Течение в осевом компрессоре при неравномерном распределении температуры торможения во входном канале Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 19 7 6

№ 6

УДК 629. 7.03

ТЕЧЕНИЕ В ОСЕВОМ КОМПРЕССОРЕ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ТОРМОЖЕНИЯ ВО ВХОДНОМ КАНАЛЕ

Л. Д. Ко лес и нс кий, А. Г. Куканов

Проведен расчет возмущений течения в компрессоре, возникающих при неравномерном распределении температуры торможения на входе в компрессор. Результаты расчета используются для оценки изменения границы устойчивой работы компрессора. Сравнены расчетные и экспериментальные границы устойчивой работы.

1. Расчет изменения границы устойчивой работы компрессора под влиянием неравномерных полей давления и температуры заторможенного потока на входе обычно основывается на модели параллельных компрессоров. В этой модели при оценке возмущений течения внутри компрессора предполагается, что изменение параметров потока в секторах компрессора, соответствующих повышенному и пониженному значениям полного давления или полной температуры на входе, связано теми же соотношениями, что и во всем компрессоре при равномерном потоке на входе. Такое допущение основано на результатах решения задачи о выравнивании потока в лопаточных машинах в несжимаемой жидкости. Из этого решения следует, что при некоторых ограничениях на свойства лопаточной машины (например, при не слишком малом наклоне напорных характеристик ступеней и малой хорде лопаток) можно пренебречь нестационарностью обтекания вращающихся решеток. Тогда при малых осевых зазорах между решетками будет выполняться упомянутое выше допущение. При определении изменения границы устойчивой работы предполагается, что неустойчивость течения в компрессоре возникает при достижении критических значений коэффициента расхода в зоне пониженных скоростей в одной из ступеней компрессора. Описанная модель в случае неравномерных полей полного давления на входе в компрессор дает хорошую сходимость результатов расчета с экспериментальными данными.

В случае неравномерных полей температуры на входе в компрессор модель параллельных компрессоров дает значительно худшие результаты. Так, расчетная граница устойчивой работы приблизительно согласуется с экспериментальной только при большой ширине зоны повышенной температуры (~ 180°). Более того, расчетное изменение границы устойчивой работы, как будет показано ниже, увеличивается с уменьшением зоны повышенной температуры, что противоречит экспериментальным данным. Аналогичные результаты вытекают и из материалов, опубликованных в последнее время в иностранной печати [1, 2].

'У

«а

$

§

Ч

Сечения -§компрессоре -Па

о -

о

2 : 3

ОС ч

//1РК {ь,

\ЛУ'ЛУм|а

Направлена е Сращен и я

1 -3 '

Треугольники.

споростей

1РК — первое рабочее колесо; 111А — первый направляющий С А — спрямляющий аппарат

Фиг. I

аппарат;

Одной из причин расхождения расчетной и экспериментальной границ устойчивой работы является отличие действительной неравномерности потока в компрессоре от получаемой с помощью модели параллельных компрессоров. Поэтому в настоящей работе была рассмотрена двумерная задача о расчете возмущений течения в осевом компрессоре при наличии во входном канале неравномерных полей полного давления и температуры. На основании расчетных полей возмущений течения в зазорах между лопаточными венцами с помощью применявшейся ранее гипотезы о возникновении неустойчивости течения определялось изменение границы устойчивой работы. При этом результаты расчета значительно лучше согласуются с экспериментальными данными, чем в случае модели параллельных компрессоров.

2. В двумерной задаче предполагается, что лопатки компрессора имеют небольшую высоту, т. е., по существу, рассматривается течение на среднем радиусе. Кроме того, примем, что решетки компрессора состоят из бесконечно большого числа лопаток, вследствие чего течение в каждом межлопаточном канале можно рассматривать как одномерное. В соответствии с принятой схематизацией компрессора (фиг. 1) предполагается, что всасывающий и выхлопной каналы имеют кольцевое поперечное сечение и цилиндрическую среднюю поверхность (высота кольца может изменяться по длине канала). Задача рассматривается в линейной постановке, так

как возмущения течения, допустимые с точки зрения устойчивом работы компрессора, обычно имеют небольшую величину.

Входной канал принимается цилиндрическим. Стационарные возмущения течения в нем описываются системой уравнений:

,г дсх ____ . 1/ —_______-_— ■

дх р дх ’ дх р /? <?в ’

дсг і де» л <•'

('-«’і-гг+тгіг-0;

(1)

Здесь сх, — возмущения осевой и тангенциальной составляющих скорости;

//, о— возмущение давления и плотность невозмущенного потока;

х' — возмущение удельной энтропии;

V—скорость невозмущенного потока;

М = V а — число М невозмущенного потока.

На бесконечном удалении от компрессора (при х = —оо) задаются возмущения давления и температуры заторможенного потока: р*' ~ ср(0), Т*' — 'Ь (6); возмущение давления равняется нулю (/?' = 0), а возмущение скорости имеет осевое направление, т. е. с'ь = 0.

Из первого уравнения системы (1) имеем:

гНт + ^;=а

Отсюда и из последнего уравнения (1) следует, что величины ——}- Ус'х и я' зависят только от окружной координаты 0 и, следовательно, могут быть найдены из условий на бесконечности. Из соотношений

получаем:

с Т*' = ^4- 7* 5'= + Тк' 4 Ус

Г ? Р ' Л"

Р— ус ’ ю 7 С.. . і_____Г_\ с т*'-

о 1 X 'Г* р* Iі Т* ! р ’

, 1 ( Р*'\

5 [ср Т - ■

Запишем возмущения течения в безразмерном виде, полагая сх=сх/а0-, сн с’ч р—р'\оа2; р* =р*/р* а2; 5 = в'/ср;

Т = Т'<Т\ Т* = Гй,/Т; Г(М)= 1/(1 +

2

Таким образом, всюду во входном канале (в том числе в сечении перед компрессором) имеем:

Р + м г,= Т (Щр* 4 [1 — 7" (М)] ~1:т Т* = /(6);

(2)

а = 7(М)[7’*-~(х- 1)/,*] = £-(6), )

где f(Ь) и £(6) ^заданные функции.

Найдем распределение давления и скоростей во входном канале. Исключив из первых трех уравнений системы (1) величины с'х и получим

Решение этого уравнения может быть записано в виде

р = 2 (Л„ СОБ «6 4- Вп з1м пЬ) е * ,

я=1

где Лп и /?„ — произвольные постоянные.

Для сокращения выкладок запишем это выражение в комплексной форме:

со I я I Л-

Р = X А, е'»® е* , (3)

П——со

где

_А» 1В„ гл

п-------о- > Я

2 ’ " 2 '

Выражения для составляющих скорости находятся из первых двух уравнений (1) и граничных условий при х—— оо:

СС I Я | X

М с, = — X Дл Єія8 Є * ^1-«г + /(в);

П=—СС

0° і Я 1 А*

Мсв = — ^]/1 - м2 2 А. Аеі"9 е* ^1Г*‘ •

I л I

/I=—.00

(4)

Чгобы определить постоянные Г)п в выражениях (3) и (4), необходимо привлечь соотношения между возмущениями течения внутри компрессора и граничные условия на выходе из него.

Рассмотрим сначала, следуя [3], соотношения между возмущениями течения в компрессоре. В зазорах между решетками (так же как и в пространстве перед и за компрессором) эти возмущения считаем стационарными в неподвижной системе координат. При этом величины с х, р и 5 могут быть записаны в виде рядов Фурье по переменной 0. Покажем, как ищется решение для величин схп, рп и 5Л, соответствующих одному члену ряда. Пусть заданы величины схп, рп и перед решеткой рабочего колеса, например:

йо = А,ое«+Д;о-е-'-!»1 (5)

где £>*0 — величина, комплексно сопряженная с Вп „ (индекс „0“ соответствует сечению перед решеткой).

Найдем возмущения течения перед межлопаточным каналом решетки. Для этого в выражении типа (5) положим Ъ = Ц'-\-Ш, где 0'— полярный угол, измеряемый в системе координат, связанной с решеткой (каждому межлопаточному каналу соответствует свое значение 6'), 2 — угловая скорость вращения решетки. Тогда

рп0 = Оп0 е‘п0' е<яв< + йтп о е-'"6' е-"1"* = Рп о е‘п~* + Р*„ о е-'вс'. (6)

Таким образом, на входе в каждый межлопаточный канал возмущения изменяются во времени по гармоническому закону. Комплексные амплитуды возмущений [Рп0 и Р*0 в формуле (6)] в различных каналах отличаются множителями е'"6' и е-'"6', т. е. возмущения сдвинуты по фазе.

Чтобы найти возмущения течения внутри межлопаточного канала и на выходе из него, надо решить систему одномерных нестационарных уравнений газовой динамики, описывающих течение в межлопаточном канале. Решение ищется в виде экспоненциальных функций времени, при подстановке которых в уравнения газовой динамики получается система обыкновенных дифферен-

циальных уравнений для комплексных амплитуд возмущений (они зависят от переменной х). Эта система интегрируется при заданных условиях в начале межлопаточного канала. Так как решение линейной системы является линейной функцией от начальных условий,

комплексные амплитуды возмущений течения на выходе из меж-

лопаточного канала выражаются линейно через комплексные амплитуды возмущений перед межлопаточным каналом, в частности:

/>„, = *, {т) 1/л о + К, (т) Рп „ + ЛГ3 {Ы)_8п (7)

Здесь Р„ Зп о — комплексные амплитуды схп, рп и перед

межлопаточным каналом решетки;

Кх (гад), К-, (г'ш), К3 (йо) — „передаточные функции11 межлопаточного

канала решетки для экспоненциальных возмущений;

п У Ь л „

ш =-------безразмерная частота колеоании параметров

а° потока в межлопаточном канале;

Ь — осевая проекция хорды лопатки;

«„ — скорость звука в сечении перед компрес-

сором.

В работе [3] показано, что функции /^(/ш), АГ2(гш), К3(^), ■ ■ ■ при изменении знака ш превращаются в комплексно сопряженные. Поэтому возмущения на выходе из межлопаточного канала, соответствующие возмущениям на входе вида (6), состоят из суммы двух сопряженных величин,-в частности:

Рп* = рп2е1п**+ (8)

В силу линейности выражения (7) относительно Уп0, Рп11) 5Л(( величины Рп„ для разных каналов отличаются множителями е‘пв'. Подставив в выражение (8) Ш = 0 — 0', получим

Рп 2 = Рп-> е-"гГ + Рп 2 е‘лв' е-'”4 = Оп 2 е‘пЬ + 0*п 2 е-"'9, где Бп 2 и ТУп,, — постоянные величины (независящие от Ь). Следовательно, за решеткой возмущения течения являются стационарными, как и предполагалось выше. Наконец, если начала отсчета углов 6 и б' перед решеткой и за ней смещены так, что межлопа-точному каналу соответствуют одинаковые значения 6', то имея в виду, что Рп „ = Д 0 е"'6', Д 2 = рп г е_гл9', получаем

Дг = ^(й)С„о + ^И°»о4- ^зИ°ло. _ (9)

где Сп1), Бп0, Оп0— коэффициенты ряда Фурье величин схп, рп и я,, в сечении перед решеткой.

Таким образом, комплексные коэффициенты рядов Фурье для возмущений течения перед и за решеткой связаны теми же соотношениями, что и комплексные амплитуды соответствующих им нестационарных возмущений в межлопаточном канале решетки.

Аналогично находятся соотношения между коэффициентами рядов Фурье для неподвижной решетки. В этом случае течение в межлопаточных каналах решетки является стационарным (2 = 0).

Таким образом, мы получили соотношения между коэффициентами рядов Фурье для возмущений течения во всех сечениях компрессора. Нам осталось рассмотреть возмущения течения в пространстве за компрессором. Предполагаем, что поток на выходе из компрессора имеет осевое направление. Тогда анализируя течение через выхлопной канал, получим линейное соотношение между величинами схп, рп и в сечении за компрессором (см., напри-

мер, [4]). Если в выхлопном канале отсутствую! возмущающие воздействия, это соотношение однородно:

*1 п Схп ~Ь а2 пРп ~Ь а9 п (10)

(Например, и случае канала постоянной площади, который тянется до бесконечности, получается рп = 0.)

Соотношение (10) является недостающим граничным условием для определения произвольных постоянных, входящих в выражения возмущений течения внутри компрессора и перед ним.

Пусть /(9) и g(ft) в соотношениях (2) имеют вид:

/(9)=рп0 е-о + р'п 0е--м, ^(6) = ап о е‘"9 4- о; 0 е-г«е.

Тогда перед компрессором задана величина и соотношение

МС„0 + Д0 = ^0. (11)

Кроме этого из условий (10) за компрессором следует:

«1ВСя4 + вяпА.* + *8,,О#14=0. (12)

Равенства (11) и (12) вместе с соотношениями для решеток типа (9) образуют систему линейных уравнений для определения коэффициентов Фурье во всех сечениях компрессора. Эта система легко решается следующим образом. Перенесем в (11) одну из неизвестных величин, например Сп0, в правую часть равенства:

В„ о — Рп о ~ М Са 0.

Тогда из уравнений для решеток последовательно определятся неизвестные во всех сечениях компрессора, в том числе Сп Ип1 и Ол4 за компрессором, как линейные функции С„0 и С„п.

Подставляя выражения Сп,, йп1 п Оп± в граничное условие за компрессором (12), найдем величину Сяи. После этого из уравнений для решеток последовательно определяются коэффициенты рядов Фурье во всех сечениях компрессора.

3. Расчеты проводились для шестиступенчатою компрессора, имеющего при расчетной частоте вращения ротора максимальную степень повышения полного давления я* = 5,2. Поля температуры на входе задавались такими же, как в экспериментах с этим компрессором. Значения передаточных функций для межлопаточных каналов решеток в формулах типа (7) вычислялись методом работы [3].

Результаты расчета показаны на фиг. 2 в виде зависимостей возмущений осевой составляющей скорости сх, давления р и температуры Т в нескольких сечениях компрессора от полярного угла б. Для выяснения особенностей этих возмущений они сравниваются с возмущениями, соответствующими модели параллельных компрессоров (пунктирные линии), характер которых в настоящее время хорошо известен. Чтобы рассчитать эти возмущения, в выражениях передаточных функций для вращающихся решеток отбрасывались нестационарные члены (т. е. принималось ш = 0). Все другие детали расчета в обоих случаях оставались неизменными.

Из фиг. 2 видно, что возмущения течения в компрессоре для двух вариантов расчета существенно отличаются как по форме, так и по величине максимумов и минимумов (что особенно важно для оценки устойчивости компрессора). Распределения возмущений, полученные без учета нестационарности обтекания вращающихся решеток, повторяют известную картину для модели параллельных компрессоров. В пределах „горячей зоны11, т. е. на той

со

*о

01

Вход

дез учета, иестанийнарностч

Фиг. 2

Ступени.

— с учетом местацчомарности

— дез учета нестационарное та

№ поля Н" Г1ср/Г1ср

1 155е 1,08

2 100е 1,10

3 100° 1,17

Фиг. 4

части окружности, где возмущение температуры положительно, возмущение давления также положительно, а возмущение скорости — отрицательно. Во входном канале перед компрессором возникает растекание потока, приводящее к уменьшению скоростей в горячей зоне потока на входе в компрессор.

При учете нестационарное™ обтекания вращающихся решеток возмущения давления и скорости имеют значительно меньшую величину и распределение их не имеет простой связи с горячей зоной. Это хорошо видно на фиг. 3, где совмещены распределение скорости и температуры. Перестроение потока перед компрессором очень слабое, и минимальное значение скорости смещено от центра горячей зоны. За первой ступенью возмущение скорости в горячей зоне имеет положительное значение. В последующих ступенях кривая распределения скорости смещается таким образом, что в последней ступени возмущение скорости в горячей зоне становится отрицательным.

Расположение горячей зоны внутри компрессора для обоих вариантов расчета также различно, хотя величины повышения температуры в этой зоне близки. При этом смещение зоны по окружности при учете нестационарности приблизительно соответствует траекториям частиц газа внутри компрессора. Это объясняется тем, что возмущение температуры во входном канале согласно выражениям (2) связано в основном с возмущением энтропии, а изменение энтропии частиц газа в компрессоре незначительно (оно происходит лишь вследствие гидравлических потерь).

В расчетах, результаты которых приведены на фиг. 2 и 3, ширина „горячей зоны11 на входе в компрессор 0"=155°, относительное повышение температуры в этой зоне 1,08, отно-

сительная частота вращения ротора п = 0,9. На фиг. 4 показано изменение вдоль компрессора минимальных значений возмущения скорости для трех полей температуры на входе, отличающихся величинами 6" и Тщ/Т^р. Видно, что различие в величине возмущения скорости для двух вариантов расчета сохраняется при всех размерах горячей зоны, причем это различие наиболее значительно в первых ступенях компрессора.

4. На основе расчетных полей возмущения параметров потока в проточной части компрессора была сделана оценка изменения границы его устойчивой работы. При этом использовалось то же допущение относительно возникновения неустойчивости течения в компрессоре, что и в модели параллельных компрессоров. Предполагалось, что неустойчивость течения в компрессоре возникает при достижении критических значений коэффициентов расхода в лопаточных венцах в зоне пониженной осевой скорости. В представленных ниже примерах расчета эти значения обычно достигались одновременно в двух-трех лопаточных венцах. Величина критических коэффициентов расхода для лопаточных венцов определялась из расчета характеристик компрессора при равномерном потоке на входе [5].

Граница устойчивой работы компрессора при неравномерном поле температуры на входе определялась следующим образом. По распределению возмущений скорости перед каждым лопаточным венцом находилось среднее уменьшение скорости в зоне пониженных скоростей, и на эту величину смещалась граница срыва соответствующей ступени. После этого на характеристику компрессора

3 — Ученые записки № 6

33

1 L» е=1 J-* „ 0-Л

Т ч

*

Л Л

г ср

и \ Р" У О / \

у- \

А < \ Lj \ пч 0 ,.\У \

' \ \ \ ' \ S од \

\ \ 0,74 \

К=Ц65

0,35 0J5 0,55 0,65 0,75 q(Agx)

0,35 0 45 0,55 0,65 q (J/x)

0,35 0,45 0,55 0,65 q(Alx)

---- с учетом нестационарности.

— — Без учета, нестациопарности. * эксперимент

Фиг. 5

наносились точки, соответствующие измененным границам срыва всех ступеней. Точка, наиболее удаленная от границы устойчивой работы при равномерном потоке, принималась за границу устойчивой работы при неравномерном поле температуры на входе.

На фиг. 5 показаны характеристики компрессора с расчетными границами устойчивой работы при неравномерных полях температуры на входе. Здесь же нанесены экспериментальные точки, полученные при испытаниях компрессора. Пунктирными линиями показаны результаты расчета без учета нестационарности обтекания вращающихся решеток, соответствующие модели параллельных компрессоров. Видно, что границы устойчивой работы, определенные в результате расчета распределения возмущений течения в компрессоре с учетом нестационарности, значительно лучше согласуются с экспериментальными данными. Кроме того, в этом случае отсутствует тенденция к увеличению смещения границы устойчивой работы при уменьшении ширины „горячей зоны", имеющая место в модели параллельных компрессоров.

Таким образом, на основании расчета распределения возмущений течения в проточной части компрессора удается достаточно точно оценить изменение границы его устойчивой работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Braithwaite W. М., Graber Е. J. Ir. and Mehalic С. М. The effect of Inlet temperature and pressure distortion on turbojet performance. AIAA Paper, N 73-1316.

2 Graber E. J. Ir. and В r a i t li w a i t e W. M. Summery of recent

investigation of inlet flow distortion effects on engine stability. AIAA Paper, N 74-236. •

3. Кукинов А. Г. О малых колебаниях газа в осевом компрес-

соре. Труды ЦАГИ, вып. 1320, 1971.

4. Кукинов А' Г. Неравномерный поток жидкости в тонком слое переменной толщины. Труды ЦАГИ, вып. 1330, 1972.

5. Д о в ж и к С. А. Исследования по аэродинамике осевого дозвукового компрессора. Труды ЦАГИ, вып. 1099, 1968.

Рукопись поступила 7\\ 1975 г.