Истечение жидкости через отверстие в стенке при наличии источника на плоскости симметрии течения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 126-133

Механика

УДК 532.528

Истечение жидкости через отверстие в стенке при наличии источника на плоскости симметрии течения *

С.Л. Толоконников

Аннотация. Рассматривается плоская задача о струйном стационарном истечении идеальной несжимаемой невесомой жидкости через отверстие в стенке при наличии точечного источника на плоскости симметрии течения. Изучены две возможные схемы течения такого вида. Найдено общее решение задачи, проведен параметрический анализ, представлены примеры численных расчетов.

Ключевые слова: идеальная несжимаемая жидкость, плоское течение, свободная поверхность, источник.

Известное решение задачи о стационарном истечении плоской струи идеальной несжимаемой невесомой жидкости через отверстие в стенке под действием перепада давления приведено, например, в монографии [1]. Здесь же содержатся ссылки на работы, посвященные решению задач о струйном истечении из сосудов различной формы через отверстия в них или насадки.

В настоящей работе рассматривается задача об истечении струи идеальной несжимаемой жидкости через щель в прямолинейной стенке в случае, когда на плоскости симметрии течения имеется точечный источник. Течение является плоским, установившимся, жидкость невесомой.

В бесконечно удаленной точке сосуда скорость равна нулю, а давление р\ в этой точке больше давления ро в области, в которую происходит истечение струи. Из интеграла Бернулли следует, что на свободных поверхностях струи модуль скорости постоянен и равен Уо = \/2(р1 — Ро)/р, где р — плотность жидкости.

Две возможные схемы такого течения указаны на рис. 1. ЕВ и ЕВ являются свободными границами струи, точка Б — бесконечно удаленная точка сосуда, ограниченного прямолинейной стенкой БЕЕБ с щелью ЕЕ шириной Н. На плоскости симметрии течение в точке С с координатами х = Хс, у = Н/2 расположен источник интенсивности Q > 0. Источник может находиться как в сосуде (Хс ^ 0), так и в вытекающей струе (Хс > 0).

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00392, № 08-01-00401).

В случае схемы 1,а в течении имеется только одна точка П с нулевой скоростью, в схеме 1,б добавляется критическая точка А на плоскости симметрии течения.

Рис. 1. Схемы течений и параметрические области

Решение задачи для каждой из указанных схем строится с помощью

отображения областей изменения комплексного потенциала ю и комплексной dw

скорости —— течения на область изменения параметрического переменного dz

и, в качестве которой выбирается полукруг единичного радиуса. Соответствие точек физической и параметрической областей указаны на рис. 1. Для

dw dw

построения отображений —— (и) и —— (и) используется метод особых точек

dz du

С.А. Чаплыгина [1].

Построим сначала решение задачи для случая 1,а.

Функция (и) в точках В (и = г), Е (и = —1) и Е (и = 1) является регулярной, в точке С (и = гс) имеет простой полюс. В точке П (0) = 0. При обходе точки П в параметрической области по бесконечно малой полуокружности а^(и) увеличивается на п, в то время как аг^ ( — ) увеличивается

\dz )

на 3п. Отсюда следует, что в точке и = 0 отображение —— (и) имеет ноль

dz

третьего порядка.

dw

При аналитическом продолжении —— (и) на всю плоскость и согласно

dz

принципу симметрии добавляются простой полюс в и = гс и простые нули

, / тт ^ ^ dw

в и = ±г/с. Других особенностей во всей плоскости и отображение (и)

иметь не будет и может быть построено методом особых точек [1]:

dw , . П3(1 — гси)(1 + гси)

— (и) = М ----------------------------------—-—- .

dz (и — гс)(и + гс)

dw

В точке В (и = г) известно значение (г) = ^0- Отсюда определяется зна-

чение постоянной М = —гьо. Таким образом,

dw , , . и3(1 + с2и2) .

* (и) = —”’0 и^ + с2 ■ (1)

Производная от комплексного потенциала —— (и) в параметрической об-

du

ласти имеет простые полюса в точках С (и = гс) и В (и = г), простые нули в точках Е (и = —1) и Е (и = 1), в которых происходит нарушение конформности отображения —— (и). В точке П (и = 0) —— (и) имеет ноль первого du du

порядка. Действительно, в этой точке z(u) имеет полюс первого порядка,

dw dw dw dz . .

——(и) — ноль третьего порядка, поэтому у функции —— (и) = ——(и)——(и) dz du du du

в и = 0 будет простой ноль.

При аналитическом продолжении —— (и) на всю плоскость и добавляются

du

простые полюса в и = —гс, и = ±г/с и и = —г. Таким образом,

^ (и) = м__________________и(и — 1)(и + ^_______________ (2)

du (и — г)(и + г)(и — гс)(и + гс)(1 — гси)(1 + гси) ’

где N — некоторая постоянная.

С помощью (1) и (2) определяется связь между областями изменения z и

и:

dz . . dw , . dw , . N и2 — 1 . .

Ти (и) = чи,(и): & (и) = \1 (и)' 1 (и) = 42(42+1x1+0242)2 ■ <3)

В формулы (1)-(3), дающие общее решение задачи, входят неизвестные параметры N и с, подлежащие определению из дополнительных условий.

гN

Из (3) интегрированием находится z(u) = — [Ф(и) — Ф(1)], где Ф(и) =

Уо

= I /(и)с!и. Условие z(1) = 0 служит для выбора начала координат в физической плоскости z в точке Е. Выражение для Ф(и) является громоздким и здесь не приводится.

Щель ЕЕ имеет ширину Н, поэтому

z(—1) — z(1) = гН = гN [Ф(—1) — Ф(1)] = гNк,

Уо Уо

где к = Ф(—1) — Ф(1). Отметим, что к зависит от с.

Таким образом, N = Нуо/к, а для функции z(u) получается формула

Н = г [ф<м> - ф«] ■ (5)

После определения параметра с формула (5) служит для нахождения геометрических параметров течения. В частности, форма свободных границ струи определяется подстановкой в (5) значений и = ехр(гв), в € [0,п/2) и и (п/2, п].

dw

Из формулы (2) следует, что разложение функции -4 (и) в ряд Лорана в окрестности точки С (и = гс) имеет вид:

dw ( ) N 1

и 2(1 — с2)2 и — гс + ■■■

Интегрирование этого разложения по малой окружности вокруг и = гс дает N

гQ =----------2Т22пг, откуда с учетом N = Нуо/к получается выражение

2(1 — 0 )

для безразмерного расхода источника:

Q = НТ~ =------------2)2 ■ (6)

Нуо к(1 — с2)2

Функция (и) имеет в бесконечно удаленной точке П (и = 0) простой

ноль, поэтому расход в этой точке равен нулю, а расход в струе Qв = Q-Так как Qв = УоЬ, где Н — ширина струи в точке В, то безразмерный расход

источника Q = = — = А где величина 5 при обычном истечении из

уоН Н

сосудов называется коэффициентом сжатия струи.

Расчеты показывают, что при заданном Q > 0 соотношение (6), рассматриваемое как уравнение для нахождения с, имеет решение с € (0,1) только в

— п

случае Q > 5о, где 5о = ------ — коэффициент сжатия струи при истечении

п+2

жидкости при отсутствии источника.

Каждому Q > 5о соответствует единственное значение с € (0,1), и тогда с помощью (5) определяется положение источника zc/H = Xс + г/2 = z(гc)/H, где Xс = Хс/Н. Таким образом, в схеме 1,а источник не может иметь безразмерную интенсивность, меньшую 5о, и положение источника с заданным Q > 5о не может быть произвольным и определяется однозначно. Расчеты показали, что для каждого Хс € (—ж, то) существует Q(Xc) > 5о.

На рис. 2 представлена зависимость Q = Q(Xс). Эта зависимость является возрастающей, при Xc —ж имеет асимптоту Q = 5о. Уже при Xc ~ —2.5 отличие Q от 5о не превосходит 1%, а форма свободных границ струи мало отличается от случая истечения при отсутствии источника.

Отметим еще одну интересную особенность полученного решения. Оказалось, что при Xc ^ Xc ~ 1.8 (что соответствует Q ^ Q ~ 15.55) течение

становится неоднолистным, свободные границы ЕВ и ЕЕ пересекают стенку ОЕЕО. Характерный вид свободной поверхности такого физически не реализуемого течения указан на рис. 3. На рис. 2 диапазон неоднолистности отмечен пунктиром.

30 Я /

/

25 / ' /

/

/

20 / /

/

15

10

5

хс

-2-10 і 2 3

Рис. 2. Зависимость безразмерного расхода источника Q от координаты Xс

У_

н 4

\ 2

Е * с.

1 і*1 -1 ; > { 2 х

1 Н

\ ^-2

-4

Рис. 3. Форма свободных границ в окрестности щели в случае неоднолистности течения. Соответствует значениям Q = 19.64, Xс = 2.13

Перейдем к построению решения задачи для схемы 1,б.

В критической точке А (и = га) функции —— (и) и —— (и) имеют ноль пер-

аг аи

вого порядка. При обходе точки О в параметрической области по бесконечно малой полуокружности увеличению агг и на п соответствует увеличение

агг —— на п. Так как —— (0) = 0, комплексная скорость —— (и) в этой точке аг аг аг

имеет ноль первого порядка, а функция — (и) — простой полюс. Искомые

аи

отображения в остальных точках параметрической области имеют те же особенности, что и в случае течения по схеме 1,а. Таким образом, находим:

dw . .

* (и) = ~т

и(и2 + а2)(1 + с2и2) (и2 + с2)(1 + а2и2)

dw ( ) А (и2 — 1)(и2 + а2)(1 + а2и2) du и и(и2 + 1)(и2 + с2)(1 + с2и2) ’

(9)

и2(и2 + 1)(1 + с2и2)2 ' (10)

(и2 — 1)(1 + а2и2)2

С использованием (10) находится постоянная N = Иуо/к, а функция г (и) определяется формулой (5). Следует учитывать, что вид функции f (и) и ее первообразной Ф(и) другой по сравнению с рассмотренной выше схемой 1,а. Величина к = Ф(—1) — Ф(1) является функцией параметров с и а.

Выражения для расходов Q, Qв и QD находятся интегрированием (9) по малым контурам вокруг точек С (и = гс), В (и = г) и О (и = 0) соответствен-

Расход QD в бесконечно удаленной точке сосуда будет в схеме 1,б всегда больше нуля. Нетрудно убедиться, что соотношение Q + QD = Qв выполнены для всех возможных значений а и с.

В формулы (8) и (5), дающие общее решение задачи, входят неизвестные параметры а и с. При заданной безразмерной интенсивности Q соотношение (11) является связью между а и с. Тогда, задаваясь произвольным значением а € (0,1) и определяя из (11) соответствующее значение с, можно получить все возможные решения задачи, соответствующие выбранному Q. Различным а соответствуют различные положения Хс источника.

Как показывают расчеты, для любого заданного Q > 0 и при любом фиксированном а € (0,1) из (11) находится единственное значение с € (а, 1). Этим обусловлен выбор параметра а в качестве «свободного». В дальнейшем изучим зависимость решения от параметра а.

Представляет интерес исследование предельных случаев а ^ 0 и а ^ 1.

При формальной подстановке а = 0 в (8)-(13) получаются формулы для общего решения и расходов, совпадающие с найденными для схемы 1,а. Тем не менее, нельзя в общем случае сказать, что течение по схеме 1,а может быть получено предельным переходом а ^ 0 из схемы 1,б.

Действительно, как уже было указано, в схеме 1,б решение существует для всех значений Q > 0, в то время как в схеме 1,а только для Q > §о.

Из расчетов следует, что в схеме 1,б в случае Q ^ §о при а ^ 0 положение источника Хс ^ —ж, расход в струе Qв ^ §о, а форма границ струи мало отличается от случая отсутствия источника.

но:

п(с2 — а2)(1 — а2с2) кс2(1 — с2)2

(11)

QD = _ па2 Иуо к с2 ’

(12)

Н п(1 — а2)2

--- ^ —------------------------ .

И к(1 — с2)2

(13)

Качественно иная ситуация наблюдается при Q > 5о. В этом случае при а — 0 имеем QD 0, Qв Q. Координата источника Xс с уменьшением а убывает и стремится при а — 0 к значению, соответствующему схеме 1,а для этого значения Q.

При фиксированном расходе Q значениям параметра а, близким к единице, соответствуют большие положительные Xс. При этом расход QD оказывается близким к 5о. Истекающая струя имеет в окрестности щели форму, мало отличающуюся от случая отсутствия источника. При удалении от щели струя сужается, ее ширина стремится к значению Н = 5оН, и только далеко справа эта практически однородная свободная струя взаимодействует с ««по-лутелом», образованным источником.

При изменении а в интервале (0,1) источник с Q ^ 5о может иметь любое положение Хс £ (—то, то), а в случае Q > 5о — все положения Xс, превосходящие значения, соответствующие схеме 1,а.

На рис. 4 представлены зависимости от Хс безразмерного расхода Qв для двух значений Q = 0.2 < 5о и Q = 1 > 5о.

1.6 0.п ,

1.2

0.8 _ 1

0.4

Хс

2 -1 1 2

Рис. 4. Зависимость расхода QБ от Xс. Линия 1 соответствует значению Q = 0.2, Линия 2 — значению Q = 1

Следует отметить, что, как и в схеме 1,а, при Q > Q* ~ 15.55 может наблюдаться неоднолистность для некоторого диапазона положений Xс источника.

Список литературы

1. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.

Толоконников Сергей Львович ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра гидродинамики, механико-математический факультет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова.

The outflow of a fluid through a crack in a wall in the presence of a source on the plane of flow symmetry

S.L. Tolokonnikov

Abstract. The plane problem about the jet steady-state outflow of an inviscid incompressible weightless fluid through a crack in a wall in the presence of the point source on the plane of flow symmetry is considered. Two possible circuits of current of such kind are investigated. The common decision of a problem is found, the parametrical analysis is executed, examples of numerical calculations are submitted.

Keywords: inviscid incompressible fluid, plane problem, free surface, source.

Tolokonnikov Sergey ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of hydrodynamics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University.

Поступила 03.06.2010