Расчет интенсивности всасывания воздуха через отверстия в боковой стенке воздуховода. Сообщение 1 Текст научной статьи по специальности «Физика»

Оригинальная статья / Original article УДК 697.921, 42.001.24

http://dx.doi.org/10.21285/2227-2917-2017-4-162-171

РАСЧЕТ ИНТЕНСИВНОСТИ ВСАСЫВАНИЯ ВОЗДУХА ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ В БОКОВОЙ СТЕНКЕ ВОЗДУХОВОДА. СООБЩЕНИЕ 1

© Д.В. Маклаков3, В.Н. Посохинь, Р.Г. Сафиуллинс

аКазанский (Приволжский) федеральный университет, Российская Федерация, 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 18. ь,сКазанский государственный архитектурно-строительный университет, Российская Федерация, 420043, г. Казань, ул. Зеленая, 1.

Резюме. Цель. Рассчитывается интенсивность всасывания воздуха через щелевое отверстие, расположенное в стенке воздуховода в ряду других последовательно размещенных щелей, что обусловливает наличие транзитного потока воздуха, проходящего мимо отверстия. Учитывается наличие застойной зоны, образующейся при срыве потока с острой кромки на входе. Методы. Поиск решения осуществляется в рамках теории струй идеальной жидкости с использованием схемы Кирхгофа и метода особых точек Чаплыгина, а также численным методом с помощью программного комплекса Flow3d, где система уравнений плоского турбулентного движения замыкалась с помощью «стандартной» к-s модели. Результаты. Найдены расходы воздуха, входящего через щели, в зависимости от их ширины и значения транзитного расхода. Получены зависимости для присоединенного расхода с учетом и без учета отрыва потока. Определены форма свободной линии тока, разделяющей струйную и вихревую зоны, коэффициенты сжатия струи. Построены линии тока течений при разных значениях геометрических параметров воздуховода и отверстия. Выводы. Аналитические и численные расчеты показали, что кинематика течений и значения присоединенного расхода весьма схожи, но размеры и форма застойной зоны существенно отличаются. Численное решение дает более физичную картину формирования застойной зоны. Получено, что отрыв потока уменьшает присоединенный расход. Коэффициент сжатия струи с увеличением длины щели стремится к 0,5, то есть течение в канале становится близким к течению в насадке Борда. Ключевые слова: отверстие в стенке, интенсивность всасывания, идеальная жидкость, отрывное течение, конформное отображение, Flow3d.

Формат цитирования: Маклаков Д.В., Посохин В.Н., Сафиуллин Р.Г. Расчет интенсивности всасывания воздуха через отверстия в боковой стенке воздуховода. Сообщение 1 // Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. 2017. Т. 7, № 4. С. 162-171. DOI: 10.21285/2227-29172017-4-162-171

CALCULATION OF INTENSITY OF AIR ABSORPTION THROUGH THE HOLES IN THE SIDE WALL OF AIR LINE. MESSAGE 1

© D.V. Maklakov, V.N. Posokhin, R.G. Safiullin

Kazan (Volga region) Federal University, 18 Kremlyovskaya St., Kazan 420008, Russian Federation Kazan State University of Architecture and Engineering, 1, Zelenaya St., Kazan, 420043, Russian Federation

аМаклаков Дмитрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры аэрогидромеханики, e-mail: [email protected]

Dmitry V. Maklakov, Doctor of physical and mathematical sciences, Professor of the Department of aero-hydromechanics, e-mail: [email protected]

ьПосохин Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, советник ректората, e-mail: [email protected]

Vladimir N. Posokhin, Doctor of technical sciences, Professor, Rector's adviser, е-mail: [email protected]

Сафиуллин Ринат Габдуллович, доктор технических наук, доцент кафедры теплоэнергетики, газоснабжения и вентиляции, e-mail: [email protected]

Rinat G. Safiullin, Doctor of technical sciences, Associate Professor, Department of the chair of heat supply, gas supply and ventilation, е-mail: [email protected]

Abstract. Purpose. We calculate intensity of air absorption through the hole, located in the wall of air line in the range of other holes in the consequential location, that causes the presence of transit water flow that passes by the hole. We take into account dead zone that appears during break-down of flow from the sharp edge at the entrance. Methods. Search of solutions is performed within the frames of theory of ideal fluid with the use of scheme of Kirkhgof and method of special dots of Chaplygin, and also with the help of numeric method with program complex Flow3d, where the system of equalities of a flat turbulent movement was locked with the help of a «standard» k-s model. Results. We found air expenses, entering through the holes depending on their width and index of transit expense. We received dependences for connecting expenditure taking into account and without flow stops. We defined form of free current line that distributes flow and turbulent zones, indexes of flow compression. We built current line of flows at different indexes of geometry parameters of airline and a hole. Conclusions. Analytical and numeric calculations showed that cinematics of flows and indexes of connected expenses are very close but the sizes and form of a dead zone are significantly difficult. Numeric solution gives more physical picture of creating a dead zone. It is received that flow breakdown decreases connected expense. Index of compression of flow with the increase of the hole length strives to 0.5, that is flow in the canal becomes closer to the flow in Bord cap.

Keywords: wall hole, intensity of absorption, ideal fluid, breakdown flow, conform reflection, Flow3d

For citation: Maklakov D.V., Posokhin V.N., Safiullin R.G. Calculation of intensity of air absorption through the holes in the side wall of air line. Message 1. Izvestiya vuzov. Investitsii. Stroitel'stvo. Nedviz-himost' [Proceedings of Universities. Investment. Construction. Real estate], 2017, vol. 7, no. 4, pp. 162-171. (In Russian) DOI: 10.21285/2227-2917-2017-4-162-171

Введение

При удалении воздуха через отверстия в стенке возникает проблема обеспечения требуемой равномерности (неравномерности) всасывания по длине воздуховода. Несоблюдение требований приводит, в частности, к неэффективному действию отсосов, нарушению регламентов работы технологического оборудования и т.п. [1-5].

В связи с этим возникает следующая задача. В стенке канала высотой h имеется всасывающая щель СА длиной I (рис. 1, а). В точке С скорость подтекания конечна, в точке А поток отрывается от стенки, формируя застойную зону. Скорость на свободной границе АЕ постоянна и равна у0. Транзитный поток воздуха от вышележащих отверстий надвигается со скоростью v,XJ. Необходимо определить поле скорости течения, интенсивность всасывания воздуха через щель, форму свободной линии тока.

Рис. 1. Области течения: а - физическая плоскость z = х + iy; б - параметрическая плоскость t = % + i^; в - плоскость комплексного потенциала w = ф + iy Fig. 1. The flow region: a - physical plane z = х + iy ; б - parametric plane t = % + i^, в - plane of complex potential w = ф + iy

Методы исследования

Поиск решения будет осуществляться в рамках теории струй идеальной жидкости [6]. Заметим, что эта же задача рассматривалась в работе [7], где течение полагалось безотрывным. Общее решение задачи будем искать методом особых точек С.А.Чаплыгина [6]. Выберем в качестве параметрической области правый верхний квадрант с указанным на рис. 1, а, б соответствием точек. Построим функцию dw|dt - комплексно сопряженную скорость фиктивного течения в параметрической плоскости. Учтем, что жидкость вытекает из бесконечно удаленных точек В, D и поглощается в бесконечно удаленной точке Е, то есть линии тока начинаются в точках В, D и замыкаются в точке Е. При этом существует точка разделения С, где общая линия тока перпендикулярна оси Определим особенности функции dw|dt. В точках А и С обтекаются прямые углы, и значит, tA = 0, tС = с - нули первого порядка. Точки Е лежат на бесконечности, поэтому они не участвуют в построении функции dw|dt. В точках В (tВ = Ь) и D (tD = 1) - полюсы первого порядка. Продолжим dw|dt аналитически на всю комплексную плоскость.

На действительной оси £ выполняется условие 1т— = 0. Согласно принципу

dt

симметрии аналитически продолжим dw|dt через эту ось на нижний правый квадрант, при этом дополнительных особенностей не возникает. На мнимой оси ^ выполняется условие = 0 , что позволяет аналитически продолжить dw|dt на

всю комплексную плоскость. При этом в точке С (tС =-с) получим нуль, а в точках В (tВ =-Ь) и D (tD = -1) - полюсы первого порядка.

В результате этих продолжений функция dw/dt строится в виде

dw t(t2 - c2) ,/ч

d = *> (, 2 - fl * - b 2 ) = ^ )'

На ADE Im— = 0 , и следовательно, % - действительное число.

dt

(1)

Картина линий тока фиктивного течения в параметрической плоскости, построенная с помощью опции StreamPlot пакета Ма^ета^са, приведена на рис. 2.

Рис. 2. Фиктивное течение Fig. 2. Fictitious flow

Построим функцию = — -1—. Эта функция имеет единственный нуль в точке t = Ь, который после аналитического продолжения через мнимую ось перей-

дет в полюс в точке t = -b , так как

, dw

t ^ <х> -= 1, получаем

v0dz

v0dz

= 1 на мнимой оси. Учитывая, что при

dw t - b

v0dz t + b

Далее находим производную функции отображения z = z (t):

dz _ dz dw _ % t (t2 - c2) t - b _ % () dt dw dt v0 (t2 - l)(t2 - b2) t + b v0

(2)

Формулы (1), (2) в целом позволяют построить линии тока в параметрической и физической плоскостях.

Перейдем к определению расхода воздуха, засасываемого через щель. Расход в точке D равен q = h, а в точке Е - ql = у0Ь , значит, расход через щель

q2 = q1 - q.

Функция dw|dt аналитична в верхнем правом квадранте, исключая точки В, С, Е . Точки В, С на параметрической плоскости выделим полуокружностями бесконечно малого радиуса; удаленную точку Е окружим четвертью окружности бесконечно большого радиуса (рис. 1, б). При переходе с DC на DE по полуокружности сс 1т w испытывает скачок q (рис 1, в). Используя теорему вычетов, находим:

Щ = § ^о/ ^)] = ^¡тЬ1)'

откуда следует, что интенсивность транзитного потока

1 - с2

=^^гь) ■ (3)

При переходе с ВС на ВА по полуокружности сь 1т w испытывает скачок q2. Следовательно,

^ , . г ,/м . Ь2 - с2

Ъ = f~~^dt = тгфрof(t)] = туо 2(b2 -1)

2(b2 -:

и интенсивность потока, входящего в щель,

b2 - c2

q2 = (4) При переходе с DE на AE по четверти окружности cR Im w испытывает скачок g1, и

ъ = f d~dt=\ irä®*f (t)]=W f,

cR

а значит, интенсивность общего потока

Ъ= f. (5)

Из формул (3)-(5) находим безразмерный присоединенный расход:

ISSN 2227-2917 (print) Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость Том 7, № 4 2017

ISSN 2500-154X (online) Proceedings of Universities. Investments. Construction. Real estate Vol. 7, No. 4 2017

165

С, = , = * -1 = -1. (6)

q , 1 - с

Теперь определим размеры h и При переходе с DC на DE по полуокружности сс 1т z испытывает скачок h. Отсюда

^ = <С—dt = — тresF^) = — т 1 С , ^,

ldt Vo * " Уо 2(1 - Ь2)

h = . (7)

Уо 2(1 - Ь2) ' 7

При переходе с DE на АЕ по четверти окружности ^ 1т z испытывает скачок h1, и значит,

^ = 1 ^ = ——resF ^ ) = — т,

и - 1 V,

dt У0 2 У0 2

ся 0 0

h=— т. (8)

У0 2

Объединяя выражения (7), (8), находим коэффициент сжатия струи:

К = * . (9)

h 1 - с2

Осталось определить параметры отображения Ь, с и коэффициент — Поскольку точка В в физической плоскости на бесконечности слева и справа от щели находится на одном уровне, то

1т | —dt = 0 ^ resF($) = 0. (10)

t h dt

t=h

С другой стороны,

rtebSF (t ) = J

t (t2 - с2)'

t2 -1

Возьмем логарифмическую производную

= 0.

t=h

Jnt(t2 - с2)

—In , dt t2 -1

t=h

1 2t 2t

t t2 - с2 t2 -1

= 0.

t=h

Из предыдущих равенств следует

1 2h 2h

- + —2-7--2-= 0

h h2 - с2 h2 -1

Из графика функции (11) (рис. 3) видно, что при 0 < Ь < 1 всегда Ь < с < 1.

и

Рис. 3. График функции c = c(b) Fig. 3. The graph of the function c = c(b)

Функцию F (t ) =

t(t2 - с2)

(t2 - 1)(t2 - h2)

ложим на сумму простейших рациональных дробей:

, входящую в формулу отображения (2), раз-

ыл M N F (t ) =-+-+

P

+ -

K

t -1 t +1 (t - h)2 t - h' В силу (10) коэффициент K = 0, для остальных коэффициентов

M =| —dt = resF(t) = 1 с v t=1 dt t=i W 2(1 - h)

B = f —dt = resF (t ) = 1i dt t=-i V '

„ с dz . h(h2 - с2)

C = f — dt = -Ц-

t =h dt h2 -1

t=h

1 - с2

2(1 + h)2

(12)

Найдем первообразную от функции F (t):

р

Ь

В параметрической плоскости щели шириной I соответствует отрезок АС:

G(t) = f F(t)dt = Mln(t -1) + Nln(t +1) -- —. (13)

l = % to[G(0)-в(с)].

V0

Используя равенство (7), получаем:

1- = 1!1^Ле[0(0)-0(с)]. (14)

h т 1 - с

Таким образом, чтобы найти Ь и с, удовлетворяющие условию 0 < Ь < с < 1, нужно решить систему уравнений (11)-(14). Объединяя их, находим:

(1 - h)2 4Ь2с + (h - с)[(1 + h2 )ln(1 - с) + (1 - h2 )ln(1 + с)] = l_

(1 + h)2 ж(с - h)(1 - с2) = h

Уравнение (15) решается с помощью программы Find_Root в пакете Mathematica, при этом параметр c определяется формулой (11). Пусть v0 =1, h =1. Введем обозначения:

M, = M?0, N = N%, - P = P^0.

С учетом (7), (12), (15) получим:

М1 = I,

N =

(ь -1)2

P =

4b2

ж ж(Ь +1)2 ' 1 ж(Ь +1)2 '

Так как точка А имеет координаты (1/2,0), конформное отображение параметрической плоскости на физическую имеет вид

z (t )=I _„(, -1)+-И! i„(, +1)-

n(b +1) n\

4b2

1

--1 + — 2

(16)

ж ж(Ь +1)" ж(Ь +1)2

На рис. 4 приведены графики зависимостей (6), (9). Напомним, что параметры b и c при заданных значениях l/h определяются по формулам (11), (15). Штриховой линией показан график Cq для течения, по данным работы [7], где отрыв потока в точке А не учитывается. В этой работе

_ h

п

b 1 b +1

—-+ - ln-

b2-1 2 b -1

С = = q q b-1

(17)

(18)

Q

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

0.0

G - значения Cq в численных экспериментах с Flow3d 6 * У у

у / / / X / / /

У у у у / /

< * / /

s > z' / / / sy1 ч

J\ 2

К

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

0.5

1.0

1.5

l/h

Рис. 4. Графики функций: 1 - присоединенный расход с учетом отрыва потока (сплошная линия), без учета отрыва потока (штриховая линия);

2 - коэффициент сжатия струи Fig. 4. Graphs of functions: 1 - attached flow taking into account the flow separation (solid line), without considering the flow separation (dashed line); 2 - compression ratio of the jet

При сравнении графиков видно, что отрыв потока уменьшает присоединенный расход. Мы видим также, что коэффициент сжатия струи с увеличением длины щели стремится к 0,5, то есть течение в канале становится близким к течению в насадке Борда. Перейдем к построению линий тока течения. Это проще сделать в параметрической плоскости, а затем с помощью конформного отображения (16) перевести их в физическую плоскость. Фиктивное течение в параметрической плоскости имеет скорости

V = v^,rn)= % Re[f (С + iv)],

\ = = "%оIm[f + iv)].

Поскольку фиктивное течение является установившимся, то линии тока совпадают с траекториями движения частиц. Поэтому дифференциальные уравнения линий тока будут:

4

f(r) = ъШЖ)], V'(r) =

(19)

где т- время перемещения частиц в параметрической плоскости.

Построим N линий тока транзитного потока. К системе дифференциальных уравнений (19) необходимо добавить начальные условия. На полуокружности сс малого радиуса г\ расположим п точек. Начальные условия сформулируем в виде

m

£(0) = sCos^— +1, 77(0) = sSin-

v У 1 N +1 w 1 N +1

j = 1...N.

(20)

С помощью программы NDSoIve пакета Ма^ета^са решаем задачу Коши (19), (20) на интервале те[0,ттш. ]. В результате получаем значения координат линий тока в параметрической плоскости:

£ = £(т) , Л=Л(т) , Т^[0,Ттх ] .

Значения ттах определяются численным экспериментом. Далее с помощью

формулы отображения (16) определяются координаты линий тока в физической плоскости. Аналогично строятся линии тока всасываемого потока, но полуокружность малого радиуса сь строится вокруг точки В ^ = Ь). На рис. 5, а приведены построенные описанным способом линии тока для различных значений Ж

Рис. 5. Линии тока течения: а - аналитическое решение в программе NDSolve пакета Mathematica; б - численное решение в программе Flow3d Fig. 5. Steam-lines of the flow: a - analytical solution in the NDSolve program of Mathematica package;

б - numerical solution in the Flow3d program

Задача решалась также численно с помощью программного комплекса Flow3d. Система уравнений плоского турбулентного движения замыкалась с помощью «стандартной» к-s модели; при моделировании течения в пристеночных пограничных слоях использовались стандартные пристеночные функции. На границах расчетной области (рис.1, а) принимались следующие граничные условия:

- на границе DD скорость в положительном направлении оси х постоянна и равна vx;

- на границе EE - условие «Выход» («Outflow»);

- на проницаемых границах области подтекания воздуха к щели - избыточное статическое давление АР = 0;

-границы ВС, AB, DE - твердые непроницаемые стенки.

Общее количество ячеек расчетной сетки в канале - 40 тыс., по длине щелевого отверстия - не менее 20, как это рекомендуется в [8].

Картины течений, построенные численно для разных значений параметра l/h, приведены на рис. 5, б. Сопоставляя рис. 5, а, б, мы видим, что кинематика течений весьма схожа, но размеры и форма застойной зоны существенно отличаются. Численное решение дает более физичную картину формирования застойной зоны.

В рамках проведенного расчета определялась также величина безразмерного присоединенного расхода Cq. Расчетные точки нанесены на рис. 4, из которого следует, что значения, полученные аналитически и численно, хорошо совпадают.

Заключение

Аналитически и численно рассчитано поле скорости, создаваемое действием щелевого отверстия на стенке воздуховода. Определена интенсивность всасывания воздуха в зависимости от ширины щели и скорости потока. Получено уравнение для линий тока течения. Значения присоединенного расхода, определенные двумя способами, практически совпадают. Качественные картины течений несколько различаются, так как положенная в основу аналитического расчета модель течения не предполагает, что границы застойной зоны замыкаются на стенке воздуховода.

Полученные результаты могут быть использованы при конструировании воздуховодных систем.

Данная работа поддержана РФФИ (проект 15-01-2016).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. ASHRAE handbook - Fundamentals. Atlanta, GA: American Society for Heating, Refrigerating and Air Conditioning Engineers, 2009.

2. Logachev I.N., Logachev K.I. Industrial air quality and ventilation: controlling dust emissions. Boca Raton: CRC Press, 2014. 417 p.

3. Averkova O.A., Zorya V.Yu., Loga-chev I.N., Logachev K.I. Numerical simulation of air currents at the inlet to slot leaks of ventilation shelters // Refractories and Industrial Ceramics. 2010. Vol. 51, № 3. P. 177-182.

4. Logachev I., Logachev K., Averkova O. Local Exhaust Ventilation.

Aerodynamic Processes and Calculations of Dust Emissions. CRC Press, 2015. 564 p.

5. Посохин В.Н., Сафиуллин Р.Г., Бройда В.А. Вентиляция. М.: АСВ, 2015. 624 с.

6. Gurevich M.I. The Theory of Jets in an Ideal Fluid, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Elsevier, 2014. Vol. 93.

7. Маклаков Д.В., Посохин В.Н., Вар-сегова Е.В. Расчет течения вблизи всасывающей щели в стенке воздуховода // Труды Академэнерго. 2016. № 3. С. 108-113.

8. FLOW-3D User's Manual. Version 9.3. Flow Science, Inc., 2008. 821 p.

REFERENCES

1. ASHRAE handbook - Fundamentals. Atlanta, GA: American Society for Heating, Refrigerating and Air Conditioning Engineers, 2009.

2. Logachev I.N., Logachev K.I. Industrial air quality and ventilation: controlling dust emissions. Boca Raton: CRC Press, 2014. 417 p.

3. Averkova O.A., Zorya V.Yu., Loga-chev I.N., Logachev K.I. Numerical simulation of air currents at the inlet to slot leaks of ventilation shelters. Refractories and Industrial Ceramics, 2010, vol. 51, no. 3, pp. 177-182.

4. Logachev I., Logachev K., Averkova O. Local Exhaust Ventilation. Aerodynamic Processes and Calculations of Dust Emissions. CRC Press, 2015. 564 p.

5. Posokhin V.N., Safiullin R.G., Broida V.A. Ventilyatsiya [Ventilation]. Moscow, ASV Publ., 2015. 624 p.

6. Gurevich M.I. The Theory of Jets in an Ideal Fluid, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Elsevier, 2014. Vol. 93.

7. Maklakov D.V., Posokhin V.N., Varsegova E.V. Computation of the flow near a suction slot located on the wall of an air duct. Trudy Akademenergo [Works of Akade-menergo], 2016, no. 3, pp. 108-113. (In Russian)

8. FLOW-3D User's Manual. Version 9.3. Flow Science, Inc., 2008. 821 p.

Критерии авторства

Маклаков Д.В., Посохин В.Н., Сафиуллин Р.Г. имеют равные авторские права. Сафиуллин Р.Г. несет ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Статья поступила 24.10.2017 г.

Contribution

Maklakov D.V., Posokhin V.N., Safiullin R.G. have equal author's rights. Safiullin R.G. bears the responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The authors declare no conflict of interests regarding the publication of this article.

The article was received 24 October 2017