Расчет интенсивности всасывания воздуха через отверстия в боковой стенке воздуховода. Сообщение 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оригинальная статья / Original article УДК 697.921, 42.001.24

DOI: http://dx.d0i.0rg/l 0.21285/2227-2917-2018-1 -160-167

РАСЧЕТ ИНТЕНСИВНОСТИ ВСАСЫВАНИЯ ВОЗДУХА ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ В БОКОВОЙ СТЕНКЕ ВОЗДУХОВОДА. СООБЩЕНИЕ 2

© Д.В. Маклаков3, Р.Р. Валитовь, В.Н. Посохинс, Р.Г. Сафиуллина

a b

' Казанский (Приволжский) федеральный университет,

420008, Российская Федерация, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Кремлевская, 18. ^Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 420043, Российская Федерация, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Зеленая, 1.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Рассмотрена задача о входе воздуха в щелевые отверстия на противоположных стенках всасывающей панели. Щели ориентированы перпендикулярно к образующей панели и могут быть оппозитными или смещенными относительно друг друга. Вверх и вниз по течению расположены такие же пары отверстий. МЕТОДЫ. Решение ищется методом конформных отображений, а также численно с помощью программы Flow3d. Аналитическое решение не учитывает отрыва потока с острых кромок щели и образования застойных зон. РЕЗУЛЬТАТЫ. Найдены расходы воздуха, входящего через щели, в зависимости от их ширины, взаиморасположения и значения транзитного расхода. Построены линии тока течения. ВЫВОДЫ. Установлено, что интенсивность всасывания минимальна при оппозитном расположении щелей. Значения присоединенного расхода, определенные аналитически и численно, практически совпадают. Численным методом установлены форма и размеры застойных зон.

Ключевые слова: всасывающий воздуховод, щелевые отверстия, идеальная жидкость, конформное отображение, интенсивность всасывания, линии тока течения.

Информация о статье. Дата поступления 14 декабря 2017 г.; дата принятия к печати 15 января 2018 г.; дата онлайн-размещения 29 марта 2018 г.

Формат цитирования: Маклаков Д.В., Валитов Р.Р., Посохин В.Н., Сафиуллин Р.Г. Расчет интенсивности всасывания воздуха через отверстия в боковой стенке воздуховода. Сообщение 2 // Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. 2018. Т. 8, № 1. С. 160-167. DOI: 10.21285/2227-2917-2018-1-160-167

CALCULATION OF INTENSITY OF AIR ABSORPTION THROUGH THE HOLES IN THE SIDE WALL OF AIR LINE. MESSAGE 2

D.V. Maklakov, R.R. Valitov, V.N. Posokhin, R.G. Safiullin

Kazan (Volga region) Federal University, 18, Kremlyovskaya St., Kazan, 420008, Russian Federation Kazan State University of Architecture and Engineering, 1, Zelenaya St., Kazan, 420043, Russian Federation

аМаклаков Дмитрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры аэрогидромеханики, e-mail: [email protected]

Dmitry V. Maklakov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Aero-

hydromechanics, e-mail: [email protected]

ьВалитов Риаз Рустамович, бакалавр, e-mail: [email protected]

Riaz R. Valitov, Bachelor, e-mail: [email protected]

посохин Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, советник ректората, e-mail: [email protected]

Vladimir N. Posokhin, Doctor of Technical Sciences, Professor, Rector's adviser, е-mail: [email protected]

Сафиуллин Ринат Габдуллович, доктор технических наук, доцент кафедры теплоэнергетики, газоснабжения и вентиляции, e-mail: [email protected]

Rinat G. Safiullin, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Department of the chair of heat supply, gas supply and ventilation, е-mail: [email protected]

ABSTRACT. PURPOSE. We considered the task about the entry of air into the slotted holes on the opposite walls of the suction panel. Slots are oriented perpendicular to the generating panel and can be opposite or offset according to each other. Up and down there are the same pairs of holes. METHODS. We look for the solution using method of conformal images, and also numerically using the program Flow3d. Analytical solution does not take into account the flow separation from sharp edges of the gap and the formation of stagnant zones. RESULTS. We found airflows expenses entering through the slots, depending on their width, relative location and the value of the transit flow. Flow lines are constructed. CONCLUSIONS. It is established that the intensity of absorption is minimal at the opposing arrangement of the slits. The values of the connected flow, determined analytically and numerically, practically coincide. The shape and dimensions of the stagnant zones are established numerically. Keywords: suction duct, slotted holes, ideal fluid, conformal imaging, suction intensity, flow current lines

Article info. Received December 14, 2017; accepted for publication January 15, 2018; available online March 29, 2018.

For citation: Maklakov D.V., Valitov R.R., Posokhin V.N., Safiullin R.G. Calculation of intensity of air absorption through the holes in the side wall of air line. Message 2. Izvestiya vuzov. Investitsii. Stroitel'stvo. Nedvizhimost' [Proceedings of Universities. Investment. Construction. Real estate], 2018, vol. 8, no. 1, pp. 160-167. (In Russian). DOI: 10.21285/2227-2917-2018-1-160-167

Введение

Для разных технических устройств часто возникает необходимость в проектировании воздуховодов с заданной равномерностью (неравномерностью) всасывания [1, 2]. В предыдущем сообщении рассмотрена задача о подтекании воздуха в щелевое отверстие в стенке воздуховода при наличии транзитного расхода, обусловленного наличием ряда последовательно размещенных щелей. Задача решалась с помощью конформных отображений, а также численно в программной среде Flow3d. В результате найдена интенсивность подсасывания воздуха в зависимости от ширины щели и значения транзитного расхода. Работа Маклакова Д.В. поддержана РФФИ (проект 15-01-2016). В предлагаемом сообщении решается задача об интенсивности входа воздуха в щели на противоположных сторонах всасывающей панели. Расположение щелей может быть оппозитным или смещенным относительно друг друга. Как и прежде, авторы ищут решение аналитически и численно. Элемент всасывающей панели с двусторонним расположением щелевых отверстий показан на рис. 1, а, b. Транзитный поток от вышерасположенных отверстий имеет скорость vx. Необходимо определить расходы воздуха, входящего через щели, и построить линии тока течения.

a) у h (Z)

A ......A..... A

A —------ - - As x

------- - —

Ai V" - —----- .....A^"--- - ' A

A ^............^.......... '............ h h A

T| ^ t

/ Cl | -1 "2 \CR C5 \ «3 «4 1 | ^

А7 Ag AJ А2 Аг Аа А5 А6 А7

Рис. 1. Области течения: а) физическая плоскость z = x + iy; б) параметрическая плоскость t = % + iг/ Fig. 1. Flow areas: a) physical plane z = x + iy; b) the parametric plane t = % + i/

Методы исследования

Решение ищем в рамках теории потенциальных течений идеальной жидкости методом конформных отображений [3, 4]. Наличие вихревых зон в местах изломов границ (точки А4, А6) не учитываем. Считаем, что в точках Л0 и А2 выполняется условие ограниченности скорости Кутты - Жуковского.

Будем строить течение в параметрической области, в качестве которой возьмем верхнюю полуплоскость с указанным на рис. 1 а, б соответствием точек. Связь между областями течения в плоскостях z и t устанавливается с помощью формулы Кристоффеля - Шварца [4.]

г = А |>(и)/и; F(t)= 0 2 ~ ^ ~ а* {С - а4) , (1)

- (t -а1)(1 -а3) (I -а5)

где u - переменная интегрирования.

Необходимо определить параметры отображения а1, а2, а3, а4, а5 и коэффициент А. Разложим функцию F(t) на сумму простейших рациональных дробей

^, а а, ß ß ,

F(t) =-+ —1— +—-—2 + +1,

t - a, t - a5 (t - a3) t - a3

где коэффициенты«, а1, Р, Р1 - действительные. Коэффициент А также действителен и является положительным, так как на А6А7 имеем — > 0.

6 7

Для того, чтобы в точках А1 и А5 ширина воздуховода была одинаковой, необходимо выполнение условий

1т I — = гк и 1т I — = -гк, > Ж > Ж

с1 с5

где с1 и с5 - полуокружности бесконечно малого радиуса, окружающие точки А1 и А5 в параметрической плоскости t (см. рис. 1, б).

Используя теорему о вычетах, получаем

т е Ааск . к

1т I-= гк ^ Аат = гк ^ Аа = —;

J t - а1 т

с 1

Im f -J t

Aadt . . . h

-= -ih ^ Aa1mi = ih ^ Aa, =--.

- a5 m

5 5

Отсюда вытекает, что

а = А = ; (2)

а + а = 0 . (3)

Для того, чтобы прямые А7А0, А6А7 в физической плоскости располагались на одном уровне, дополнительно используем условие

'dz dt

CR

или иначе

Im j — = 0 ^ Im j F(t)dt = 0 , (4)

Im

г ааг + г g,ш + г рщ + г pat + г ш J t - a г t - a5 г t - a г (t - a )2 J

_CR 1 CR 5 CR

ность бесконечно бол1 параметрической плоскости (см. рис. 1, б).

= 0

t - а1 J t - а5 J t - а3 J (t - а3)

1 ся 5 ся 3 3 7

где си - полуокружность бесконечно большого радиуса, окружающая точку А7 в

an ахп

R

По теореме вычетов |—-—- = 0 , и, кроме того, 1т |dt = 0 , а значит

ск(1 - аз ) ск

та + тах + т— = 0. С учетом равенства (3) — = 0, и функция F(t) принимает вид:

а а - л

F(t) =---+--—- +1.

t - аг t - а5 (t - а3)

Определив вычеты функции F(t) в точкахД, А5 и предел значения функции F(t)(t - а3 ) при г ^ а3, выразим коэффициенты а , а1 , - через параметры отображения а1, а2, а3, а4, а5

(а2 -1 )(аг -а2)(аг -а4) (а52 -1 )(а5 -а2)(а5 -а4)

ОС 2 ; ОХ] — ;

(ах - а3) (ах - а5) (а5 - а3) (а5 - ах)

(a2 -1 )(a3 -a2)(a3 -a4)

ß =

(a3 -ax)(a3 -a5) Используя условие (3) из первых двух выражений, находим

(a2 -\ )(a1 - a2)(al - a4) (a52 -\ )(a5 - a2)(a5 - a4)

(a1 - a3) (a5 - a3)

= 0. (5)

Теперь рассмотрим условие 1т [Е(г)ёг = 0 ^ гваЕ(г) = 0. Определяя вычет

ск

функции F(t) в бесконечности, получим

- а + а2 - 2а3 + а4 - а5 = 0 . (6)

Если параметры отображения удовлетворяют условиям (5), (6), то

-

f(t) = f F(t)dt = aln(t - a1) - a ln(t - a5)--— +1.

J t - a3

Известные геометрические характеристики области течения дают возможность записать еще три равенства:

А = Re[f(\) - f(-l)]-A; l2 = Re[f(a4 ) - f(a2 )]■ A; l3 = Re[f(a2) - f(-\)\ A.

Учитывая, что A = —, и введя новые обозначения — = \, — = l2, — = l3, полу-

аж h h h

чаем три уравнения, недостающих для определения пяти параметров отображения Sj , j = 1, 2, ... 5:

Re[f(\) - f(-\)]-а = 0; (8)

Re[f(a4) - f(a2)]-12аж = 0; (9)

Re[f(a2) - f(-\j]-~a = 0. (10)

Теперь необходимо решить систему из пяти нелинейных уравнений (5), (6), (8)^(10) относительно пяти параметров отображений. Основная трудность при решении этой системы методом Ньютона - это упорядоченность параметров:

- \ < a\ < a2 < a3 < a4 < a5 < \.

ISSN 2227-2917 (print) Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость Том 8, № 1 2018

ISSN 2500-154X (online) Proceedings of Universities. Investments. Construction. Real estate Vol. 8, No. 1 2018

\63

Дело в том, что итерации метода регулярно нарушают эту упорядоченность. Для ее сохранения воспользуемся приемом, предложенным в [5, 6]. Введем новые переменные:

а - а —

Ь = Iп-¡--^, г = 1,5 , а0 =-1, а6 = 1. (11)

аг+1 - аг

Обратим последние равенства к переменным ai, для этого решим следующую систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей

аг - аг1 - еЬг (аг+1 - аг) = 0 , где г = 1,5 . Решив эту систему уравнений в пакете Ма^ета^са, получим

аг = ^(Ь ,Ь2,... ,Ь5), г = 15. (12)

Здесь функции Gi построены в явном аналитическом виде.

Теперь, принимая во внимание равенства (12), преобразуем систему уравнений (5), (6), (8)^(10), решив которую, найдем параметры отображения. Отметим, что переменные Ь являются неупорядоченными, но любой их набор дает упорядоченный набор переменных а; . При применении метода Ньютона к преобразованной системе в качестве нулевого приближения просто выбирались нулевые значения переменных Ь, и при этом процесс итераций всегда сходился. Таким образом, у нас есть возможность построить функцию

t - а3

и конформное отображение

г(г) = А\/(1)-/(-1)]. (13)

f(t) = jF(t)dt = aln(t - a,) - a ln(t - a5)--— +1

Теперь вычислим присоединенный расход через щелевые отверстия в стенках воздуховода. В параметрической плоскости мы имеем источники в точках А1 (г = а1); А3 (г = а3); А7 (г = <х>) и сток в точке А5 (г = а5). Комплексный потенциал w = р + г у такого течения будет равен

Я, , I + % + Я К / I Я2 , , w = 1п(г - а )--1-1п(г - а ) + 1п(г - а ) , (14)

т 1 т 5 т 3

где р, у - потенциал и функция тока течения; % и %2 - расходы через соответствующие щелевые отверстия; % = к - транзитный расход. Найдем производную

^ _ Я % + %2 + Я + %2

dt m(t - aх) m(t - a5) m(t - a3)

dw

)чках a0,a2 скорости ограничены и, значит,

уравнений

В точках A,A2 скорости ограничены и, значит, — = 0. Решаем систему

dt

—(t=-1) = q - q+q+q + q2 = 0.

dt m(-1 - a,) m(-1 - a5) m(-1 - a3)

dW(t = a2) =_q__qi + q2 + q +^2_= 0

dt m(a2 - ax) m(a2 - a5) m(a2 - a3)

относительно q1 и q2. В результате находим

q =

q(a3 - a1 )(a5 - a1) (1 + a1 )(a2 - a1)

q2 =

q(a3 +1 )(a3 - a2 )(a1 - a5) (1 + a1 )(a2 - a1)(a3 - a5)

Теперь мы можем вычислить присоединенный расход, который представим в безразмерном виде

C = q + q2 = (аз - g)(a5 - g) + (аз + 1)(аз - a2)(a^ - a5)

q q (1 + a1 )(a2 - a1) (1 + a1 )(a2 - a1 )(a3 - a5)

(15)

Результаты

На рис. 2 приведен график зависимости Сд от геометрии устройства. Минимум Сд имеет место для оппозитных отверстий. С увеличением разбежки между

щелями присоединенный расход стремится к постоянному значению.

Зная комплексный потенциал (14) и формулу конформного отображения (13), далее можем построить линии тока течения в физической области.

На рис. 3, а показана картина течения для разных расположений и размеров щелевых отверстий.

Задача решалась также численно в программном комплексе Flow3d. Система уравнений плоского турбулентного движения замыкалась с помощью «стандартной» к-в -модели; при моделировании течения у стенок воздуховода в пограничных слоях использовались стандартные пристеночные функции. Граничные условия формулировались аналогично тому, как это сделано в предыдущем сообщении.

Рис. 2. График зависимости присоединенного расхода от разбежки между щелями

l1 = 1, l2 = 0.5

Fig. 2. Graphics of the dependence of the connected flow on the gap between the slits

J1 = 1, l2 = 0.5

Результаты вычисления присоединенного расхода показаны на рис. 2. Можно констатировать хорошее соответствие аналитического и численного расчетов. Картины течений, построенные с помощью пакета программ Flow3d, приведены на рис. 3, б.

/,=1,/2=0.5,/з=1 /i = l,/2=0.5,/3=1

Рис. 3. Линии тока течения: а - аналитическое решение в программе NDSolve пакета Mathematica; б - численное решение в программе Flow3d Fig. 3. Lines of current flow: a - analytical solution in the NDSolve program of package Mathematica; б - numerical solution in Flow3d

Заключение

Сравнение результатов, полученных аналитическим и численным методами, показывает, что значения присоединенного расхода практически совпадают. Интенсивность всасывания минимальна при оппозитном расположении отверстий,

с увеличением разбежки она возрастает. Начиная с расстояния 13 = 2, она достигает максимального значения и далее остается постоянной. То есть можно утверждать, что при 13 > 2 взаимовлияние щелей исчезает.

Численный метод позволяет получить более физичную картину течения и, в частности, определить геометрию застойной зоны, образующейся при срыве потока с острых кромок.

В рамках используемой аналитической модели форма застойной зоны не определяется.

Работа Маклакова Д.В. поддержана РФФИ (проект 15-01-2016).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Logachev I., Logachev K., Averkova O. Local Exhaust Ventilation. Aerodynamic Processes and Calculations of Dust Emissions. CRC Press, 2015, 564 p.

2. Маклаков Д.В., Посохин В.Н., Вар-сегова Е.В. Расчет течения вблизи всасывающей щели в стенке воздуховода // Труды Академэнерго. 2016. № 3. С. 108-113.

3. Gurevich M.I. The Theory of Jets in an Ideal Fluid, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, Elsevier, 2014, vol. 93.

4. Schinzinger R. and P.A.A. Laura, 2012. Conformai Mapping: Methods and Applications. 1st Edn., Dover Publications, New York, 624 p.

5. Elcrat A.R., Trefethen L.N. Classical free streamline flow over a polygonal obstacle. J. Comput. and Appl. Math. 1986, vol. 14, pp. 251-265.

6. Maklakov D.V., Suleymanov S.Z. Jet impingement on a wall of arbitrary configuration. Fluid Dynamics, 2014, vol. 49, no. 4, pp. 417427.

REFERENCES

1. Logachev I., Logachev K., Averkova O. Local Exhaust Ventilation. Aerodynamic Processes and Calculations of Dust Emissions. CRC Press, 2015, 564 p.

2. Maklakov D.V., Posokhin V.N., Varsegova E.V. Raschet techeniya vblizi vsasyvayushchei shcheli v stenke vozdukhovoda [Calculation of the flow near the suction gap in the duct wall]. Trudy Akade-menergo [Proceedings of Akademenergo]. 2016, no. 3, pp. 108-113. (In Russian).

3. Gurevich M.I. The Theory of Jets in an Ideal Fluid, International Series of

Monographs in Pure and Applied Mathematics, Elsevier, 2014, vol. 93.

4. Schinzinger R. and P.A.A. Laura, 2012. Conformal Mapping: Methods and Applications. 1st Edn., Dover Publications, New York, 624 p.

5. Elcrat A.R., Trefethen L.N. Classical free streamline flow over a polygonal obstacle. J. Comput. and Appl. Math. 1986, vol. 14, pp. 251-265.

6. Maklakov D.V., Suleymanov S.Z. Jet impingement on a wall of arbitrary configuration. Fluid Dynamics, 2014, vol. 49, no. 4, pp. 417427.

Критерии авторства

Маклаков Д.В., Валитов Р.Р., Посохин В.Н., Сафиуллин Р.Г. имеют равные авторские права. Сафиуллин Р.Г. несет ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Contribution

Maklakov D.V., Valitov R.R., Posokhin V.N., Safiullin R.G. have equal author's rights. Safiul-lin R.G. bears the responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The authors declare no conflict of interests regarding the publication of this article.