Совершенствование методов поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей в измерительных системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN2221-2574

Цифровая обработка сигналов в радиосистемах

УДК 681.325

Совершенствование методов поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей в измерительных системах

Чекушкин В.В., Сарибжанов И.Р., Пантелеев И.В.

Рассмотрены алгоритмы поиска полиномов наилучшего приближения для аппроксимации функциональных зависимостей, градуировочных характеристик в измерительных системах методами компьютерной математики.

Ключевые слова: полином наилучшего приближения, градуировочная характеристика, погрешность вычисления.

Введение

Математический аппарат интерполирования различных функциональных зависимостей с помощью многочленов является важнейшим аппаратом численного анализа для повышения эффективности проектирования вычислительных систем. Теоретические и практические аспекты одномерной и многомерной оптимизации методов наилучшего воспроизведения функций полиномами насчитывают несколько столетий [1].

Один из алгоритмов поиска полиномов наилучшего приближения методами компьютерной математики в среде Ма1;ЬаЬ приведен в [1]. Недостаток алгоритма - невысокое быстродействие.

Постановка задачи

Целью данной работы является разработка более быстродействующего алгоритма полу-

чения полиномов наилучшего приближения первой и второй степеней для аппроксимации функций и градуировочных характеристик измерительных систем.

Поиск полинома наилучшего

приближения первой степени

Поиск полинома наилучшего приближения первой степени

P( x) = a0 + a1 x (1)

аппроксимации функции f (x) на отрезке xe [a,b] имеет следующие этапы. Выбираются крайние точки интервала аппроксимации а и b, затем через эти точки проводится прямая, которая представляет полином Ньютона, аппроксимирующий исходную функцию f (x) . Коэффициент а1в линейном уравнении (1) называется угловым коэффициентом и определяет угол наклона прямой к оси

а. б.

Рис.1. Совмещенные графики функции Бт(х) (сплошная линия) и аппроксимирующих полиномов

(пунктирная линия)

Цифровая обработка сигналов в радиосистемах

ШМ2221-2574

абсцисс

/ (Ь) - / (а) Ь - а

(2)

большего отрезка (Ь — х1) ко всей длине интервала (Ь — а).

Например, для аппроксимации функции 8шх (рис.1. а) на интервале хе [0,^/2], используя такой подход, получим полином

Р1т = 0,63662х . (3)

Для монотонно изменяющейся функции значение максимальной абсолютной погрешности уу' достигается в точке хм. Полученный полином не является оптимальным, поскольку можно уменьшить значение погрешности, подняв уравнение (3) на значение, равное половине отрезка (у, у') (рис.1.б).

Смещение графика полинома (3) относительно начала координат определяется коэффициентом а^ в уравнении. Чтобы получить в данном случае полином наилучшего приближения, имея уравнение (3) и зная расстояние между точками у и у', достаточно коэффициент а0 увеличить на половину (у, у'). Таким образом, необходимо предварительно найти экстремум значения погрешности метода

8и = 8Ш(х) — Р(51П). (4)

Когда монотонно изменяющаяся функция задана аналитически, то точка экстремума будет соответствовать значению аргумента хм, для которого первая производная равна нулю ^1п(хм) — (а0 + а1хм)]' = 0. Для графического определения хм можно использовать различные методы одномерного поиска оптимального решения: половинного деления, золотого сечения, метод парабол или явный перебор всех значений. Используем метод золотого сечения, поскольку он обеспечивает быстрый поиск экстремума.

Суть метода в следующем: интервал хе [а;Ь] (рис.2), на котором производится поиск экстремума, разбивается на отрезки по методу золотого сечения, т.е. отношение длинны меньшего отрезка (х1 — а) к большему (Ь — х1 ) пропорционально отношению

Ь — х,

Ь — х Ь — а

= к.

(4)

Коэффициент отношения равен

к = = 0.618034.

2

Возьмем две точки х1 и х2, делящие интервал хе [0;1,57] на отрезки в отношении золотого сечения. Найдем значение погрешности в этих точках и на основании полученных результатов сократим границы интервала поиска. Если наибольшее значение погрешности получено в точке х1, то интервал поиска экстремума сокращается до отрезка [а; х2 ], иначе интервал дальнейшего поиска примет вид [х1; Ь]. В данном случае наибольшее значение погрешности получено в точке х2, следовательно, интервал поиска сократится до отрезка [х1;Ь] (рис.2). Таким образом, на каждой итерации сокращение интервала поиска экстремума происходит на 38,2% от текущего размера отрезка. Итерации продолжаются до тех пор, пока размер отрезка не станет меньшим или равным некоторого заданного значения Е. В качестве искомой точки хм берется середина полученного отрезка.

Рис. 2. Иллюстрация метода золотого сечения для поиска экстремума

Имея точку экстремума, подставим ее значение хм в (4) и найдем максимальное значение погрешности равное расстоянию

а1 =

х, — а

^N2221-2574

Цифровая обработка сигналов в радиосистемах

между точками у, у'. Увеличив значение коэффициента а0 на половину полученного значения, получаем полином:

рю(5ш) = 0,10536 + 0,63662х .

(6)

Поиск полинома наилучшего приближения второй степени

Поиск полином наилучшего приближения второй степени

Р( х) = а0 + а1х + а2 х2 (7)

рассмотрим на примере функции л/х для интервала х е [0;1]. В качестве начального приближения также используем полином Ньютона второй степени, где узлы интерполяции равноудалены друг от друга: 0; 0,5; 1.

Вычислив значения функции л/х в этих точках, составим систему уравнений:

а00 + а10 + а20 = Я

< а0 0,5 + а10,5 + а2 0,52 = (8)

а01 + а11 + а212 = л/Г

Решив эту систему уравнений, получим определенные коэффициенты а0 , а1 , а2 , подставив которые в исходное выражение (7), получим полином

Рн = а0 + 1,8284271х - 0,8284271х2.

Как видно из рис. 3а, полученный полином не является оптимальным, поскольку его погрешности ¿1 и ¿2 не равны по абсолютной величине. Необходимо добиться того, чтобы значения и |^2|, а также погрешность метода аппроксимации в начальной и конечной точках интервала [0;1] были равны по модулю. Такого результата можно добиться, изменяя положение узлов интерполяции х1 = 0; х2 = 0,5; х3 = 1. Для поиска максимальных погрешностей ^ и ¿2 на интервалах х е [х1; х2] и х е [х2; х3] как и для полиномов первой степени, используем метод золотого сечения, так как он обеспечивает быстрый поиск экстремумов и не требует высоких вычислительных затрат. Поскольку не существует алгоритма получения оптимальных узлов интерполяции, воспользуемся итерационным алгоритмом с изменяющимся шагом приближения, то есть будем изменять

положение всех узлов интерполяции одновременно на каждой итерации. Направление смещения узлов хь х2, х3 выбирается исходя из соотношения значений максимальных погрешностей на каждом интервале с соответствующим локальным экстремумом ¿ь ¿2, ¿3. Сравнивая эти погрешности по модулю, производим смещение узлов интерполяции в сторону больших значений погрешностей, уменьшая тем самым интервал, например, точка х! сместится в сторону ¿1 (рис. 3 а). Поскольку крайние точки интервала также будут менять свое положение, то необходимо будет ввести дополнительные максимальные погрешности ¿0 - между началом интервала интерполяции и точкой х1, ¿3 - между последней точкой х3 и концом интервала интерполяции. В качестве начального смещения возьмем величину, равную 0,4 от расстояния между соседними узлами. Это позволит исключить "перехлест" на первой итерации, когда узлы интерполяции могут поменяться местами, если значение шага смещения будет больше половины отрезка, например, узлы х1 и х2 (рис. 3а). Затем на каждой итерации будем уменьшать шаг смещения на 0,2 от предыдущего (0,4 - 0,4 X 0,2) до тех пор, пока не получим полином наилучшего приближения.

Результатом реализации такого подхода является полином (рис. 4б). Р0 = 0,0676291+1,9302991х -1,0654949х2. (9)

Поиск полинома наилучшего приближения (9) по предложенному алгоритму осуществлен за 35 итераций.

Заключение

Предложен ускоренный алгоритм преобразования полиномов Ньютона в полиномы наилучшего приближения. Полином наилучшего приближения первой степени получают путем симметрирования максимального значения погрешности. Полином второй и более высоких степеней преобразуются в полиномы наилучшего приближения итерационным методом с первоначальным шагом смещения узлов интерполяции полинома в сторону локальных экстремумов

Цифровая обработка сигналов в радиосистемах

ISSN2221-2574

а б

Рис.3, а. график погрешности полинома Ньютона; б. совмещенные графики

О 02 04 0.6 0.8 1 х

а б

Рис.4. а. график погрешности улучшенного полинома; б. совмещенные графики

погрешностей на величину 0,4 от расстояния Литература

между соседними узлами и последующим уменьшением шага на 0,2 от предыдущего. Поиск локальных экстремумов погрешностей между узлами интерполяции осуществляется с использованием метода золотого сечения.

Поступила 23 мая 2012 г.

1. Амосов, А.А. Вычислительные методы для инженеров / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. - М.: Высш. шк., 1994. - 544 с.

2. Чекушкин, В.В. Вычислительные процессы в информационно-измерительных системах / В.В. Чекушкин, В.В. Булкин. - Муром: Изд.- полиграфический центр МИ ВлГУ, 2009. - 120 с.

Considered algorithms for finding polynomials for best approximate functional dependencies and calibration characteristic in measuring systems. In the work use methods of computer mathematics.

Key words: polynomial of best approximation, calibration characteristic, inaccuracy calculation.

Чекушкин Всеволод Викторович - доктор технических наук, профессор кафедры САПР ЭС Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Сарибжанов Ильдар Рушанович - студент Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых».

Пантелеев Илья Владимирович - аспирант Муромского института (филиала) ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых». E-mail: sapres@mivlgu.ru.