CC BY
4Формирование и усиление сигналов
УДК 621.396
Исследование устойчивости преобразователя сигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций
Васильев Г.С., Курилов И.А., ХарчукС.М., Суржик Д.И.
Получены аналитические выражения области устойчивости линейного амплитудно-фазового преобразователя сигналов. Они позволяют исследовать параметрическую устойчивость при произвольном варианте построения устройства и произвольных типах и порядках фильтров его управляющих трактов.
Ключевые слова: преобразователь, кусочная функция, устойчивость.
Исследование различных радиотехнических устройств удобно проводить на основе обобщенной схемы амплитудно-фазового преобразователя сигналов (АФП) [1-4]. Для расчета конкретного устройства достаточно подставить соответствующие коэффициенты в конечные выражения соответствующего варианта АФП. Это позволяет исключить этапы составления уравнений, описывающие устройства, и решения данных уравнений с целью получения аналитических выражений конкретных характеристик. Что существенно упрощает анализ различных радиоустройств.
Вариантами АФП, в частности, могут быть представлены радиопередатчик сигналов с различными видами модуляции, схемы автоматических компенсаторов амплитудных и (или) фазовых искажений радиосигнала и др.
Обобщенный преобразователь сигналов (рис.1), состоит из последовательно соединенных АФП1, управляющего устройства (УУ) и АФП2, управляющих трактов (УТ12) и весового распределителя (ВР). Управляющее
устройство (УУ) управляет амплитудой и (или) фазой входного сигнала преобразователя. Каждый УТ содержит детектор отклонения амплитуды и (или) фазы сигнала, а также фильтр. Регулирование по возмущению (РВ) и отклонению (РО) осуществляется соответственно в трактах УТ1 и УТ2. Коэффициенты ВР определяют пропорции передачи сигналов с выходов УТ1 и УТ2 на управляющий вход УУ и позволяют формировать управляющий сигнал преобразователя.
На схеме обозначено и1 и и2 - входной и выходной сигналы АФП, иво - выходные сигналы УТ12, иу - управляющий сигнал.
Различные варианты построения преобразователя - с РВ, РО и комбинированным регулированием, получаем простым выбором значений соответствующих коэффициентов ВР. Так, для реализации схемы с РВ достаточно приравнять нулю коэффициент передачи сигнала ин на управляющий выход распределителя.
Одним из важнейших факторов, опреде-
ляющих эффективность работы преобразователя, является устойчивость устройства при возможных изменениях параметров его функциональных звеньев, в частности фильтров УТ12 (Фи). При параметрической устойчивости необходимо определение пределов допустимых изменений характеристик звеньев преобразователя.
Цель работы - получение аналитических выражений границ области устойчивости линейного обобщенного АФП произвольного порядка.
Рассмотрим преобразователь с единичными коэффициентами передачи АФП12. В общем виде передаточную функцию линейного преобразователя (рис. 1) удобно представить как [2]
у _ 1 - Ы1Ы1( р)
Н y ( p )=У-=-
(1)
X 1 + Ы2Ы2( рУ где х и у - параметры (амплитуда или фаза) входного и выходного сигналов, Ы1г2 -коэффициенты регулирования цепей РВ и РО, М12(р) - коэффициенты передачи Ф12 , р=сИ&- оператор.
Каждый коэффициент регулирования определяется как произведение крутизны и максимального размаха детекторной характеристики УТ, крутизны регулировочной характеристики по соответствующему параметру, коэффициента передачи отклонения на выход АФП и соответствующего коэффициента передачи ВР.
Устойчивость АФП определяется свойствами корней характеристического полинома -знаменателя (1). Чтобы исследовать свойства корней полинома, приравняем его к нулю
1 + Ы2Ы2(р) _ 0. (2)
Из (2) следует, что устойчивость АФП зависит только от параметров Ы1г2 и М2(р).
Исследуем устойчивость АФП при различных значениях N и различных фильтрах УТ2.
Преобразователь устойчив [5], если все корни уравнения (2) имеют отрицательную вещественную часть. Наличие хотя бы одного корня с положительной вещественной ча-
стью приводит к потере устойчивости. Если
(2) имеет хотя бы один чисто мнимый корень (p=jw), АФП находится на границе устойчивости, при этом вещественные части других корней должны быть отрицательны.
С учетом вышеизложенного, приняв в (2) p=jw и выразив N2, получим значение коэффициента РО, соответствующее границе устойчивости
N2 (w) = Re(N2)+j Im(N) = --1— .(3)
^2(JW)
Произвольному значению частоты ш соответствует комплексное значение N2. Так как коэффициент N2 - действительное число, условие для границы устойчивости преобразователя примет вид Im(N2 ) = 0. Согласно
(3), это условие выполняется если
Im[M2(j—)] = 0. (4)
Решение уравнения (4) позволяет найти значения корней шк , где k=0+(I-1) - номер корня, соответствующие границе устойчивости. Граничные значения коэффициента N2 получим подстановкой шк в (3).
При произвольной конфигурации и порядке Ф2 его комплексный коэффициент передачи удобно представить в виде
I I v
Mj) = А—= ¡f-= ¡=0-, (5)
B(jw) ЕВ (jw) Е j
¡=0 ¡=0
где I - порядок фильтра, a, b - коэффициенты фильтра.
Выделим в числителе и знаменателе (5) действительную и мнимую части
Aii = Re[A¡ (j w)] = a4— - bi¡+2—4i+2, Bii = Re [B (jw)] = b4— - b4i+2—4i+2, A2¡ = Im[Ai(jw)]= a4i+iw4i+1 - a4i+3w4i+3 , B2¡ = Im[Bí (jw)] = fi4Mw*M -b4i+3w4i+3. (6)
Тогда (5) с учетом (6) примет вид
Е (Ai¡ + jA2¡)
M2( jw) =-
Е (Bi¡+jB2¡)
¡=0
Ai + jA2 Bi + jB2
. (7)
i =0
Равенство нулю мнимой части (7) 1т[М2( ]а>)\ = 0 в соответствии с (4) определяет границу устойчивости АФП
Л2Бх - ЛхБ2 = 0. (8)
Граничным значениям Ы2 в (3) соответствуют корни уравнения (8). Найдем их.
Левая часть (8) представляет полином произвольной степени, его общее решение отсутствует. Обозначим
Г (а) = Л2Бх - ЛхБ2 (9)
и проведем аппроксимацию (9) на основе непрерывных кусочно-линейных функций (НКЛФ) [1]. Это позволит определить корни уравнения с любой заданной точностью. Зададим следующие параметры аппроксимации: диапазон изменения переменной от «0 до Юм, N - максимальный номер узла аппроксимации, ДЮ - шаг изменения переменной, п-текущий номер узла аппроксимации.
Тогда НКЛФ, аппроксимирующая функцию Д «) на интервале ю0+юпримет вид N-1
4(а) = X ГпШп(а), (10)
п=0
где Гп (а) = Кпа + Ьп - прямая, аппроксимирующая Дю) на участке юп^юп+1, Кп = [ Г(Ч+1) - Г(Ч)\/Д^ Ьп = Г(ап) - кпап-коэффициенты аппроксимации,
Да = (аМ -а0 )/ М,
1 1 1
О (а) = - Д X X (- 1)Я+1а - Ч - 1 а + Д(1 -1) -
2 Д 1=0 1=0
НКЛФ включения, формирующая аппроксимирующий отрезок прямой, А - произвольно малое число, 1, 1- коэффициенты. Функция Оп (а) принимает значение 1, если ее аргумент принадлежит участку п, и 0 - в противном случае.
Корни полинома (10) определим, как точки пересечения аппроксимирующих прямых Г„(ю) с осью абсцисс, то есть Гп (акп) = 0
(11)
В результате получаем N корней. Из полученных решений необходимо исключить значения акп, которые расположены за пре-
акп =-Ьп /Кп .
делами интервала и являются «лож-
ными». Соответствующая функция включения для таких точек равна нулю, а для истинных корней Оп (акп) = 1. Чтобы исключить «ложные» значения ак п достаточно (11) умножить на Оп (¿Укп)
«кп = «кп°п («кп ). (12)
Всего получаем /истинных корней юк. Граничные значения М2к для каждого истинного корня получим подстановкой (12) в (3)
N =--1-. (13)
2к М1(]ак) 1 '
Согласно (2), преобразователь с РВ (N2=0) абсолютно устойчив. Следовательно, значение N2=0 принадлежит области устойчивости АФП. Таким образом, чтобы найти ее границы, необходимо из всех значений (13) выбрать одно отрицательное и одно положительное, ближайшие к нулю.
Обозначим N2 и N2 - нижнюю и верхнюю границы диапазона значений N2, в котором АФП сохраняет устойчивость. Т.е. областью устойчивости является отрезок
N2 < N2 < N2 .
Нижнюю границу N2 определим, как максимум всех отрицательных значений #2к
Щ = max{N2к[1 - q(N2^Ц, (14)
где q(N2k) = 2Д[^к +Д|-(N^1 + Д\ - НКЛФ
включения, принимающая значение 1 при N2k >0 и 0 при N2к <0. Множитель
1 - q(N2k) в (14) исключает положительные корни.
Верхняя граница N2 соответствует минимуму всех положительных значений N2k
N2 = тт^ q( N^1. (15)
В качестве примера выполним расчет области устойчивой работы преобразователя, когда в качестве Ф2 используется фильтр нижних частот (ФНЧ) 5-го порядка с передаточной функцией М2( р) = 1/(1 + Тр)5, где Т -
постоянная времени фильтра. Коэффициенты Ф2 (5) принимают значения а0=1, а1+5=0, во= 1, в1=5 Т ß2= 10 Т2, вз=10Т3 , в4=5 T4, ß5= Т5.
Подставив значения коэффициентов в (6) и (7), получим
А1(ю)=1, Л2(ю)=0, В1(Ш)=5Т4Ш 4 - 10 T 2а> 2 -1, В2(ю)=Т5ю 5 - 10Тъш 3 + 5 То.
Полином (9) примет вид Дс)= —Тсо + +10 Тъа> 3 - 5 Тсо. Примем Т=1с и осуществим аппроксимацию полинома в диапазоне переменных w0 = 0 с-1, wN = 4 c-1, N=100,
= 0,04 с-1. Из всех N=100 корней (11) определим истинные корни (12): Щ = -3,078c-1, Щ = -0,727c-1, Щ = 0, w4 = 0,727c-1, w5 = 3,078c-1, Щ = 3,078c-1. Значения N2k, соответствующие корням (13), равны N20 =-354885, N21 = 2885, N22 = -1, N23 = 2885, N24 =-354885. Получим по (14) N1 =-1, по (15) N2 = 2,885 . Следовательно, область устойчивости преобразователя с ФНЧ 5-го порядка в УТ2 представляет отрезок -1 < N2 < 2,885 .
Аналогично проводится анализ устойчивости АФП и с фильтрами других порядков.
Проверка устойчивости преобразователя по критерию Рауса-Гурвица подтвердила
Поступила 14 февраля 2012 г.
правильность представленных результатов. В итоге получены выражения (14) и (15) определяющие границы диапазона значений коэффициента регулирования по отклонению, соответствующего устойчивой работе АФП. Применение НКЛФ позволяет исследовать устойчивость произвольного варианта преобразователя с различными типами фильтров.
Литература
1. Курилов, И.А. Анализ устройств амплитудно-фазового преобразования сигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций. - Радиотехника. 2006.- № 11. С. 55-60.
2. Курилов, И А. Передаточные характеристики нелинейного преобразователя сигналов / И.А. Курилов, Г.С. Васильев, СМ. Харчук //Вопросы радиоэлектроники, сер. Общетехническая.-2010.- Вып. 1. С. 80-84.
3. Курилов, И А. Статические режимы амплитудно-фазовых преобразователей при воздействии дестабилизирующего фактора/ И.А. Курилов, Г.С. Васильев, СМ. Харчук // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. -2011.-№ 2. С. 15-19.
4. Курилов, И А. Исследование статических режимов преобразователей сигналов при внутренних возмущениях/ И А. Курилов, Г.С. Васильев, СМ. Харчук // Вопросы радиоэлектроники. 2010. -Т.1. -№ 1. С. 75-79.
5. Воронов А.А. и др. Основы теории автоматического регулирования и управления. Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 1977. - 519 с.
Analytical expressions of area of stability of the linear amplitude-phase signal converter are obtained. They allow to research parametric stability for arbitrary variant of device construction and arbitrary types and orders of filters of its control paths.
Key words: converter, piecewise function, stability.
Курилов Игорь Александрович - к.т.н., доцент, профессор кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Васильев Глеб Сергеевич - аспирант кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Харчук Светлана Михайловна - ассистент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Суржик Дмитрий Игоревич - студент Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
E-mail: kia_s@list.ru, vasilievgleb@yandex.ru, arzerum@mail.ru.
