Спектральные свойства дифференциального оператора второго порядка, определяемого нелокальными краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

raÄ®

www.volsu.ru

DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2018.4.2

УДК 517.9 ББК 22.161

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ

УСЛОВИЯМИ 1

Александр Николаевич Шелковой

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и физико-математического моделирования, Воронежский государственный технический университет [email protected]

просп. Московский, 14, 394026 г. Воронеж, Российская Федерация

Аннотация. В работе исследуются спектральные свойства дифференциального оператора второго порядка с нелокальными краевыми условиями методом подобных операторов. Получены результаты об асимптотике спектра и сходимости спектральных разложений дифференциального оператора.

Ключевые слова: собственные значения, спектр оператора, дифференциальный оператор второго порядка, асимптотика спектра, метод подобных операторов.

о

см

Введение. Основные понятия метода подобных операторов

Пусть ¿2[0,2п] — гильбертово пространство комплексных измеримых (классов) функций, суммируемых с квадратом модуля и со скалярным произведением вида

2 п

1

(ж'у) = 2п x(x)y(x)dx-

о

£Г Через W2[0,2п] обозначим пространство Соболева [х е Ь2[0,2п] : х' — абсолютно < непрерывна, х" е Ь2[0, 2п]}. Рассматривается дифференциальный оператор С: В(С) С § С Ь2[0, 2п] ^ Ь2[0, 2п], задаваемый дифференциальным выражением вида

ч

В

©

N

(£z)(i) = -x(t) + x(t) - ^ак{t)x{tk)' (1)

к= 1

где ак, 1 < к < N — функции из Ь2[0, 2п], 4 € [0, 2п], к = 1, Ж с областью определения В(С) = (ж € ^22[0, 2п], ж(0) = ж(2п), ±(0) = ±(2п)} (то есть оператор определяется периодическими краевыми условиями).

В частности, операторы такого класса (случай N =2) возникают при переходе к сопряженному при исследовании действующего в [0, 2п] оператора, задаваемого дифференциальным выражением

Су = -у + У (2)

и нелокальными краевыми условиями:

2п 2 п

у(0) = у(2п) + 1 ао(г)у(г)сИ, у(0) = у(2п) +1 сц(1)у(1)й1. (3)

о о

Здесь а0 и а^ — функции из [0, 2п].

Отметим, что интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно. В работе [16] для обыкновенных операторов с интегральными краевыми условиями рассматривались вопросы базисности собственных функций. Вопрос о базисности Рисса собственных и присоединенных функций интегро-дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями изучался в работе [5]. В [9] приведены результаты исследования нелокальных начально-краевых задач с интегральными нелокальными условиями для одномерных уравнений колебания среды и построены их решения. Для дифференциального оператора с нерегулярными граничными условиями в работе [13] получены достаточные условия существования резольвенты, а также оценка ее поведения в пространстве Ьр при любом р > 1. В [12] доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи с интегральными условиями I рода, если ядра этих условий зависят не только от пространственной переменной, но и от времени. Нелокальная краевая задача для вырождающегося псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами рассматривалась в работе [8]. В [17] обсуждались вопросы однозначной разрешимости нелокальной смешанной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения псевдопараболического типа третьего порядка. Вопросы однозначной разрешимости и построения решения нелокальной краевой задачи для трехмерного неоднородного интегро-дифференциального уравнения псевдопараболического типа третьего порядка с вырожденным ядром исследуются в [18]. Для исследования операторов с нелокальными краевыми условиями в работах А.Г. Баскакова, Т.К. Кацаран [5], Е.Л. Ульяновой [14] стал применяться метод подобных операторов.

Основные результаты статьи (теорема 3) связаны с изучением спектральных свойств оператора С, заданного формулами (2), (3). Для исследования спектра оператора С используется сопряженный ему оператор С* (см. [5]), который задается дифференциальным выражением

(С*х)(г) = -х(г) + х(г) - [ж(2п)ао(г) - ж(2п)ая(г)] (4)

и краевыми условиями ж(0) = х(2п), ¿(0) = А(2п).

В настоящей статье для исследования спектральных свойств оператора С применяется вариант метода подобных операторов, адаптированный для операторов рассматриваемого класса и позволяющий получить оценку сходимости спектральных разложений

рассматриваемых операторов. В изложении метода подобных операторов будем придерживаться аксиоматического подхода, как в работах [2; 3; 5—7], опираясь в основном на работу [3]. Отметим также работы [4; 14; 15], в которых с помощью метода подобных операторов исследуются спектральные характеристики различных операторов.

Пусть Н — бесконечномерное комплексное сепарабельное гильбертово пространство, а End Н — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Н, ||Х= sup \\Хх\\ — норма оператора в End Н. 1М1<1

Определение 1 ([6]). Два оператора Ai: D(Ai) С Н ^ Н, г = 1, 2, называются подобными, если существует непрерывно обратимый оператор U G End Н (U-1 G End Н), такой, что UD(A2) = D(A{) и выполняется равенство A1 Ux = UA2x, х G D(A2). Оператор U называется оператором преобразования подобия оператора А1 в А2. Определение 2 ([3]). Линейный оператор С: D(C) С Н ^ Н называется подчиненным оператору А: D(A) С Н ^ Н, то есть С G Са(Н), если выполнены следующие два условия:

1) D(C) Э D(A);

2) существует постоянная М > 0, такая, что конечна величина

||СЩ = inf{М : ЦСхЦ < М(||Аг|| + ЦжЦ), ж G D(A)}, принимаемая за норму в Са(Н).

Определяющим понятием метода подобных операторов является понятие допустимой тройки для невозмущенного оператора А.

Определение 3 ([3]). Тройка (Ы ,J, Г), J: U ^U, Г: U ^ End Н, называется допустимой для оператора А, а U — допустимым пространством возмущений, если:

1) U — банахово пространство (со своей нормой || • ||*), непрерывно вложенное в банахово пространство С а (Н), то есть существует постоянная М0 > 0, такая, что ЦВЦа < М0ЦВ||* для любого оператора В G U;

2) J, Г — трансформаторы (то есть линейные операторы, действующие в пространстве линейных операторов);

3) (ГХ)х G D(A) для любых х G D(A) и имеет место равенство:

АГХ — (ГХ )А = X - JX, X GU

(равенство понимается как равенство элементов из U);

4) X ГУ, (ГУ )Х GU, X,Y gU , и существуют постоянные у1 > 0, у2 > 0, такие, что ||Г|| < Y1 и max{||XГУ||*, ||(ГУ)Х||*} < У2||Х||*||У||*;

5) выполнено одно из условий:

a) Im ГХ С D(A), где ImTX — образ оператора ГХ, и АГХ G End Н;

b) для любого X gU и для любого е > 0 существует число ve G р(А) (р(А) — резольвентное множество оператора А), такое, что ||ХД(^е, < е, R(ve,А) = (А — veI)-1, где I — тождественный оператор.

Пусть А: D(A) С Н ^ Н — нормальный оператор (см., например, [11, гл. 10, с. 39]) (частный случай нормального — самосопряженный оператор), то есть D(A) =

= D(A*), ||Лг|| = ||^*ж||, х Е D(A), спектр которого представим в виде: =

= U a j, 0 Е а(А), где ffj, j > 1 — взаимно непересекающиеся компактные множества, такие, что dist(0, ai) < dist(0, a2) < ..., lim dist(0, an) = то. Обозначим Pj, j > 1, — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству a j, Aj =

= APj, j = 1, 2,..., Aj Е End H, la| = sup |Л|. Введем двусторонний идеал a2(H)

xeuj

операторов Гильберта — Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве Н, из алгебры End Н с нормой || ■ ||2) (см. [10, гл. 3, § 9]). В качестве пространства возмущений U рассматривается оператор В: D(A) С Н ^ Н, допускающий представление В = В0А, В0 Е a2(H), причем существуют две ненулевые последовательности [a¿}^° , [ßjтакие, что имеют место оценки: HPiB0Pj || < с ■ а ■ ßj, i,j = 1, 2,..., для некоторой постоянной с > 0. Наименьшая из констант, удовлетворяющих этому неравенству, определяет норму в U. Пусть п — некоторое натуральное число, положим

п

An = U ®к, Р(An,A) — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству

к=1

An. Обозначим Qi = Qin = Р(An, А) = Pi + Р2 + ... + Рп, Q2 = Q2n = I - Qin. Трансформаторы Jn: U ^ U и Гп : U ^ a2(H), n > 1, определяются следующим образом: JnX = QiXQi + Q2XQ2, ГпХ = Гп1)X + rn2)X, где

n n

ГП1)Х = ^ ^ Гп(РтХоАРк), ГП2)Х = ^ ^ Гп(РтХоАРк).

m>n+i k=i m=i k>n+i

На операторных блоках РтХ0РкА трансформатор ГП определяется как решение уравнения APwXomk - Yomk АРк = РтХ0Рк, удовлетворяющее условию РтХотк Рк = Уотк, где к > п + 1, т < п либо к < п, т > п + 1. Для всех остальных значений т и к полагается Гп(РтХ0РкА) = 0.

Основные результаты статьи получены с использованием следующих утверждений. Теорема 1 ([15]). Пусть п — натуральное число, такое, что

Л, ^Л ^Г |ak |2ßk ат + ß2mak |am|^i/2 ^ _

Yi(n)= l£k£i *к»' ) <

, ч \ Г v^ |a к|akßk 1 fs^ |с)|akßk \ 1 у2(ш = max< max< > ——-- >, sup { > ——-r > > < то,

l j-n U>n+i d18^^ ak)) i>n+Hk=i dгst(aj, ak) J J

причем выполнено условие: 2тах{у\{п),у2(п)} + у^п) + у2(п) < 1. Тогда оператор А — В подобен оператору А — ХпХ*(п), где X*(п) Е и имеет вид:

X * (п) = Х**1 (п) + Х**2 (п) + X* (п) + Х2*2 (п); (5)

Х*(п) = *(n)Qj, = 1, 2, есть решение системы уравнений

{

Хгг = ВгзГХзг + Вгг, (г = 1,3 = 2) V (г = 2, j = 1); ХЦ Píj(Xij);

оператор Fij: Uij ^ Uij задается формулой

Fij(X) = BuГХ - (ГХ)Вп - (ГХ)(BjiГХ) + Вг],

и Bij = QiBQj, i,j = 1, 2, — блоки оператора В eU, являющегося возмущением оператора А; допустимое пространство возмущений U является прямой суммой четырех замкнутых подпространств вида Uij = {QiXQj, X eU] , i,j = 1,2. Оператор преобразования подобия имеет вид I + ГпХ*(п).

Теорема 2 ([15]). Пусть операторы А и В eU таковы, что у1(п) ^ 0, у2(п) ^ 0 при п ^ х. Тогда, начиная с некоторого п0, оператор А — В подобен оператору А — JnX*(п), п > п0, где X*(п) представимо в виде (5) и

ЦР(Дп,А) — Р(Дп,А — В)|| ^ 0

при п ^ X, причем Дп = а((А — JnX *(п)) | Р (Д„ ,А)Н) С а (А — В), — В) — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству А — В.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда

||(/ — Р(Дп,А — В))Х — ^ РгхЦ~^ 0,

г>п+1

при п ^ X и для любого фиксированного х e Н.

1. Основные результаты

Перейдем к исследованию спектральных свойств оператора С: D(C) С L2[0, 2п] ^ ^ L2[0, 2п], задаваемого выражением (2). Поскольку спектры оператора С и сопряженного ему оператора С* совпадают, то для получения асимптотики собственных значений оператора С достаточно рассмотреть только оператор С*. Для исследования спектральных свойств сопряженного оператора (4) представим его в виде С*х = Ах — Вх. Оператор А будем считать невозмущенным оператором, оператор В — возмущением. Здесь оператор А порождается дифференциальным выражением Ах = —х + х с областью определения

D(A) = {х Е L2[0, 2п] : ж, х Е С[0, 2п], х Е ¿2[0, 2п],ж(0) = х(2п), ±(0) = х(2п)]

и

(Bx)(t) = x(2n)ao(t) — ^(2n)ai(í), t Е [0, 2п], ж Е D(A). (6)

Оператор А — самосопряженный оператор с дискретным спектром, собственное значение которого Ло = 1 является простым, а остальные собственные значения Лп = п2 + + 1,п > 1, двукратны; собственные функции оператора А, отвечающие этим собственным значениям, e0(í) = ^=, e2n-1(t) = —п cos nt, e2n(t) = —п sin nt, n Е N, образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве L2[0, 2п] (см., например, [2, с. 50]). Положим Ai(n) = {Л1,..., Лп] , Рп = Р (Ai(n),A), Pj = Р (Л,- ,А), j = = 1, 2,..., — проектор Рисса, построенный по одноточечному множеству Gj = {j2 + 1], Pjх = (x,e2j-1)e2j-1 + (x,e2j)e2j, j = 0, (■ , ■) — скалярное произведение в L2[0, 2п]. Применяя метод подобных операторов для исследования спектральных свойств оператора А — В, мы получим основные результаты статьи.

В следующей лемме получены оценки на последовательности HPiB0Pj||, i,j = = 0, 1, 2, . . ., участвующие в формулировке теоремы 1.

где Р(Дп, А — Дп оператора

Лемма 1. Оператор В: И (А) С Ь2[0, 2п] ^ Ь2[0, 2п], задаваемый соотношением (6), представим в виде В = В0А, где В0 Е а2(Ь2[0, 2п]) (а2(Ь2[0, 2п]) — идеал операторов Гильберта — Шмидта, действующих в гильбертовом пространстве Ь2[0,2п]), и имеют место оценки

\\РгВ0Р]II < ав, 1,] = 0,1,2,..., (7)

где ß0 = 1, ßj = j+i, j = 1, 2,...; если в неравенстве (7) i = 0 и j = 1, 2,...,

Г\ 012 i | 0 |2

то а0 = у о1 2 1 ,а° = 1 / a0(t)dt, а° = 1 / a\(t)dt; если в (7) i = 0 и j = 0, то

0 0

,

ао — —

Kl

а = ^ <Г + К s|2 + | <|2 + К s|2,

2л 2л

где а^Т = i / a0(í)sinzídt, a§f = a0(t)cositdt, aST = i (í) sin zídt и а^Г = o

2л

i / ai(í) cos it dt, i = 1, 2,...

л

o

Теорема 3. Пусть для функций а0 и а1 ограниченной вариации на отрезке [0,2п] и для последовательностей уь у2: N ^ R+ = [0, то), определенных формулами

_ () («0в2(п2 + 1)2 + о-пв2 + ^ а'твКп2 +1)2 + сгмт2 +1)2V/2 <

У1(п) =-4- + У.-п-^- < то

V ni \п -т \ )

т=п

ionßn(^2 + 1) ooßo , v^ Omßm(rn2 + 1)1 „,(„) = ___ ; _ + £ |П2 } <

m=n

выполнены условия: lim yi(n) = 0, lim у2(п) = 0. Тогда спектр a(A — В) оператора A — В представим в виде a(A — В) = (J Ъп, где Ъп, п > 1, — не более чем

п>1

двухточечное множество. При этом имеют место оценки:

2 , ^ , (-1Г

Лп - (п2 + 1) +

2

Inn

< С--,

п

где Хп — взвешенное среднее собственных значений из ап. Также для п > 1 справедливы оценки:

(2л у 2л \ у 2л \

J ( Pnx)(t)--IJ x(t) cos ntdt j cos nt--Í J x(t) sin ntdt j sin nt

oo

2 \ i/2

dtJ < c(n)yi(n),

для некоторой последовательности с > 0, где lim с(п) = 1. Здесь Рп — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству Ъп оператора A — В.

2. Доказательство основных результатов

Доказательство леммы 1. Покажем, что оператор В представим в виде Вх = В0Ах. Действительно, Вх = В1х = В А-1 Ах = В0Ах, где В0 = В А-1. Докажем, что \\РоВоР3 ||2 < Кьв^, ] = 1, 2,... . Имеют место равенства:

РоВаР^ х = (Во Р) х,ео)ео = (Во(х,е23-1)е23-1,ео)ео + (Во(х,е23 )б23 ,ео)ео =

= (х,е2^-1)(Вое2^-1,ео)ео + (х,е23 )(Вов23 ,ео)ео = = (х,е2]-1)(ВА-1е2]-1,ео)ео + (x,e2j )(ВА-1 б23 ,ео)ео =

= (х, е2у-1 )(В^е2]-1,ео)ео + (х, е23)(В^е2у, ео)ео = лз лз

= ^[(ж, е2—)(Ве2^1,ео)ео + (х, б23)(Вб23, ео)ео]. лз

Следовательно,

.РЪР^ У\(Ве2,-1,ео)\2 + \(Вв23,ео)\2 = з V\(Ве2з-Ъео)\2 + \(Ве2з,ео)\2

\\РоВоР>11 < х = х~--з .

Ясно, что последовательность вj = , 3 — 1, принадлежит 12. Верны следующие равенства:

2п

(Ве23-1,ео) = J[ё2^1(2п)ао(г) - е2^1(2п)а1(г)]ео(1)<Ы =

о

2я 2я

п п 2п 2п 2 1

оо

Аналогично получим, что (Ве2з, ео) = 0°, ] — 1. Тогда

/

(-1)'+* о ^

2

+

(-1)^3 по

\р2 ао

V 2.72 + 2^2 V 2

йир-:-= вир 4/ —Т + 2 = А/---= «о.

з>1 3 з>1\ 232 232 V 2

Докажем, что Ц^^ ^о\\ < аво, г = 1, 2,... .

Выполняя для Р1ВоРох преобразования, аналогичные преобразованиям для РоВоР3х, получим:

РгВ0Р0х =—(х,е о)[(Ве0, 621-1) е2— + (Ве0, е^ )е 2г] = л0

= (х,е0)[(Вео, е2-)е2- + (Ве0, е2^е2^.

В этом случае \\PiBoPo\\ < \/\(Ве0, е2г-1)\2 + \(Ве0, е2г)\2, г = 1, 2,... . Вычисляя значения входящих в эту оценку скалярных произведений, получим, что

I1

во = 1; а - ■' ^ + ^\2

2

2

Аналогично доказывается, что ||Р0В0Р0Ц < аово- Здесь а0 = 2 ; во = 1.

Покажем, что ||РiВ0Рj|| < г,] = 1,2,... , для введенных последовательностей

а, вj■ Далее используются равенства:

РiВоРjX = (ВоРjX, е2г-1)&2%-1 + (ВоРjX, е^)е2г = (Во[(х, )е^-1 +

+ (х, е 2j)е2j], е2i-1)е2i-1 + (Во[(х, е 2j-l)е2j-l + (х, е2j)е23\, е2i)е2i = = (х, е 2j-l)(Воe2j-l, е2i-1)е2i-1 + (х, е2j)(Воe2j, е2i-1)е2i-1 + + (х, е 2j-l)(Воe2j-l, е2i)е2i + (х, е2j)(Воe2j, )е2i = = [(х, е 2j-l)(Вое2j-l, е 2i-1) + (х, е^)(Вое2j, е2i-1)]е2i-1 + + [(х, е^-1)(Вое^-1, е21) + (х, е2j)(Воe2j, )\e2i.

Выполняя дальнейшие преобразования, аналогичные преобразованиям для Р0В0РjX, получим, что

иря-ри^ 3 У\(Ве 23-1, ^-1)|2 + |(Ве 2j, ^-1)|2 + |(В е 21-ъ Ъ )|2 + |(Ве 2j, е^ )|2

Цр-ОоП у2 < — • -:-.

А 3

Последовательность {вj} = принадлежит 12. Докажем, что и последователь-

ность {а} также суммируема с квадратом.

Скалярные произведения, участвующие в оценках, находятся аналогично, и они пред-ставимы в виде:

(Ве2,-1, ех-1) = (-1У+1аС1°(Ве^ е^-1) = (-1)^00*; (Ве23-1, е^) = (-1)3+1аЩ; (Ве23, е^) = (-1)^.

Следовательно, имеют представление последовательности {а}:

\асоБ\2 I^т 12 I-

а = вир Л/^ + |аоо? + + Ю2 = у/\а0n\2 + |а™*^ + К? + КГ. j>l V г г

Числа , а0П, а00Б являются коэффициентами Фурье для функции а0, а числа а0, а*1", аЦ** — коэффициентами Фурье для функции а1 по системе (е 0, е1, е2,...) собственных функций оператора А, следовательно, {а} Е 12, то есть оператор Во — оператор Гильберта — Шмидта. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. Как показано в работах [14; 15, следствие 2.1.1 из теоремы 2.1.1, с. 59], если спектральное множество ап = {Ап} состоит из одного собственного значения кратности , то

An - An + 1 tr(Bn + В12ГпВ21)

< AnY2(n)anßn/\/D(n), (8)

где В(п) = (1 — у^п) — у2(п))2 — 4у1(п)у2(п). В нашем случае к = 2, Лп = п2 + 1 и «* = М2 + Iа^2 + К12 + Ю2)1/2, вп = , п е N.

п2 + 1

Будем считать, что функции а0 и а1 являются функциями ограниченной вариации на отрезке [0, 2п]. Как известно (см., например, [1, с. 81]), для любой функции ограниченной вариации на отрезке [0, 2п] коэффициенты Фурье ап = 0(П), Ьп = 0(П). Тогда

ап = ^4 ■ П2 = п. Преобразуя левую часть выражения (8), получим равенства:

Ьг(Вц + В12ГА) = ЬгВц + ^В^ГА).

ЬгВц = (Вцб2п-1, б2п-1) + (Вц&2п, е2п) = (Р^Р^п-Ъ б2п-0 + (Р^Р^п, в2п) =

= (Ве2п-1, е 2п-1) + (Ве2п, б2п).

1г(В12ГпВ21) = (В12ГпВ21б2п-1, в2п-1) + (В12ГпВ21б2п в2п) = = ( Р1ВР2Г,пР2ВР1е2п-1, б2п-1) + (РхВР2ГпР2ВР1е2п, &2п) = = (В Р2ГпР2Ве2п-1, б2п-1) + (ВР2Г1Р2Ве2п, б2п).

Здесь Р1 = P1n — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству an = {Лп}, В2 = Р2п = / - Pin. Поскольку Г^Х = Р1Р2Х Sn - SnP^XPl = -SnXPi = -5nPlX, где Sn G End H определяется на векторах ek,k > 1, соотношениями

Snen — 0, Sn&k — ek, к = n,

лп - Л k

то имеют место равенства:

tr(5i2rnB2l) = -(BP2SnPlBe2n-1, e2n-l) - (BP2SnPlBe2n, &2n)

= -( P2BSnBPle2n-l, e2n-l) - (P2BSnBPle2n, e2n) =

-(BSnBe2n-l, e2n-l) - (BSnBe2n, e2n) =

I BSn^2 [(Be 2 n- 1, e 2m-1 ) 2 m— l + (B e2n— l, e 2m)e 2 m -

V m>1 J

m=n

B Sn [( B 2 n e 2m—l ) 2 m— l + (Be2n, e2m)e 2 m

m> l

m=n

(Be2n—1, e2m—l)(B e2m—1, e 2n—1) . V^ (B e2n—l, e 2m)( B2m, 62n—1)

(y^ (Be2n—1, e 2m— 1)(Be2m— Ъ C2n—1) + y^

^ n2 — m2 ^

m> l m> l

m=n m=n

n2 — m2 ' n2 — m2 ^

+ y^ (Be 2n, e 2m—1)(B e2m—l) e 2n) + y^ (Be 2n, e 2m)(B e2m, e 2n) j

n2 m2 n2 m2

m> l m> l

Значения скалярных произведений выпишем, пользуясь результатами, доказанными в предыдущей теореме:

(Ве2n-i, е2n-i) = (-1)n+V

(-1)п+1

n+1 cos _ V /

1n

n

; (Ве2n,е2n) = (-l)nn<nn = (-l)n;

(_ i)n+1

(Вe2n-1, e2m) = (-ir+Vi™ = —'-; (Ве2m, e2n-i) = (-1)mma;

(Вe2n, e2m) = (-1)nnas0-

(Ве2n-1, e2m-1) = (-1)n+4m

(Ве2n, e2m-1) = (-1)nnaC0m

Таким образом, оценка имеет вид

и (-1)п+1

m

(- -1)nn;

m

(- 1)n+1

m

(- -1)n'

m cos On

(-1)mm

n

)mma0n

(—1)mm

n

(В e2m-1, e2n-1) = (-1)m+V

m+1 ^,cos 1 n

(-1)

m+1

m

; (Вe2m-1, e2n) = (-1)m+1at

(-1)

n

m+1

n

An - (n2 + 1) - - -

-

n

+ ( - 1) n+1 +

m> 1 m=n

+ £

m> 1 m=n

(-1)nn (-1)"

m_n_

n2 m2

+ £

m> 1 m=n

m n

n2 - m2

(-1)nn (-1)mm \

m n 1

+ £

m> 1 m=n

(— 1)mm

n2 m2

n2 m2

An - (n2 + 1) +

(-1)

n+1

(-1 + £

\ m>1

(-1)m 1 1 v-^ (-1)m+1

+ - + -> —^-- +

П 11 —J

n2 — m2 n n m(n2 — m2)

m> 1

m=n m=n

+ у (-1)m+1 - (-1)

22

^ m(n2 — m2) n n2 — m2

m> 1 m> 1

m=n m=n

)

An-(n2+1) +

(-1)

n+1

f_1+1+(1_ 1) E ^ +(1-i) E -Ä.)

n n m 1 n2 - m2 n m 1 m( n2 - m2)

m=n m=n

)

An -+1) + i-p (1 - i) f-1+£ n-m+E I-1'-"

2 \ n \ ^ n2 — m2 ^

m> 1 m> 1

m=n m=n

m(n2 - m2)

An - (n2 + 1) +

(-1)

n+1

(1 n)( 1 + £(1 ^'П2--2)

m=n

<

<

(i2 + 1) ■ У2(П) ■ n

2 n

n n2 + 1

2y2(n)

у/ЩП)

л/(1 - Y1 (n) - Y2(n))2 - 4y1(n)Y2(n)

m

m

n

2

m

2

2

Входящие в правую часть этого выражения значения величин у1 (-), у2(п) примут вид:

1/2

. . . «2-4 + 1 4 ^

44

п4 + т4 ' т2\п2 — т2\2

т>1 1 1

т=п

)

{

У2(п) = 2тах<'-^-;4п| + Е

1

2 п 1 4 п2 п2 т2

т>1 1 1

т=п

где «о = у/, а0 = 1 /<ю(*)<Й, а? = 1 /а^Л.

о о

Используя интегральный признак Коши, получим:

£

т>1 т=п

|п2 — т2|

1 — п2

+

п— 1

¿X

X2 — п2

+

1

( п + 1) 2 — п2

+

¿X

X2 — п2

п+1

11

+ 77"

п2 1 2 п

1п

X — п

п 1

11

+ —

п2 1 2 п

1

2 п 1

1п

X + п

1 п

1

1+ п

1 1

+ 2п + 1 + 2п

1п

1п

X — п

11

+ —

+

1

1

п2 — 1 2 п + 1 2 п

1п

2 п + 1 2 п п + 1

X + п

п+1 X — п

Ит

X + п

1п

1

2 п + 1

1 1 1

+ ~-7 + ТГ"

п2 — 1 2 п + 1 2 п

1п

(2 п — 1)(п — 1) 1 + 1

+ — 11п(2 п + 1)|

(2 п — 3 + 1

— п

1 1п п

+ —1п(2п +1) < С1--.

2 п п

Тогда у2(п) < с2 ■ а°пп, и мы приходим к окончательной оценке собственных значений оператора А — В:

Лп — (п2 + 1) +

(—1)п

2 с2а01пп 1пп < -= с■-, с=2с2а0.

п

п

Оценка на соответствующие проекторы Рисса имеет вид ([15, теорема 1.2.4, с. 43]):

2у1(п)

||Рп — Рп|| <

у/0(п) + 1 — 3у1(п) — У2 (п)

где Рп есть проектор Рисса, построенный по спектральному множеству ап оператора А — В. Учитывая, что норма берется в гильбертовом пространстве Ь2[0, 2п], получим:

(

2 я

( Рпx)(t) — б2п-1 (¿))е2п-1(^) — е2п&))б2п^)

2 ч 1/2

1

ОС1

2

(

2 п

(

2

( PnX){t) — ( I x(t) • —^ cos ntdt | • —^ cos nt —

фг ¡у/Л

0 '

2я

-

(

2 п

( Pnx)(t)--(j x(t) cos ntdt j cos nt — ~[J x (t) sin ntdt ) sinnt

00

0 2

x(t) • —sin ntdt | • —sin nt фи фг

t | cos nt — — I —

2 ч 1/2 dt)

2

sin

2 ч 1/2

dt J <

<

2yi(n)

i/(— — Yi ( n) — Y2(n))2 — 4yi(n)y2(n) + — — 3yi(n) — y^n)

< c(n)y1(n)

для n > — и некоторой последовательности c> 0, где lim c(n) = —. Теорема доказана.

Следующее утверждение, справедливое для рассматриваемого оператора (1), следует из работы [14].

Лемма 2. Пусть функции а0, a1 е L2[0, 2п]. Тогда, начиная с некоторого натурального n0, оператор А — В подобен оператору А — JnX*(n),n > n0, где X*(n) представим в виде (6), и ||Р(A1(n), А) — Р(A 1(n), А — В)|| ^ 0 при n ^ то.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00197).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бари, Н. К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. — М. : Физматгиз, 1961. — 936 с.

2. Баскаков, А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков. — Воронеж : Изд-во ВГУ, 1987. — 165 с.

3. Баскаков, А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом / А. Г. Баскаков, А. В. Дер-бушев, А. О. Щербаков // Изв. РАН. Сер. математическая. — 2011. — Т. 75, № 3. — С. 3-28. — 001: http://dx.doi.org/10.4213/im4202.

4. Баскаков, А. Г. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла с негладким потенциалом / А. Г. Баскаков, Д. М. Поляков // Математический сборник. — 2017. — Т. 208, № 1. — С. 3-47. — 001: http://dx.doi.org/10.4213/sm8637.

5. Баскаков, А. Г. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями / А. Г. Баскаков, Т. К. Кацаран // Дифференциальные уравнения. — 1988. — Т. 24, № 8. — С. 1424-1433.

6. Баскаков, А. Г. Спектральные свойства относительно конечномерных возмущений спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Изв. вузов. Математика. — 1991. — № 1. — С. 3-11.

7. Баскаков, А. Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений / А. Г. Баскаков // Изв. АН СССР. Сер. математическая. — 1986. — Т. 50, № 3. — С. 435-457.

8. Бештоков, М. Х. Разностный метод решения нелокальной краевой задачи для вырождающегося псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами / М. Х. Бештоков // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2016. — Т. 56, № 10. — C. 1780-1794. — DOI: http://dx.doi.org/10.7868/S0044466916100045.

9. Гордезиани, Д. Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д. Г. Гордезиани, Г. А. Авалишвили // Математическое моделирование. — 2000. — Т. 12, № 1. — C. 94-103.

10. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн. — М : Наука, 1965. — 448 с.

11. Данфорд, Н. Линейные операторы / Н. Данфорд, Д. Т. Шварц. — М. : Мир, 1966. — Т. 2. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. — 1063 с.

12. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями 1-го рода с ядрами, зависящими от времени / Л. С. Пулькина // Изв. вузов. Математика. — 2012. — № 10. — C. 32-44.

13. Сильченко, Ю. Т. Об оценке резольвенты дифференциального оператора второго порядка с нерегулярными граничными условиями / Ю. Т. Сильченко // Изв. вузов. Математика. — 2000. — № 2. — C. 65-68.

14. Ульянова, Е. Л. О спектральных свойствах относительно конечномерных возмущений самосопряженных операторов / Е. Л. Ульянова // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 10. — C. 75-78.

15. Ульянова, Е. Л. Спектральный анализ нормальных операторов, возмущенных относительно конечномерными: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Ульянова Елена Леонидовна. — Воронеж, 1998. — 100 с.

16. Шкаликов, А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями / А. А. Шкаликов // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. — 1982. — № 6. — C. 41-51.

17. Юлдашев, Т. К. Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение псевдопараболического типа с нелокальным интегральным условием / Т. К. Юлдашев // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2016. — № 1. — C. 11-23. — DOI: http://dx.doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.1.2.

18. Юлдашев, Т. К. Нелокальная краевая задача для неоднородного псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром / Т. К. Юлдашев // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2017. — № 1. — C. 42-54. — DOI: http://dx.doi.org/10.15688/jvolsu1.2017.1.5.

REFERENCES

1. Bari N.K. Trigonometricheskie ryady [Trigonometric Series]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961. 936 p.

2. Baskakov A.G. Garmonicheskiy analiz lineynykh operatorov [Harmonic Analysis of Linear Operators]. Voronezh, Izd-vo VGU Publ., 1987. 165 p.

3. Baskakov A.G., Derbushev A.V., Shcherbakov A.O. Metod podobnykh operatorov v spektralnom analize nesamosopryazhennogo operatora Diraka s negladkim potentsialom [The Method of Similar Operators in the Spectral Analysis of Non-Self-Adjoint Dirac Operators with Non-Smooth Potentials]. Izv. RAN. Ser. matematicheskaya [Izvestiya: Mathematics], 2011, vol. 75, no. 3, pp. 3-28. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/im4202.

4. Baskakov A.G., Polyakov D.M. Metod podobnykh operatorov v spektralnom analize operatora Khilla s negladkim potentsialom [The Method of Similar Operators in the Spectral Analysis of the Hill Operator with Nonsmooth Potential]. Matematicheskiy sbornik [Sbornik: Mathematics], 2017, vol. 208, no. 1, pp. 3-47. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/sm8637.

5. Baskakov A.G., Katsaran T.K. Spektralnyy analiz integro-differentsialnykh operatorov s nelokalnymi kraevymi usloviyami [Spectral Analysis of Integro-Differential Operators with

Nonlocal Boundary Conditions]. Differentsialnye uravneniya [Differential Equations], 1988, vol. 24, no. 8, pp. 1424-1433.

6. Baskakov A.G. Spektralnye svoystva otnositelno konechnomernykh vozmushcheniy spektralnykh operatorov [Spectral Analysis with Respect to Finite-Dimensional Perturbations of Spectral Operators]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 1991, no. 1, pp. 3-11.

7. Baskakov A.G. Teorema o rasshcheplenii operatora i nekotorye smezhnye voprosy analiticheskoy teorii vozmushcheniy [A Theorem on Splitting an Operator, and Some Related Questions in the Analytic Theory of Perturbations]. Izv. AN SSSR. Ser. matematicheskaya [Mathematics of the USSR - Izvestiya], 1987, vol. 28, no. 3, pp. 421-444.

8. Beshtokov M.Kh. Raznostnyy metod resheniya nelokalnoy kraevoy zadachi dlya vyrozhdayushchegosya psevdoparabolicheskogo uravneniya tretyego poryadka s peremennymi koeffitsientami [Difference Method for Solving a Nonlocal Boundary Value Problem for a Degenerating Third-Order Pseudo-Parabolic Equation with Variable Coefficients]. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki [Computational Math. and Mathematical Physics], 2016, vol. 56, no. 10, pp. 1763-1777. DOI: http://dx.doi.org/10.7868/S0044466916100045.

9. Gordeziani D.G., Avalishvili G.A. Resheniya nelokalnykh zadach dlya odnomernykh kolebaniy sredy [A Numerical Method for Solving One Nonlocal Boundary Value Problem for a Third-Order Hyperbolic Equation]. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulations], 2000, vol. 12, no. 1, pp. 94-103.

10. Gokhberg I.Ts., Kreyn M.G. Vvedenie v teoriyu lineynykh nesamosopryazhennykh operatorov v gilbertovom prostranstve [Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators in Hilbert Space]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 448 p.

11. Danford N., Shvarts D.T. Lineynye operatory [Linear Operators]. Moscow, Mir Publ., 1966, vol. 2. Spectral theory. Self adjoint operators in Hilbert space. 1063 p.

12. Pulkina L.S. Nelokalnaya zadacha dlya giperbolicheskogo uravneniya s integralnymi usloviyami 1-go roda s yadrami, zavisyashchimi ot vremeni [A Nonlocal Problem for a Hyperbolic Equation with Integral Conditions of the 1st Kind with Time-Dependent Kernels]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 2012, no. 10, pp. 32-44.

13. Silchenko Yu.T. Ob otsenke rezolventy differentsialnogo operatora vtorogo poryadka s neregulyarnymi granichnymi usloviyami [On an Estimate for the Resolvent of a Second-Order Differential Operator with Irregular Boundary Conditions]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 2000, no. 2, pp. 65-68.

14. Ulyanova E.L. O spektralnykh svoystvakh otnositelno konechnomernykh vozmushcheniy samosopryazhennykh operatorov [On the Spectral Properties of Relatively Finite-Dimensional Perturbations of Selfadjoint Operators]. Izv. vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 1997, no. 10, pp. 75-78.

15. Ulyanova E.L. Spektralnyy analiz normalnykh operatorov, vozmushchennykh otnositelno konechnomernymi: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Spectral Analysis of the Normal Operators with Perturbed Relatively Finite-Dimensional. Cand. Phys. and Math. Sci. Diss.]. Voronezh, 1998. 100 p.

16. Shkalikov A.A. O bazisnosti sobstvennykh funktsiy obyknovennykh differentsialnykh operatorov s integralnymi kraevymi usloviyami [On Basis Property of Eigenfunctions of Ordinary Differential Operators with Integral Boundary Conditions]. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Mekhanika [Moscow University Mathematics Bulletin], 1982, no. 6, pp. 41-51.

17. Yuldashev T.K. Nelineynoe integro-differentsialnoe uravnenie psevdoparabolicheskogo tipa s nelokalnym integralnym usloviem [Nonlinear Integro-Differential Equation of Pseudoparabolic Type With Nonlocal Integral Condition]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd state university. Mathematics. Physics], 2016, no. 1, pp. 11-23. DOI: http://dx.doi.org/10.15688/jvolsu1.2016.L2.

18. Yuldashev T.K. Nelokalnaya kraevaya zadacha dlya neodnorodnogo psevdoparabolicheskogo integro-differentsialnogo uravneniya s vyrozhdennym yadrom [Nonlocal Boundary Value Problem for a Nonhomogeneous Pseudoparabolic-Type Integro-Differential

Equation With Degenerate Kernel], Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2017, no. 1, pp. 42-54. DOI: http://dx.doi.org/10.15688/jvolsu1.2017.1.5.

SPECTRAL PROPERTIES OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL OPERATOR DETERMINED BY NON-LOCAL BOUNDARY CONDITIONS

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematics and Physical-Mathematical Modeling, Voronezh State Technical University [email protected]

Prosp. Moskovskiy, 14, 394026 Voronezh, Russian Federation

Abstract. In this work we study the spectral properties of the operator acting in the Hilbert space L2[0, 2n] defined by the differential expression Cy = = —y + y and nonlocal boundary conditions

Here a0 and a1 are functions from L2[0, 2n].

To investigate spectrum of the operator, £ is used adjoint of the operator £* one defined by the differential expression (C*x)(t) = (Ax)(t) — (Bx)(t) and boundary conditions x(0) = x(27t), X(0) = X(27t), with A generated by the differential expression Ax = — x + x with the domain

D(A) = {x G L2[0, 2n] :x,x G C[0, 2n], x G L2[0, 2n],

x(0) = x(2n), x(0) = x(2n)},

and (Bx)(t) = x(2n)ao(t) — x(2n)ai(i), t G [0, 2n], x G D(A).

As a method of studying the spectral properties of the operator A — B the similar operators method serves.

One of the main results is the following theorem.

Theorem 3. Let functions a0 and a1 of bounded variation on a segment [0, 2n] and sequences y1, y2: N ^ R+ = [0, to) defined by formulas:

Aleksandr Nikolaevich Shelkovoy

2л

2л

у(0) = у(2тг) + У ao(t)y(t)dt, у(0) = у(2тг) + J ai(t)y(t)dt

0

0

and

о

о

Let conditions lim y^n) = 0, lim y2(n) = 0 hold true. Then the spectrum

n—X n—X

a(A — B) of operator A — B can be represented as a(A — B) = (J an where

n>1

vn, n > 1, — no more than set of two points. Provided that the estimates:

- (n2 + 1) +

(—i)n

2

lnn

n

where An — the weighted mean of eigenvalues in a„ Equally satisfy estimates:

(

2n

П

(

0 2n

1

(

2n

( Pnx)(t)--I I x(t) cos ntdt ) cos nt —

0

x(t) sin ntdt I sin nt

^ sii

2 \ 1/2

d < c(n)yi(n), П > 1,

for some sequence c>0 where lim c(n) = 1. Here Pn is the Riesz projector

n—^^o

constructed by spectral of set an of operator A — B.

Key words: eigenvalues, operator spectrum, differential operator of second order operator, spectrum asymptotic, similar operators method.

1