| ргйхйг + ^ рг (Ийг — Уйх) — 0;
'5 г
~Ш 11 Р^гйхйг + $ ргйг 4-ри г (ийг — Уйх) — 0; .
« г
Ж11Р Vгйхйг + (£ р У г (ийг — Уйх) — ргйх=§§ (р + р\У2) йхйг;
5 Г 5
~ р1Гг2й хйг + фР\Рг2(1ийг — Уйх) = 0;
Рг (2 е + (22) йхйг + ф рг (2» + 0?) (ийг - Уйх) = 0;
я г
здесь 5'— произвольная элементарная площадка в меридиональной плоскости, а Г — ее граница. Обход контура в системе (2) осуществляется против часовой стрелки.
Для определения потока в лопаточных венцах необходимо задать поверхность тока. Уравнение средней поверхности лопатки
—►
записывается в виде Ул~9л(х, г). Обозначим через гал нормаль к поверхности срл (л:, г), через Д<рЛ (а:, г)— угловую толщину лопатки, а через Др(х, г) перепад давления на лопатке. Для венца, имеющего N лопаток, угловой шаг решетки определяется как 6=2тс/ЛГ. Удобно ввести также величину стеснения канала лопатками венцов [4]
К(х, г) = 1 — ^Л. (3)
Условие непротекания через среднюю поверхность лопатки в системе координат, связанной с венцом, имеет вид
{Я X «л) = о
или в скалярной форме
Осредненная по окружной координате система уравнений в относительном движении для течения в венцах также запишем в форме законов сохранения
"57 11 Рг^хе^г + $ ?ГК (уйг — vdx) = 0;
5 Г '
II ЩгКйхйг + (р ргКйг + риг К (ис1г — vdx) =
-p^idxdn
d
dt
(5)
j-j pvr К dxdr + (j) pvrK (udr — vdx) — prKdx =
s г
= jj [рк + PK(w + mrf + r (^f- + p -~-j dxdr;
pwr2 Kdxdr -+- <j) pwr2 К (udr — vdx) =
5 Г
= j J r 2 pvr2 Ka> — -p) dxdr,
W // ^ e ^ ^x<^r + $ Pr^ (2 i + Q2) {udr — vdx) =
s г
= 2 j j pvr2 o>2 Kdxdr.
s
Дополнительное соотношение (4) позволяет определить перепад давления Ар в каждой точке венца на следующем временном слое после определения компонент скорости и, V И W. Отметим, что система (5) переходит в (2) приш = 0, Др(х, г) — 0 и К(х, г)=1.
Системы уравнений (2) и (5) интегрировались численно с помощью схемы С. К. Годунова [1, 2]. Особенности применения этой
схемы для решения внутренних задач газодинамики можно найти в [15]. Для построения конечноразностной аппроксимации систем (2) и (5) область течения abed разбивается в продольном направлении отрезками прямых на / слоев. Границы венцов в меридиональной плоскости должны обязательно входить в число отрезков разбиения. Каждый отрезок разбиения, заключенный между нижней и верхней стенками канала, делится на J равных частей. Точки разбиения соединяются между собой, как показано на фиг. 1, образуя тем самым расчетную сетку. Применяя интегральные законы сохранения к каждой ячейке сетки [1, 2, 15] можно по известным параметрам в предыдущий момент времени t определить параметры потока в последующий момент времени t +Параметры газа на границах ячеек определяются из расчета распада одномерного разрыва [1, 2].
Стационарный режим течения определяется в процессе установления по времени. При этом для первого этапа расчета с малым числом разностных ячеек начальное распределение параметров берется из одномерного расчета. После вычисления поля потока на грубой разностной сетке проводится уточнение параметров на мелкой
сетке, когда начальное распределение определяется с помощью линейной интерполяции по результатам предыдущего расчета. Такой подход позволяет, наряду с сокращением машинного времени счета каждого варианта, проследить сходимость результатов при измельчении конечноразностной сетки.
2. Приведем некоторые примеры расчетов осредненного по <р идеального газового потока в турбомашинах по изложенной выше методике.
Результаты вычисления смешанного течения в канале ротора сверхзвукового компрессора и сравнение с результатами решения обратной задачи по методу квазиор-тогоналей [10] представлено на фиг. 1 и 2. Проточная часть канала компрессора показана на фиг. 1, а. Область рабочего колеса, ограниченная сплошными вертикальными линиями, обозначена цифрой I. Геометрия лопаток, величина скорости вращения ю= 1,459, и распределение давления в сечении выхода были взяты из расчета по методу работы [10]. Величина расхода газа через рабочее колесо в настоящей статье определяется в процессе решения и является постоянной для каждого сечения только на стационарном режиме, в то время как для методики, развитой в [10], величину расхода необходимо задавать [распределение ре(г) при этом находится из решения]. Величина расхода, определенная с помощью прямой задачи, с точностью 5% совпала со значением, заданным для обратного метода [10].
На всех приводимых фигурах результаты данной работы представлены сплошными линиями, а расчеты по методу [10] — штриховыми линиями. На фиг. 1 ,а дано сравнение положения звуковой линии (число М= 1) в рабочем колесе компрессора. Поток в относительном движении тормозится в роторе от сверхзвуковой до дозвуковой скорости. На фиг. 1, б приведены распределения давления, отнесенного к полному давлению в сечении входа р0 по периферии (линии /) и по втулке (линии 2).
На фиг. 2 показано распределение коэффициента относительной скорости А = д/а% и статического давления р, отнесенного к полному давлению, вдоль выходной кромки рабочего колеса. По оси абсцисс отложена координата 1=(г — г_)/(г+— г_) при л;=1,23. Расчет этого варианта проведен на разностной сетке в /Х-/=54Х X 18 = 972 ячеек. Для сравнения на фиг. 1 точками представлены результаты вычислений с удвоенным числом ячеек. В расчете по методу квазиортогоналей использовалось /X ./=19X11=209 точек.
На фиг. 3 приведены результаты расчета течения в колесе дозвукового компрессора, проточная часть которого показана на фиг. 3, а. Течение в этом компрессоре исследовалось экспериментально Н. Ф. Пешехоновым и К. К. Климовским. В частности, было экспериментально измерено распределение давления вдоль корытца и спинки периферийного профиля. На фиг. 3, б показано распределение давления по верхней стенке канала, когда « = 0,582.
2—Ученые записки № 4
17
Светлые и черные точки представляют экспериментальные данные но корытцу и спинке соответственно. В расчете по методу настоящей работы распределение давления ре(г) задавалось из эксперимента.
Вычисления по методике [10] проведены для тех же значений угловой частоты и расхода, что и в настоящей работе, причем за межлопаточную поверхность тока в обоих расчетах выбиралась средняя поверхность лопатки. Полученные численно распределения давления (фиг. 3, б) расположены между экспериментальными ■точками, отвечающими корытцу и спинке периферийного профиля, что является дополнительной иллюстрацией использования ос-редненной по координате <р ис-
Фиг. 3 Фиг. 4
чет по методу настоящей работы проведен на сетке в /ХУ = = 30 X 10 = 300 ячеек, в расчете по методике [10] использовалось /X 1— 13 X 8 = 104 точки.
На фиг. 4, а приведены результаты численного исследования различных режимов течения в модели сверхзвукового вентилятора.
Вентилятор состоит из рабочего колеса / и направляющего аппарата II, причем на всех режимах работы вентилятора за осред-ненные поверхности тока в венцах принимались средние поверхности лопаток. Это допущение заведомо приводит к дополнительным погрешностям в решении, так как осредненная поверхность тока отличается от средней поверхности лопаток в окрестности
входа и выхода венцов на углы атаки и отставания потока и должна быть различной для различных режимов работы вентилятора. Но для выяснения особенностей течения в вентиляторе можно в первом приближении ограничиться единой для всех режимов меж-лопаточной поверхностью тока, совпадающей со средней поверхностью лопаток. Для уточнения межлопаточных поверхностей тока допускается использование эмпирических закономерностей для определения углов атаки и отставания потока в венцах.
Проведен расчет семи режимов течения в вентиляторе, которые характеризуются следующими значениями ре, на выходе из канала: режим 1—ре = 2,0Ъ\ режим 2 — ре = 2,00\ режим 3—/?в = 1,81; режим 4 — ре—\,Ъ1-, режим 5 —/?е=1,28; режим 6 — /?е=1,09; режим 7 — ре = 0,99. Давление ре полагается постоянным по сечению. На фиг. 4, а для первых шести режимов показаны линии М=1 относительного потока (соответственно линии 1 — 6). Видно, что при уменьшении ре область сверхзвукового течения увеличивается. В тот момент, когда линия М = 1 касается втулки канала (линия 6), происходит запирание потока в колесе и расход достигает максимального значения. Для ре — 0,99 (режим 7) положение линии М = 1 и значение расхода такие же, как для ре= 1,09 (режим 6). На фиг. 4, б представлено распределение давления вдоль верхней стенки канала в окрестности колеса для режимов 1, 3 и 4.
Характеристика рабочего колеса, полученная из расчета, приведена на фиг. 4; в. По оси ординат отложена величина осреднен-ного по расходу повышения полного давления в колесе тск, равного отношению полного давления за колесом к полному давлению «в начальном сечении, по оси абсцисс — значение осевой составляющей приведенной скорости Х^., также осредненной по расходу на входе в рабочее колесо. Точки, обозначенные цифрами 1—7, отвечают соответствующим режимам. Точки для двух последних режимов имеют одну и ту же абсциссу. При значении /?е>2,05 в канале появляются нестационарные области обратных токов, которые, развиваясь по времени, приводят к срыву течения в колесе. В начале срыва обратный ток возникает у нижней стенки канала около выходного сечения и распространяется постепенно вверх по потоку. Затем наблюдается появление обратного тока также в окрестности входа канала у верхней стенки. В дальнейшем область обратного тока занимает всю окрестность, прилегающую к втулке.
В процессе вычисления всех вариантов с помощью проверки законов сохранения массы и энергии проводилась проверка точности расчетов (как изложено в [15]). При числе расчетных ячеек около 400 расход и поток энергии сохранялся с точностью до 2 — 3% почти во всей рассчитываемой области. Максимальная ошибка (5 — 8%) наблюдается при этом только в сечениях входных и выходных кромок лопаточных венцов, однако имеет узколокализо-ванный характер. Дополнительные сведения о точности метода С. К. Годунова (в частности, при расчетах внутренних течений) можно найти, например, в [15, 16].
Расчеты настоящей работы проведены на ЭЦВМ БЭСМ-6 по программам, составленным на алгоритмическом языке АЛГОЛ-бО. Вычисление одного варианта стационарного режима течения с расчетной сеткой в 400 ячеек требует около 15 мин машинного времени.
Авторы признательны А. Н. Крайко и Ю. Н. Васильеву за постановку задачи и полезные обсуждения результатов.
1. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Матем. сб., т. 47 (89),. № 3, 1959.
2. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., т. 1, № 6, 1961.
3. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашины. М.,. Изд. физ.-мат, лит., 1962.
4. Жуковский М. И. Аэродинамический расчет потока в осевых турбомашинах. Л., „Машиностроение”, 1967.
5. G о s t е 1 о w J. P. Compressible flow theories for airfoil cascades. Paper ASME, N 73-QT-9, 1973.
6. Gopalakrishnan S., Bozzola R. A numerical technique for the calculation of transonic flows in turbomachinery cascades. Paper ASME, N 71-GT-42, 1971.
7. M с D о n a 1 d P. W. The computation of transonic flow trough two-dimensional gas turbine cascades. Paper ASME, N 71-GT-89, 1971.
8. Bowley W. W., Prince J. E. Finite element analysis of general fluid flow problems. A1AA Paper N 71-602, 1971.
9. Замтфорт Б. С., Иванов М. Я. Обтекание решетки симметричных профилей околозвуковым неизэнтропическим потоком. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 111, № 6, 1972.
10. С а л ь н и к о в В. С. К расчету осесимметричного потока газа в турбомашинах. В сб.: .Лопаточные машины и струйные аппараты", вып. 6, 1972.
И. Дорфман Л. А., Серазетдинов А. 3. Численное решение на ЭЦВМ задач осредненного осесимметричного потока в турбомашинах. „Энергомашиностроение", 1969, № 7.
12. П о д в и д з Г. Л. Расчет квазитрехмерного течения газа в меж-лопаточном канале осевой турбомашины. ,Изв. АН СССР, МЖГ",. 1971, № 4,
13. Катсанис Т. Применение метода произвольных квазиорто-гональных линий к расчету распределения потока в турбомашине. „Энергетические машины', сер. А, т. 88, № 2, 1966.
14. Simon Н. A contribution to the theoretical and experimental examination of the flow through plane supersonic deceleration cascades-and supersonic compressor rotors. Paper ASME, N 73-GT-17, 1973.
15. Иванов М. Я., К рай ко A. H. Расчет смешанного течения в соплах. В кн.: „Труды секции по числовой методике в газовой динамике второго международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем". Новосибирск, 1969, т. 2. М., Изд. ВЦ. АН СССР, 1971.
16. Дворецкий В. М., Иванов М. Я. К расчету смешанного течения в соплах с несимметричной дозвуковой частью. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 5, № 5, 1974.
Рукопись поспупала 12/V 1974
