Исследование условий причинности и устойчивости системы управления линейным объектом теплопроводности (особые случаи). Часть II Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958 ББК 22.161.5

ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ПРИЧИННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ОСОБЫЕ СЛУЧАИ). ЧАСТЬ II

1 2 Солнечный Э. М. , Черёмушкина Л. А.

(Учреждение Российской академии наук

Институт проблем управления РАН, Москва)

Для одного из особых видов граничных условий на одномерно распределённый объект теплопроводности конечной длины получены оценки норм операторов, входящих в достаточное условие детерминированности, причинности и устойчивости системы управления объектом с помощью нелинейной обратной связи.

Ключевые слова: система управления, причинность, устойчивость, распределенные динамические системы, линейный объект теплопроводности, теория функций комплексного переменного.

1. Введение

Настоящая работа опирается на изложенную в [4] методику исследования условий детерминированности, причинности и устойчивости системы, состоящей из линейного распределённого объекта и, вообще говоря, нелинейной обратной связи. Работа содержит исследование ограниченности операторов, входящих в полученное в [4] достаточное условие причинности и устойчивости системы управления одномерно распределённым объек-

1 Энгель Михайлович Солнечный, доктор физико-математических наук (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-92-29).

2 Людмила Александровна Черёмушкина (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-92-29).

том теплопроводности конечной длины l > 1, и определение оценок норм этих операторов.

Объект, рассматриваемый в данной работе, описывается уравнениями

ЭДT ЭДq

(1.1)

дt

Лq = —1

дx

элт.

Эx

с граничными условиями вида

(1.2) С0У \х=0 +СіУ \х=і = и ,

где У =

ґЛТл / \ и1

; и =

Лq V 1 и2 V 2 У

и — отклонение входного воздействия

на объект от его установившегося значения; АТ, Дq — отклонение соответственно температуры Т и потока тепла q (в направлении возрастания х) от их установившихся значений; ґ — время; х - координата вдоль длины объекта (х є Ь = [0, і]); с — теплоемкость теплопередающей среды на единицу длины; X — коэффициент теплопроводности среды; С0 = (с0„) и С1 = (сіга), где г, s = 1, 2, — заданные числовые квадратные матрицы 2-го порядка.

При этом в рассматриваемом в данной работе особом случае матрицы С0 и Сі полагаются такими, что определяемые через элементы этих матриц коэффициенты а0 = det С0 + det Сі и а = det ((с0г1)(сіг2)) = С011Сі21 - сшС021 не равны нулю. Здесь р = 1, 2, т.е. (с0р1), (сір1) — первые столбцы матриц С0 и Сі соответственно. Два же других коэффициента а2 = det ((с0рі)(сір2)) и а12 = det ((с0р1)(сір2)) - det ((с0р2)(сір1)), р = 1, 2, равняются нулю: а2 = 0, а12 = 0 (см. [4]).

Один из простейших видов матриц С0, Сі, удовлетворяющих этим условиям, представлен в следующем примере:

(1.3) где Ь ф 0.

ЛТ

= и

ьлq| +ЛТ , =

ч\х =0 I х =1

и

В настоящей работе, являющейся продолжением работы [5], проводится:

1. Исследование расположения полюсов передаточной функции У объекта от и к у, т.е. нулей её знаменателя В, имеющего для рассматриваемой задачи вид

(1.4)

В = а0

-О!= 0!р ,

к к

где к = ^еХ/в ; в - константа, имеющая размерность времени;

5 = (ей/4в)(8Ьс/С); а = 4ёХ; С(р) = а^Л/р - однозначная ветвь функции С (Р) = а^д/р комплексного переменного р с областью значений С = С+ и {С = ¡т :т ^ 0} с С . Здесь С - комплексная плоскость, С+ = {С = о + гт : о > 0}; а, т - вещественные числа; Р(р) = У - 8Ь(е,Л/р)/Ы^/р; Р(С) = У - С/С;

У = као/ а1 .

Параметр у будем далее считать отрицательным (что означает отрицательность произведения а0а1). Такой выбор у гарантирует отсутствие у функции В(р), вещественных положительных нулей (наличие таких нулей у функции В(р) означало бы неустойчивость изучаемого объекта).

2. Определение пространства и входных воздействий, для которого гарантирована устойчивость объекта, под которой здесь понимается ограниченность оператора и ^ у. Как следует из выражения для передаточной функции У объекта (см. [4], формула (2.2)), устойчивость объекта гарантирована при ограниченности сужений на и операторов

Я

В

имеющих передаточные функции ^г

в = В (^ = Н, 5),

(1.5)

где Нх (р) = еЬ

у сіт[р

; (р) =

а і

а^Л[р4в

ґ X Л у аіт[р

Пространство и ищется в классе пространств О(-у) (г,у = 1, 2, ...) функций-оригиналов ф [1], равномерно ограниченных при ^ > 0, имеющих г ограниченных первообразных ф(-г), 0 < г < г, иу ограниченных (обобщенных) производных ф^, 0 < 5 < ]. Для краткости Осад обозначаем Оу, а О(0,0) обозначаем О. Норма в пространстве 0(-у>

(16) j I = max

IIQ(-i, j) r=0+i, s=0+ j

{ 11^ vrai sup j(-r 10 “r, vrai sup j ( )|б

í>0 í>0

Функции В входят как в выражение для передаточной

функции объекта У, так и в достаточное условие детерминированности, причинности и устойчивости замкнутой системы «объект-обратная связь» (см. [4], формула (2.2)), имеющее вид:

(1.7) Ьх < 1.

В (1.7) обозначено (см. [4], формула (2.4)):

Ьх = т2Ьр^ + тхЬрги ,

та = (I ^ 2 I + I е,а 2 |) ^ + 1 ^ 1 + 1 ^11 ^ ,

Nj,v = sup

feL

RJz D

, J = Н, 5;

Ви

Ви - пространство линейных ограниченных операторов и ^ О ; Ьр и - константа, входящая в условии липшицевости обратной связи:

(1.8) р(АТ„ /)-ра(ДТ2, /Ни < ЬрЛДТ - Ат2||х, а = 1,2,

где Ра(АТ, / - реализуемый обратной связью оператор (вообще говоря, нелинейный) X ^ И; / - внешнее воздействие, действующее на обратную связь; х - пространство ограниченных функций АТ: Ь ^ О с нормой

11ДТ11х = шр|ДТ(гIIО .

г еЬ" и°

3. Вычисление оценок для норм сужений операторов

,J г Р

(1.9) Rjxр , J = H, S

имеющих передаточные функции

на пространство U и рассматриваемых как операторы U ^ Q. Как видно из выражений для LX, ma и NJjU; эти оценки необходимы для определения (по достаточности) класса FB обратных связей, для каждой из которых гарантированы детерминированность, причинность и устойчивость замкнутой системы.

2. Исследование полюсов функций Rj р (J = H, S)

Введём в рассмотрение функцию h(x) = sin т/т вещественного переменного т. Так как функция h - чётная, достаточно считать т положительным.

В интервалах In = (n(2n - 1), 2nn), n > 1, функция h принимает отрицательные значения и имеет минимумы в точках tn ,

являющихся решениями уравнения т = tg т ; точка tn располагается в интервале Jn = (n(2n - 1), n(2n - 0,5)). Минимальное значение функции h в интервале In:

Обозначим через NY наибольшее из чисел n, для которых

Г • sint

(2.1) hn = min---------

J n t

h(tn ) = C0Stn

1

у > Ип (если у < И1, считаем Ыу = 0), через И* обозначим величину Ны = И(ты), а через т* - величину .

Т е о р е м а 1. При любом у е (И 1, 0) в области С функция

Р(С) имеет 2ЫУ простых чисто мнимых нулей вида £Пк = ¿тпк, к = 1, 2, где тпк - решения уравнения

,ч sint (2.2) -------= у,

находящиеся в интервале In = (n(2n -1), 2nn), а при у = h*, где

h* = hN

функция Р имеет нуль 2-го порядка С = ¿т*. Этим нулям при у е (И 1, 0) соответствуют простые вещественные отрицательные нули

(2.3) рпк = -

\2

1пк

а

Ґ * л2

Т

функций Р и Б, а при у = И* - нуль 2-го порядка (2.4) р

а I

V

Кроме того, функция Р при любом у< 0 имеет в С счётное число пар простых комплексных нулей вида £„ = ±, у

которых о°п > 0, т0 е М п, М п = (р(2п -1),тп), п > Ыу +1. Этим

парам нулей функции Р(£ ) соответствуют пары сопряжённых комплексных нулей

(2.5)

функции Р(р). При у >~1 =-4,5697 все нули функции Р удовлетворяют условию | Яе £ к I < 11т £ 0к I, поэтому все нули функции Р(р) располагаются в полуплоскости С- = {р: Яе р < 0}. Если же у < ~1, то Р(р) приобретает такие нули вида £° = 5° ±¿т°, что означает неустойчивость объекта

у которых о°п > ТП

управления.

Доказательство теоремы см. в приложении П1.

Исходя из требования устойчивости объекта и опираясь на теорему 1, в дальнейшем будем полагать у> ~1. Как показывают вычисления, минимумы функции Н(г) в первых трех интервалах 11, 12, 13 достигаются в точках

Т1 = 4,49341, Т2 = 10,90412, Т3 = 17,22076 и, соответственно, равны

Н1 =-0,21723, Н2 =-0,09133, Н3 = -0,05797.

Поэтому при | у | > 0,21723 функция Р не имеет чисто мнимых нулей (Ыу = 0), а функция Р, соответственно, не имеет вещественных нулей. При 0,01933 < | у | < 0,21723 имеем Иу = 1. При меньших значениях | у | величину Ыу можно оценить следующим образом.

Т е о р е м а 2. При | у | < 0,0194 величина Ыу находится в диапазоне

(2.6)

Ny є

1

3

1

1

2p | y | 4 2p | y | 2

Если при этом | g | e Г = (| hN |, 1/ pN ], где

pN = p (2Ny - 0,5), то

1

1

- + —

(2.7) Ny = int

g 2p|g| 4

где int (x) - целая часть числа x.

Если же | g |e Г2 = (1/pN ,h*], где h* = | hN |, то

(2.8) Ny = int

11

-----1-

2p | y | 2

Доказательство теоремы см. в приложении П2.

3. Разложение операторов на составляющие по полюсам их передаточных функций Я,, Р (и = н, Э)

Введём в рассмотрение функции

R

Q

в - см. раздел 1, и систему {Gn, n > 1} окружно-

(3.1) Р,

где 0(р) = I стей

(3.2) Сп = {р е С: |р|= р п /(а I )2}, где рЫу = ж(2Ну - V2).

Л е м м а Значения функций ¥, (/ = Н, 5) на окружностях Сп стремятся к нулю при п ® ¥

Доказательство леммы дано в приложении П3. Лемма позволяет применить к функциям ¥, теорему Коши [1, п. 71].

Т е о р е м а 3. Функция ¥, представима в виде суммы ряда, составленного из главных частей её разложений в ряд Лорана в окрестностях полюсов р°п (п > 1):

(3.3) ¥, = Ж,0 + Ж,г + Ж,г^у + Ж* + Жл ,

С Му-1 ~

где Ж,0(р) = ^; Ж,г = £ Ж,гп ;

~ 2 С

Ж г п (р) = 1 -~—

к=1 р - рпк 0

Ж]( р) =

С

,1

- + -

С

р - р (р - р*)2

жл (р) = £

при у е И*),

при у = И*;

^ С0 С0 ^

С,п + С,п

п=Му+1^р - р0п р - р0п

р е С, рпк, р°, р*, И* - см. формулировку теоремы 1;

С=

'-Н 0

С =

Нпк ~

1

в (у -1)

а1 X 1

в^21 у-Г ’

; С =

’ 5пк ~

2 Ш5((Х/I)тпк) • ^ _ 2а/ яп((£//)Тпк)

в 32 тпк (у + *пк^~ГХк )

пк\ * ^ пк ^пкУГ^^пк

$п1 = 1 при п е [1, Му ]; 5п2 =-1 при п е [1, Му -1]; X 2 = ^ёп (| у| -1 р му);

4

СН, = ^ т/1 + (т')

Т в

С0^/т-) -1зш((£/ I )т •)

3т 1

Г' _ С51 =

4а/ л/1 + (т *)2

С =

Н2

(т *)2 в3/2 8

-X /)т.)

3 т /

(а / )2 в

-С08

((XI/)т*)лА+(т*)2;

п =1

*

*

52 аів3/2 -* У

г

С = 2 оЬ((^/)р С = 2а1 8Ь((£//)0 Нп в у - оь С ’ 8п в32 С(г - оЬ СО)'

Доказательство теоремы дано в приложении П4.

Из (3.3) следуют разложения для функций Р (* = Н, ^ ):

(3.4) ; = С* ов + в(Щ г + Ж* г ^ + Ж* + ЖЛ).

Функции С; ов , г п (п = 1, ..., Ну), Щ г, Ж* и Ж;с ЯВлЯются соответственно передаточными функциями операторов Сов, ; (п = 1, ...,Ну), ;, ж* и ; эти операторы входят в пространство В ограниченных операторов О ^ О (см. раздел 1). Норма оператора с передаточной функцией Смв в пространстве В равна, естественно, Смв. Оператор с передаточной функцией в, который пропорционален оператору обобщённого дифференцирования, входит в пространство В1 операторов 01 ^ О (О1 - см. раздел 1), и его норма в пространстве В1 равна 1.

Ниже будут рассмотрены вопросы вычисления или оценки норм остальных операторов с передаточными функциями, входящими в правую часть (3.14).

4. Вычисление норм операторов Ж;гп (п < И7, J = Н, Б) и оценка норм операторов Ж* г

Т е о р е м а 4. Нормы операторов Ж*гп (п = 1, ...,Н-) в пространстве В вычисляются следующим образом:

(4-І) \\Ягн г „||в =

(4.2) \\Ж3 г „\\в =

2(а1 )2 2 V СНк

в к=1 ьк* Пк

2(а )3 2 V С5к

в 3/2 к=1 ьк * Пк

С08((^ I )Т пк )

I )Т пк )

где

'Л

1 При 2 < 1 к = 1,2; г, _

ШТ*-1 при <2; > 1;

; _ Н8 . 2 =-о°^((^/1)г п 2 ) . 2 =-Ь_ г п1 Э1п((Х/1 )г п2) .

’ ’ Н Ь2 °08((Х/1^ Ь2 гп2 3!П((^I)Тп1) ’

ьк = у+5пкгпку]г 1к-у2 ; 5«к - см- формУлировКУ теоремы 3;

значения гп! , гп2 ( гп1 е Мп = (л(2п - 1),гп ), Тп2 е Ьп = ^ ,2лп))

вычисляются путем численного решения уравнения (2.2) в интервалах М п и Ь п .

Доказательство теоремы дано в приложении П5.

Т е о р е м а 5. При | у| < 0,04 нормы операторов Ж;г (Л = Н, 5)

в пространстве В могут быть оценены сверху с помощью следующих соотношений:

(5.1) ||; ||в < к; (М; 1 + М; 2),

д , _ 2 (а)2 , , _ 2 (а/ )3

где кн _ ^ , ; к5 _ л32 3 ^

в Р 2 ’ 5 в32 Р

тыу _ тш(1,|2л(Ну - 1)Х//I);

МН 2 _ —

9 4Н - 5

V / У

; М52 = —

М; 1 _ ; + га;1 + 2; Г;

1

| у| о

Р (2п; + 3/2)

11

1

пН _ 1П

1 - 2ру + ^11 - 4ру

|8ру|

(2«; + 1)

п5 _ 1П

27 (4Ну - 5)2

у

при п; _ Ну -1, при п; < Ну - 2;

2 - 3лу + ^ 4 - блу 112лу |

Р Н _ 2 , @5 _ 3 ;

2 5^ 2 + 3лу

га,, _-------------------+ —; 1п----------------------т-г-+

3л + 2у 2 2 + (4п; - 1)

+ ; 1п(2п; -1) +1 (1 - ( 1 ).

2 V ; 7 2 £ / -1 ( - 1)г

7

1

;

т/ 2 = 0 при nJ > Ыу - 2, а в случае nJ < Ыу - 3 = ж(4Ыу - 5)

+

(2Ыу - 3)Ь/ (2 + жу(4Ыу - 5)

+ В/ 1п2^7С4п^ + 7)(4п^+7) + / |п4^7 - 5 +

2 + жу(4Ну - 5)

2і-2

2 4п_/ + 7

2г'

(4п/ + 7)і-1 (4N - 5)

і-1

пн = іП

п5 = іП

1 + 2ж \ у \ +д/1 + 4ж \ у \

8ж \ У \

2 + 3ж \ у \ +^4 + 6ж \ у \

Вя =

V

2

ж

12ж \ у \

ау

V 1 J

3

ж

ау

V '

у . ЛН1 = 2 . ЛН 2 = 3 =

а.

ж

у

2а

у

л 1 _ ^; А 2 _ ; «у _ 1 + Р у ; @н _ 2; & _ 3.

ау ау 2

Доказательство теоремы см. в приложении Пб.

5. Вычисление норм операторов Ж/ (и = Н, Б)

Т е о р е м а б. Нормы операторов с передаточной функцией Ж; ; = Н, 5) в пространстве В вычисляются следующим образом:

(5.1) || Ж; ||в_ а; 1 + а;2Ь; ,

(* )3

V

ан2 =-167^^1 + (*Т со$((Х/1)т*), (* )4

л/і + (* *)2 -3с08((^//)т *) + у 8ш((£/ / )т *)

ен = 3 + у т **В((Х/1 )т *)’ Ьн = |

0 при ен > 0,

н ехр(-| ен |/2) при ен < 0;

а?1 =

*1 , «.4

4(а1) У7УУ)Л Ю ып{(Х /)т ) X о„„((е/,)т*)

7 (т ) —-----------------------------«-у сов((^ 1)Т )

(т )\1 в [ 3 т /

а*2 + (т*)2 8ш((£//)т*),

(т г^в

3-ууо1§((у//)т*) при у >0’

! г л

6 при у = 0;

0 при е* > 0,

ехр(-е*) при е* < 0.

Доказательство теоремы дано в приложении П7.

Ь* =

6. Оценка норм операторов Жл (и = Н, Б)

Т е о р е м а 7. Нормы операторов с передаточной функцией Ж/с (/ = н, *) в пространстве В оцениваются сверху следующим образом:

!) при | у | < g1 = 12 -! » 0,3358

(6.!) \^/с\\в <

4(а/ )2 ! /у (СNу71)

в ^N^71 (у - оЬ С^71)

7

т/

Фу (N 7 2)

■7 I

1/

где СП = а0 7¡т0 - нуль функции Р (см. (!.4)), лежащий в полосе {а 7iт е С: а > 0,т е Jп}:

СП е {а 7¡т е С : а > 0,т е Jп = (2р(п - !),р(2п - 0,5))};

= (О2 - (ап0)2; ну (р) = оЬ((^/)С); (р) = -0^- 8ь((у//)С);

ан = р ; а5 = аI/4в ; п7 = 2^ + 3; тш = п7; ц15 = 1; Ф7 (п) = Ф17 (п) Ф27 (п);

Ф17 (п) = р2(2п -1)2 - 2,7 | 7 | УІ1 + р2(2п -1,5)2

Ф27(п) = 7+ л/р2(2п -1)272 -1 ;

Лн =

л/Г+У^Лп) + 27а

2р 7 а7 (>>7) р Ь7

2р (N)

<~7 ( >7 )

+7

= 2Ну + 3; р(N7) = рпу -^ 1 + р2(2^7 + 2,5)2

Ьу = >/2,7ТгТ(4рС^уУ-2,7|у|) ; а7 = аг^

2р п7 + 2,77

>7 = — д/ї+72; Л(пг) = 1п ^ (пу)); р7 р(п7 - >7)

(~7(>7) = 2,7р | 71 р(N7) + (1 + 72)/72 -2,7^1 + 72 ;

(~7(«7) = (япу)2 - 2,7 171 ;

2) при 17| є [gl,\fl |))

4(а/ )2

В в

+ а,

І т2 ¥п + 12¥

\\

п= р„ +1

V

/у

п=1

1 ¥X (С 0)

Я 7-* С0

Здесь т2мп = -^¥4; №2нп = 2п -1; ^25п =1; ф (п)

1п

р

' V1 + 72 ^7 >7

^25 =

1п

+

1 + 72 17 У 7 р17А/1 + 7

При этом пределы суммирования кУ и рУ в формуле (6.2) зависят от величины следующим образом: представим множество значений | 7| как объединение полуинтервалов

[^1,1 |) = и5=![g1 , g1 +1)

п

Ь

I

I

1

1

с границами g2 = 0,38, g3 = 1,49, g4 = 2,65, £5 = 3,8, g6 = | ~ |. Тогда если | у |е [gi, gi+1) с [g1, ~1) при некотором 7, то ку = 7, а

0 пРи | У |е [gl,g2),

Ру =<1 при | У |е [ g2, g4),

2 пРи | У |е [g4,g6).

Доказательство теоремы см. в приложении П8.

7. Заключение

Выполненное в разделах 4-6 исследование показывает ограниченность сужений операторов

/, Е г ^, /

на пространство О как операторов О ^ О и даёт оценки сверху их норм. С учётом представления (3.14), для функций р это

означает ограниченность сужений соответствующих им операторов на пространство О1 (см. раздел 3) как операторов О1 ^ О, т.е. устойчивость исследуемого объекта по отношению к паре пространств (Оь О) (см. [2], п. 2.2). Следовательно, роль пространства и управлений (см. раздел 1) может играть пространство О1.

Полученные в разделах 4-6 оценки дают возможность определения класса ЕВ обратных связей иа = ^(АГ, /), для каждой из которых гарантированы детерминированность, причинность и устойчивость замкнутой системы управления (см. раздел 1).

ПРИЛОЖЕНИЕ

П1. Доказательство теоремы 1

а) Вещественных нулей функция P(Z ) не имеет в силу выбора параметра у (у < 0). Рассмотрим вопрос о её чисто мнимых нулях. Так как минимумы hn функции h(t) = sin t/t (см. пояснения к теореме 1) стремятся к нулю при n ^ да, а

л sin t

(П1.1) P(it) = g- —= g-h(t), t

то при любом у < 0 функция P имеет лишь конечное число чисто мнимых нулей и вообще не имеет их при

г - 1 g < h1 = cost1 = -1 ' =-2

fi+гї

Так как 7 < 0, при п < N функция Р имеет чисто мнимые нули в полосе Оп = [а + іх : а > 0,х є 1п}, где 1п = (п(2п - 1), 2пп).

Если у > Нп , то Р имеет пару простых мнимых нулей іхпк :

хп1 є М п = (р (2п - 1),Хп ) , Хп2 є ^п (Хп,2рп) , Хпк - Решения уравнения к(Х) = у, к = 1, 2.

Если же у = к (см. теорему 1), где

*

* sint . sint (П1.2) h =—*— = min-

(П1.3)

*

t t

функция P имеет нуль Z = it*, a t удовлетворяет уравнениям t = tg t,

1

=g-

Этот нуль 2-го порядка, ибо

.t * cost * - sint *

(П1.4) P'(ít*) = i * = 0,

(П1.5) P" (it *) = - cost *= * 0.

Vi+t * )2

б) Рассмотрим теперь вопрос о комплексных нулях функции Р . Пусть £П = о0 + гт0 - такой нуль функции Р(£), что о0 > О, Т° е [2р(п -1), 2рп ) . В области С+ при а > О уравнение

(П1.6) Р(£) = у - 8Ь(£) /£ = о , где £ = о+гт,

эквивалентно уравнению бЬ(о+гт) - у (о+гт) = О или системам уравнений

(П17) |Яе(£Р(£)) = О [1т(СР(С)) =

о

0;

(sh a cost - ay = 0,

\i ch a sint - ity = 0;

которые при приводимы к виду shs cost

- У

(П1.8)

a

tgt ths

ta

= 0,

= 0.

Введем функции двух переменных Z(a, т) и G(o, т):

(П1.9) Z(a,t) =

sh a cost 4 tgt th a

- y, G(a,t) =-B—-

о то

Из выражений для функций 2 и О видно, что эти функции чётны по т. Поэтому далее будем искать нули лишь в первом открытом квадранте {а > О, т > 0} комплексной плоскости С+ .

Если Р(о0 + гт 0) = 0, о0 и т 0 должны удовлетворять уравнениям системы (П1.8), т.е.

(П1.10) 2 (о 0,т 0) = 0,

(П1.11) О(о 0,т 0) = 0.

Отсюда с учетом неравенств у < 0 , о0 > 0, т0 > 0 следует, что собтО <0, бшт0 < 0, т.е. тПО е Jп = (р(2п -1), р(2п - 0,5)).

Так как Ш а/а < 1, из (П1.11) следует, что

т0 > гвт0, т.е. т0сО8т0 -8шт° < 0 и И'(т0) < 0 .

Поэтому tn лежит в Mn = (p(2n — 1),tn) — интервале убывания функции h: tn < tn . Так как tn e Jn, то | cost° |> | costn | = | hn |. Учтя, что sh о > о, из (П1.10) получаем: | y |>| costn |. Поэтому (П1.12) | У | > |cost n | > |costn |=| hn |.

Следовательно, при n < NY (т.е. если y > hn) функция P не имеет нулей в полосе {a + it a > 0,t e [2p(n - 1),2pn)}.

в) Итак, если Zn = a° + itЩ — нуль функции P и a° > 0, то n > Ny, | hn |<| У |, и zn e {(a + it):a > 0,t e Mn)}.

Докажем теперь, что при любом n > NY , т.е. при | hn |<| у |, в области Gn функция P имеет один и только один нуль.

В области Пп = {(a,t):a > 0,t e Jn)} с R +xR + уравнение (П1.10) неявно задает функцию t = u(a). Действительно, частные производные функции Z(a, t) всюду в Пп отличны от 0, при этом

dZ sh a sint _ dZ a ch a - sh a

— =------------> 0, — =----------2------cost < 0.

dt a da a

Поэтому из теоремы о неявной функции следует, что заданная

уравнением (П1.10) функция t = u(a) монотонно возрастает,

стремясь при о ® да к t = p(2n - 0,5), так как cos (u(a)) ® 0. При

о ® 0 согласно (П1.10) cos (u(a)) ® у, и так как по условию

| У | > | hn | = |costn |, то (П1.13) lim u(a) < tn.

a ®0 n

Далее, частные производные функции G(o, т) (см. П1.11) в

области Пп строго положительны:

, .. dG - a + sh a ch a _ dG t - sint cost

(П1.14) — =-----------—з----------------------------> 0, — -2-> °’

da a ch a dt t cos t

поэтому уравнение G(o, т) = 0 в области Пп тоже неявно задает

функцию t = v(a), которая монотонно убывает с ростом о; при

этом при о ® 0 значения у(о) стремятся к tn , так как tn = tg tn ,

а при о ® +да — к т = n(2n — 1). Из неравенств

lim u(s) < tn = lim v(s),

s —0 s ®0

lim v(s) = p(2n -1) < p(2n - 0,5) = lim u(s)

S--¥ S--¥

следует, что возрастающая функция t = u(s) и убывающая функция t = v(s) пересекаются в некоторой точке (s°,t°)е Пп . Эта точка пересечения единственная в силу строгой монотонности этих функций. Отсюда и из выводов пункта в) этого раздела следует, что при | hn |< | g | функция P имеет один и только один нуль вида = s ° + it ° в области Gn.

г) Для устойчивости объекта необходимо, чтобы все нули функции D располагались в C- = {p е C : Re p < 0}. Нули функции D, соответствующие чисто мнимым нулям функции P, удовлетворяют этому требованию; для комплексных нулей, наличие которых установлено в п. в), это условие означает необходимость выполнения неравенства:

(П1.15) Re С < | Im О

При любом о число о + iv(o) (см. п. в) является нулём функции P, если значение у равно

(П1.16) g=sh s c0s(v(s)).

s

Из этого равенства следует, что | у(&) | монотонно растет при

о — œ, так как значения убывающей функции t = v(s) лежат в интервале Jn, где |cos t| монотонно растет при убывании т, а,

следовательно, |cos (v(o))|, как и отношение sh s/s, монотонно растет с ростом о.

Поскольку при фиксированном n отношение v(o)/o монотонно убывает при о — œ, стремясь к нулю, при некотором значении о, которое обозначим как оп, выполняется равенство

v(sn ) = ~n .

Это значение можно найти из (П1.8) как решение уравнения (ПП7) thSn = tg sn

в интервале Jn. Число &n + isn будет нулем функции P, если

/ТТ1 10Ч ~ sh ~n cos ~n

(П1.18) g = gn =----^n.

<n

В силу монотонной зависимости у от а лежащий в области Gn

нуль функции P

_0 . ,-_0 _0 , /-_0\

<n + ^n = <n + Vn (<n )

удовлетворяет требованию (П1.15) лишь при (П1.19) | g | < |~n I,

так как тогДа <0 < Vn (s°n), а S°o ^ V n (Sn0) ПРи 1 g 1 ^ |~n |.

Из (П1.17) и (П1.16) следует, что ~n монотонно возрастает с ростом n. Поэтому, если при n = 1 неравенство (П1.19) выполняется, то оно справедливо для любого n.

Следовательно, выполнение условия (П1.15) для всех нулей функции P (что необходимо для устойчивости объекта) имеет

место лишь для значений у, строго больших величины ~J . Из

(П1.17) и (П1.18) находим численные значения <jj и ух:

(П1.20) <~j = 3,9266 , ~ = -4,5687 .

Теорема 1 доказана.

П2. Доказательство теоремы 2

Введём обозначение рп = п(2п — 0,5). Так как (П2Л) К(рп) = -1/ рп ,

то IК И/ Р п .

С другой стороны (см. (2.1)),

(П2.2) | Кп | = 1 ТъЙ? < 1 р(2п -1), поэтому

<К +1|<---------1-----<-------1-------<К |<-----------1---

р„г+1 у + Р(2N +1) Р(2Ну - 0,5) р(2N -1)

Отсюда, если | у | е (Ны +1, Ны ], то

1 ■<|К„+1|<|у|<|К„ |<- 1

p (2 N 7 +1,5) +1' '"у' p (2N -1)

следовательно,

—-----0,75,— + 0,5

2пу 2пу

что допускает два возможных значения для Нг Если же (П2.4) ге Г! = (1/р„ ,\й„ \],

то

"у ",

1 , , 1

п(2Ну - 0,5) Поэтому

< ІУI <--------------, т.е. N - 0,5 <

1/1 п(2#у -1) У ’ 2п | у |

< Жу - 0,25.

Nу є

1 - + 0,25,—1— + 0,5

2п | у |

2п |у|

откуда следует, что

Ыг є іп

1

2пу

■ + 0,5

Если

(П2.5) у є Г 2 = (\НЫг+1 |, 1/ рЫу ], то

1 £ | У | < 1

п(2N - 0,5) поэтому

п(2N +1,5) ’

Nу є

1 --0,75,—1— + 0,25

2п | у |

2п |/|

откуда следует, что

Nr є іп

1

- + 0,25

2пу

Теорема 2 доказана.

П3. Доказательство леммы

Рассмотрим функции

Р-н( р Н х

Єр Р(р)

р

Єр Р(р)

є

Оценим модули функций | Rj P | (J = H, S, см. (1.10))

(П3.2) | Rh p | =

ch((X/l )a?VP)

P( P) sh((X/l)aljp)

<

|Z ||ch(Z )| < | z || ch о|

<

||g | Z + sh Z | || g|Z + sh Z |

al ||chо |

V0||y|Z + sh Z|

(П3 3) |Я&'\= 4врР(р)

где £ = сЛл/Р = о + ¡т е С .

Из (П3.2)-(П3.3) следует, что лемма справедлива, если функция

(П3.4) /(£) =

|g | Z + sh Z

ch о ch о

при n ® ¥ равномерно ограничена на полуокружностях Гn = {Z Є C: | Z | = rn = 2pn + 0,5p,argZ є (-ж/2,ж/2]}, так как отсюда следует, что при n ® да модули FH и FS равномерно стремятся к нулю на системе окружностей {Gn}.

Обозначим через М, М1 и М2 модули следующих функций:

(П3.5) M(Z) =

(П3.6) Mi(Z) =

Z|g| + sh Z

ch о ch о

ch о

rn | g |

ch о

, M2(Z) =

sh Z

ch о

Заметим, что справедливы неравенства (П3.7) гЪа < М2(£), М > \ М2 -М1\.

Нужно показать, что существует такое целое N, что для любого п > N выполняется неравенство М > т, где т — некоторое число, большее нуля. В силу четности М по о и т, достаточно рассмотреть только дугу окружности, лежащую в 1-й четверти комплексной плоскости (т.е. если 0 < о < гп ).

Сначала оценим величину М(0 в такой точке С = оп + ¡тп дуги Гп, в которой тп = гп — 0,5ж. Точка Сп делит рассматриваемую четверть окружности на две дуги Гп и Гп2:

Г п! = : £ е Гп ,1т £ < тп}, Гп2 = : £ е Гп ,1т £ > тп}.

Действительная часть числа С равна

(П3.8) sn =Vr2n -12 = Jr2n -(rn -0,5p)2 = Jprn -0,25p2 ,

следовательно, если n ® да , то on ® да .

Выберем числа m1 и m2 так, что 0 < m1 < m2 < 1 .

Из неравенств

(П3.9) M2(sn) = 7(sh2 s + sin21) /chs > th sn, limth sn = 1,

(П3.10) lim M1(Z n) = lim

(r„ -0,5p)|g| ch-^/prn - 0,25p2

= 0

.2

У

следует существование таких целых Hi и N2, что M1(Zn) < т1 при всех n > Nb а M2(Zn) > th an > т2 при всех n > N2 . Если же n > max (Nb N2), то

(П3.11) m (Z n) > M2(Z n) - m i(z n) > «2 - «1 = « > 0 (например, выберем т1 = 0,25 и т2 = 0,5, тогда т = 0,25).

Далее, в точках Z = а + ?т дуги Гп2, лежащих ниже точки Zn (т.е. а > an ), модуль M2(Z) > th а > th an > т2, а M1(Z) с ростом а убывает. Поэтому из (П3.11) следует, что для всех точек Z дуги Гп2 при любом n > max (N1, N2) выполняется неравенство (П3.12) m (Z) > m 2 (Z) - M1(Z) > M 2 (Z n) - M1(Z n) > «.

Оценим величину M(0 в точках дуги Гп1. Согласно (П3.5)

(П313) M (z) = l(s 171+sh s C0ST )2+(t 1 r 1+ch s sint )2

V ch2 s

Заметим, что в точках дуги Гп1 величины sin т и cos т положительны. Поэтому на Гп1 функция M(Z) ограничена снизу положительной функцией, зависящей только от а:

(П3.14) Mn(Z) >J4^ + th2 s .

V ch2 s

Стоящая под корнем в (П3.14) функция

r2 | 7 |2

(П3.15) g(s) = + th2 s

ch2 s

с ростом а убывает на дуге Гп1 при каждом n, превосходящем некоторое целое N3, так как ее производная

g'(s) = 2(1 ~rn '2|2)<ЬСТ <0 ch s

на Гп1 отрицательна, если n > N3 > 1/| у |. При a = 0 (в точке irn) эта функция равна (yrn)2, а в точке Zn = an + ixn она равна

g(Zn) = + th2 Sn > th2 Sn > m2 (см. (П3.11)).

ch sn

Поэтому при n > N3 во всех точках Z дуги Гп1 :

(П3.16) M(Z) >Vg(Z) ^g(Zn) > m2 > m .

Положим n > N = max (Ni, N2, N3).

Согласно (П3.16), (П3.12), при n > N для всех точек Гп справедливо неравенство M(Z) > m >0, т.е. функция f(Z) равномерно ограничена на {Гп}, откуда следует справедливость леммы.

П4. Доказательство теоремы 3

а) Так как

rj хр (Р) _ Jx(WP )

Fj =■

Op QpP(alfp) ’

из выражения для WJ0 (см. пояснения к (3.3)) следует, что

RJ P (0)

(П4.1) Cj0 _ resFj _-^-

(см. [1, п. 23]). Отсюда следуют приводимые в пояснениях к

(3.3) выражения для CJ0 (J = H, S).

б) Из выражения для WJrn (см. там же) следует, что

(П42) с f ■2J) 2 Jx(itnk)

(П4.2) CJnk _ resFJ _ -i —-----------_----------------_

J* Pk J OtnkP'dtnk) etnkh'(Tnk)

_ 2 J4 (it nk) _ 2------J№nk) , k _ 1,2, J _ H, S.

Og - costnk O7 + SnkT¡1 - 72T2nk

Здесь величина коэффициента snk определяется так: sn1 _ 1 при n е [1, Ng], так как costn1 < costn < 0;

sn2 = -1 при n е [1, N — 1], так как в точке t n 2 функция |h(t)| убывает, но

(П4.3) | h(tn2) |< | h(tn+1 )|< ^ < — =| h(рn) |,

Xn+1 р n

где рn = p(2n — 0,5), следовательно, tn2 > рn и costn1 > 0 ; sNr2 = sign(| g | — уpNr) (считая sign (0) = 0), так как costN^ 2 < 0

при tNr2 е (tNr , Pny ) , и COs tN,2 > 0 при tNr 2 е ( PNy , 2pn) .

Отсюда следуют приводимые в пояснениях к (3.3) выражения для коэффициентов CJnk .

V Т .* ф F * — (t У

в) Т ак как при g = h функция FJ имеет в точке p =--------------2“

(a l )2

полюс второго порядка, то в этом случае C * C *

(П4.4) W*(p) = —^ + J2

* / * \ 2

р - р (р - Р )

Так как Р(р*) = 0 , Р'(р*) = 0 и

(П4 5) ^Р_(,Л = (о»* С’ = (а1)4

{П4'^ (с/р)ЛР)- 4(С')2 С' " 4(т*)^^/Т+(т*)2

то

(П4.6) С*2 = Шп(^(р -р*)2) = ^ .

р®р ир Р (р )

Отсюда с учетом равенств (П1.4) и (П1.5) получаем:

* 8.Л (¡X*) I-------2“ ~ ~ ~

(П4.7) с;2 =^ОгГ^ + (Т (^ = НХ ’^ ).

Так как

(П4.8) Hx(it*) = cos((X/l)t*), Sx(it*) = /1)0,

находим, что

8 //£ /7\ *\ /1 / * \ 2

al

(П4.9) CH2 = —^-cos((X/l)t*^1 + (t*)2 ,

(al )2 в

(П4.10) С*2 = sin((<g*1 >Т^т/ї+СО2 .

аів3

Далее,

(П4.11) C*i = re*sFj = lim*

d ( Fj (p -/)2)

-J1 _ J *

p p® p

dp

d

Jx (cdjp )(p - p*f

= lim

+ lim

dp epP

(p -/)2 d ^ Jx (al^fp)

вР dp p

Jx (aljp) d (( p -/)2

p®p* ep dp

+

P

2

„ * lim

вР"(p ) p®p*

v

(al )2 Jx (/t*) '

--------------------lim

в (t *)2 p®p*

p(Jx (alyjp ))", - Jx (cdjp)

+

J

* ч 2 ту \

2(p - p)P - (p - p )2P P2

V

Из тэйлоровских разложений функций Р и Рг в точке p следует: (П4.12) 2 (p - p )Р(p) = Р'(p*)(p -p*)3 +

+ Р"'( p*)( p - p*)4 /3 +(p - p*)4 o( p - p*),

(П4.13) (p -p*)2P'(p) = pV)(p -p*)3 + Р V)(p-p*)4 /2 + + (p -p*)4o(p - p*).

Поэтому lim* p® p’

2(p - p )P - (p - p )2P

2(p -p*)4P""(p*)/3 + (p -p")4o(p - p*) _ - 2P"V)

= lim -

p®p* (P"(p))2(p -p)4 + (p -p)4o((p -p)) 3(P"(p ))2

и, следовательно,

2

С

'—1

+

= 8^|,+*)! ) ~ (ít * ( ( x (ít *))? /2 _—т* *

(о/ )2 Jx (it *) 2P т (p *)

+

3( P' (p*))2

0(t*)2

Используя соотношения

d2 P( p*) (о/ )4sh z

(П4.14)

(П4.15)

(al )4

(dp)2 4Z3

d3P(p*) 5(al )6

4(tУ Vi + (tV

1

(dp)3 8(tУ ^^77 ’

а также (см. (П4.8) и (1.5))

H x (p) = ch

или Hx (z ) = ch

находим:

С * =

h i

V

/x ^

УZ,

V /

S(Z)=-05sh

Г' _ CS1 =

4 Vi + (t*)2 (xt *

0 t * l

V 4al Vi + (t*)2 (

(t *)2 0 32 V

,«x / /, *)+cos((x *l )T

3t *

_ y /),.)

3 t l

г) Из выражения для WJ c (см. (3.3)) следует, что (П4 14) С0 = reS F = — Jx (pn) = — Jx (Zn) =

( .) jn pe»0 J 0 p°nP'(p°n) ec°nP'(C°n)

2

Z »» Jx (Z °)

2 Jx(Z»0)

0 sh(Z„0) _Z„°ch(Z„0) 0r _ch(Z„0)’

Здесь учитываются соотношения:

Т ( 0) } (Z 0) г/ ( 0) ( У )' dZ (cl) J' (Z n )

Jx (p») = Jx(Z» ), J' (p») = (Jx) p-p = —^-------------

1

P \С) =

sh С - С ch С

С2

Используя (П4.8), получаем приводимые в пояснениях к (3.3) выражения для коэффициентов С0п .

П6. Доказательство теоремы 5

Норму функции ^(^згп) в пространстве Ь'(Я+) при п от 1

до N — 1 включительно можно оценить сверху следующим образом:

(П6.1) || w(Wj1„) ||Li(R+)<

С,

Pnl

+

С,

n 2

= al

ґ С С Л

Wn1 + Jn 2

n22

Используя выражения для CJnk (см пояснения к (3.3)) и учитывая соотношения

(П6.2) Ln = ж(2n -1) < tn1 < tn < р = ж(2n - 0,5),

(П6.3) costn1 < costn = hn = ■ 1

I1

(П6.4) | sinx |< m(x) = min(1, x), получаем оценки:

(П6.5) || WHrn ||b<

2(al )2

<

2(al )2

в

1

COS((£/1 )t n

-+-

cos((£/ l )t

n2

Tn2i(g - COStni) t22(| 7 | + COSTn 2 )

<

- + -

1

К (| Лп |-| 71) p:\7\

(П6.6) \\wsrn \\b<

2(al )3

,3/2

Sin((X/l )t n

- + -

Sin((£/ l )t

n2

Tn3i(g - COST ni) Tn32(| 7\+ COSTn 2 )

2(al )2

в

m ((XI i ytn) + m (2p (X/i )n)

-+

К(|Лп|-|7\) r3171

Так как hn > 1/рn , из (П6.5) и (П6.6) следуют оценки сверху для ||i~5rn ||b (J = H, S):

(П6.7)

где

Ж

£ к, (б, і + Я, 2)

кн = -н в

ґо!л2

чру

ґ ой л3

ЧРУ

т((XII)Р(М -1));

& = ІФ», Ф,і(п) =

1

(п)

Р (п) = (2п -1)Р' і

Ф, 2 (п) =

1

--1 ї I

р (2п - 0,5)

; Рн = 2 ; Ь 5 = 3 •

(2п - 0,5)Ьз | 7 |

В качестве диапазона значений параметра | у | принимаем промежуток (0, 0,04]; при этом, согласно (2.6), N > 4.

Так как значения функций Ф32 убывают с ростом п, сумма QJ2 при N > 2 может быть оценена сверху следующим образом (см. [4], с. 61, формула (2.28)):

(П6.8) QJ2 < Фз2(1) + Л

2

+ -

1 ї1 1

/,Л2 Мї-1

2

3

V у

+

ёх

її 1(Р, -1)

2(Р, -1) 4Р, -1

1

3Р

(4Мї - 5)

Таким образом,

(П6.9) бн2 < ^

I ї I

(П6.10) &2 < Л

I її

7

11

1

27 (4М - 5)2

2

п=1

\Р,-1

2

1

1

Общий же член каждой из сумм QJ1 — более сложная функция п, имеющая участок убывания и участок возрастания. Для оценки этих сумм введём в рассмотрение функцию

(П6.11) Fj (x) = (2x -1)

--1 g І

р (2 х - 0,5)

V /

скалярного переменного х (1 < х < N — 1), функцию Ф; = 1/Р; и, наконец, функцию

(П6.12) Р/ (у) = (у - 0,5)Я/ (1/ру -1 71)

скалярного переменного у = 2х — 0,5 (1,5 < у < 2ЫУ — 2,5).

Согласно (2.6) за максимальный диапазон изменения у можно принять промежуток У = [1,5; 1/п| у |).

Из выражения для производной функции (у):

я 1 Я; -Р,ру-0,5

(П6.13) ¥'(у) = (у - 0,5)Я/-хИ/ И] Л------

ру

видно, что эта функция принимает в промежутке У положительные значения и имеет максимум в точке

(П6.14) jj =

ßj - 0,5

pß j

поэтому функция ФJ = HFJ имеет в этой точке минимум.

Введем еще в рассмотрение функции от | у |.

(П6.15) fj (| g |) = ( Jj + 0,5)/2 ,

(П6.16) fNi(| g |) = (VP | g | +1,5)/2, при этом N7 -1 = int fNi(| g |).

Заметим, что число nJ = intfj(| у |) не превышает Ng - 1. Действительно, функции

(П6.17) 5j (| g |) = (fN 1 - fj) = 2

ґ 1 ßj - 0,5

+1

р | 7| рр /

V У

убывают с ростом | у | и при | у | = 0,04 принимают значение 8Н (0,04) = 0,7646, 85 (0,04) = 0,2068 . Поэтому

У |) ^ у |).

Так как функция Ф; убывает при у е (3/2, у;) и возрастает

при у е (у;, 1/ру - 2), то для оценки сверху суммы QJ1 разобьём её на слагаемые:

(П618) QJ1 = QJ11 + Ч/ + QJ12 ,

/ Г0 при n/ = N -1,

где QJ11 = Ёфл(п); Ч/ =1Ф ( +1) £ 2

п=1 [Ф/l(nJ +1) при п £ N - 2;

QJ12 =

) при nJ > Шг - 2,

N7-1

X ФJ 1(п) при ^ £ N - 3

Суммы QJ11, QJ12 оцениваются сверху согласно [4] (с. 61, (2.28)): (П6.19) QJ11 < Ф/1 (1) + )ФJ (х)йх = ФJ1 (1) + 0,5 7 Ф/ (у)оу ,

1 1,5

N7-1

(П6.20) QJ12 < Ф/1(N7 -1) + |Ф/ (х)ёх =

= Ф/1(Ну -1) + 0,5 | Ф/ (у)оу .

2п/ +3,5

Используя разложение функции Ф/ (у) = 1/Р/ (у) (см. (П6.12))

(П6.21) Ф/ (у) =------------р----------

/ (у - 0,5)Р/ (1-1 71 ру)

на элементарные рациональные дроби:

(П6.22) Ф/ (у) = где В/ =

Вг

Г'/

■+!

А/г =

1-\7\ру г=1 (у - 0,5)г

| 7 \Я/-1; =1 - р 17 ^2;

ря/-г 17 |р/-г-1

а7 V ' у

/ -г+1

р

2а7

77

из (П6.19), (П6.20) получаем выражения для оценок сумм QJ11, &12:

(П6.23) QJ11 <-2----+ В/- 1п-1 - 1,5р | 71-+

^11 3р - 2 | 71 2 1 - (2п/ - 0,5)р | 71

п =п , + 2

/

п +2

/

QJ12 = 0 при п_7 > N - 2, а при nJ < N - 3

\

1

V

(2 N у - 2,5)г-1

/

где = 1 - п | 7 | (2N7 - 2,5).

Добавляя сюда выражение для qJ :

0

при ^ = N7 -1,

при nJ < N7 - 2,

(П6.25) qJ =<{______п (2^ +1,5)

(2nJ +1)ь (1 - п(2^ +1,5) | 71)

получаем оценки для || гп ||в, приведенные в формулировке

теоремы 5 (раздел 4).

Замечание. Величина ёу, входящая в знаменатели некоторых выражений из правой части (П6.24), при фиксированном | у | ограничена снизу. Действительно, в силу (П2.3) имеем:

(П6.26) р | 71 (2Ыу - 2,5) < 1 - 1,5р | у |,

(П6.27) ёу > 1,5р | у |,

что означает ограниченность сверху (при фиксированном | у |) оценки (П6.24).

Этим завершается доказательство теоремы 5 (см. раздел 4).

П7. Доказательство теоремы 6

Норма оператора Ж/ в пространстве В при у°=°И* вычисляется следующим образом:

(П7.1) ЦІ|в = || С* + С*2ґІ ехр(р*і)А7,

(см. пояснения к (3.3). Эта норма в зависимости от знака произведения CJ1С7 2 равна

(П7.2) и =

(П7.3)

и/

19 (X, іМ (

0

?0 /

19 (X, і М і

= aJ і I пРи С*лС*:2 > 0 ;

= а/ 1 + а/ 2Ь/

ПРИ CJlCJ2 < °.

Здесь

^0 J =

aJ 2 = 2

С

J і

С

С

а = С/1 I С/ 2

UJ1 “ I * , “г I * |2

IР I ІР I2

J1

ІРІ /

+ С*

‘0 J

1

* |2

I Р I I Р I

*

= -2 С/ 2

*2

IР I

bJ = ехр

С* /1

Р —*

*

^ п

Используя приведённые в пояснениях к (3.3) выражения для С*1 и С* 2 (/ = Н, 5), получаем выражения для нормы оператора и коэффициентов а/1, а/2 и Ь*, приведенные в формулировке теоремы 6.

в

*

П8. Доказательство теоремы 7

Применяя процедуру исследования, изложенную в [4, раздел 1, п. 5], составим ряд Л0(Ж/с) из оригиналов членов разложения функции (см. пояснения к (3.3)). Оригинал «-го члена

этого разложения имеет вид

(П8.1) Ь

-1

С

/п

0

Р - Рп

С0

+ /п

0

Р - Рп0

= 2 Яе (С/п ехр(Р°)) =

= 2

С

/п

ехР(-т/) соэ(Юп^ + аге С/п),

где Ь 1 - оператор, обратный оператору Лапласа;

0

0

ßn =

А

(al у

; Ап = (О2 - Ю2; ffln = 2 ^

о . Im CJn arg Cjn = arctg Jn

+ an; a = •

(al)2 ’

0 при Re CJn £ 0,

Re CJ0n ’ ll при Re J < 0.

Норма этого оригинала в пространстве Ь'(Я+) оценивается сверху, согласно (П4.16), величиной

(П8.2) Mjn = 2

Jn

m n

4 (al)2 J (С n0)

в Jn Г - ch С 0

а) Оценим по модулю сверху величину (П8.3) rHn =

0n ch((X /1 )С n°)

г - ch С 0 г - ch С 0

В силу неравенств |ch((£/1)Z0) < ch((X/1)s0) <chs0, при выполнении условия (П8.4) shs0 > |/| имеем оценку для rHn:

Ich С n0|> shs 0

(П8.5) rHn <

1

ths 0

-(\Y\lcho:)

б) При п ® ю величина а0 возрастет неограниченно. Действительно, при фиксированном а°>°0 из (П1.6) и (П1.7) следует соотношение

/ГТО sh о 1

(П86) У =----------, ==.

о V1 + (пп (о)(Ш о /о))

Так как модуль правой части (П8.5) оценивается сверху величиной Л о/пп (о) и Vп (о) > п (2п -1), отсюда следует оценка:

(П8.7) о0 > Arch(n(2п - 1)\у\); т.е. о0 ® <¥ при п°^°да.

То же можно сказать о величине

0

(П8.8) г^п =

а

4ё

sh((X /1 )С п°)

С п°(У - ch С п°)

(она даже стремится к нулю при п°®°®).

в) Теперь оценим снизу величину $п, для чего нужно оценить снизу величину Т0 и сверху - величину о° . Нуль Сп функции Р лежит в области ^п ={С е С :о > 0,Т е Мп} (см. формулировку теоремы 1), т.е. Т0 > п(2п -1). Для оценки сверху величины о0 используем соотношение (П1.6), из которого следует:

sh о 0

(П8.9)

У

(о п)

У

cosv(0)

=\у \ V1+(т п)2 < \ у\ V1+р п,

где рп = п(2п - 0,5).

Величина же sh о° / о° может быть оценена снизу величиной к(о°)2 для некоторых к > 0. Обозначим максимальное из таких чисел к как кт; кт может быть определено из решения системы уравнений

(П8.10) М °° = кт°3,

о0 =

3кто 0;

где о0 - точка касания графиков функций sh о и кто3. Из (П8.10) следует, что о0 определяется как решение уравнения

(П8.11) ^о0 =

Численное решение этого уравнения даёт значение о0 » 2,985, откуда получаем значение кт = sh о/о3 » 0,371.

Таким образом, из (П8.9) следует оценка

(П8.12) (оп0)2 < где с = 1/к,

1 sh о п

кт

2,7.

с \ У \лА + (Тп)2 < с \ У \ -[1

<

Полученные оценки показывают, что норма в Ь'(Я+) каждого из членов ряда R0(WJc) является величиной 0(1/п2); поэтому ряд в этом пространстве сходится, а это означает [4, см. раздел 1, п. 5], что сумма ряда Л0(Ж/с) является импульсной переходной функцией оператора с и, следовательно, этот опера-

тор входит в пространство В.

г) Переходя к оценке нормы оператора WJс , отметим, что

выполнение условия (П8.4) при всех п°>°1 гарантировано лишь для значений | у |, больших величины

& = 1/7р2 -1 » 0,3358.

Действительно, из (П8.7) следует, что величина (П8.13) 8Нп = 8И2 а0 - 72 оценивается снизу величиной

(р 2(2п -1)2 -1)72 -1 > (р2 -1)72 -1 и что, следовательно, выполнение условия (П8.4) при любых п > 1 гарантировано лишь при | у | > Так как И1 = -0,2173 (см.

раздел 2), этому диапазону значений | у | соответствует N = 0. Для меньших значений | у |, учитывая (П8.7) и соотношение

(П8.14) | 71> -Иы + 1 1

N7+і

і + р2 (2 N„ + і,5)2

7

получаем для 8Нп оценку снизу:

р2 [4п(п -1) - 4Ы7 - 6НУ -1,25] - 2

(П8.15) 8н„ > —^---------------7-----7-^--------,

Нп 1 + Р (2N +1,5)2

из которой следует, что положительность 8 Нп гарантирована

лишь для п > N + 2, в то время как ряд R0(W/c), определяющий функцию WJc (см. пояснения к (3.3)), начинается с п = N + 1. Поэтому первый член этого ряда необходимо вычислять и оценивать по норме пространства Ь (К+) отдельно.

д) Рассмотрим сначала случай | у | < Величина $п в знаменателе оценки М^ нормы оригинала п-го члена разложения функции W^c (см. (П8.2)) оценивается снизу (см. (П8.12)) согласно п. в) положительной при | у | < & функцией фу(п):

(П8.16) (Р7 (п) = Р 1т(п) - (р г(п )| 71,

где р 1т(п) = Р 2(2п - 1)2, р г (п) = Су] 1 + РI = Су] 1 + Р 2(2п - 1,5)2

Величины rJn ^ = Н, 5), также входящие в выражение (П8.2) для Мп оцениваются сверху, при выполнении условия (П8.4) и с учётом (П8.7), следующим образом:

(П8.17) Гнп < ,

эЬ ап-17| У7(п)

где У7(п) = 7р2(2п -1)72 -1-| 71;

(П010) г < а сЬап° < а1 17|

(П8.18) г8п < -¡^-------0 , ,ч <“

у1в?0п(&а°п - | 7 |) 4ёу7 (п)’

Таким образом, для получения оценок норм операторов WJ с (J°=°Н,°5) необходимо оценить суммы рядов

“ 2п -1

(П8.19) Яш = I ( ) ( ) ,

п=Му+2 Р7(п)У7(п)

(П8.20) Я15 = I -----------1-------.

п=Мг+2 Р7 (п)У7 (п)

Так как общие члены рядов (/°=°Н,°5) убывают с рос-

том п, их суммы могут быть оценены сверху суммами соответственно ши + 1и , где

п7

(П8.21) ш1Н =--------------7-----------,

' 7 1Н Р7 (N7 + 2)у, (N7 + 2)

(П8.22) V = ¥ (2х~1 ) ах = 2 ¥ УаУ

Ыу+2 Р7 (Х)У7 (Х) 2 пу а7 (У)Ь7 (У )

1

(П8.23) ш15 =-----------

15 Р7 (N7 + 2у (Ну + 2)

(П8.24) 115 = ? -------1------ах =1 ?------^-------,

*;+2 Р7 ( х)У 7 ( Х ) 2 па7 ( У ) Ь7 ( У )

(П8.25) а7(у) = (ру)2 - с | 7 |^1 + р2(у - 0,5)2 ,

(П8.26) ^7(У) = у1 (ру)272 -1 - 171>

(П8.27) пу = 2N7 + 3.

Ввиду сложности интегрирования иррациональных функций Р7 и у7 минорируем их соответственно полиномом (П8.28) аг (у) = (ру)2 - ср 171(у - ^) - ё7,

где ¿7 = с | 71+ ,

и линейной функцией

(П8.29) ~(у) = р | 71 у -^1+7".

Разложим рациональные функции

(П8.30) ^(у) = ~ ( ( )

а7 (у) Р7 (у)

(П8.31) ^(у) = 1

«7 ( у)р7 ( у) на элементарные рациональные дроби:

Л17у + 51, С1Г

(П8.32) ^(у) = -Ц^-Н- + (J = Н, 5),

а7 ( у ) Р7 ( у)

с л/і + 7

где с ін = ~ / ч; = і і ;

а7(уу) р 171

В1Н =

1 + С 1НСр | 7 | + А1Н V1 + 7

р 17| л/1 + 72 1 + 72

р | 7|

1 + с

р

а(у 7) 7 а~7 (у 7 )

С =

15

«7 ( у 7 ) ’

р

171

| 7 | <~7 ("у 7 ) ’

В15 = С15С +

1

р | 7 | ~7 (у 7 )

Используя разложения (П8.33), получаем выражения для значений интегралов

(П8.33) ~1Н =1 ¥—уа~’.

2 п7&7 (у )/~7 (у )

(П8.34) 7„ = 2 ~ ( ),

2 п, а7 (у )р7 (у )

мажорирующих соответствующие интегралы 71_/ (J°=°H,°5):

(П8.35) 7Ш =

А(пг )Л/1 + 72 2(ру)2 а(у0)

+

+

р2 |71Ь. где А(п7) = 1п

ау = aгctg (П8.36) =

1+

1

а7 ( у 0 )

су! 1 + 72 1 + 72

^ У«у (п7)

р(пг - у0)

Ь7

2рп7 - с | 7 |

А(п7 )

2р|7|а7 (уо)

1

1

с

а

2

2

+

4р 2~7 (у )72

агС^

Ъ,

Таким образом, при |у| < g1 норма оператора с ^ = Н, Б)

оценивается сверху величиной

—(а1 )2 9

і

А«

¿Х (С І +і)

7 - сЬ С

+ 17І (ти + Л/)

где аН = р ; а5 =а1 /4в , С N 7+1 должны вычисляться путём численного решения системы уравнений (П1.6), (П1.7).

е) Теперь рассмотрим случай | у | > g1 (при этом N = 0, т.е., ряд Я0(Ж/с) начинается с п = 1). Из вида функции Р7следует, что условие её положительности при всех п > 1 выполняется лишь для значений | у |, меньших q1 = 0,76; для значений | у |, меньших q2 = 2,98, функция (ру положительна при всех п > 2; и, наконец, положительность этой функции для всех | 7|< ~1 (| а | = 4,5697 , см. формулировку теоремы 1) гарантируется лишь при п > 3. Поэтому разобьём диапазон [g1, | ~1 |) на промежутки ск = [gk, gk+1), к = 1, • • •, 5, где gk, к = 2, ..., 5, вычисляются из условия: Рг(к) | 71< Рш(к)/2 для | 7 |< gk+1 (тогда соотношение Рг (п) | 71 < Рш (п)/2 будет выполнено для всех п > k), g6 = | ~ |. Подсчёт даёт значения g2 = ql/2 = 0,38, gз = q2/2 = 1,49,

g4 = 2,65, g5 = 3,8. В соответствии со значениями gk и qi, г = 1, 2, для | у | из диапазона Gk мы можем оценить лишь суммы рядов

“ 2п -1

(П8.37) Я2н = I

п=п/

(П8.38) Я25 = £

„=% ^7(П)у7(и) і

П=Пк7

где п1 = 1, п2 = п3 = 2, п4 = п5 = 3, ^ определяется тем из промежутков Gk, в который попадает модуль заданного значения па-

раметра у (приведённые значения щ определяются из условия положительности значений фп при п > nk ).

Первые члены ряда Я0(Ж/с), определяющего функцию Ж/с (см. (3.2)) (п е [1, п4. -1], т.е. первый член для | 7 |е [0,38, 2,65) и

два первых члена для | 7 |е [2,65, | ~ |)) приходится вычислять и оценивать отдельно.

Суммы рядов Я2у (/ = Н, 5) оцениваются сверху суммами

к7

(П8.39) £ т/ +1/ ,

п=Щ

где

2п -1

(П8.40) т2нп =-------------'

(П841) т2 8п =

Р7 (п)у7 (п)

1 ; Р7(п)у7(п) ’

(П8.42) 1,н = ( р ,2х.~.ах = А]- у*у

kY Р7 (х У г (х ) 2 г , «7 Су )р7 (У )

(П843) ^ = ¥ Р У. ^ х = ■

^ Р7(х )у7 (х) 2 V «7 (У )Рг (У У

(П8.44) I г = 2k г -1,

Фу - см. (П8.17), у - см. пояснения к (П8.18); «,, Д - см. соответственно (П8.27)

Так как для у > 1У выполняется соотношение (П8.45) аг (у)> (ру)2 /2 ,

интегралы 12 у (/ = Н, 5) мажорируются интегралами (П8.46) ~2н = -11 *У

р 7 УР7(У) (П8.47) ~25 = -11 *У

р 7 У Р7(У) где р7 - см. (П8.30).

Разложим рациональные функции 1

(П8.48) ^ (у ) =

урЛ у) ’

(П8.49) ^ (у ) =

у2 ру(у)’

на элементарные рациональные дроби:

(П8.50) ^2Н (у) = — +

у Р ( у )

где А2 Н - '

л/1

+ У

Р У

уо л/Т

+у

А В С

/1 Л гт I / Л ГГ У_ ^ Ґ1

(П8.51) ^ (у)--25 + ^ + - 25

где С 2

у

22 2

у

Р ( у )

С

25

у0 1 +

1

________ Р |у|

р | у | 1 + у

2

V1

+ У

Используя разложения (П8.50) и (П8.51), получаем выражения для значений интегралов 12J (I = Н, 5):

(П8.52) І2 н -

1

1п-

I,

р

л/1 + У2 1у - уо

(П8.53) 125 —

р

У

1п

+

1 + У2 1У - уо рїу л/Г

+ У

Таким образом, при I у| > g1 норма оператора с ^ = Н, 5)

оценивается сверху величиной

— (аї )2 в

пку -1

I

1 J X (С °)

*« у-сь С 0

+ а: \ У\(^ +12J )

1

1

ї

1

П

где aH = p ; aS =а/4в; zi для n e [1, nk-1] должны вычисляться путём численного решения системы уравнений (П1.6) и (П1.7).

Литература

1. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А., ШАБАТ Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Физматгиз, 1958.

2. СОЛНЕЧНЫЙ Э.М. Вырожденные системы и их использование в задаче синтеза заданного поведения. - М.: Наука, 1989.

3. СОЛНЕЧНЫЙ Э.М. О причинности системы теплопроводности с нелинейной обратной связью по граничным условиям // Автоматика и телемеханика. - 2002. - №9. - С. 15-26.

4. СОЛНЕЧНЫЙ Э.М. Исследование условий причинности и устойчивости системы управления линейным распределенным объектом // Автоматика и телемеханика. - 2006. -№4. - С. 53-85.

5. СОЛНЕЧНЫЙ Э. М., ЧЕРЁМУШКИНА Л.А. Исследование условий устойчивости системы управления линейным объектом теплопроводности // Управление большими системами. - 2010. - №4. - С. 89-125.

INVESTIGATION OF CAUSALITY AND STABILITY CONDITIONS OF LINEAR HEAT-CONDUCTIVITY OBJECT CONTROL SYSTEM (SPECIAL CASES). PART II

Engel Solnechnyi, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Doctor of Science (Moscow, Profsoyuznaya st., 65, (495)334-92-29, solnechn@ipu.ru)

Ludmila Cheryomushkina, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Cand.Sc. (Moscow, Profsoyuznaya st., 65, (495)334-92-29, l.a.cheryom@yandex.ru)

Abstract: For a special sort of boundary conditions of stable onedimensional finite-length object of heat conductivity estimates are derived of norms of the operators translating boundary influences into the object temperature. These estimates are used for finding a sufficient condition of causality and stability for the system consisting of the object and the nonlinear feedback.

Keywords: system with feedback, causality, stability, distributed dynamic system, linear heat conduction object, complex-variable functions theory.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии А. Г. Бутковским