CC BY
6УДК621.396
Корреляционный анализ преобразователя сигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций
Курилов И.А., Романов Д.Н., Васильев Г.С., Суржик Д.И.
Получено аналитическое выражение автокорреляционной функции выходного сигнала преобразователя на основе непрерывных кусочно-линейных функций. Оно позволяет проводить расчет при произвольном варианте построения преобразователя и произвольных фильтрах его управляющих трактов.
Ключевые слова: автокорреляционная функция, преобразователь сигналов, непрерывная кусочнолинейная функция.
Применение схемы амплитудно-фазового преобразователя сигналов (АФП) [1,2]
позволяет упростить анализ различных радиотехнических устройств. При этом не требуется составлять уравнения конкретного устройства и решать их для получения аналитических выражений характеристик. Такой подход существенно снижает трудоемкость исследования радиоустройств различного назначения.
Обобщенная структурная схема преобразователя сигналов представлена на рис.1. В ее состав входят: АФП 1,2, аналогичные обобщенному преобразователю, управляющее устройство (УУ), управляющие тракты (УТ12) и весовой распределитель (ВР). Каждый УТ образован последовательно соединенными детектором отклонения амплитуды и (или) фазы) входного сигнала, а также фильтром. УУ управляет амплитудой и (или) фазой выходного сигнала АФП. УТ1,2 формируют управляющий сигнал. Коэффициенты передачи ВР определяют пропорции передачи сигналов с выходов УТ1,2 на управляющий вход УУ. Так, для варианта построения преобразователя с регулированием по возмущению коэффициент передачи ВР выходного сигнала УТ2 равен нулю. АФП с комбинированным
регулированием имеет ненулевые коэффициенты регулирования обоих трактов. Схема обобщенного преобразователя может эквивалентно представлять устройства автокомпенсации фазовых помех, автоподстройки фазового набега в усилителях и др.
На схеме обозначено: /^(0,/еъМ) - входной и выходной сигналы АФП. Обозначим х(0 и у(0 - отклонения параметров (амплитуды или фазы) входного и выходного сигналов АФП.
Операторные передаточные функции АФП для параметров входного и выходного сигналов Н(р) рассмотрены в [3, 4]. Заменой р ^ ]ю получаем комплексную передаточную функцию (КПФ) преобразователя Н(]'т). На практике возмущения, действующие на преобразователь, могут иметь случайный характер. Спектральную плотность входного стационарного случайного процесса с нормальным распределением обозначим 5Х(®). Тогда спектральная плотность отклика
5^ (а>) = 5(а>) примет вид
5 («) = 5 («) • | Н (]а>)\\ (1)
Согласно теореме Винера-Хинчина, автокорреляционная функция (АКФ) выходного процесса преобразователя Лу(т), где т - сдвиг выходного процесса во времени, связана с его
амплитудным спектром Б(ш) обратным преобразованием Фурье:
Ку (*) = (2)
Расчет корреляционной функции может быть связан с громоздкими вычислениями, так как в общем случае интеграл Фурье не имеет аналитического решения. Аппроксимация спектра выходного процесса на основе НКЛФ позволяет получить обобщенное выражение АКФ в аналитическом виде, более удобном при исследовании, чем численное решение, и сократить вычислительные затраты.
Приведем (2) к тригонометрической форме и учтем четность Б(ш):
Яу (т) = —1S(а>)со$(а>т)Лю. Ж п
(3)
Перейдем в подынтегральной функции (3) от Б(ю) к её производной йБ (ю)/йю:
п / ч 1 }йБ(®) . , ч,
Я (т) =-----------1 —— $т(ап)йа. (4)
у а' йю
Обозначим X = 1пю, где X - логарифмическая частота. Для неё
йБ(ю) = йБ(ю) йЛ йБ(ю) ± йю йЛ йю йЛ ю
Для вывода аналитического выражения Яу(т) аппроксимируем Б(<а) суммой логарифмических НКЛФ [5] трапецеидальной формы (рис. 2). На рисунке обозначено п - текущий номер узла аппроксимации, а0п - значение коэффициента аппроксимации в текущем узле аоп=Б(Лп)-Б(Лп+1 ), где Л и Лп+1 - начальная и конечная частоты наклонного участка НКЛФ в узле с номером п, п=0...^-1, N - максимальный номер узла аппроксимации, Ах=1п(юп+0-1п(юп)= Лп+1-Лп - полоса частот наклонного участка.
Поскольку йБ(ю)/йЛ=ооп81 и отлична от нуля только в пределах наклонного бедра аппроксимирующей НКЛФ Ле [Лп;Лг+\], выражение для АКФ выходного процесса преобразователя (4) примет вид
і N-1
Я (т) = —I
жт П=0
^ (а(ап1) - Бі(щ)) А,
, (5)
где Бі - интегральный синус.
Нормированная АКФ равна
Гу(т) = Я (т)/Я (0).
Интервал корреляции т0 определяется как значение сдвига, с превышением которого для всех т выполняется условие |гу(Т)|<0, і.
Частотные характеристики изменяются наиболее быстро при малых значениях частоты отклонений параметров и медленно - при больших. Для уменьшения погрешности проведем аппроксимацию характеристик с фиксированным шагом для логарифмического масштаба частоты Ад и затем перейдем к линейному масштабу частоты для полученных значений ,п
С0п = ехр^п К (7)
где Л=пАЛ+Л - значение логарифмической частоты в п-м узле, ,0 - начальное значение участка аппроксимации.
Параметры аппроксимации определяем, исходя из границ исследуемого диапазона А, = Лм -Л)/N, Л = 1п(^) . Диапазон аппроксимации выбирается в соответствии с диапазоном, в котором сосредоточена основная энергия выходного сигнала, число узлов аппроксимации - в соответствии с допустимой погрешностью расчета АКФ и необходимым временем расчета.
Выполним расчет АКФ выходного процесса преобразователя при воздействии белого шума. Примем спектральную плотность шума Бх(&»)=1, а коэффициенты передачи АФП12 и ВР равными единице. Исследование проведем для АФП с регулированием по возмущению и
Рис. 4.
фильтром верхних частот (ФВЧ) первого порядка в УТ.
Согласно [3], КПФ преобразователя имеет вид H(jaW=1/(1+ja)T), где Т - постоянная времени ФВЧ УТ. Тогда согласно (1) спектр выходного процесса Б(a})=\H(jaWf=1/(1+c$T2). В соответствии с выражением (3) получим АКФ выходного процесса преобразователя в в аналитическом виде: Яу(т)=етт. А по выражению (6) - нормированную АКФ
гу(Т)=Яу(Т)=е~тт. (8)
После аппроксимации Б(ш) (диапазон
о=10"3100, число аппроксимирующих трапеций N=20) и подстановки полученных коэффициентов аппроксимации а0п в (5) выполним расчет АКФ. Узлы аппроксимации найдем по (7).
Исследования показали, что максимальная величина ошибки расчета АКФ по выражению (5) по сравнению с аналитическим расчетом (8) не превышает 1%.
Аналогично исследуем АКФ выходного процесса преобразователя с комбинированным регулированием и с двумя типами фильтров - фильтрами нижних частот 1, 2 и 3-го (ФНЧ1, ФНЧ2 и ФНЧ3), а также с пропорци-онально-интегрирующими фильтрами 1, 2 и 3-го порядков (ПИФ1, ПИФ2 и ПИФ3). Фильтры в обоих управляющих трактах полагаем одинаковыми. Каждый фильтр второго и третьего порядков образован последовательным соединением соответствующих типов фильтров первого порядка. Передаточная функция ФНЧ имеет вид МН(/а)=( 1 /(1 +/'юТ)/, КПФ ПИФ МП(/ а)=((1+/ юпТ)/(1+/ аТ))1, где I- порядок фильтра, т - коэффициент пропорциональности ПИФ.
Нормированные АКФ выходного процесса, построенные по выражениям (6) и (7) для
АФП с ФНЧ1, ФНЧ2 и ФНЧ3, а также с ПИФ1, ПИФ2 и ПИФ3, представлены на рис. 3,4,5 и рис. 6,7,8, соответственно.
Для каждого ПИФ значение т принято равным 0,5.
Корреляционная функция является четной функцией т, поэтому на графиках показана только ее правая ветвь т>0. Как видно из рис. 3 - 8, интервал корреляции т0 возрастает с увеличением порядка фильтра. На рис. 4, 5 на графиках АКФ есть диапазоны с отрицательной корреляцией, где гу(Т)<0. Их наличие обусловлено квазигармоническими колебаниями на выходе преобразователя [6].
Рассмотренный метод может быть использован для корреляционного анализа радиоустройств на основе конечных выражений АФП с фильтрами и более высокого порядка при воздействии стационарного случайного процесса. Полученные выражения содержат только элементарные операции. Это делает удобным применение обобщенного выражения для корреляционной функции в цифровых спецвычислителях.
Литература
1. Курилов, И.А. Динамические характеристики амплитудно-фазового преобразователя на основе непрерывных кусочно-квадратичных функций / И.А.Курилов, Г.С.Васильев, С.М.Харчук // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. - 2011. - № 3. - С. 21-24.
2. Васильев, Г.С. Исследование устойчивости преобразователя сигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций / Г.С. Васильев, И.А. Курилов, С.М. Харчук, Д.И. Суржик // Радиотехнические и телекоммуникационные системы, 2012. - № 1. - С. 4-7.
3. Курилов, И.А. Передаточные характеристики нелинейного преобразователя сигналов / И.А.Курилов, Г.С.Васильев, С.М. Харчук // Вопросы радиоэлектроники. - 2010. - Т. 1. - № 1. - С. 80-84.
Рис.5. Рис. б.
Рис.?. Рис. 8.
4. Курилов, И.А. Анализ динамических характеристик преобразователей сигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций / И.А. Курилов, Г.С. Васильев, С.М. Харчук // Научнотехнический вестник Поволжья. - 2010. - № 1. - С. 100-104.
5. Курилов, И.А. Цифровые вычислители функций на основе непрерывных кусочно-
Поступила 23 апреля 2012 г.
Analytical expression of an autocorrelation function of an output signal of the transformer on the basis of the continuous piecewise linear functions is received. It allows to carry out calculation in case of arbitrary option of creation of the transformer and arbitrary filters of his managing directors of paths.
Keywords: автокорреляционная функция, преобразователь сигналов, непрерывная кусочнолинейная функция.
Курилов Игорь Александрович - к.т.н., доцент, профессор кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Романов Дмитрий Николаевич - к.т.н., доцент, доцент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Васильев Глеб Сергеевич - аспирант кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Суржик Дмитрий Игоревич - студент Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
E-mail: kia_s@list.ru, vasilievgleb@yandex.ru, arzerum@mail.ru.
линейных функций / И.А.Курилов, Д.Н. Романов // Вопросы радиоэлектроники - 2010. - Т. 1. - № 1. -С. 85-89.
6. Бокс, Дж. Анализ временных рядов, прогноз и управление: Пер. с англ. / Дж.Бокс, Г.Дженкинс // Под ред. В.Ф. Писаренко. - М.: Мир. - 1974, кн. 1. - 406 с.
