CC BY
6УДК 621.396
Динамические характеристики амплитудно-фазового преобразователя на основе непрерывных кусочно-квадратичных функций
Курилов И.А., Васильев Г.С., Харчук С.М.
На основе непрерывных кусочно-квадратичных функций получены аналитические выражения динамических характеристик амплитудно-фазового преобразователя спектральным методом. Построены графики динамических характеристик преобразователя и определены ошибки анализа схем.
Ключевые слова: амплитудно-фазовый преобразователь, непрерывные кусочно-квадратичные функции, динамическая характеристика.
Применение обобщенных схем амплитуднофазовых преобразователей (АФП) [1,2] позволяет проводить анализ конкретных радиотехнических устройств с использованием конечных выражений АФП.
Схема АФП включает в себя управляющее устройство, которое осуществляет управление амплитудой и (или) фазой входного сигнала, управляющие тракты (регулирования по возмущению и по отклонению), соединенные с входом и выходом преобразователя, и весовой распределитель, соединенный с выходами трактов. Каждый управляющий тракт состоит из детектора отклонения амплитуды и (или) фазы сигнала и фильтра.
Применение аппарата непрерывных кусочно-линейных функций (НКЛФ) [3] позволяет кусочно линеаризовать систему при сохранении характера её нелинейности.
В [2] рассмотрены динамические характеристики (ДХ) преобразователя сигналов. Для получения аналитического выражения ДХ требуется нахождение корней характеристического уравнения. В общем виде это связано со значительными трудностями. Применение спектрального метода и непрерывных кусочно-квадратичных функций (НККФ) позволяет избежать процесса нахождения корней характеристического уравнения.
Целью работы является исследование возможности применения НККФ для исследования ДХ преобразователя сигналов на основе спектрального метода.
В [1] рассматриваются операторные (оператор р) передаточные функции АФП Н (р).
Заменой р^]ю получаем комплексную передаточную функцию преобразователя Н(/®).
Пусть на вход АФП воздействует сигнал
(*), спектр которого (}Ю) .
Тогда спектр выходного сигнала 8вых(7®) = Явх(7®) •Н(7®)- (1)
Для нахождения выходного сигнала в форме временной функции 8еых^) ^ 8еых(]'а) м°-жет быть применено обратное преобразование Фурье. Однако в общем случае при сложной форме спектральной плотности Бвых(]а) это требует громоздких вычислений, так как интеграл Фурье не может быть решен в аналитическом виде. Для вывода аналитических выражений для выходного сигнала во времени необходимо применить аппроксимацию спектра. Выбранный метод аппроксимации должен обеспечивать высокую точность представления исследуемой зависимости, а также удобство реализации в цифровых устройствах.
НККФ представляет собой сумму парабол (квадратичных полиномов). Каждая парабола задается в соответствующем ей интервале. Причем за пределами своего интервала значение параболы равно нулю. Выбор требуемого интервала аппроксимации осуществляется автоматически. «Склеивание» парабол в узлах аппроксимации обеспечивается выбором соответствующих коэффициентов аппроксимации для соседних интервалов. Таким образом, аппроксимация спектра выходного сигнала на основе НККФ позволяет получать аналитические выражения ДХ преобразователей сигналов, более удобные при исследовании, чем численные решения. Благодаря своей гладкости НККФ обеспечивает более высокую точность аппроксимации по
сравнению с линейными функциями. Кроме того, сокращаются вычислительные затраты благодаря переходу к аналитическим выражениям, содержащим только арифметические операции, функции синус и косинус.
В общем случае спектральную плотность выходного сигнала можно представить в виде действительной ^1(®) и мнимой S2(®) составляющих
8вых (7®) = ^(®)- А(®). (2)
В [4] показано, что для нахождения 8въ1х (¿) достаточно использовать только одну составляющую. Поскольку результаты расчета в обоих случаях совпадают, ограничимся действительной составляющей 2
у (^) = — | ^1(®) со8(® )йа +
п 0+
1 Q+
H— I S1(a)cos(at )da.
П Q-
Рассмотрим (3). Для вывода аналитических выражений y(t) применим аппроксимацию S\(®) на основе суммы парабол ап (®), где п - номер параболы
5i(®) = ^ап (®). (4)
п
Существование каждой параболы только в собственном интервале аппроксимации и обнуление за его границами достигается применение включающих НКЛФ Qn(®)
ап(®) = К®2 -bn® + сп)Qn(®) (5)
где aп, Ьп, оп - коэффициенты п-й параболы,
11
a (a=kzz(— і)
m+r
m=Q y=Q
a-an — rK —
m
НКЛФ включения [2], равная 1 в интервале [ш„; юи+1] и 0 вне интервала, Ка - крутизна боковых составляющих НКЛФ,
Ап = ®п+1 -юп - текущее значение шага.
Чтобы обеспечить непрерывность НККФ в п-м узле, необходимо выполнение условий
апюП - Ьпшп + сп = Ап
an™n+1 - bnVn+1 + Cn = An+1
n n+2 n n+2
Ап = ап(юп) - значение функции ап(®) в узле аппроксимации юп.
При попарно различных юп, юп+1, юп+2 (условие на практике всегда выполняется) система имеет единственное решение
a„ = —
A .+ An+1 +. An + 2
2Kan-1 an-lan+1 2Л nan+1
b = — Anan+2 + 2 An+lan+1 + An+ 2an+1 (б)
n 2Лnan—1 an—lan+1 2Л nan+1
C = An Л na
n+2 + 2 An +1 anan+1 + An+^nan
+
+
2А п®п-1 ®п-1®п+1 2А п®п+1
При аппроксимации (5) второе слагаемое в (3) равно нулю. Упростим (3):
2 п ■
о
Подставим (5) в (6):
2 ®п+\,
П ‘
2
y(t) = — I S1 (a) cos(at)da . (7)
П J
í \ 2 an+\, V
(3) y(t) =— Z i(anan2 — bna„ + cn )cos(a)da .(S)
Раскрывая скобки в (8), получим три табличных интеграла
J cos axdx =1 sin(ax), a
I x cosaxdx =
cos(ax) x sin ax
+ -
(9)
I x2 cos axdx =
cos(ax) x sin ax
+
а а
Преобразовав (8) с учетом (9) и применив формулы разности синусов и косинусов, окончательно запишем 2
Уп (t ) =-ZYn+l(t ) — Yn(t ^
где r„+l(t ) =
cosan+lt
t
(1Q)
(2an^n+1 — bn ) —
2a
t
2- + bn^n+1 — Cn I sin an+1t + an+1,
cos œnt( ч
Yn (t) =----— \2an^n — bn ) —
2a
t
-T + bn™n — Cn I sin VJ + OJn .
nn
Обычно изменение функции S1(®) происходит медленно, поэтому для повышения точности при заданном числе узлов аппроксимации целесообразно перейти к представ-
2
a
a
n
n
лению частотной характеристики как функции логарифмической частоты Л = 1п о.
Получим выражения для определения узлов аппроксимации по логарифмическому закону
Лп = ДЛ ‘ п + ^Л , (11)
где п =0+№1 - номер узла аппроксимации, N - число узлов аппроксимации, ДЛ и 8Л - шаг и начальное значение логарифмической частоты. Расчет узлов по логарифмическому закону позволит уменьшить погрешность при заданном числе узлов или число узлов аппроксимации при заданной погрешности, поскольку действительная составляющая спектра выходного сигнала аппроксимирована с большей точностью в области низких и средних частот, где частотная характеристика изменяется наиболее быстро.
Параметры аппроксимации определяем исходя из значений границ исследуемого диапазона частот Зт.,.. окоп
Дл = -1п(° $л= що (12)
N — 1
Диапазон частот аппроксимации выбирается в соответствии с диапазоном, в котором сосредоточена основная энергия выходного сигнала, число узлов аппроксимации - в соответствии с допустимой погрешностью расчета динамических характеристик и требуемым временем расчета.
Параметры аппроксимации а>п и Дп для выражений (12) и (13) получим, переходя от логарифмической частоты Л к линейной
о = еЛ,
Д п = вЛп" — еЛ = е6л(ейЛ"+1) — еДлп ) .(13)
Рассмотрим переходные характеристики АФП с регулированием по возмущению с единичным коэффициентом регулирования [2] и с ФВЧ первого порядка в управляющем тракте. Обозначим постоянную времени ФВЧ Т , тогда передаточная функция АФП Н(/о) = 1 + 1 Т •
1 + /оТ
Пусть входным сигналом АФП является дельта-функция [4]
[да, t = 0
S„(t) = *(t) = |0’t ^ 0, Sex(ja) = 1.
Тогда составляющие спектра выходного сигнала(2)
1
Se*x ( jo)
1 + jaT
Si(o) = 7“W- S 2 (o) = • 0T
1+ 0Тг ' *' ' 1 + о2Т2 '
Проведем расчет ДХ по выражению (10) с учетом (6) и (13).
Примем ю0 = 10-3 с-1, = 100 с-1.
На рис. 1 представлены графики функции ЗвЬіх1(і) и функции, полученной операторным
[4] методом (£вых2(0). Графики в масштабе рисунка совпадают.
0,5
I 1 • • • • • • • • • •
• • • \ "••••••II ♦♦♦♦нищ
2 3 4 5
Рис. 1.
î/T
На основе полученных численных значений рассмотрим зависимость среднеквадратической ошибки (СКО) расчета ДХ от числа аппроксимирующих функций N.
Графики СКО при расчете ДХ на основе НККФ по выражению (10) (пунктирная линия) и графики СКО при расчете на основе НКЛФ
[5] (сплошная линия) изображены на рис. 2. Характер изменения СКО от N для обоих методов исследования аналогичен. Из графиков следует, что при N<50 применение НККФ позволяет до 2-х раз повысить точность расчета. При N>50 разница в точности уменьшается.
Рассмотренные методы могут быть использованы для исследования АФП и более высокого порядка при произвольных входных сигналах, что не потребует заметного роста вычислительных затрат. Полученные выражения содержат только элементарные операции. Это делает удобным применение
СКО
Q.Q4
Q.Q3
Q.Q2
0.01
0
1 10 100
N
Рис.2.
обобщенных выражений ДХ преобразователя сигналов в цифровых спецвычислителях.
Литература
1. Курилов, И.А. Исследование переходных процессов амплитудно-фазовых преобразователей спектральным методом на основе НКЛФ /
И.А. Курилов, Г. С. Васильев, С.М. Харчук // Методы и устройства передачи и обработки информации: Межвуз. сб. научн. тр. - Вып. 11 / Под ред.
В.В. Ромашова, В.В. Булкина. - М.: Радиотехника,
2009. - С. 72-78.
2. Курилов, И.А. Динамические характеристики линейного амплитудно-фазового преобра-
Поступила 15 апреля 2011 г.
On the basis of continuous piecewise square-law functions analytical expressions of dynamic characteristics of the Amplitude and phase converter by a spectral method are obtained. Schedules of dynamic characteristics of the converter are constructed and errors of the analysis of schemes are defined.
Key words: converter, piecewise function, static characteristics.
Курилов Игорь Александрович - кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры радиотехники Муромского института (филиала) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Васильев Глеб Сергеевич - аспирант кафедры радиотехники Муромского института (филиала) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Харчук Светлана Михайловна - ассистент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
E-mail: kia_s@list.ru.
зователя произвольного порядка // Радиотехника-2009. - №6. - С.31-35.
3. Курилов, И.А. Передаточные характеристики нелинейного преобразователя сигналов / И.А. Курилов, Г.С. Васильев, С.М. Харчук // Вопросы радиоэлектроники, сер. Общетехническая.- 2010. - Вып. 1. - С. 80-84.
4. Поливанов, К.М. Теоретические основы электротехники / К.М. Поливанов. - М.: Энергия, 1972. - Т. 1. - 426 с.
5. Курилов, И.А. Анализ динамических характеристик преобразователей сигналов на основе непрерывных кусочно-линейных функций / И. А. Курилов, Г.С. Васильев, С.М. Харчук // Казанская наука. - №8. - Вып. 1. - 2010 г. - С. 140-144.
