CC BY
6УДК 621.396.96
Автоматизированный поиск узлов аппроксимации адаптивной функции для построения траектории движения воздушного объекта
Курилов И.А., Васильев Г.С., Павельев Д.В., Харчук С.М.
Проведен анализ методов поиска узлов аппроксимации для непрерывных кусочно-линейных функций. Приведены результаты исследования и определен оптимальный способ поиска узлов аппроксимации.
Ключевые слова: радиотехническая система, имитация движения, аппроксимация, непрерывные кусочно-линейные функции.
Введение
Для обучения расчетов и тестирования радиолокационных станций (РЛС) используются системы построения траектории движения воздушного объекта (ВО). Вместо реальной воздушной обстановки вводятся сигналы, имитирующие отражения от ВО. Заданная траектория аппроксимируется аналитическим выражением [1].
Актуальность задачи аппроксимации сложных характеристик обусловлена рядом недостатков известных методов, в частности-громоздкостью математического представления аппроксимирующей функции (полиноминальная, полиэкспоненциальная, сплайны) и трудоемкостью процесса поиска коэффициентов аппроксимации. Причем громоздкость выражений и трудоемкость процесса пропорциональны требуемой точности аппроксимации.
Постановка задачи
Непрерывные кусочно-линейные функции (НКЛФ) [2, 3] требуют меньших вычислительных затрат, функции непрерывны во всей области определения и содержат только модули линейных функций.
В тоже время использование для аппроксимации равномерной НКЛФ (РНКЛФ), узлы которой располагаются с равным шагом, в задаче построения траектории движения ВО не всегда оптимально, т. к. при аппроксимации функции, изменяющей характер нелинейности между соседними узлами, фиксированный шаг аппроксимации приводит к росту погрешности.
Уменьшить погрешность аппроксимации при заданном количестве узлов позволяет использование адаптивной НКЛФ, (АНКЛФ) [4,5], обладающей равной погрешностью на каждом участке аппроксимации. Её шаг «подстраивается» (адаптируется) под изменение характера нелинейности исходной характеристики.
Целью работы является исследование и поиск оптимального алгоритма определения узлов аппроксимации НКЛФ
Решение
Автоматизированный поиск и расчет узлов аппроксимации предлагается производить двумя методами:
- методом поиска минимума функции многих переменных;
- методом итераций.
В исследовании осуществляется сравнение АНКЛФ, построенной с помощью рассматриваемых алгоритмов, с РНКЛФ.
Структура исследования выглядит следующим образом:
- сравнение АНКЛФ, полученной методом поиска минимума функции многих переменных, с РНКЛФ;
- сравнение АНКЛФ, построенной на основе метода итераций, с РНКЛФ.
Основным параметром сравнения методов получения узлов является среднеквадратиче-ская ошибка (СКО) аппроксимации [2]
п/2 / N-1 \
О = Л/(0 • - ) (1)
0 V п=0 )
где f(t)- аппроксимируемая функция, n и N -текущий и максимальный номера узлов аппроксимации, Кп- крутизна аппроксимирующей прямой в узле n, Sn- сдвиг, t -время; Qn (t) - включающая НКЛФ.
Проведем аппроксимацию траектории ВО на примере синусоидальной функции. Поскольку функция симметрична, рассмотрение ограничим интервалом [0; л/2].
Введем следующие обозначения: f(t)=sin(t) - исходная, аппроксимируемая функция, f(Adn) - значение аппроксимирующей АНКЛФ в узле n, и f(Rn) - значение аппроксимирующей РНКЛФ в узле n.
1. Определение оптимальных узлов аппроксимации на основе метода поиска минимума функции многих переменных.
Поиск минимума функции многих переменных - известная математическая задача, описание решений представлено в [6]. Следует отметить, что при неизвестных свойствах целевой функции многих переменных метод поиска минимума с гарантированным успехом существует только для выпуклых функций.
Рассмотрим метод поиска минимума функции многих переменной при двух узлах. При N=2 метод сводится к поиску минимума функции одной переменной. Результаты аппроксимации показаны на рис. 1.
Рис. 1. Аппроксимация АНКЛФ при двух узлах аппроксимации На рис. 2 представлена аппроксимация исходной функции на основе РНКЛФ.
СКО аппроксимации для метода поиска минимума функции многих переменных представлена на рис.3.
Рис. 3. График среднеквадратической ошибки аппроксимации при двух узлах аппроксимации
Погрешность аппроксимации на основе РНКЛФ, вычисленная по (1), равна 2,424-10 -3. Погрешность аппроксимации на основе АНКЛФ составляет 1,826-10-3, что в 1,27 раза меньше погрешности РНКЛФ.
На рис. 4 и рис. 5 показаны графики с увеличенным до четырех узлов аппроксимации для АНКЛФ и РНКЛФ.
1 ^ f(t), f(Adn) ^^^
0.8 - 1
0.6 - /
0.4 / 1
0.2 yf 1 / 1 / 1 / 1 / 1
0 Si \ S2 S3 S4 t, Adn
С > I
Рис. 4. Аппроксимация АНКЛФ при четырех узлах аппроксимации
f(t), f(Rn)
Рис. 5. Аппроксимация 8т(х) равномерной НКЛФ при четырех узлах аппроксимации
При данном количестве узлов погрешность АНКЛФ меньше в 1,42 раза по сравнению с РНКЛФ. При увеличении количества узлов до 8 погрешность АНКЛФ меньше в 1,17 раза. При 16 узлах аппроксимации значения погрешности обоих способов одинаковы.
Из рис.1 - 6 и значений СКО следует, что аппроксимация АНКЛФ на основе поиска минимума функции многих переменных дает меньшую погрешность по сравнению с РНКЛФ. Это означает, что применение АНКЛФ более эффективно при аппроксимации траектории движения ВО.
5 k
8х10- -
СКО равномерной НКЛФ
- 5
6х10
4х10-5-
2х10-5-
0
0 1 2 3 п
Рис. 6. График среднеквадратической ошибки аппроксимации на К-м участке, при четырех узлах аппроксимации
2. Определение оптимальных узлов аппроксимации методом итераций
На первой итерации весь исследуемый диапазон изменения исходной функции разбивается на 2 участка аппроксимации (поиск
оптимального узла). Критерием оптимальности узла является минимум СКО аппроксимации. На второй итерации каждый из поддиапазонов, полученных на первой итерации, разбивается также на 2 участка и определяется следующий оптимальный узел, и так при каждой итерации. Применив Ь итераций, получим аппроксимацию АНКЛФ во всем диапазоне с М = 2Ь, где М - число аппроксимирующих отрезков прямых.
Таким образом удастся снизить вычислительные затраты, так как на каждой итерации необходимо найти только один узел (поиск минимума функции одной переменной).
Как и ранее, рассмотрим метод итераций для поиска узлов АНКЛФ на примере аппроксимации синусоидальной функции. Поскольку изображение НКЛФ с равномерным распределением отображалось выше, ограничимся только графиками АНКЛФ.
На рис.7 представлен график с числом участков аппроксимации, равным четырем.
Рис. 7. Аппроксимация 8т(х) адаптивной НКЛФ при четырех узлах аппроксимации
8х10---
6х10 -
4х10 -
2х10-"
0
3 n
Рис. 8. График среднеквадратической ошибки аппроксимации на К-м участке, при четырех узлах аппроксимации
2
Для сравнения на рис. 8 изображены графики СКО аппроксимации РНКЛФ и АНКЛФ, узлы которой рассчитаны методом итераций.
Погрешность аппроксимации РНКЛФ равна 1,546-10-4 , а погрешность аппроксимации АНКЛФ составляет 1,089-10 -4, что в 1,42 раза меньше погрешности РНКЛФ. По сравнению с методом поиска минимума функции многих переменных метод итераций имеет большую погрешность (в пределах 1%).
На рис. 9 изображена аппроксимация синусоидальной функции АНКЛФ при восьми участках аппроксимации.
при восьми узлах аппроксимации
Погрешность РНКЛФ равна 9,71-10-6, а погрешность аппроксимации адаптивной НКЛФ - 6,59-10-6, что в 1,47 раза меньше погрешности РНКЛФ. По сравнению с методом поиска минимума функции многих переменных данный метод имеет в 1,2 раза меньшую погрешность.
Рис. 10. Аппроксимация Бт(х) адаптивной НКЛФ при шестнадцати узлах аппроксимации
При увеличении числа узлов аппроксимации до шестнадцати (рис. 10) аппроксимирующая функция в масштабе рисунка совпадает с аппроксимируемой.
Погрешность аппроксимации РНКЛФ равна 6,171-10-7 . Погрешность аппроксимации АНКЛФ составляет 4,268-10"7, что в 1,44 раза меньше погрешности РНКЛФ. По сравнению с методом поиска минимума функции многих переменных данный метод имеет в 1,4 раза меньшую погрешность.
Заключение
Проведенные исследования подтверждают эффективность применения НКЛФ для построения траектории движения ВО.
Анализ графиков и значений погрешности аппроксимации синусоидальной траектории показывает, что АНКЛФ обеспечивает более высокую (примерно в 1,5 раза) точность аппроксимации по сравнению с РНКЛФ. Разница в точности для методов поиска узлов АНКЛФ несущественна. В то же время метод итераций характеризуется лучшим быстродействием, поскольку содержит в себе более простые математические операции.
Литература
1. Курилов, И.А. Обзор методов построения траектории движения воздушного объекта в тре-нажерно-моделирующем комплексе/ И.А. Курилов, Д.Н. Романов, Д.В. Павельев // Радиотехнические и телекоммуникационные системы. 2011. № 1. С. 42-45.
2. Курилов, И.А. Применение непрерывных кусочно-линейных функций для аппроксимации характеристик и спектрального анализа/ И. А. Ку-рилов, Д.Н. Романов // Методы и устройства передачи и обработки информации. - Вып. 8. - М.: Радиотехника, 2007. - С. 11-16
3. Курилов, И.А. Анализ переходных процессов на основе непрерывных кусочно-линейных функций в частотной области/ И.А. Курилов, Д.Н. Романов, С.М. Харчук // Методы и устройства передачи и обработки информации. - Вып. 10. -М.: Радиотехника, 2008. - С. 56-59.
4. Курилов, И.А. Аппроксимация нелинейных характеристик на основе адаптивных непрерыв-
ных кусочно-линейных функций/ И.А. Курилов, Д.Н. Романов // Методы и устройства передачи и обработки информации. - Вып. 7. - М.: Радиотехника, 2006. - С. 203-207.
5. Курилов, И.А. Реализация адаптивной непрерывной кусочно-линейной функции на основе цифровых устройств/ И.А. Курилов, Д.Н. Рома-
Поступила 16 марта 2011 г.
нов// Методы и устройства передачи и обработки информации. - Вып. 7. - М.: Радиотехника, 2006. -С. 211-215.
6. Александровский, Н.М. Элементы теории оптимальных систем автоматического управления. - М.: Энергия. - 1969. - 128 с.
The analysis of methods the nodes searching of approximation for continuous piecewise linear functions. Results of research are presented and the optimum way for nodes search is certain.
Key words: Radio engineering system, the simulator, mode of real time, approximation, continued piece-wise-linear functions.
Курилов Игорь Александрович - кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Васильев Глеб Сергеевич - аспирант кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Павельев Дмитрий Васильевич - аспирант кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
Харчук Светлана Михайловна - ассистент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».
E-mail: kia_s@list.ru.
