CC BY
47
Том XL V
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2014
№ 2
УДК 533.697.6:534.21:621.452.332
МЕТОД РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНОГО АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ РЕШЕТОК В МНОГОСТУПЕНЧАТОЙ
ТУРБОМАШИНЕ
А. А. ОСИПОВ, А. А. РОССИХИН
Представлена математическая модель для расчета тонального шума многоступенчатой турбомашины, позволяющая описывать эффекты нестационарного аэродинамического взаимодействия в системе нескольких взаимно вращающихся лопаточных венцов. Модель опирается на анализ частотно-модального спектра пульсаций параметров потока газа в турбома-шине, позволяющий установить пространственно-временную структуру поля возмущения, индуцируемого взаимодействием роторных и статорных лопаточных колес. Метод расчета тонального шума реализован в программном комплексе ЦИАМ 3DAS (3 Dimensional Acoustics Solver) с применением современных высокоэффективных разностных схем численного интегрирования уравнений Эйлера для пульсаций параметров потока.
Ключевые слова: решетки турбомашин, ротор-статор взаимодействие, двумерное приближение, тональный шум, двухступенчатая турбина, метод гармонического анализа, сращиваемые модальные разложения, численная DRP-схема.
ВВЕДЕНИЕ
Развитие методологии математического моделирования нестационарных течений в турбо-машинах на протяжении двух последних десятилетий является приоритетным направлением исследований в области совершенствования рабочего процесса в газотурбинных двигателях и, в частности, в области авиационной акустики. Актуальность этого направления возрастает из года в год вследствие обострения проблемы шума самолетов вблизи аэропортов и ужесточения требований по его ограничению. В настоящее время авиационные турбомашины (вентилятор, компрессор, турбина) рассматриваются как основные источники шума газотурбинных двигателей
современных магистральных гражданских самолетов. Успехи в снижении авиационного шума в решающей степени зависят от прогресса в развитии физических представлений о нестационарных газодинамических процессах в лопаточных машинах и методов расчетного определения их акустических характеристик.
Основополагающие представления о физических механизмах генерации шума в тур-бомашине дает рассмотрение нестационарного аэродинамического взаимодействия ротора и статора в отдельной ее ступени. Как известно, такое взаимодействие приводит к пульсациям потока, в спектре которых доминируют дискретные составляющие, формирующие так называемый тональный шум. При изучении тонального шума естественно ограничиться рас-
ОСИПОВ Анатолий Алексеевич
доктор физико-математических наук, начальник сектора ЦИАМ
РОССИХИН Антон Анатольевич
кандидат физико-математических наук, начальник сектора ЦИАМ
смотрением установившегося периодического по времени процесса взаимодействия, характеризующегося единственным временным масштабом, определяемым кинематикой равномерного взаимного вращения строго периодических в окружном направлении лопаточных конфигураций ротора и статора. Такой подход предполагает отсутствие в потоке каких-либо колебаний, характеризующихся другими временными масштабами.
Особенность рассматриваемой кинематики такова, что в системе координат ротора или статора для каждой точки потока в каждый момент времени можно указать соответствующий комбинированный сдвиг по временной и окружной координатам, относительно которого нестационарное поле течения оказывается периодическим [1—5]. Данное свойство, которое мы будем в дальнейшем называть обобщенной пространственно-временной периодичностью, позволяет строго свести задачу расчета нестационарного течения в ступени к рассмотрению компактной расчетной области, содержащей лишь по одному межлопаточному каналу ротора и статора [1 — 8]. Частотный и окружной спектры гармонического разложения рассматриваемого поля пульсаций потока соответственно по времени и в окружном направлении известны и определяются бесконечным множеством значений двух произвольных целых констант [3, 9].
Преимущества, которые дает учет указанных свойств поля пульсаций потока, очевидны и связаны с радикальным сокращением компьютерных ресурсов, потребных для численного моделирования нестационарного процесса, по сравнению с соответствующими затратами вычислительных ресурсов при прямом моделировании процесса [10, 11] и вследствие этого — с возможностью значительного повышения разрешающей способности численной дискретизации поля нестационарного течения.
Тональный шум многоступенчатой турбомашины также имеет известный спектр бесконечного числа дискретных частотных и окружных составляющих, структура которого, как будет показано ниже, аналогична структуре спектра взаимодействия ротора и статора отдельной ступени. Однако в отличие от последнего спектр многоступенчатой турбомашины формируется целым набором различных временных масштабов, каждый из которых характеризует нестационарное взаимодействие какой-то отдельной пары лопаточных венцов. Вследствие радикального усложнения пространственно-временной картины течения условие обобщенной периодичности в этом случае сформулировать не удается, и это обстоятельство не позволяет в общем виде свести задачу к расчету одного межлопаточного канала в каждом из лопаточных венцов. По этой причине в практике численного моделирования нестационарных течений в турбомашинах обычно приходится иметь дело с одновременным расчетом большого числа межлопаточных каналов, входящих в наименьший общий окружной период полной многоступенчатой системы лопаточных венцов. Выполнение таких расчетов требует чрезвычайно высоких затрат вычислительных ресурсов и не всегда возможно или практически целесообразно.
Альтернативный подход к расчету тонального шума многоступенчатой турбомашины может быть сформулирован на основе линейного анализа малых возмущений потока с использованием принципа суперпозиции. Поле пульсаций потока в областях между лопаточными венцами приближенно представляется как линейная комбинация возмущений, индуцируемых каждым лопаточным венцом при нормированном элементарном воздействии на него того или иного вида [12— 15]. Неизвестные коэффициенты указанной суперпозиции находятся из решения линейной алгебраической системы уравнений, получаемой из условий непрерывности потока между венцами. Несмотря на привлекательность такого подхода, его реализация сопряжена с весьма большим объемом вычислений базисных откликов каждого венца.
В настоящей работе проблема расчета тонального шума многоступенчатой турбомашины рассматривается на примере двухступенчатой турбины, приближенно моделируемой системой двумерных решеток, которые получаются в сечении турбомашины поверхностью соосного ей кругового цилиндра заданного радиуса. Шаги и скорости взаимного перемещения решеток, а также периодичность течения в направлении их фронтов отвечают параметрам заданной исходной системы взаимно вращающихся кольцевых лопаточных венцов. В рамках предпринятого здесь исследования использован метод, который может рассматриваться как обобщение предложенного ранее в [6] метода гармонического анализа течения в ступени турбомашины на основе частотно-модального представления поля пульсаций параметров потока. В работе использован подход, который ранее был предложен в [16] и сводится к некоторому способу отбора относительно небольшого количества частотно-модальных составляющих акустического поля, которые,
с одной стороны, отвечают ограниченному набору базовых взаимодействий между венцами, а с другой — позволяют рассчитать наиболее значительные составляющие пульсационного поля, генерируемого турбиной. На этой основе в каждом лопаточном венце формируется небольшой набор гармонических фрагментов пульсационного поля, каждый из которых характеризуется определенными значениями частоты колебаний параметров потока и межлопаточного фазового сдвига. Расчет каждого такого фрагмента сводится к рассмотрению одного межлопаточного канала в каждом венце.
Развитая в настоящей работе численная модель опирается на программный комплекс 3DAS [6, 17], предназначенный для численного интегрирования уравнений Эйлера, записанных для нестационарных возмущений потока газа, и разработанный с использованием современных разностных схем вычислительной аэроакустики и, в частности, DRP схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственным переменным.
АНАЛИЗ ЧАСТОТНО-МОДАЛЬНОГО СПЕКТРА ПУЛЬСАЦИЙ ПОТОКА В ДВУХСТУПЕНЧАТОЙ ТУРБОМАШИНЕ
Структура частотно-модального спектра тонального акустического поля, генерируемого в двухступенчатой турбомашине, может быть установлена путем последовательного рассмотрения соотношений, определяющих преобразование известного спектра возмущений, индуцируемых в отдельной ступени, при их взаимодействии с роторными и статорными лопаточными венцами другой ступени. В результате такого анализа нетрудно получить, что в цилиндрической системе координат (х, г, 9), ось х которой направлена вдоль оси вращения рабочего колеса, поле нестационарных параметров потока, например, давления р (х, г, 9, t), в проточном тракте турбо-
машины в системах координат статора и ротора может быть представлено как суперпозиция составляющих вида:
/ „ \ „ / \ ¡( пл9,-ал) / „ \ „ / \ ¡(п,9г-югit) , „
р} (х, г, 9^, ^ = Р} (х, *>, р} (х, г, 9г, ^ = Р} (х, г)} г г>, (1)
п} = л + л, = л Я, аг] = и Я,
л = Л1М1 + л2Щ2, и г = МБ1 + и г2В2.
Здесь и — произвольные целые константы, где V =1, 2 соответствует первой и второй ступени; индексы 5 и г обозначают величины, относящиеся к системам координат соответственно статора и ротора; ^ и ВV — числа лопаток v-го статорного и роторного венцов соответственно; = -Яг, где Яг — угловая скорость вращения ротора. Имеет место связь 9г =95 - Я1Х. Соотношения (1) описывают одну и ту же окружную волновую составляющую в роторной и статорной системах координат. В формулах (1) введен нижний индекс ], который обозначает отдельную частотно-модальную составляющую акустического поля, отвечающую конкретному набору и ]'гУ/, V = 1, 2.
Согласно (1) весь частотно-модальный спектр акустического поля в двухступенчатой тур-бомашине определяется наборами четырех произвольных целых констант и ]гУГ.
Можно показать, что для произвольного числа Ыт ступеней турбомашины частотно-модальные составляющие генерируемого в ней тонального звука даются формулами (1), в которых однако следует положить
]5 = ^ ' л XV NV , } г = ^ ' ]П BV . v=1 v=1
Заметим также, что все приведенные выше соотношения для многоступенчатых турбо-машин справедливы лишь для одновальных машин, в которых все рабочие колеса вращаются с одной угловой скоростью Яг.
Согласно (1) полное выражение для возмущения давления р в системах координат статора и ротора можно записать в виде:
р р] (х, г, е,, 0= £ е^-^Уг £ ( г , ] и =-ж ], =-ж
ж ж
Рг = £Р] (х, г, ег, г)= £ е'(гV' £ Р] (х, гУег]г. } ¡, =-ж ¡г =-ж
(2)
Следует отметить, что имеется бесконечный набор различных пар ¡,1 и ¡,2 (]г1 и ¡г2), дающих одно и то же значение ¡, (¡г) в (1), отвечающее какой-либо выбранной гармонике зависимости возмущения от времени или окружного угла. Величина Р (х, г) в (2), отвечающая
любому из этих наборов, представляет собой по существу одну и ту же физическую составляющую возмущения. Поэтому в дальнейшем любая составляющая ряда (2) будет идентифицироваться одним конкретным набором целых констант ¡, 1, ¡,2, ¡г1 и ¡г 2, для которых предпочтительны наименьшие значения. При этом суммирование в (2) по ¡, и ¡г, отвечающим согласно (1) указанному набору констант, должно исключать повторный учет какой-либо гармоники.
Отдельная частотно-модальная составляющая поля возмущений (1), определяемая парой целых чисел ¡, и ¡г, характеризуется определенными приращениями фазы колебаний Аф,у и Афгу параметров потока соответственно в статорной и роторной системах координат, отвечающими приращениям окружного угла Ае,у = 2п/Nv и Аегу = 2п/Бу , равным угловому шагу ста-торного и роторного лопаточных венцов первой или второй (V =1,2) ступени турбомашины:
((+ ¡г У
(3)
АФ^ = 2пп, XV = + 2п --1 XV
АФ™: 2™1 Bv = ■ 2п + В
Здесь ц = 3 - = 2 (1), когда V =1(2). Из (3) видно, что в v-м статоре (роторе) приращение фазы колебаний на шаге лопаточного венца одинаково для частотно-модальных составляющих с любыми номерами ¡^ (]„) при фиксированных и ¡г (¡гц и ¡,), причем, как видно
из (1), все указанные составляющие имеют одинаковую частоту колебаний ю,] (ю ] ). Таким образом, для данной совокупности частотно-модальных составляющих расчет может быть выполнен в пределах расчетной области, отвечающей одному межлопаточному каналу соответствующего колеса, на границах которой в окружном направлении можно сформулировать условие заданного фазового сдвига колебаний.
Согласно приведенным соображениям, все множество частотно-модальных составляющих
поля колебаний в статоре (роторе) турбомашины состоит из фрагментов (групп различных азимутальных гармоник с фиксированными значениями частоты ю,] (ю]) и сдвига фазы Аф^
(Аф^) и варьируемыми значениями ¡^ (]„)), для каждого из которых расчет может быть выполнен в пределах одного межлопаточного канала каждого из венцов. В пределах одного венца указанные фрагменты могут быть пронумерованы в их заданной последовательности посредством индекса к.
Обозначим через РР,^ (РРгу,к) комплексную амплитуду совокупного возмущения давления в к-й группе (к = 1,2,..., К^)) азимутальных гармоник колебаний в v-м статорном (роторном) венце с каким-либо фиксированным значением частоты (ю). Из формулы (3)
следует, что для заданной частоты число таких фрагментов равно в общем случае К^ = В ((, Лц) (Кгх = Бх!В (Бх, Бц)), где В (С1, С2 ) — наибольший общий делитель чисел С1 и С2.
СХЕМА РАСЧЕТА
С использованием представленного выше частотно-модального анализа в настоящей работе выполнены расчеты тонального шума двухступенчатой турбомашины, состоящей из двух ста-торных и двух роторных соосных лопаточных венцов, расположенных поочередно в цилиндрическом канале кольцевого сечения. Рассмотрение проведено в рамках линейного приближения для малых пульсаций потока.
Далее мы подробно рассмотрим формулировку задачи в частотной области, когда параметры потока в системе координат какого-либо рассматриваемого у-го статорного или роторного венца представляются разложениями вида:
К™
im Л
psv(x, Г, 9, t ) = PsvO ( Г, 9s ) + Z FPsvk (x r, 9s ) ,
K=1 (4)
v —ia t
Prv (x, Г, 9, t) = Prvo (x, r, 9r ) + ^ FPrvk (x, Г, 9r )e Шгг .
k=1
Здесь величина psv0 (prv0 ) описывает основной стационарный поток в v-м статоре (роторе) турбомашины, а FPsvk (FPrvk ) — комплексная амплитуда возмущений в k-м гармоническом фрагменте на соответствующей ему частоте колебаний asj (®rj ) из спектра, описываемого соотношениями (1).
Предлагаемая в настоящей работе схема расчета пульсаций потока в турбомашине состоит в следующем. Численное интегрирование уравнений течения проводится отдельно в каждом лопаточном венце в той системе координат, где он неподвижен. В поперечных сечениях проточного канала турбомашины, где сопрягаются расчетные области смежных венцов, обеспечивается непрерывность рассчитываемых полей параметров потока.
Пульсационные поля в статорной и роторной системах координат представляются в виде (2),
причем учет равенства Pj j = P(—j j ) позволяет ограничиться расчетом в каждом лопаточном венце лишь тех компонент разложения (4), которые соответствуют положительным значениям ю j.
В этом случае значения комплексных амплитуд компонент, отвечающих отрицательным значениям частоты —ю j, находятся как комплексно-сопряженные амплитуды соответствующих гармоник с положительными значениями частоты.
Параметры основного стационарного потока на заданном режиме работы турбомашины рассчитываются с использованием известной технологии «mixing-plane» [17]. Найденные таким образом поля течения терпят разрывы на границах между венцами, причем вследствие взаимного вращения венцов окружные неоднородности стационарного обтекания какого-либо данного венца становятся нестационарными в системе координат смежного венца. Таким образом, указанные разрывы стационарных полей течения на границах сопряжения смежных венцов формально являются источниками нестационарных возмущений исходного стационарного течения в турбо-машине. При таком рассмотрении частотно-модальный состав возмущений параметров потока в каждом венце, описываемых вторым слагаемым в правой части равенства (4), в совокупности должен обеспечить непрерывность суммарных значений параметров потока на границах сопряжения смежных венцов.
В контексте рассматриваемой методологии задача расчета тонального шума многоступенчатой турбомашины в общем виде формулируется как определение основных частотно-модальных составляющих акустического поля, индуцируемого в цилиндрическом канале вне турбомашины на некотором удалении от ее входа или выхода, где поток в среднем по времени
близок к однородному в осевом направлении и где интенсивности указанных составляющих слабо изменяются по длине канала. Последнее условие соответствует тому, что частотно-модальный состав в указанных зонах в основном сформирован и содержит лишь те волновые компоненты, которые не затухают по длине канала, т. е. находятся в условиях сверхкритического распространения (их частота выше соответствующего критического значения — частоты «отсечки»).
Точность расчета на основе частотно-модального разложения поля возмущений (2) определяется количеством учитываемых в них гармоник. Как показывает анализ, с ростом числа гармоник суммарное число фрагментов РР,^ и РРг%!к, рассматриваемых согласно предлагаемой методологии, быстро нарастает. Поэтому в настоящей работе используется упрощенный подход, который состоит в приближенном вычислении с приемлемой точностью какой-либо отдельной частотно-модальной компоненты на выходе из турбомашины, что позволяет ограничиться рассмотрением в поле течения турбомашины относительно небольшого набора частотно-модальных компонент.
Итак, в рамках линейного описания поля возмущений (2) сформулируем задачу расчета на выходе из турбомашины интенсивности какой-либо отдельной частотно-модальной составляющей звука, далее называемой модой и идентифицируемой согласно (1) в виде заданного набора целочисленных констант ((, ¡г2, ¡, 1, ¡,2). Решение этой задачи предполагает определение минимального набора фрагментов РР^к и РРг%!к, описывающих возмущения в различных группах азимутальных гармоник в лопаточных венцах, который позволяет учесть вклад основных составляющих нестационарного аэродинамического взаимодействия при формировании искомой модальной компоненты на выходе турбомашины.
Рассмотрение одиночного акта взаимодействия какой-либо моды возмущения с лопаточным колесом в неподвижной системе координат показывает, что взаимодействие со статором дает приращение волнового числа п]- в (1) на величину Ьп]- = шИ, где N — число лопаток статора,
а ш = 0, ± 1, ± 2, ... — произвольный индекс взаимодействия, при сохранении неизменной величины частоты волны. Взаимодействие же с ротором дает приращение волнового числа п]- и приращение ¡г в (1) на величину Ьпу- = Ъ}г = шВ, где В — число лопаток ротора. Указанные взаимодействия происходят в пределах соответствующих фиксированных фрагментов РР^к и РРгУГк.
Процесс формирования искомой моды на выходе из турбины включает в себя последовательность актов взаимодействия, начиная с взаимодействия некоторой исходной окружной составляющей неоднородности стационарного обтекания одного из венцов с соседними венцами турбины. При этом в качестве первого приближения на каждом шаге этой последовательности учитывается лишь первичное взаимодействие формируемого возмущения с каждым очередным венцом. Это означает, что процесс формирования выбранной моды на выходе в главном не включает в себя каких-то повторных взаимодействий каких-либо промежуточных возмущений с данным венцом и, следовательно, мода (¡г1, ¡г2, ¡, 1, ¡,2 ) рассматривается как результат взаимодействия с v-м статорным (роторным) венцом с индексом взаимодействия ш = ¡^ (¡гv ). Таким
образом, в рассматриваемом процессе наиболее предпочтительны самые короткие последовательности взаимодействий, вклад которых в результирующее пульсационное поле, по-видимому, наиболее значителен.
Отметим, что в каждом таком акте взаимодействия в расчете помимо основной рассматриваемой гармоники индуцируется, вообще говоря, целый спектр рассеянных окружных составляющих, отвечающих любому целому значению индекса ш, однако в рамках приближенного решения задачи их вынос за пределы расчетной области данного венца, как правило, не рассматривается. При этом в численной модели обеспечивается достаточно слабое их отражение от границ расчетной области отдельного венца. В этом заключаются принципиальные погрешности используемой схемы взаимодействия.
Имеющийся у авторов опыт проведения расчетов с использованием данной методики показывает, что в поле возмущений могут оказаться весьма интенсивными отдельные составляющие вне основного набора мод, первоначально сформированного согласно кратчайшим цепочкам
взаимодействий. В таких случаях требуется расширение основного набора мод, позволяющее учесть вклад таких составляющих в процесс формирования искомой моды на выходе из турбо-машины.
РАСЧЕТ ТОНАЛЬНОГО ШУМА ДВУХСТУПЕНЧАТОЙ ТУРБИНЫ В РАМКАХ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ
Рассмотрим нестационарное течение в двухступенчатой турбине низкого давления, в которой лопаточные венцы сопловых аппаратов и рабочих колес первой и второй ступеней турбины содержат соответственно N1 = 64 и N2 = 112 статорных лопаток и B1 = 68 и B2 = 88 роторных лопаток. Наименьший общий период турбины в окружном направлении составляет угол п/2. В рамках приближенного двумерного рассмотрения турбины в плоскости (x, 9), отвечающей
значению радиальной координаты на стенке цилиндрического канала, имеем систему четырех взаимно перемещающихся решеток, количество профилей в которых определяется соответственно значениями 16, 17, 28 и 22.
Рассматриваемое в турбине течение соответствует работе авиационного двигателя на режиме посадки самолета при скорости вращения вала турбины 2640 об/мин. Осевой равномерный поток на входе в турбину соответствует значению числа М = 0.17.
Поле стационарного течения в турбине рассчитывается с помощью программного комплекса 3DFS [17] с использованием осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье — Стокса с полуэмпирической моделью турбулентности vt -90 и осреднением полей течения на входе в лопаточные венцы на основе общепринятой технологии типа «mixing-plane». Поле значений числа Маха в турбине иллюстрируется на рис. 1 в виде цветной палитры, где показаны также конфигурация решеток и разбиение расчетной области по блокам.
Для расчета пульсационных полей параметров потока в турбине используется программный комплекс 3DAS, разработанный в ЦИАМ [6, 17] для численного интегрирования уравнений Эйлера, записанных как для линейных, так и для нелинейных нестационарных возмущений параметров потока относительно основного стационарного течения. Представленные в настоящей работе результаты получены на основе линейного описания возмущений.
В рамках программного комплекса 3DAS допускается как прямой расчет нестационарного процесса (расчет во временной области), так и расчет значений амплитуды различных частотных составляющих пульсаций потока на установившемся режиме колебаний (расчет в частотной области). Дискретизация полей пульсаций параметров потока по пространству построена на основе конечно-объемной аппроксимации четвертого порядка с использованием обобщенной на этот
Рис. 1. Стационарное поле течения: поле значений числа М
случай DRP схемы (Dispersion Relation Preserving Scheme), оптимизированной применительно к задачам аэроакустики [18] на одномерном семиточечном разностном шаблоне. Аппроксимация по времени осуществляется на основе четырехшаговой схемы Рунге — Кутта второго порядка (четвертого порядка для линейных задач) [19] (LDDRK — Low Dissipation and Dispersion Runge-Kutta Schemes). В настоящей работе при решении задачи в частотной области используется метод установления по псевдовремени [20] с пользованием локального шага по времени для ускорения сходимости численного решения к установившемуся колебательному режиму.
Используемая в программе численная схема оптимизирована на равномерной сетке, поэтому, чтобы привести неравномерную криволинейную сетку к равномерной, к системе уравнений применяется преобразование координат. В случае возникновения больших градиентов параметров потока внутри расчетной области в разностные уравнения добавляется дополнительный дис-сипативный член.
Для демонстрации работоспособности предлагаемого здесь метода частотно-модального описания тонального шума турбины в качестве эталонного решения задачи рассматриваются результаты численного моделирования поля линейных пульсаций потока в турбине во временной области. Соответствующий расчет выполняется в секторе п/ 2 по окружному углу 0, составляющем наименьший общий окружной период течения. На границах между венцами используются интерфейсы «скользящих сеток», обеспечивающие непрерывность решения в пределах заданного набора спектральных составляющих.
Расчетная сетка, отвечающая одному межлопаточному каналу, в последовательности лопаточных венцов, начиная с первого статора, включает в себя соответственно 5800, 5350, 5350 и 5950 ячеек. Общее число ячеек сетки в акустическом расчете во временной области составило около 450 000. Установление периодического по времени колебательного решения потребовало около 600 000 временных шагов численного интегрирования системы уравнений. Еще 123 500 шагов по времени (четверть периода вращения турбины) потребовалось, чтобы накопить данные для проведения модального анализа нестационарного поля возмущений. Для проведения расчета с использованием 4 ядер процессора Intel® Xeon X5675, 3.06 ГГц потребовалось в общей сложности около 83.5 часов.
Мгновенное поле течения в расчетной области иллюстрируется на рис. 2, где показано распределение возмущений статического давления. На этом же рисунке дугой окружности показано положение поперечного сечения проточного канала на выходе из турбины, на котором был про-
Рис. 2. Мгновенное поле пульсаций статического давления
Таблица 1 Результаты модального анализа (расчет во временной области)
Мода Амплитуда, Па Амплитуда, дБ
(0, 1, -1, 0) 54.67 128.7
(-1, 2, 0, -1) 41.22 126.3
(1, 0, -1, 0) 27.63 122.8
(2, 0, -2, 0) 23.33 121.3
(2, 0, 0, -1) 23.10 121.3
(-1, 1, -2, 1) 20.11 120.0
(2, 0, 1, -2) 18.10 119.1
(-1, 2, -3, 1) 14.11 117.0
веден модальный анализ решения. В табл. 1 приведены результаты модального анализа для восьми наиболее интенсивных мод, которым соответствуют значения частоты пульсаций в статорной системе координат, не превышающие удвоенной частоты следования лопаток первого ротора.
Альтернативный расчет тонального шума турбины выполнен на основе линеаризованных уравнений Эйлера, записанных для комплексных амплитуд различных частотных составляющих пульсаций параметров потока. Особенностью метода расчета в частотной области является использование интерфейсов между венцами, обеспечивающих непрерывность решения только для заранее заданного набора частотно-модальных составляющих. Для остальных возмущений в рамках двумерной задачи в частотной области могут быть поставлены условия слабого отражения от границы, формулируемые на основе разложения искомого решения на границе по собственным волновым решениям линеаризованных уравнений Эйлера [21].
Для проведения сравнительной оценки погрешностей предлагаемого метода расчета в частотной области из полученного набора мод на выходе из турбины были выбраны моды (1, 0, -1, 0); (2, 0, -2, 0); (2, 0, 0, -1) и (-1, 2, 0, -1). Две первые моды описывают парное взаимодействие между первым статором и первым ротором, третья — парное взаимодействие между первым ротором и вторым статором, четвертая — комбинационное взаимодействие между первым ротором, вторым статором и вторым ротором.
Рассмотрим сначала расчет мод (1, 0, -1, 0) и (2, 0, -2, 0), которые индуцируются при взаимодействии статора и ротора первой ступени. Первичными возмущениями в данном случае являются неоднородности стационарного обтекания первого статора и первого ротора, включая вязкие кромочные следы за профилями статорной решетки. Искомые моды формируются взаимодействием первичных возмущений от первого статора с первым ротором и наоборот, а их распространение через вторую ступень турбины сопровождается частичным рассеянием. Чтобы обеспечить приемлемую точность расчета искомых мод, в число возмущений, сшиваемых на границе между первым статором и первым ротором, включены их гармоники с /,1 = 0, ± 1, ± 2, ± 3 и /г1 = 0, 1, 2, 3 соответственно и /2 = /г2 = 0. При этом учет составляющих с = ±3 и /г1 = 3 существенно повышает точность расчета искомых мод.
На границе между первым ротором и вторым статором сшиваются моды (1, 0, -1, 0); (2, 0, -2, 0) и (3, 0, -3, 0), отвечающие искомым модам на выходе из турбины и более высокой их гармонике. Кроме того, здесь сшиваются гармоники, соответствующие кромочным следам стационарного обтекания первого ротора (/г1 = 0, ± 1, ± 2, ± 3; /2 = = 0). Последнее необходимо, чтобы обеспечить их прохождение через данную границу без отражения. И, наконец, на границе между вторым статором и вторым ротором сшиваются лишь моды (1, 0, -1, 0); (2, 0, -2, 0) и (3, 0, -3, 0), формирующие искомые моды на выходе из турбины.
С учетом связи = Р(-/ / ) передача через границы между венцами всех перечисленных выше мод обеспечивается включением в расчет гармонических фрагментов и РРгук с параметрами, приведенными в табл. 2.
Во втором расчете определяется интенсивность моды (2, 0, 0, -1), которая индуцируется аэродинамическим взаимодействием первого ротора и второго статора. Первичными возмущениями в данном случае являются неоднородности их стационарного обтекания, включая вязкие кромочные следы за профилями роторной решетки. Искомая мода формируется взаимодействием первичных возмущений от первого ротора со вторым статором и наоборот, а ее распространение через второй ротор сопровождается частичным рассеянием. При этом, как показал первый расчет, на формирование вязкого кромочного следа за первым ротором оказывает влияние его взаимодействие с первым статором, что также должно быть учтено в данном расчете.
Таблица 2
Гармонические фрагменты, включенные в расчет 1
Фрагменты Параметры Номера к с рагментов
фрагментов 1 2 3 4 5 6
РРм .М 0 1 2 3 — —
Зг 2 0 0 0 0 — —
Л2 0 0 0 0 — —
/г 2 0 0 0 0 — —
РРпк Л1 0 1 2 3 — —
Л2 0 0 0 0 — —
■М 1 2 3 1 2 3
РР^ /г 2 0 0 0 0 0 0
Л1 0 0 0 -1 -2 -3
.м -1 -2 -3 — — —
РРГ 2к Л1 1 2 3 — — —
Л2 0 0 0 — — —
Чтобы обеспечить приемлемую точность расчета, в число возмущений, сшиваемых на границе между первым статором и первым ротором, включены моды с = 0, ± 2; ]гХ = 0, 2 и 2 = /г 2 = 0, описывающие формирование интересующей нас в данном случае компоненты следа первого ротора. Также на границе сшивается искомая мода (2, 0, 0, -1), для которой расчет проводится во всем проточном канале турбины во избежание ее отражения от границ между венцами.
В число возмущений, сшиваемых на границе между первым ротором и вторым статором, включены моды (2, 0, 0, ±1); (2, 0, 0, 0) и (0, 0, 0, 1), необходимые для описания генерации искомой моды. Наконец, на границе между вторым статором и вторым ротором проводится сшивка для искомой моды и для основной гармоники (0, 0, 0, 1) стационарного следа второго статора для обеспечения его прохождения через данную границу.
Включенные в расчет для этого случая гармонические фрагменты РР^к и РРгУк нестационарного поля течения приведены в табл. 3.
Таблица 3
Гармонические фрагменты, включенные в расчет 2
Фрагменты Параметры фрагментов Номера к фрагментов
1 2 3
М 0 2 2
РР1к 3 г 2 0 0 0
Л2 0 0 -1
Зг 2 0 0 0
РРг1к Л1 0 2 0
Л2 0 0 1
Зл 0 2 —
РР.^2к 3 г 2 0 0 —
Л1 0 0 —
РРг 2к Зл Л1 0 0 -2 0 —
I ¿2 | 1 | 1 | —
Третий расчет проведен для моды (-1, 2, 0, -1). Первичными возмущениями в данном случае являются неоднородности стационарного обтекания первого ротора и второго статора, включающие их кромочные следы, а также неоднородности стационарного обтекания второго ротора. Нестационарные пульсации потока данной моды индуцируются двумя парными взаимодействиями: первого ротора со вторым статором и второго статора со вторым ротором. Искомая мода на выходе из турбины представляется как суперпозиция моды, индуцируемой первой парой, при ее рассеянии на втором роторе, и моды, индуцируемой второй парой, при ее рассеянии на первом роторе. Прямое взаимодействие между роторами рассматривается как несущественное.
В число мод, сшиваемых на границе между первым статором и первым ротором, включены моды с ]г1 = 0, 1; = 0, ± 1 и 2 = /2 = 0, ответственные за формирование основной составляющей кромочного следа первого ротора. Кроме того, для повышения точности расчета на этой границе обеспечивается прохождение искомой моды (-1, 2, 0, -1), а также мод (1, 0, 0, 1) и (0, 2, 0, -1), индуцируемых при взаимодействии соответственно первого ротора и второго ротора со вторым статором.
На границе между первым ротором и вторым статором сшиваются моды с ]Г1 = 0, 1; /х2 = 0, ± 1 и /2 = = 0, описывающие их взаимодействие, а также, как и на предыдущей границе, моды (-1, 2, 0, -1) и (0, 2, 0, -1).
На границе между вторым статором и вторым ротором для достаточно аккуратного описания взаимодействия между ними сшиваются моды с /г2 = 0, 1, 2; = 0, ± 1, ± 2 и /Г1 = = 0, а также искомой моды (-1, 2, 0, -1) и моды (1, 0, 0, 1), индуцируемые при взаимодействии первого ротора со вторым статором.
Соответствующие гармонические фрагменты приведены в табл. 4.
Таблица 4
Гармонические фрагменты, включенные в расчет 3
Параметры Номера k фрагментов
фрагментов 1 2 3 4 5
J'rl 0 1 1 -1 0
FPslk J'r 2 0 0 0 2 2
Js2 0 0 1 -1 -1
J'r 2 0 0 0 2 —
FPrik Js1 0 1 0 0 —
J s2 0 0 1 -1 —
Jr1 0 1 -1 0 0
FPs 2k Jr 2 0 0 2 1 2
J si 0 0 0 0 0
Jr1 0 -1 0 0 —
FPr 2k J si 0 0 0 0 —
J s2 0 -1 1 2 —
Сравнение результатов модального анализа решений, полученных в расчетах во временной и частотной областях, представлены в табл. 5. Как видно, различие между сравниваемыми результатами не превышает 1.8 дБ. Суммарные затраты времени счета для набора четырех приведенных в табл. 5 мод на выходе из турбины при работе одного ядра процессора Intel® Xeon X5675, 3.06 ГГц составили около 15 часов.
Величина отличия данных, приведенных в табл. 5, характеризует погрешности предложенной методологии расчета в частотной области, возникающие вследствие значительного ограничения спектрального состава частотно-модальных составляющих, включенных в рассчитываемое
Таблица 5
Сравнение результатов расчета тонального шума во временной и частотной областях
Мода Амплитуда, Па Амплитуда, дБ
временная частотная временная частотная
(1, 0, -1, 0) 27.63 29.37 122.8 123.3
(2, 0, -2, 0) 23.33 18.99 121.3 119.5
(2, 0, 0, -1) 23.10 26.76 121.3 122.5
(-1, 2, 0, -1) 41.22 36.75 126.3 125.3
поле пульсаций потока. Достигнутую здесь точность расчета следует считать вполне удовлетворительной, имея в виду возможности современных вычислительных моделей, применяемых для расчета авиационного шума. Достоверность таких моделей, как правило, характеризуется отличием результатов расчета от данных, получаемых в эксперименте, существенно превышающим величины отличия, приведенные в табл. 5. С другой стороны, с учетом многократного сокращения затрат расчетного времени, которое дает применение предлагаемого здесь метода решения задачи в частотной области, преимущества последнего по сравнению с расчетом во временной области очевидны.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработан метод математического моделирования тонального шума многоступенчатой осевой турбомашины, индуцируемого нестационарным аэродинамическим взаимодействием роторных и статорных лопаточных колес. В основе метода лежит анализ спектра гармонического разложения зависимости пульсаций параметров потока газа в турбомашине от времени и азимутального угла, который позволяет установить важные соотношения, определяющие пространственно-временную структуру поля возмущений. С помощью указанных соотношений поле пульсаций в каждом лопаточном венце турбомашины представляется в виде набора отдельных частотно-модальных фрагментов, каждый из которых рассчитывается в пределах одного межлопаточного канала каждого лопаточного венца. На основе отбора относительно небольшого количества частотно-модальных фрагментов, отвечающих за формирование наиболее значительных составляющих пульсационного поля, построена экономичная вычислительная процедура для расчета тонального шума турбомашины. Метод реализован в программном комплексе ЦИАМ 3DAS с применением современных высокоэффективных разностных схем численного интегрирования уравнений Эйлера для пульсаций параметров потока.
Приведены результаты расчетов, выполненных в рамках двумерной модели нестационарного течения в цилиндрическом канале кольцевого сечения двухступенчатой турбины низкого давления на основе линейного описания малых пульсаций потока с использованием предложенного в данной работе приближенного частотно-модального описания поля пульсаций в отдельном межлопаточном канале. Сравнение этих результатов с результатами прямого численного моделирования линейных пульсаций потока в двумерной расчетной области, включающей в себя наименьший общий окружной период двухступенчатой турбины, демонстрирует удовлетворительное соответствие между ними. Преимущество предложенного в работе частотно-модального описания поля пульсаций потока в многоступенчатой турбине состоит в многократном сокращении вычислительных ресурсов, требуемых для выполнения расчетов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00668).
ЛИТЕРАТУРА
1. Erdos J., Alzner E., McNally W. Numerical solution of periodic transonic flow through a fan stage // AIAA J. 1977. V. 15, N 11, p. 1559—1568.
2. Соколовский Г. А., Гнесин В. И. Нестационарные трансзвуковые и вязкие течения в турбомашинах. — Киев: Наукова Думка, 1986, 262 с.
3. Бутенко К. К., Осипов А. А. Аэродинамическое взаимодействие двух плоских решеток тонких слабонагруженных профилей при их относительном движении в дозвуковом потоке газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. № 3, с. 168—175.
4. Реент К. С. Нестационарное аэродинамическое взаимодействие двух кольцевых лопаточных венцов тонких слабонагруженных лопаток при их вращении друг относительно друга в дозвуковом потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. № 1, с. 165 —174.
5. Александров В. Г., Осипов А. А. Численное моделирование нестационарного аэродинамического взаимодействия двух плоских решеток профилей // ЖВМФ и МФ. 2006. Т. 46, № 6, с. 1114—1127.
6. Nyukhtikov M. A., Rossikhin A. A. Numerical method for calculating three-dimensional fan tonal noise due to rotor-stator interaction // Proceedings of International Congress «Turbomachines: Aeroelasticity, Aeroacoustics, and Unsteady Aerodynamics». — Moscow: TORUS PRESS Ltd. 2006, p. 268—280.
7. Polacsek C., Barrier R. Aeroacoustic computations of a counter-rotating fan // Proceedings of 14th International Congress on Sound and Vibration (ICSV14). — Cairns, Australia. July 9—12, 2007.
8. Weckmuller C., Guerin S., Ashcroft G. CFD-CAA coupling applied to DLR UHBR-Fan: Comparison to Experimental Data // AIAA 2009-3342. — Miami, Florida. May 11 — 13, 2009.
9. Tyler J. M., S o f r i n T. G. Axial flow compressor noise studies // SAE Transactions. 1962. V. 70, p. 309—332.
10. Yao J., Davis R., Alonso J., Jameson A. Massively parallel simulation of the unsteady flow in an axial turbine stage // J. of Prop. and Pow. 2002. V. 18, N 2, p. 465 —471.
11. Yamagata A., Kodama H., Tsuchiya N., Nozaki O. CFD prediction of unsteady pressures due to fan rotor-stator interaction // Proc. of 16th International Symposium on Air Breathing Engines. 2003. N 1130, p. 1—9. (ISABE-2003-1130).
12. S i l k o w s k i P. D., H a l l K. C. A coupled mode analysis of unsteady multistage flows in turbomachinery // Trans. ASME. J. of Turbomachinery. 1998. V. 120, p. 410—421.
13. Осипов А. А. Спектральный метод расчета нестационарного аэродинамического взаимодействия плоских решеток профилей // Аннот. докл. VIII Всероссийск. съезда по теор. и прикл. механике. — Пермь. 2001, с. 469—470.
14. H a l l K., E k i c i K. Multistage coupling for unsteady flows in turbomachinery // AIAA J. 2005. V. 43, N 3, p. 624—632.
15. Pinelli L., Poli F., Marconcini M., Arnone A., Schipani C., S p a n o E., T o r z o D. A linearized method for tone noise generation and propagation analysis in a multistage contra-rotating turbine // 9th European Turbomachinery Conference (ETC9) 21 —25 March 2011. — Istanbul, Turkey, р. 1253 — 1263.
16. Ekici K., Hall K. Nonlinear analysis of unsteady flows in multistage turbomachines using harmonic balance // AIAA J. 2007. V. 45, N 5, p. 1047—1057.
17. Nyukhtikov M., Brailko I., Mileshin V., Pankov S. Computational and experimental investigation of unsteady and acoustic characteristics of counter-rotating fans. HT-FED2004-56435. Proceedings of 2004 ASME Heat Transfer / Fluids engineering Summer Conference. — Charlotte, North Carolina USA, July 11 — 15, 2004.
18. Tam C. K. W., Webb J. C. Dispersion-Relation-Preserving schemes for computational acoustics // J. of Comp. Phys. 1993. V. 107, р. 262—281.
19. Hu F., Hussaini M., Manthey J. Low dissipation and dispersion Runge — Kutta schemes for computational acoustic // J. of Comp. Phys. 1996. V. 124, р. 177—191.
20. Mc Mull en M., Jameson A., Alonso J. Acceleration of convergence to a periodic steady state in turbomachinery flows // 39th AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit, January 2001.
21. G i l e s M. B. Non-reflecting boundary conditions for Euler calculations // AIAA J. 1990. V. 28, N 12.
Рукопись поступила 15/II2013 г.
