Исследование устойчивости линейного автомобиля как системы со многими степенями свободы методом вырожденных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.113.075

Ю. Н. СА1ЖИН, М. В. ГУРЬЯНОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕИНОГО АВТОМОБИЛЯ КАК СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ МЕТОДОМ ВЫРОЖДЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

%

Рассматривается сравнительная оценка переходных процессов в задаче о курсовой устойчивости автомобиля при наличии дополнительной степени свободы и в зависимости от характера связи автомобиля с дорожным профилем. Приводятся дифференциальные уравнения для случая, когда к раме автомобиля присоединено неограниченное число твердых тел, каждое из которых имеет две степени свободы.

Курсовая устойчивость автомобиля - это способность сохранять первоначальное направление движения при действии случайных возмущений, возникающих от бокового ветра, мгновенных сил, приложенных к шинам, и ряда других причин. Важную роль играет качество переходного процесса, которое определяет характер поведения автомобиля после прекращения внешнего воздействия. Поперечные колебания описываются свободной составляющей решения системы дифференциальных уравнений движения автомобиля. Если свободная составляющая после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то автомобиль является устойчивым. Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то движение считается граничным. В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой.

Оценка курсовой устойчивости автомобиля производится на основе результатов исследования свободной составляющей решения системы однородных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях.

Система устойчива, если все корни соответствующего характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. Корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости. Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости. По характеру переходного процесса судят об устойчивости, времени затухания колебательного процесса и об амплитуде перемещений при внезапном воздействии.

Исследование динамических свойств автомобиля путем решения дифференциальных уравнений с увеличением количества степеней свободы значительно усложняется. Одним из путей решения

проблемы является определение общего интеграла дифференциального уравнения с помощью преобразования Лапласа. Дифференциальные уравнения преобразуются по Лапласу при ненулевых начальных условиях. Полученпая система уравнений решается при р = /со , где р - параметр преобразования Лапласа; со - частотный параметр. Переходный процесс определяется с помощью обратного преобразования Лапласа, используя численное интегрирование.

В основу данного исследования положена модель, предложенная Рокаром [1], в виде системы с двумя степенями свободы. Объект - «жесткий» автомобиль без подвески с закрепленным рулевым управлением (рис.1); движется поступательно с постоянной скоростью V при небольших угловых отклонениях продольной оси, обусловленных наличием бокового увода шин.

0

0

Ъ и (4^

Рис.1. Модель автомобиля На автомобиль действует внешняя боковая сила Т7 и внешний, изменяющий направление колес момент М. Уравнения движения, описывающие такую модель:

йгх

М

а

с1г

+Кг(г1+е2) + К2-(е2+е4) = Г

с!2В

J■—T^ + Kl■al■(гl+£2)-K2^a2■(гг+s4)=M

ш

(1)

где .х - поперечная координата центра тяжести G\

О - угол, составляемый направлением машины с другой осью координат Оу\

е,, е2,е3)е4~углы бокового увода каждого колеса;

Kh К2 - коэффициенты бокового увода колес передней и задней оси;

ah а2 - расстояния от передней и задней оси до положения центра тяжести;

b - половина колеи автомобиля. Для исследования собственного движения автомобиля, катящегося со скоростью V, положим F=0} М=0. Предположим, что перемещения х и 0 происходят по закону é71. Полагаем, что / = т-р2у где р - радиус инерции автомобиля.

Тогда раскрывая определитель и приравнивая его к нулю, находим корни характеристического уравнения и отбрасываем два нулевых корня.

Используя критерий Раусса-Г урвица, находим условия устойчивости автомобиля.

Применяя известное табличное выражение [2], строим переходный процесс (рис.2) от единичного возмущения в виде

4(0 = кх-е«1(2)

где klf к2 коэффициенты, определяемые из уравнения

= ^ + (3)

• D{p) P-Pl р-р2

Переходный процесс можно построить численным образом, используя обратное преобразование Лапласа:

1 °г

Ш = — ÍRe[^(iftb)elfúi]d(0 .

71 J

0

(4)

Рассмотрим форму реакции на единичный импульс в зависимости от скорости (1 - после критической скорости, 2 - во время, 3 - до критической).

0.15-10

-3

1 -10

-4

5-10

-5

0

о

I е i w

о

о

4 4

Рис.2. Переходный процесс при различных скоростях движения автомобиля При рассмотрении автомобиля как системы многих тел, соединенных упругими элементами, в

общем виде уравнения движения" (1) имеют вид:

А

Ма + +е2) + /Г2-(с3+е4) +

at

+У>,;[(*0+/;0G0)-(x,+/;e;)]+

' * ' I- J - >- •

г

d2 6

г

+£ «>[К +Ш-(х. +№)] = м,

. г

пщ + ъ,х(+£ br0i [(i,. + /;е. )-(х0+ /;ре0)]+

(5)

+

+

г

г

+2>оХ [(*,■+Ш- (*<> =М1,

где ьчисло присоединенных тел; г - число упругих связей.

Проанализируем влияние одной дополнительной степени свободы - перемещение кузова относительно рамы на резиновых подушках -X] (рис.3).

У

0

(4)

Рис.3. Модифицированная модель автомобиля

Тогда система (5) запишется в виде d2x

Щ + К, ■ fo +б2)+.К2 • (с3 +е4)+с■ (х--х,) = F J—T+Kl-al-(s1+z2)-K2-a2-(ei+e4)=M , (6)

dt

d2x\ / \ л

" dt1

где т, - масса несущей системы; т2 - масса кузова; С - эквивалентная жесткость упругой связи кузова с рамой.

Находим корни характеристического уравнения (два из которых - комплексно сопряженные), и строим переходный процесс (рис.4).

,4.597«: 10"

0.005

0.004

0.003

« 2(0

0.002

0.001

о

Рис.4. Переходный процесс автомобиля, как системы,с учетом дополнительной степени свободы

Переходный процесс имеет колебательный характер, обусловленный появлением парой комплексно сопряженных корней. Критическая скорость (соответствующая смене знака корня характеристического уравнения на положительный) не изменилась.

Исследуем учет неголономной связи шин с дорогой. Допустим, что при приложении к колесу боковой тяги с силой Г сначала возникает деформация, которая вызывает отклонение проекции центра колеса на землю от центра площадки соприкосновения с дорожным профилем на величину А (рис.5). При определенной жесткости Я колеса А служит мерой силы Г, так как Г= НА . Если колесо катится, то деформация А порождает пропорциональный ей угол бокового увода колеса, который определяется соотношением г = рА , где р

- коэффициент, зависящий только от геометрии деформированного колеса, но не от силы.

el2 X

ш— + 2(Я, + Я2)Х + 2(Я^ -ЯЛ)0--2(Я, +Я2)х-2(Я1а1 -H2aJ) =0

-2(Я^ -Я2а2)х-2(Я1а^ +Я2а22)Э =0

1 ^ 1 V di т Кг//

Р2X + (1 -рл )© - р2 jc - - — + Р2+ ^ — - 0

2 V dt У di J

где первые два уравнения описывают движение автомобиля, последние два - неголономную связь шин с дорожным профилем.

Получаем переходный процесс, имеющий вид аналогичный рис. 2, но rio абсолютному значению на три порядка меньший. Теоретическая критическая скорость снизилась на 3,3% и составила 27,293 м/с против 28,214 м/с - определенных в предыдущих случаях для следующих исходных данных: Ма = 2530 кг; тух¡~ 1030 кг; т/=Т500 кг; д/=1,314 м; а2=1,086 м; Kj=K2= 37300 Н/рад; р = 1,068 м; с = 18000 Н/м.

Выводы:

1. Учет боковой жесткости шин приводит к снижению абсолютного значения критической скорости, однако характер переходного процесса не изменяется.

2. Учет дополнительной степени свободы на величину критической скорости практически не оказывает влияния, но оказывает влияние - на длительность и характер переходного процесса, (более чем в 10 раз, но поскольку движение дополнительной массы ограничено, то для получения более достоверных результатов следует рассматривать нелинейную модель).

3. Проведенные исследования показывают, что упругую систему автомобиля необходимо рассматривать как систему со многими степенями свободы и учетом неголономной связи шин с дорожным профилем.

X

А

Рис.5. Учет боковой упругости шин

Система дифференциальных уравнений описывает такую систему:

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Рокар И. Неустойчивость в механике. Автомобили, самолеты, висячие мосты. -М.: ИИЛ, 1959.-288 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы: Пер. с англ.; Под общей ред. И. Г. Арамановича.- М.: Наука, 1974. - 832 с.

3. Основы теории автоматического регулирования: Учеб. для вузов/ Под ред. В.И. Крутова.- М.: Машиностроение, 1984. - 368 с.

4. Санкин Ю. Н., Гурьянов М. В. Влияние боковой жесткости шин на курсовую устойчивость автомобиля //Тез. XXXVII науч.-техн. конф. УлГТУ. - Ульяновск : УлГТУ, 2003.

Санкин Юрии Николаевич, доктор технических наук., профессор, действительный член АИН РФ, окончил Ленинградский политехнический институт, физико-механический факультет по специальности «Динамика и прочность машин». Имеет публикации в области теории колебаний и устойчивости двга/сения

Гурьянов Михаил Владимирович, окончил Ульяновский государственный технический университет, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет статьи в области устойчивости движения.

УДК 622.233.6

В. К. МАНЖОСОВ

МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ НА ГРАНИЦЕ РАЗНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ СТЕРЖНЯ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ

Построена модель процесса преобразования продольной волны деформации на границе разнородных участков стержня с сосредоточенной массой. Составлены уравнения, описывающие распространение волн в пределах однородного участка малой длины и преобразование волн на границах сопряжения участков.

Анализируется распространение волн деформаций по стержневой системе в рамках моделей волновых процессов, изложенных в работах [1-4]. Рассматривается стержень неограниченной длины

оо < х < со) з представляющий множество разнородных участков (рис.1).

Рис. 1. Схема стержня с последовательно сопряженными участками

В сечении п ^х = хп) расположена

сосредоточенная масса М. К этому сечению в момент времени I - 0 подходит продольная волна деформации. Этой волной охвачены участки стержня

от 1 до п (0< х< хп ) • Параметры продольной волны

деформации на произвольном у-м участке стержня в начальный момент времени описываются функцией

ъфжЩ* гле Щ - скорость

распространения волны на у -м участке стержня; г0 -начальное время; х - координата сечения; -

координата начала / - го участка; Ху - координата

конца / -го участка.

Участок 1 в сечении х = 0 сопряжен с нулевым (]

- 0) однородным участком стержня со < х < 0),

имеющим такие же свойства материала и площадь поперечного сечения. Участок «к» в сечении

X = X^ сопряжен с (к+1)-м однородным участком стержня ^ < х < со), имеющим такие же свойства

материала и площадь поперечного сечения, как и участок к.

В сечении X = Хп (сечение п), где

расположена масса М, параметры падающей волны /п(а^ — хпУ Часть падающей волны проходит через

границу X = Хп и распространяется далее по участкам п + \,п + 2 и т. д. Параметры волны,

прошедшей через границу X = Хп, описываются некоторой неизвестной функцией

/Д] = п9п + \,п + 29...,к,к + \ >

ху < X < Хм.

Часть падающей волны отражается от границы

X = Хп и распространяется от участка п в

противоположном направлении по участкам п, п — 1, п — 2 и т. д. Параметры отраженной волны

х,х <х<х/ •

описываются неизвестной функцией ф^а ¡1 + х

Данные представления о поведении волны соответствуют модели, когда движение поперечных сечений на ] -м участке стержня описывается волновым уравнением вида

32и/*,0 1 д2и№)

~Т7>--ТТ я,2 = 0? хя ^ * ^ * 1

ох а. о t

и^х, г) = /у [а/ - х) + Фу (А/ + х),

(1)