Течение в лопаточной машине при неравномерном распределении скоростей во входном канале Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том V

197 4

№ 3

УДК 629.735.33

ТЕЧЕНИЕ В ЛОПАТОЧНОЙ МАШИНЕ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ СКОРОСТЕЙ ВО ВХОДНОМ КАНАЛЕ

Б. Г. Дульский, А. Г. Кукинов

Рассматривается течение в системе, состоящей из нескольких решеток, заключенных между плоскими стенками. Распределение скорости во входном канале неравномерно в двух направлениях: вдоль размаха лопаток и вдоль фронта решетки. С помощью расчетов выясняются некоторые закономерности обтекания лопаточной машины при неравномерном распределении скоростей во входном канале.

Явления, возникающие при обтекании лопаточных машин неравномерным потоком, в настоящее время достаточно подробно изучены для случая, когда распределение скоростей во входном канале зависит только от окружной координаты. Течение в лопаточных машинах в случае, когда распределение скоростей во

входном канале зависит от двух

С те ни а Лопатна

4 / / / / / /

/ии_1 /7/Х/; ///

_

1 ) } Г/ И п > і п г гп п / / / / /

Фиг. 1

координат (радиуса точки и полярного угла) практически не изучено. Аналитическое решение задачи не удалось получить даже для изолированной решетки, рассматриваемой как вихревая поверхность, заключенная между плоскими стенками [1]. В настоящей статье рассматривается обтекание системы, состоящей из нескольких решеток, находящихся между плоскими стенками (фиг. 1).

Рабочую жидкость считаем идеальной и несжимаемой, а возмущения течения предполагаем малыми по сравнению со средними значениями соответствующих величин. Гидравлические потери в в решетке не учитываем. Предположим, что решетка состоит из

[

«бесконечно большого числа лопаток нулевой толщины. Это позволяет пренебречь изменением параметров течения в пределах шага решетки и рассматривать ее как вихревой объем с непрерывным распределением параметров потока. Предположим также, что невозмущенный поток в пространстве перед решетками и за ними направлен перпендикулярно фронту решеток.

1. Пусть на бесконечном удалении от первой решетки задано возмущение составляющей скорости, нормальной фронту решеток. Это возмущение будем считать периодичным в направлении, параллельном фронту решетки. Предполагая его разложенным в двойной ряд Фурье, рассмотрим течение, соответствующее одному члену ряда:

vx\x--<x*= Эхв1"1* со$ кг (1)

<здесь и дальше ось х направлена вдоль вектора скорости невозмущенного потока, ось у—параллельно фронту решетки и ось .2 — вдоль размаха лопатки).

В пространстве перед лопаточной машиной и за ней выполняются линеаризованные уравнения движения и неразрывности:

т/ дух =_______т/^1 —_____________________1 дР .

дх р дх ’ дх р ду ’

_____\_дР_ ■ дх>х I дУу I ... а

дх р дг ’ дх ду "т" дг ’

(2)

где V—скорость невозмущенного потока, направленная перпендикулярно фронту решетки; юх, <ог — возмущения составляющих -скорости; р, р — возмущение давления и плотность жидкости соответственно.

Возмущения составляющих скорости и давления перед лопаточной машиной должны удовлетворять следующим граничным условиям: они периодичны в направлении, параллельном фронту решетки; на стенках, ограничивающих поток, т. е. при 2 = 0 и 2 = /, vг = 0■, на бесконечности перед решеткой юу = ъг=р = 0, а •юх принимает значение (1).

Найдем частное решение системы уравнений (2) (пропорциональное е1тУ) методом разделения переменных. Определяя входящие в это решение постоянные из перечисленных выше граничных условий, получаем

ъх — Т7! епх+Шу сое &г + е1ту соэ &г; г>у =епх+1тУ соэ &г; г»г = епх+Шу &г; р = — р ]/Р: епх+‘тУ соб кг.

(3)

Здесь Рх — произвольная постоянная; т = 2^1Ь (р — 0, +1, +2,...); -й = 7гХ//(Х = 0,1,2, ...); /. — период изменения возмущений вдоль фронта решетки; I — высота лопатки; п = Ут2 + к? ■

Выражения для возмущений скорости и давления в пространстве за последней решеткой можно было бы записать в виде, аналогичном (3), только вместо епх необходимо взять е~пх (чтобы возмущения были ограничены на бесконечности за решеткой). Однако, как увидим далее, при таком описании течения за решет-.кой количество условий, которые накладываются на течение лопаточной машиной, окажется больше, чем число имеющихся про-

извольных постоянных. Чтобы обойти это затруднение, предположим, что в пространстве за лопаточной машиной возникает еще один вид движения, а именно вихревое течение в плоскостях, перпендикулярных оси лопаточной машины. Составляющие скорости этого течения имеют вид

<и* = (?2 eimy cos kz; V*z = — —■ G*2 eimv sin kz,

где Gl — произвольная постоянная; постоянные тик имеют те же значения, что и в (3).

Таким образом, выражения для возмущений скорости и давления за последней решеткой будут

vx = (F2 е~пх + S2) cos kz; = F2 e~nx -f G\ \eimy cos kz;

■ П (4)

vz = (-—■ F2 e~nx — eimy sin kz; p = — p VF2 e~nx+imy cos kz.

В дальнейшем удобно рассматривать комплексные амплитуды возмущений непосредственно перед решетками лопаточной машины и за ними, а вместо возмущения давления рассматривать возмущение полного напора. Возмущения в этих сечениях запишем в виде

V, = ueimy sin kz: vz = velmy cos kz; ]

> (5\

vy = weimy cos kz; h = Vgelmy cos kz. J v T

При этом перед первой решеткой (л==0)

= Fi + 5i, Fu «1 = - 4- Fu gx = Su (6>

За решеткой вектор возмущенной скорости должен лежать в касательной плоскости к поверхности лопаток. На выходе из последней рещетки эта плоскость параллельна оси лопаточной машины, поэтому возмущение тангенциальной составляющей скорости будет равняться нулю. Тогда за последней решеткой будем: иметь

b2 = F2 + S2; F2 + Gl = 0; u2 =F2 - ^ G*2; g2=S2. (7}

2. Найдем теперь связи между возмущениями перед решеткой и за ней. С этой целью рассмотрим течение в межлопаточных каналах решетки. Межлопаточный канал представляет пространство, заключенное между соседними лопатками и плоскостями, проходящими через передние и задние кромки лопаток. При бесконечно большом числе лопаток он превращается в бесконечнотонкий слой жидкости, течение в котором зависит от двух координат. Если решетка движется, течение в межлопаточных каналах будет нестационарным*.

Уравнения движения жидкости в межлопаточном канале решетки линеаризуем, считая, что в невозмущенном потоке Уг = 0;

* Течение предполагается стационарным в неподвижной системе координат [выражения (3)—(5)]. Параметры этого течения изменяются в направлении движения подвижной решетки (решетки лопаточной машины движутся в положительном направлении оси у со скоростью £/). поэтому на входе в межлопаточный канал (в системе координат, связанной с решеткой) параметры течения, изменяются во времени.

У,= У/(0; Р—Р(1), где / — длина дуги межлопаточного канала в сечении, параллельном стенкам, ограничивающим поток, причем

Тогда возмущения скорости и давления в канале будут описы ваться системой уравнений

где 8 — расстояние по нормали между соседними лопатками.

Из первых двух уравнений исключим производные от давления и перепишем первое уравнение, перенеся все члены в левую часть:

В дальнейшем удобно пользоваться осевыми составляющими скорости и V п осевой координатой х (при этом 1/г= 1/зеср,

Поскольку возмущения перед решеткой и за ней пропорциональны ехр (іщу) [выражения (5)], возмущения составляющих скорости и полного напора в межлопаточном канале будем искать в виде

где ш — ти, и — скорость движения решетки.

При подстановке этих выражений в (10) получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций ъ(х), и(х) и &(х). Эту систему будем решать в предположении, что заданы возмущения течения в начальном сечении межлопаточного канала (при х — хг)

1 др Р dl ‘

dvi її/ _L ЁЕ. ■ *}*?

dt ~r v і dl ^ dl ui ~ p dl ’ dt

і і/ dvz____ 1 dp _

+ Vi~dT~~ '

(8)

d (vi Щ » toz _n dl ~~ 0 dz ■

(9)

dvt і dh — q dt ^ dl ~ >

здесь h — -~- + V[ V[ — возмущение полного напора.

Тогда уравнения (8) и (9) перепишем

в виде

(10)

vx — v (л) cos kzelmt; va = u (х) sin kzeimt; . h=Vg (x) cos kzela>t“

(П)

vx\x = xl — г»(0) cos kzei<ot; = “(0) sin kzeia>t;

h\x~xi = l/g(0) cos kze‘mt.

Из первого и третьего уравнений (10) получаем:

Интегрируя первое уравнение этой системы и определяя произвольные постоянные из начальных условий (12), имеем*

-g- -f k sec2 ?v = (kgM - yr«(»)) (w)/V; dJL -f to = 0. (13)

Чтобы получить аналитическое решение для и(х) и v(x), положим

sec2 $ = N*lx2. (14>

Постоянная N2 и начальная абсцисса хх определяются через значения р в начале и в конце межлопаточного канала: N=b/(cos{32 — — cosf^); JC! = cos Pi; x> = TVcos SV. b — осевая проекция хорды лопатки. Выражение (14) хорошо аппроксимирует функцию sec2 (3 (*) в случае зависимости Р(х), близкой к линейной, которая обычно встречается на практике (средняя линия профиля — дуга окружности или параболы).

Решение системы (13), принимающее при £х = хj значения и и<°> имеет вид

Л—а

ах

(1 — 2а) х\ а

+

Л—а

(1—2а)х“

Л—1

(1-2 a)xf

+

ах

а—1

(Г— а) х~а (1-2 a)xja (1-2 а)х\

а—1

kuSm—k (kgW — eiQXt т (jc);

' „—a 1'

JL--------£— г»(°) +

„\-а „а 1

. 1 1 .

и(°) 4- (kgm — U ц<0)) ehx' ф (х),

(15)

где

a = (l + V 1+4£2Л/2)/2; о = ш/У;

X X

9 (х) = YziYa \xl~a S е~1а( й^~ х“ 1 ?~а ф (х) = х~а j \а e~iA d%— x^biaxa~~X J^~а e~hi d

Xt Xi

Из второго уравнения (10) получаем

х

• ё (*) — ё(0) + /о j г> (|) sec* р (I) d% = 0,

Xi .

или, подставляя v(x) из (15),

g (х) + ittk х\~~а 71 - Т=2~аХ“ /г + 10 е‘°Х' /з) “(0)+

+ ia (т^Га 7i “ СТа -*Г’ ^ *(0) - (1 + & ehXl h) g<0)=0, (17)

Jf Ж «Г

где h (*) = №j l“-2 dt; /2 (X) = Л^2 J l-1-а d?; /3 (x) = A2 /f (I) d\.

du

* Чтобы выразить через начальные условия производную

= cosec kz-e 22

—ы dv

X = Xi

Щ , используем второе уравнение (8).

дх 1л=х1

Выражения (15) и (17), если положить в них х = х2, представляют соотношения, связывающие комплексные амплитуды возмущений на концах межлопаточного канала.

3. Запишем соотношения, связывающие возмущения на концах межлопаточного канала и в сечениях перед решеткой и за ней. Пусть начала систем координат перед решеткой и за ней смещены таким образом, что межлопаточному каналу соответствуют одинаковые значения у. При этом величины и, V и g в выражениях (5) будут являться комплексными амплитудами возмущений скорости и полного напора на концах межлопаточного канала, вычисленными в неподвижной системе координат. Тогда перед решеткой

за решеткой

v1 = v<‘0\ щ — и^, g1 = £(0)+ и/Учвх", ъ2 = V (х2), и2 = и (х2); g2 = g (хг) + иI Ущ.

(18)

(19)

Величина ге»! находится из расчета предыдущей решетки или выражается через vi с помощью второго соотношения (6) тс>2 =

Первые два соотношения в (18) и (19) выражают равенство осевой и радиальной составляющих скорости вблизи решетки и на концах межлопаточного канала. Последние соотношения в (18) и

(19) выражают равенство полных напоров в тех же сечениях, и равенство статического давления вблизи решетки в неподвижной и движущейся вместе с решеткой системах координат.

Из (15), (17) и (18), (19) получаем следующую систему уравнений для амплитуд возмущений течения перед решеткой и за ней:

XI «1 + Х2®1 + Хз5-1 + Х4®1 + м2 = 0;

С, «1 +С2®1 + С»г1 + С*®1+«* “0;

711И1 + + 3 gl + ’n^Щ+gг — VI 1^2 = 0;

Ч1)2^—^2№$2,

где коэффициенты X;, С/5 ^ равны

(20)

1 —2а' Х>=^х-°х°-'-

■х:

а—1 у—а-

1-2а~2 ~і 1— 2а~2 ~і ’

Хз = — к еіах> ф (х2)\ Хі — — и/ Ух3;

С,

——— Xа V

1 _2аЛ1 Л2 а

— ув—1 1—Л ^ у—О уй

2а 1 Х2 [ —2а 1 2

Сз= к*е‘°х><?(х2); С* = — £//УС8;

7]1 = га&

л—а

] 2а ^ ^Х^ 1 —2 а^г ^Х^ 7з (-^г)];

Ъ = Т=2а К1 - «) ХГ° 71 — ахї~1 АЖ

7)3 = — і'ай2 Єіах‘ /3 — 1; У]А= — С//

(21)

Выражения коэффициентов (21) записаны для движущейся решетки. В случае неподвижной решетки в этих выражениях нужно заменить угол Р(х) на а(л:) и положить и =* 0.

Точно так же рассматривается случай решетки пластин (Р^сопвЦ. Ниже в примерах расчета представлена решетка входного направляющего аппарата с р = 0. В этом случае коэффициенты системы

(20) имеют вид

7л = — сЬ кЬ, Х2=зЬ М, Ха = (е~кЬ — сЬ Щ,

С2 — — сЬ кЬ, С3 = (^—** эИ кЬ — 1);

і}і = ^ = 0; 7}3 = —Г.

(22)

Уравнения (20) вместе с (6) и (7) образуют систему уравнений для определения произвольных постоянных в решении, описывающем обтекание решетки. Для лопаточной машины, состоящей из, нескольких решеток, эта система имеет вид ;

«І,) = Л + 51; иі‘’=-

(і).

1т

система вида (20) для первой решетки;

„(1) _ „(2). .,(1) _ -,<2). _(1) _(2) и2 =иі , г»2 = і>і , = £і ;

система вида (20) для второй решетки;

(23)

Верхний индекс у величин ии ... относится к номеру рассматриваемой решетки.

4. В случае возмущений, постоянных по высоте лопатки, ъг = 0 и из уравнения неразрывности следует, что ч)х постоянно вдоль межлопаточного канала. Уравнение, связывающее возмущения полного давления перед решеткой и за ней, будет

. ' х,

gг-gl*=U|V(w2-w1) — i-yV1§sQc'2Иt)<ti■

XI

Таким образом, возмущения перед решеткой и за ней связаны соотношениями

Система уравнений для всей лопаточной машины имеет вид

v1 = S1-hF1; = g{l)^S1;

система вида (24) для первой решетки;

w[%

■■ w(2l);

gi2,=

система вида (24) для второй решетки;

F2 = 0; V2] — S2] g2] — S2.

(25)

5. С помощью полученных соотношений были проведены расчеты для лопаточной машины, состоящей из ступеней (рабочее колесо и спрямляющий аппарат) со следующими параметрами; коэффициент расхода У/и=0,5; коэффициент напора ~Н = 02?!-^^)-^- = = 0,5; осевая проекция хорды лопаток Ь — 0,4 I. Невозмущенный

ПереУ первым За рао'очами За спрямляющими рабочим колесом колесами аппаратами

-0,5 0 0,5

Примечание. Цифры оШначашт номер ступени

а

Фиг. 2

поток перед рабочим колесом имеет осевое направление (tg^ = = V/U).

■ На фиг. 2 для случая, когда возмущение скорости перёд лопаточной машиной изменяется только по высоте канала {vx\x~-<x> = coskz), показано распределение vx и vz в различных сечениях трехступенчатой машины, а на фиг. 3 — изменение вдоль лопаточной машины с различным числом ступеней амплитуды осевой составляющей скорости. Видно, что возмущение осевой составляющей скорости быстро уменьшается вдоль лопаточной машины, причем последующие ступени слабо влияют на величину возмущения в предыдущих ступенях. В частности, возмущение осевой скорости перед лопаточной машиной и в зазоре между рабочим колесом и спрямляющим аппаратом первой ступени практически не зависит от числа ступеней.

На фиг. 4 и 5 показан пример, когда возмущение скорости во входном канале зависит от двух координат (и* [*=-,» = cos kz- cos my), причем период изменения ее вдоль фронта решетки относится, к высоте канала, как Длина окружности на среднем радиусе к' длине лопатки в первых ступенях осевого компрессора. Распределение осевой скорости приведено в тех точках фронта решетки,

где амплитуда ее имеет максимальную величину. Видно, что распределение осевой скорости в различных сечениях лопаточной машины очень близко к тому, которое получилось в случае возмущений, изменяющихся только по высоте канала.

Перед перВым За рабочими За спрямляющими рабочим колесом колесами аппаратами

-0,5

-0,5 0 0,5

Примечание. Цифры обозначают номер ступени

Фиг. 4

Суперпозиция рассмотренных течений дает более сложное распределение скоростей во входном канале. На фиг. 6 показаны возмущения осевой скорости в ступени лопаточной машины в трех сечениях по высоте лопатки (соответствующих kz — 0, те/2 и «) для возмущения скорости во входном канале вида

vx (.*=_„ = -g-(cos + cos ту — cos kz■ cos my).

Пунктиром изображены результаты приближенного расчета, когда течение, соответствующее последнему члену выражения ъх\х=:-оэ, рассчитывалось по тем же соотношениям, что и для первого члена. Такой прием иногда применяется на практике, хотя обоснование его до сих пор основывалось только на физических соображениях. Из графиков видно, что результаты приближенного и точного расчетов хорошо согласуются между собой по максимальной величине возмущения скорости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Yeh Н. Ап actuator disc analysis of inlet distortion and rotating stall in axial flow turbomachines. IASS, XI, vol. 26, No 11, 1959.

Рукопись поступила 141VI 1973 г.