CC BY
21
СМ
УДК 621.394
В. В. Чекушкин, К. В. Михеев, С. Н. Жиганов, А. А. Быков Математическое моделирование и вычислительные алгоритмы в радиотехнических системах
Разработаны компьютерные программы поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей, градуировочных характеристик измерительных систем и датчиков с повышенными точностными характеристиками и быстродействием. Произведена взаимная компенсация составляющих погрешностей результата. Оптимизирован набор алгоритмов для вычисления функции агсэт(х).
Ключевые слова: математическое моделирование, погрешность прибора, полином наилучшего приближения, калибровка, число операций, разрядная сетка.
о см
<
I
(0 га
г
0 ^
со га
1
о.
<и
о
и <и со
см ■ч-ю о
I
см ■ч-ю см
(П (П
Введение
Переход на цифровые методы обработки информации предполагает оптимизацию методов реализации функциональных зависимостей, определяющих характеристики специализированных вычислителей (СВ) радиотехнических систем [1, 2]. Правильный выбор физических эталонов, узлов интерполяции полиномов наилучшего приближения Чебышёва при калибровке обеспечивает повышение точностных характеристик измерительных систем, находящихся в эксплуатации [3, 4], в несколько раз. Высокая эффективность СВ достигается за счет упрощения, адаптации вычислительных алгоритмов к более узкому классу задач и требований по точности путем минимизации разрядных сеток [2, 5, 6]. Так, например, измерительный канал с восьмиразрядными аналого-цифровыми преобразователями (АЦП) и СВ при использовании специальных методов обработки информации могут обеспечить погрешность результата 5р менее единицы (1/256) младшего разряда представления выходной информации в двоичной системе, т. е. соответствовать прибору с приведенной относительной погрешностью 0,195 % класса точности 0,2/0,1.
В СВ для приближения стандартных функций, воспроизведения рабочих эталонов, калибровки измерительных систем широко применяется полиномиальный метод. Аппроксимируем функцию /(х) с помощью полинома степени п
© Чекушкин В. В., Михеев К. В., Жиганов С. Н., Быков А. А., 2017
Ьп (х) = а0 + ахх + ... + апхп = (((апх + ап-1 )х + ап-2 )х +... + а1 )х + а0.
(1)
При этом ограничение числа операций и устранение избыточной точности результата достигается путем ограничения числа членов в полиноме (1), начиная с (п + 1)-й степени, исходя из оценки максимального значения погрешности метода 5шах м в полиноме Чебышёва
5шахм = I(х)-4(х) < 1'"+1](„"Г • (2)
(п +1)!22
Здесь /[я+1](х) - производная (п +1) -го порядка на интервале аппроксимации;
/(х) - Ьп (х) = 5т - текущая погрешность метода воспроизведения функции.
Необходимо проводить оптимизацию коэффициентов полинома, когда имеет место изменение значений производной /[ п+1^(х). Важно правильно выбрать интервал аппроксимации в полиноме (1) [2, 7, 8].
Улучшению методов воспроизведения типовых функциональных зависимостей, используемых в вычислительных процедурах основных алгоритмов работы радиолокационных устройств, с позиций оптимизации критериев вычислительного процесса (точностных характеристик, быстродействия и программно-аппаратных затрат) посвящен ряд работ [2, 6-8]. Однако в указанных работах по большей степени рассмотрены конечные результаты совершенствования непосредственно численных методов воспроизведения типовых функциональных зависимостей, не приведены конкретные методы математического моделирования, компьютерной математики, которая развива-
ется как научное направление на стыке математики и информатики. Кроме того, в них не рассмотрены вопросы уменьшения времени для реализации компьютерных программ поиска оптимальных алгоритмов.
Цель работы - разработка быстродействующих компьютерных программ поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей, градуировочных характеристик информационно-измерительных систем с повышенными точностными характеристиками, быстродействием и ограниченным числом разрядов представления информации в СВ. Совершенствование методов моделирования и оптимизации вычислительных алгоритмов На первом этапе оптимизация процесса вычисления полинома (1) производится путем минимизации числа вычислительных операций А и числа обращений к памяти т при заданных значениях погрешности 5шах м.
Поиск проводится в соответствии со стратегией максимальной идентичности графиков функции /(х) или преобразовательной характеристики датчика измерительной
системы и приближающего полинома Ьп (х) [7, 8]. При этом исключаются неэффективные, оказывающие меньшее влияние на значение погрешности 5шах м члены ряда аХ, константы а, например, когда задаются а0 = 0, а1 = 1, используются только четные (нечетные) члены ряда и т. п. В усеченном полиноме наилучшего приближения Ьп (х) с т < п +1 оставшимися константами а, на интервале аппроксимации обеспечивается, по крайней мере (т +1) точек, в которых с учетом неустранимых погрешностей А5шах м погрешности 5шах м принимают равные максимальные значения +(5шахм ± А5шах м) и -(5Шахм ± А5шахм) (рис. 1). По сравнению с полиномом (1) для уменьшения числа членов, констант полинома требуется меньшее число операций, узлов аппроксимации и физических эталонов, как при вычислении функций, так и при калибровке измерительного канала системы.
При компьютерном моделировании обеспечивается возможность получить полиномы наилучшего приближения, например, с 16 десятичными цифрами результата. В то же время уже с тремя десятичными верными цифрами
Количество членов полинома Поиск полинома наилучшего приближения
Интервал аппроксимации\0тстРоить гРаФик п0 Узлам интерполяции Урезание разрядных сеток / Функция начало конец \ Количество цифр после запятой
\ Сохранить
Количество итераций
Взаимная компенсация Дискретизация
Прокрутка Коэффициент полинома
Рис. 1. Окно программы поиска полиномов наилучшего приближения
га
s ф
о см
<
I
со га
г
о
со га г
.
<и
о
и <и со
см ■ч-ю о
I
см ■ч-ю см
(П (П
фактически можно обеспечить десятиразрядное представление результата в двоичной системе счисления. Такое представление потенциально обеспечивает возможность получить приведенную относительную погрешность результата порядка 0,05-0,1 %. В измерительном канале с аналоговым датчиком, работающим на восьмиразрядном АЦП, принципиально можно уменьшить приведенную относительную погрешность системы обработки информации до значений 2-9 • 100...2-8 • 100 %.
Работающие с датчиками и системами АЦП имеют примерно равный двум двоичным разрядам дискрет приращения разрядности. Для оптимизации аппаратурных затрат путем устранения избыточной точности СВ, реализуемые на программируемых логических интегральных схемах (ПЛИС), целесообразно проектировать с переменной и минимальной разрядностью. При меньшем числе разрядов существенно снижаются программно-аппаратурные затраты на реализацию ПЛИС и повышается быстродействие СВ. По этим причинам актуально уменьшение разрядных сеток операндов СВ при приемлемом сохранении заданных точностных характеристик систем в целом. Однако в реальных условиях при обработке информации, воспроизведении функций возникает дополнительная составляющая погрешности 5к, обусловленная квантованием констант полинома с урезанием разрядных сеток в полиноме (1): 5к = Аа0р + + Аа1р х + Аа2р х2 + ... + Ааир х".
Обеспечим уменьшение погрешности 5р на выходе СВ системы, определяемой как сумма погрешностей метода 8м, квантованного представления 8Ш- набора констант а, промежуточных преобразований 8пр с ограниченным числом разрядов в форматах данных СВ. В связи с этим на втором этапе оптимизации вычислительного алгоритма производится такое сокращение разрядных сеток СВ, чтобы погрешность результата не увеличивалась более чем на 5-10 % от погрешности 8тах м. При возрастании значений аргумента график погрешности 8т полинома наилучшего приближения в полиноме (1) представляет знакочередующуюся функцию (см. рис. 1). Его формой можно управлять, меняя узлы аппроксимации
или коэффициенты в полиноме. Значения погрешностей урезания констант а^ определяют степень наклона линейной функции а^х и растяжения парабол аХ и монотонно возрастают по абсолютной величине с ростом аргумента Е. В то же время в совокупности графики комбинаций парабол с разным знаком, например, у = Аа3х3 - Аа1х1, функции 8к = = Аа0р + Аа1рх + Аа2рх2 + ... + Аапрх" при определенных соотношениях квантованного представления 8а1 набора констант а могут напоминать графики погрешностей аппроксимации полиномом наилучшего приближения (см. рис. 1), в том числе и с противоположными знаками.
Из анализа графиков совместного влияния составляющих погрешностей на погрешность 8р разрабатываются алгоритмы взаимной компенсации составляющих погрешности результата. В определенных пределах эти погрешности с использованием методов математического моделирования искусственно можно сделать с разными знаками и «спрятать» друг в друга.
Компенсацию можно реализовать методом простого перебора всех возможных взаимных комбинаций отклонений констант в пределах определенного числа последних отбрасываемых цифр с фиксацией каждый раз наименьшего значения 8р. Общее число комбинаций составляет у = зт (где т < п - количество коэффициентов полинома; ^ - число перебираемых вариантов для одной константы а, ), но при таком подходе при ^ = 1000 и т = 7 получим 10007 вариантов перебора. Для значительного уменьшения числа вариантов перебора (итераций) осуществляется последовательное урезание одной или определенного числа разрядных цифр с последующей проверкой только максимального значения погрешности и сравнения ее с ранее полученным значением 8тах м. Поиск полиномов
111(1А М
с урезанием разрядных сеток операндов проводится до таких критических минимальных значений числа значащих цифр констант, когда их последовательное сокращение еще не оказывает практического влияния на погрешность 8р (например, увеличение 8р по сравнению с 8тах м на 1-2 %). После этого урезается еще одна разрядная цифра, определяется число
итераций комбинаций (в данном случае 107 ) и запускается цикл перебора массива пробных коэффициентов (рис. 2).
Рис. 2. Алгоритм минимизации числа разрядов для расчета коэффициентов полинома
Этот цикл выполняется методом прямого перебора по всем возможным комбинациям значений коэффициентов. Для очередной итерации определяется максимальная погрешность, которая сравнивается с предыдущим значением. Коэффициенты с меньшим значением погрешности запоминаются. По окончании цикла фиксируются коэффициенты с наименьшим значением погрешности результата. Если значение погрешности 5р превышает значение 5шах м на 5-10 %, то число разрядных цифр увеличивается на 1. С помощью разра-
ботанного графического интерфейса результаты моделирования с параметрами полинома и графика погрешности выводятся на экран.
В соответствии с вышеизложенным, были разработаны методы поиска полиномов наилучшего приближения в средах программирования MathCad, Delphi, Builder C++ [8]. Перед проведением эксперимента вводится количество членов полинома (например, 3), аппроксимируемая функция (arcsin(x)), начало и конец интервала (0 и п/4), определяется наличие только членов полинома с нечетной степенью. Под надписью «Экстраполяция» находится указатель «Есть», который обозначает присутствие члена полинома a0. В следующем за этой надписью окне задается число десятичных цифр после запятой. Командой «Пуск» задается полином Ньютона, а с помощью команды «Улучш.» он превращается в полином наилучшего приближения. В программе предусмотрена последующая компенсация составляющих погрешностей результата при урезании разрядных сеток. Оптимизированный набор алгоритмов вычисления функции arcsin (л) Специализированные вычислители широко используются в приборах для генерации гармонических сигналов, в быстродействующих цифровых вычислительных синтезаторах с аппаратурной реализацией воспроизведения функций sin(x), tg(x), arcsin(x) [8]. Для вычисления функции arcsin (х) одного полинома при изменении значения аргумента х от -1 до 1 для максимальных значений погрешностей аппроксимации 5max м в диапазоне 0,15-0,0015 обеспечивается незначительное приращение числа значащих цифр результата на одну операцию при последовательном увеличении степени полинома с первой до девятой и выше. Исходя из этого, для поиска набора полиномов с большим увеличением значений приращения числа двоичных цифр результата на одну операцию был исследован интервал [0; 0,707].
В соответствии с разработанными алго- — ритмами поиска полинома наилучшего при- s ближения для функции arcsin(x) в интерва- i ле значений аргумента [0; 0,707] при часто Й используемой на практике области значений —
Таблица 1
Полиномы вычисления функции arcsin (х) на интервале х е [0; 0,707]
№ Формулы полиномов Максимальная погрешность Количество операций
А + т А
1 а0 = 0, а1 Ф 1 Р( х) = 1,08х 2,09 10-2 4 2
2 а0 = 0, а1 Ф 1 Р( х) = х(0,9895 + 0,2379х2) 1,6010-3 6 4
2' а0 = 0, а1 Ф 1 Р( х) = х + 0,2379х3 7,96 10-3 5 3
3 а0 = 0, а1 Ф 1 Р(х) = х(1,0015 + X2(0,1453 + 0,1454х2)) 1,6210-4 9 6
4 а0 = 0, а1 Ф 1 Р( х) = х(0,99977 + х2 (0,17219 + х2 (0,04023 + 0,11817х2))) 1,8910-5 12 8
г-^
о см
тО!
угла [0°; 45°] для диапазона 2,09851 10-26,229703 10-9 погрешностей 8тах м получены полиномы с нечетными степенями (табл. 1). Уменьшение погрешности для полинома третьей степени по сравнению с полиномом первой степени составит 20,98/1,6 = 13,1. Тогда для полиномов пятой степени по сравнению с третьей степенью уменьшение погрешности составит 16,02/1,628 = 9,84, седьмой степени по сравнению с пятой степенью -16,28/1,897 = 8,582, девятой степени по сравнению с седьмой степенью - 18,97/2,392 = = 7,93, 11-й степени по сравнению с девятой степенью - 23,92/3,188 = 7,5. В среднем имеем приращение порядка одной разрядной двоичной цифры на одну операцию. Проведено исследование возможности уменьшения дискрета приращения числа операций путем фактического исключения константы а в полиноме (принимаем а1 = 1, полином № 2' в табл. 1).
Полиномы вычисления функции аг
В данном случае уменьшение числа операций на 1 обеспечивает уменьшение погрешности по сравнению с полиномом первой степени только в 20,98/7,96 = 2,63 раза.
Для поиска полиномов с возможным большим увеличением значения приращения числа двоичных цифр результата на одну операцию интервал [0; 0,707] был разбит на два подынтервала с двумя полиномами от первой до седьмой степени с примерно одинаковыми погрешностями 8тах м на подынтервалах (табл. 2). Для двух полиномов первой степени не обеспечено уменьшение погрешности 8тах м по сравнению с полиномом третьей степени Р(х) = х(0,9895 + 0,2379х2) с одним интервалом интерполяции и одинаковым количеством операций, равным 6. В то же время для двух полиномов седьмой степени с общим числом операций, равным 16, максимальное значение погрешности составит 5,35 10-7.
Таблица 2
п(х) с разбиением на подынтервалы
№ Интервал Формула полинома 8мм
1 [0; 0,475] Р( х) = 1,042х - 0,004 3,9810-3
[0,475; 0,707] Р(х) = 1,251х - 0,103
2 [0; 0,499] Р( х) = 0,0001 + х(0,9973 + 0,1968х2) 1,6610-4
[0,499; 0,707] Р( х) = 0,0371 + х(0,8885 + 0,3389х2)
3 [0; 0,511] Р(х) = -8,92 • 10-6 + х(1,00021 + х2 (0,16238 + 0,10272х2)) 8,9010-6
[0,511; 0,707] Р( х) = -0,01662 + х(1,05802 + х2 (0,02646 + 0,25181х2))
В результате удалось обеспечить взаимную компенсацию составляющих погрешностей для уменьшения разрядных сеток операндов. Для полинома 15-й степени
P(x) = x(0,999999853 + x2(0,166679859 + + x2 (0,074656216 + x2 (0,048657131 + +x2 (0,005951528 + x2 (0,104078692 + +x2 (0,128502198 + 0,130331660x2)))))))
без компенсации погрешность составила 5р = = 7,83 • 10-8.
С компенсацией для полинома
P( x) = x(0,999999855 + x2 (0,166679861 + + x2 (0,074656217 + x2 (0,048657133 + + x2(0,005951529 + x2(0,104078691 + + x2 (0,128502199 + 0,130331661x2)))))))
она равна 5р = 6,2 • 10-9, т. е. погрешность уменьшилась в 7,83 • 10-8/6,2 • 10-9 = 12 раз.
Введение сокращенного интервала для значений угла от 0° до 45° обеспечивает приращение одной двоичной цифры результата на одну операцию, что примерно в 3 раза больше приращения для значений углов от 0° до 90°. При взаимной компенсации составляющих погрешностей результата обеспечено уменьшение разрядных сеток операндов для полиномов седьмой степени и выше примерно на два-три двоичных разряда. Заключение
В средах программирования MathCad, Delphi, Builder C++ разработаны программы поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей с взаимной компенсацией составляющих погрешностей результата. Созданы алгоритмы вычисления функции arcsin(x) с устранением избыточной точности путем обеспечения последовательного дискретного приращения 1-3 двоичных цифр результата при возрастании сложности алгоритмов не более чем на 2-5 операций в диапазоне представления выходных данных приборов и систем 3-32 двоичными разрядами. Математическое моделирование вычислительных алгоритмов обеспечило сокращение разрядных сеток СВ на 2-5 двоичных разряда.
Список литературы
1. Ларионов В. А. Концепция калибровки интеллектуальных датчиков // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2012. № 12. С. 46-51.
2. Гришин В. Ю., Пантелеев И. В., Чекуш-кин В. В. Совершенствование методов, математических моделей реализации вычислительных процессов в радиолокационных системах // Вестник воздушно-космической обороны. 2014. № 3. С. 25-29.
3. Аверьянов А. М., Чекушкин В. В. Метод поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей калибровки датчиков и измерительных систем // Датчики и системы. 2009. № 3. С. 2-6.
4. Чекушкин В. В., Алексеева Л. Г. Коррекция погрешностей в измерительных приборах // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2008. № 5. С. 38-43.
5. Caro D., Petra N., Strollo A. Dirert digital frequency synthesizer using nonuniform piece-wise-linear approximation // IEE Trans. Circuit Syst. I, Reg. Papers. 2011. Vol. 58. No. 10. Pp. 2409-2419.
6. Чекушкин В. В., Михеев К. В., Пантелеев И. В. Совершенствование полиномиальных методов воспроизведения функциональных зависимостей в информационно-измерительных системах // Измерительная техника. 2015. № 4. С. 16-21.
7. Чекушкин В. В., Михеев К. В. Быстродействующие алгоритмы поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей в информационно-измерительных системах // Измерительная техника. 2016. № 4. С. 7-10.
8. Чекушкин В. В., Михеев К. В. Программа поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей с взаимной компенсацией составляющих погрешностей результата. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2015610539. 13.01.2015.
Работа выполнена при поддержке гранта № 14-07-00293 Российского фонда фундаментальных исследований.
Поступила 20.01.17
га
s
V
Чекушкин Всеволод Викторович - доктор технических наук, профессор кафедры систем автоматизированного проектирования Муромского института (филиала) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых», г. Муром.
Область научных интересов: разработка эффективных вычислительных алгоритмов обработки радиотехнической информации.
Михеев Кирилл Валерьевич - кандидат технических наук, инженер-конструктор второй категории АО «Муромский завод радиоизмерительных приборов», г. Муром.
Область научных интересов: разработка эффективных вычислительных алгоритмов обработки радиотехнической информации.
Жиганов Сергей Николаевич - кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиотехника» Муромского института (филиала) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых», г. Муром.
Область научных интересов: разработка эффективных вычислительных алгоритмов обработки радиотехнической информации.
Быков Артем Александрович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Системы автоматизированного проектирования» Муромского института (филиала) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых», г. Муром.
Область научных интересов: разработка эффективных вычислительных алгоритмов обработки радиотехнической информации.
£ Mathematical modelling and computational algorithms
O
™ in radio engineering systems
We developed computer software for determining polynomials of best approximation to match functional dependencies, calibration curves of measuring systems and sensors with enhanced precision and performance.
0 We ensured that the components of the output error cancel each other out. We optimised a set of algorithms
1 for computing the arcsin(x) function.
i Keywords: mathematical modelling, instrument error, polynomial of best approximation, calibration, operations
| per unit of time, word size. |
q Chekushkin Vsevolod Viktorovich - Doctor of Engineering Sciences, Professor, Department of Computer-Aided Design
03 Systems, Murom Institute (branch) of Vladimir State University, Murom.
Science research interests: developing efficient computational algorithms for radio engineering data processing.
CL
g Mikheev Kirill Valerevich - Candidate of Engineering Sciences, Designer Engineer of the second rank, Joint stock
x company "Murom Radio Instrumentation Plant", Murom.
i Science research interests: developing efficient computational algorithms for radio engineering data processing.
o
CO
Zhiganov Sergey Nikolaevich - Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor, Department of Radio
d Engineering, Murom Institute (branch) of Vladimir State University, Murom.
g Science research interests: developing efficient computational algorithms for radio engineering data processing. ■
cm Bykov Artem Aleksandrovich - Candidate of Engineering Sciences, Associate Professor, Department of Computer-Aided
w Design Systems, Murom Institute (branch) of Vladimir State University, Murom.
I! Science research interests: developing efficient computational algorithms for radio engineering data processing.
