Исследование условий причинности и устойчивости системы управления линейным объектом теплопроводности (особые случаи). часть i Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958 ББК 22.161.5

ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ПРИЧИННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ОСОБЫЕ СЛУЧАИ). ЧАСТЬ I

1 2 Солнечный Э. М. , Черёмушкина Л. А.

(Учреждение Российской академии наук

Институт проблем управления РАН, Москва)

Для двух особых видов граничных условий устойчивого одномерного объекта теплопроводности конечной длины получаются оценки норм операторов, определяющих зависимость температуры объекта от граничных воздействий. Эти оценки используются для получения достаточного условия причинности и устойчивости системы управления объектом с помощью нелинейной обратной связи.

Ключевые слова: система управления, причинность, устойчивость, распределенные динамические системы, линейный объект теплопроводности, теория функций комплексного переменного.

1. Введение

Настоящая работа является непосредственным продолжением работы [5], где было получено достаточное условие детерминированности, причинности и устойчивости замкнутой системы управления линейным распределённым объектом, охваченным обратной связью от выходной внешней величины у

1 Энгель Михайлович Солнечный, доктор физико-математических наук (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-92-29).

2 Людмила Александровна Черёмушкина (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-92-29).

объекта к управляющему воздействию и на объект. Предполагается, что динамические свойства объекта и обратной связи описываются соотношениями вида

(1.1) у = Уи + 7Н$,

(1.2) и = ¥ (у, /).

Здесь / - внешнее (возмущающее или задающее) воздействие; У - оператор и ® у , описывающий поведение у при заданном

управлении и и нулевом начальном состоянии объекта; Ун -оператор $ ® у , описывающий реакцию на начальное состояние $ объекта, ¥ - оператор (вообще говоря, нелинейный) обратной связи.

Под детерминированностью системы (1.1), (1.2) здесь понимается существование и единственность решения её системы уравнений при фиксированном / (из заданного пространства Ф), т. е. существование оператора А, переводящего / е Ф в элемент у заданного пространства X .

Под причинностью этой системы понимается [6, 4] следующее свойство оператора А (когда он существует): из совпадения двух его входных функций / (■ = 1,2) на полуоси (-¥, ¿) следует совпадение соответствующих выходных функций уI = А(/■) на той же полуоси (оператор А с таким свойством соответствует физическому принципу неопережения следствием у причины / ).

Под устойчивостью этой системы по отношению к пространствам Ф и X (предполагаемым нормированными) здесь понимается ограниченность отношения

равномерная относительно / е Ф.

Объект без обратной связи предполагается причинным и устойчивым. Охватывающая его обратная связь может иметь смысл либо регулятора (и тогда вопрос о причинности и устойчивости замкнутой системы должен предшествовать постановке 90

задачи достижения какой-либо цели синтеза), либо воздействия некоторой внешней среды (и тогда нужно выяснить ту степень интенсивности этой связи, которая еще не может нарушить причинность и устойчивость объекта).

Замечание. Такая постановка задачи имеет некоторую аналогию с постановкой задачи абсолютной устойчивости (см., например, [3]), где ставится вопрос об определении (по достаточности) класса нелинейных регуляторов, обеспечивающих устойчивость заданного линейного объекта.

Как показано в [5], достаточное условие сохранения причинности и устойчивости замкнутой системы «объект + обратная связь» состоит в том, что обратная связь должна удовлетворять условию Липшица

(1.3) II Р (у^ /) - р (у 2 , ЯП и < ЬР || у 1 - у 2 II X , и соотношению

(1.4) Ьх = Тр || У || < 1,

где Ьх = Ьр || У ||; у1, у2 - два возможных входа обратной связи (т. е. две функции - воздействия на входе обратной связи; Р ( у1 , /) - выход обратной связи при соответствующем входе у. (■ = 1,2) и внешнем воздействии / ; X и И - пространства соответственно входов и выходов обратной связи; Ьр - константа, не зависящая от у. и / е Ф.

Нужно отметить, что, конечно, условие (1.4) является лишь достаточным, но не необходимым, так как учитывает не направление действия обратной связи, а лишь его интенсивность. Но это условие применимо к широкому классу обратных связей (к линейным и нелинейным, к статическим и динамическим) и накладывает ограничения лишь на интенсивность обратной связи и ее крутизну. В работах [4, 5] это условие уже использовалось для исследования вопроса причинности и устойчивости линейного одномерного объекта теплопроводности, охваченного обратной связью от отклонения АТ температуры объекта к граничным воздействиям и. (■ = 1, 2) на объект.

2. Постановка задачи

Для объекта теплопроводности оператор У: и ® АТ определяется математической моделью системы передачи тепла за счет теплопроводности; эта модель принимается в том же виде, как и в работах [4, 5]: дАТ дАд

(2.1)

д і дХ д АТ

(2.2) А д = —1 ,

дд

(2.3) С0у\^ = о + С1у\;с = 1 = и ,

(2.4) АТ^=-о = #,

(АТ )

где у = ; ( — время ((е Я ); д - координата вдоль длины

Ад

V У

объекта (X е Ь = [0,/]); АТ, Ад — отклонение соответственно температуры Т и потока тепла д (в направлении возрастания X ) от их установившихся значений; с — теплоемкость теплопередающей среды на единицу длины; 1 — коэффициент теплопроводности среды; С0 = (с0га) и Сг = (сг), где г, s = 1,2, — заданные числовые квадратные матрицы 2-го порядка.

Замечание. Используемые граничные условия обобщают классические граничные условия 1-го, 2-го и 3-го типа [1].

Обозначим через БО пространство обобщенных производных всех порядков от функций-оригиналов [2], заданных на множестве действительных чисел Я; 0 — пространство равномерно ограниченных функций из пространства БО; 0 (—.;) -пространство всех функций р е 0, имеющих ■ первообразных в БО, входящих в 0, и j обобщенных производных р(п) (п = 0,..., j), входящих в 0 . Норма в пространстве 0 (—■, 3 ) равна

(2.5) || р || = тах

г=0-/ ,5=0- j

Ґ \ угаі тах| р(-г)(і) | в~г,угаі тах| р(5)(і) | в5

где в - фиксированная константа, имеющая размерность времени.

Как указано в [4, 5], необходимое и достаточное условие невырожденности краевой задачи (2.1)-(2.4) (т. е. существования и единственности ее решения при любом (и,$) е БОX Хн) состоит в отличии от тождественного нуля функции В (р) = <1е1;(С0 + СгФI), где Фг = Ф(х)|х = ; Ф(х) - интегральная

матрица системы (2.1)-(2.4), преобразованной по Лапласу в краевую задачу для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с независимым переменным х е Ь и комплексным параметром р е С ; С - комплексная плоскость.

Решение краевой задачи дает следующее выражение для изображения по Лапласу реакции АТ на воздействие и [5]:

(2.6) Уи(х) = w2(х)и1 — w1(х)и2,

где верхнее подчеркивание используется для обозначения изображений соответствующих переменных;

(2.7) wj (х) = с0 32 &НХЭ + с1]2 Кн,—ХВ + (1/к)(с0 Д^хО — С//1 —хЭ ),

I—;г нд

где 3 = 1,2; X е Ь ; а = л! с /1 ; Янг0 =-д ; ;

7 с

; в — фиксированная кон-

станта, имеющая размерность времени; р — комплексное число, С — комплексная плоскость; £(р) = а^^[р — однозначная ветвь функции £ (р )= а1у[р , выбранная так, что Яе £ = а1 Яе^[р > 0 для всех р , не лежащих на мнимой оси, и

1т £ > 0 для мнимых р; В — функция аргумента р, равная знаменателю выражений для передаточных вектор-функций объекта от граничных воздействий из (3 = 1, 2) к У [5]:

а

В (р) = 00 + «12 нI + ка2б, —-1 Б1,

к

где к = 4Сш, а = 8Ь с; Н = еЬ(С); ^ 8Ь(С).

о7 в

Коэффициенты а0, а1; а2 и а12 определяются через элементы матриц Со = (Со„), С7 = (с1гх) [5]:

ао = с011 с0 22 — с012 с0 21 + с111 с1 22 — С112 С1 21 , а1 = С011 С121 — С111 С021 ,

а2 = С012 С122 — С112 С022 , а12 = С011С122 — С/12 С021 — С012 С121 + С/11С022'

Для объекта теплопроводности обратная связь предполагается имеющей вид (см. (1.2))

(2.8) и = Г (АТ, /),

где и - двумерный вектор управляющих воздействий на объект:

и =

и1

и2

2

; / — внешнее (возмущающее или задающее) воздей-

ствие, являющееся элементом некоторого банахова пространства Ф , а Р — причинный (в смысле раздела 1) оператор обрат-

ной связи: Г =

, компоненты которого Гк : АТ ® Гк (АТ, /)

(к = 1, 2) являются липшицевыми отображениями пространства Х равномерно ограниченных на отрезке Ь функций в пространство О (—г з) с константами Липшица Ьр ^ 3-), не зависящими от

/ е Ф.

Как показано в [5], для устойчивости замкнутой системы управления по отношению к паре (/, Ф) и для причинности оператора А: / ®АТ, реализуемого замкнутой системой, достаточно, чтобы для некоторой пары (/, 3) (где 1,3 > 0) константа Липшица Ьх оператора X = У о р разомкнутой системы (при фиксированном внешнем воздействии /) была строго меньше 1. Показано также, что константа Ьх, входящая в условие

(1.4) для объекта (2.1)-(2.4) и обратной связи (2.8) может быть выбрана следующим образом:

(2.9) Ьх = т 2 3) + тх Ьр2,(г-,),

где тг = (I С()г2 I + I С1г2 |)Ын,(г-,3) + (| С0Г1 I + I См |)N33) /к , а Ын,(г-,3) и N (г- 3) определяются следующими соотношениями:

(2.10) Ын,а,3) = вир У Ян 0 ||в(. , ,(г-,3) = вир У Я5 0 ||в ,

ХеЬ ----- ’ ХеЬ ----- ’

где через В (—13) обозначено пространство всех ограниченных

операторов, отображающих О — ,) в О, а через Ян В , Я3 В обо' __4 4

значены операторы, действующие в БО и имеющие соответственно передаточные функции Ян^В = н^ / В, Я^а = / В .

Условие Ьх < 1, где Ьх определяется согласно (2.9), выделяет некоторый класс ЕВ обратных связей, для которых гарантированы существование оператора А: (/,$)®АТ , описывающего поведение замкнутой системы, ограниченность оператора, а также причинность оператора Аа : / ® А(/,$). Для выявления возможно более широкого класса ЕВ обратных связей необходимо определить такую пару (1,3) с возможно меньшими

значениями 1,3 (/', 3 > 0), для которой операторы Ян ^В , Я5^В

являются ограниченными, а также возможно точнее оценить нормы этих операторов в пространстве В (ч .) . Как показали исследования, возможность выбора такой пары (1,3) и оценки норм операторов существенно зависят от предположений относительно коэффициентов а0, а1, а2, а12, входящих в выражение для функции В .

В [4, 5] получены оценки норм операторов с передаточными функциями Ян В , Я3 В в пространствах В (ч ,) для всех та-

4 4 \ ’3 /

ких вариантов предположений о коэффициентах а}-, в которых а0 = 0, а также для одного из вариантов, для которых а0 ■£ 0; эти оценки вместе с условием Ьх < 1 позволяют определить класс обратных связей, для которых гарантированы существование и ограниченность оператора А, а также причинность оператора АФ.

В настоящей работе такое исследование проводится ещё для двух вариантов, в которых а0 Ф 0. Для этих случаев характерна взаимозависимость граничных условий, относящихся к сечениям Х = 0 и Х= I, а также возможность наличия у объекта конечного или счётного числа частот собственных колебаний.

В настоящей части I работы рассматривается случай а1 = 0 , а12 = 0, а0 Ф 0, а2 Ф 0 . В этом случае

Исходя из необходимого условия устойчивости объекта, которое состоит в отсутствии у функции В нулей с неотрицательной вещественной частью, далее будем считать р строго положительным числом. Один из простейших примеров граничных условий, удовлетворяющих предположениям этого случая:

где Ь Ф 0 .

3. Исследование нулей функции Р(£) = р + £ вЬ £

Согласно изложенной в [5] процедуре исследования условий устойчивости объекта первый этап состоит в нахождении нулей функции Р(£ (р)), так как они определяют полюсы передаточных функций данного объекта управления, где £ (р) - однозначная ветвь функции £ = о!у[р с областью значений С = {о + : о > 0, — ¥ < % < ¥} и {о + : о = 0,т е (0,¥)} с С .

а 2 а 2

(2.11) Б(р) = ^~0 + аі4Рsh(alJp)) = -^Р(С (р)),

где Ь = а°а = ; Р(р) = ь + оі^р sin(alЛ[p),

ка2л/ в а2 2

Р (С) = Ь + С sh с ; С = а + ¡т є С ; а,т є Я; С = а^Л[р є С = {а + ¡т : а > 0} и {¡т: т > 0}.

АЯ X=0 = и^ АЧ X =1 = и2,

Чтобы найти нули Р(£) в области С с С, используем вспомогательную функцию к = % втт действительного аргумента %. Введем обозначения: кп - максимум функции

к = % втт на отрезке Ь п = [2р(п — 1), 2рп] (п - натуральное число); тп - то значение % , при котором к достигает максимума на отрезке Ьп; Nр - минимальное из тех п, для которых р £ кп;

7*7 * 7 / * \ 7 *

к = кЫ^ ; % - то значение % , при котором к (т ) = к , т. е.

(3.1) кп = к(% ) = тахк(%), Nр = тт {п : кп > р},

% еЬ п и ие{1,2,...}

к(%*)=к = кыр, р £ к*.

Теорема 1 описывает расположение нулей функции Р(£) в области С в зависимости от величины коэффициента р.

Теорема 1. При р е (0, р), где р = —2<г1 вЬ <г1 сов <г1, а <~1 -

решение уравнения ^о1 =— Шо1 в интервале 11 = (х1,к) (т. е.

р »17,7985), у всех нулей функции Р (£) = р + £ вЬ £ , лежащих

в области С, мнимая часть по абсолютной величине превосходит вещественную и, соответственно, все нули функции В(р) = (а21 / 1)Р(£(р)) имеют отрицательную действительную часть. При этом в зависимости от величины в нули функции Р (£) = р + £ вЬ £ располагаются в области С следующим образом:

a) при любом в функция Р (£) = р + £ вЬ £ имеет счётное множество пар нулей первого порядка вида ¡%п1 и ¡%п2 , где %п1 е Мп = (2р(п — 1), %п), %п2 е 1п = (%п ,р (2п — 1)), а п - любое из тех натуральных чисел, при которых р < кп; этим нулям соответствуют простые нули рк = —%2Л /(а1 )2 (к = 1,2) функции В;

b) если при некотором натуральном п < Nр выполняется неравенство р > кп (т. е. Nр > 1), то помимо мнимых нулей

функция Р (£) имеет в области С также тр = (Nр — 1) пар простых сопряженных комплексных нулей вида £° = о0 + ¡%°, С = <1 — ¡%0 > где п е (1, Nр — Nр £ 4 > в°п > 0 > Т°п е 1

а

именно,

1 при р е (к1, к2), Nр = 2,

(3.2) тр =<2 при р е (к2, к3), Nр = 3,

3 при р е (к2, /3), Nр = 4,

(где к1 » 1,8197, к2 » 7,9167, к3 »14,1724); при этом каждой

паре таких нулей функции Р (£) соответствует пара простых сопряженных нулей вида

0 = (°°0 )2 —(%0 ) + 2< 0%0 р 0 =(<0 N (% п° )2 — 210 0%0

Рп1 / \2 ’ "п! / \2

(а1) (аI)

функции В(р), принадлежащих области С— ={р е С: Яер < 0}; с) если же р = к* = к^ , то функция Р (£) также имеет в

области С один мнимый ноль второго порядка = ¡%*, которому соответствует отрицательный ноль второго порядка функции В(р): р* = —(%*)2 /(аI)2;

ф) при р > р функция Р (£) имеет в области 01 = {о + ¡% : о е (0,¥),% е 11} с С такой нуль £101 = о10 + 7%10, для которого о° > %°, что означает наличие у функции В(р) нуля с неотрицательной вещественной частью, т. е. неустойчивость объекта управления.

Доказательство теоремы 1 приведено в Приложении I.

4. Разложение функций RJP = J ^ / P (J = H, S )

на рациональные дроби

Чтобы получить оценки норм операторов, имеющих передаточные функции Р (Ь = Н $), представим каждую из

функций Р в виде суммы ряда, составленного из главных

частей этой функции в ее полюсах, являющихся также нулями функции Р(р). Возможность такого представления обосновывается следующей леммой и теоремой Коши [2, п. 71].

Лемма. Значения функций ЯН Р и Я5^Р на окружностях

(4.1) G„ = ipе C: P =

(p/2)+ 2m

\2

al

где n - натуральное число, при n стремятся к нулю равномерно по отношению к argp.

Доказательство леммы приведено в Приложении I.

Теорема 2. На основании теоремы Коши [2, п. 71] каждая из функций RJp, где J = H,S, может быть представлена

суммой ряда, составленного из главных частей этой функции в её полюсах, а именно:

m(ß)

(4.2) Rj p = Wjm + WjNß + X WjKn + WJ ;

¥ 2 C

где WJM = І I

n=N ß +1k = 1 P Pnk

k=1 p pNß k

*

Wj =

0

при ß < h

Nß

C

Jk

I. n k ПРи ß = hNß = h

k=l(P - P )k ß

Wj к n (P ) = -

C0

Wn

C

+

Jn

P - Pnl P - PO2

при ß < hNß , при ß = hNß ,

*

и И* = Иы (см. теорему 1). При этом коэффициенты См, вхо-

дящие в функции Ж/м и (Ь=И, 5) равны:

(4.3) Си„к =

(4.4) С8пк =

2

сое

(( V1)у пк к

2 С0Э (( Х/1)Тпк Упк =___________________________

(о02(8ттпк + ТпкС0^пк) (а/)2 Ь + ’

2эШ ((Х/1)кпк ) 2 эт (( Х// )к пк к пк

Сй4в (ЭШТ пк + Г пк

где к = 1,2, 5пі =1 • ,Т т лг

п1 І йійп (Ьы - Ь) при п = N о,

с°8т„к) Ы4в £ +

при п > Nр +1,

ъ:

хп2 = —1, ^ = 2р(Nр —1) + р/2 ; а коэффициенты, входящие в функции Ж], ЖЬкп (Ь=Н, 3) равны:

((X/I т *) (т *Ут/1+(т * )2

(а )4 2 + (т * )2 ’

=08ш((х/1у) *¿+52.

(4.5) С* 2 = 8С0§

(4.6) С

(4.7) СИ і =

(а/ )3л/ё 2 + (т*)

4 д/1 + (т*)

(4.8) С*і =

(а/)2 2 + (т*)2 4 д/і+(?)

/

V У

2+

(т* )2

3

*ч 2

2 + (т*)

С°8

V

2

а/л/ё 2 + (т*)2 I 32 + (т*)

81П

—т

/

—С0Э /

—т

/

(4.9) С0 п = 2

сМ(Х//)С п0і)

///-о

(а/ )2

ПС п0і)

(4.10) С! = 2§Ь((Х//)Сп°і)

ы4вР'(С 01)'

Доказательство теоремы 2 приведено в Приложении I.

На основании теоремы 2 можно вычислить или оценить

іоо

нормы (в пространстве В = Б(0 0) сужений на пространстве

О = О(0 0)) операторов

имеющих передаточными функциями соответствующие слагаемые представления (4.2).

Следствие 1. При р £ п/2 и Х=! норма сужения опера-

тора

(4іі)

Я

Я

И/Р

на пространство О как оператора О ® О , равна = Яир(0 ) = Ь,

а точное значение нормы оператора ЯИіП в В (см. (3.і)):

/ _і_

а0

(4і2)

Я

'И,П

= Яи,э (0) =

Р^2

Следствие 2. При Xе [0,/) и ¡5 є (0,р/2) можно указать сравнительно простые оценки нормы оператора ЯИ в в пространстве В, а именно, при Ьє (0, п /2) і

(4і3)

Я

I а0 I С0этц ’

а в случае Х є [0, /) и Ь = п/2 (4.і4) \\я

2,262 4 /

" И{°1 їв |а0| р 1 |а2|

Доказательства следствий даны в Приложении.

Заметим, что оценки норм операторов, приводимые для значений 0 є (0, р /2] в следствии 2, являются грубыми. Более точные оценки позволяет дать теорема 3.

5. Оценка норм операторов , (, = И, Б)

Теорема 3. Операторы, имеющие передаточными функциями ЖН м и м, отображают пространство О в себя, и

в

<

В

нормы их сужений на О оцениваются сверху следующим образом:

Мн

(5.1)

(5.2)

Ж,

Н м

<

в Л2

Ж

а1

< —^-¡= тій в р

'■4в

М5 Х

—- МН

2р I

г \\

і + 1

2 N.

\

/у

где МН =

М5 =

- + —— 1п-

N о + а.

_____________^_________,,, ^ ^о • а = 0

Н N0 - а1р 2а^ N0 - aNp ’ ^ 0 4р2N

л/4

- ях_

4р2 N2 +1

Р

1

+—1— 1п -

N

Р

(NÍ2 аЫр) аЫр ^0 -(

'N0

Доказательство теоремы 3 см. в Приложении I.

6. Оценка норм операторов и

Оператор с передаточной функцией

(6.1) = X СМр к /(Р — PNf¡ к ), PN о к = ІtN 0 к ■

к=1,2

где

2^\т„к С08

(6.2) Снр к = ( ,)2(. + )

(а) (ЭШТN0к + ^N0к c0stN0к )

(6.3) С

2^„ к ®1П

I

ы4ё(Э1пТN0к + tNpк С0StNpк ) ’

вносит сравнительно весомый вклад в норму суммарного оператора, поэтому его норму полезно оценить отдельно.

Теорема 4. Операторы, имеющие передаточными функциями и , отображают пространство О в себя, и

нормы их сужений на О равны

Ж,

С

(а)2(і-2ык)

к=1,2 Т^ь к

где 3 = Н, £, к = 1, 2 , к вычисляются путем численного решения уравнения Т 8тт = Ь , при этом Ты^ 1 е (2р(- 1),Т*),

ТЫр 2 е (Т ,р (2^Ь — 1)) , С^ьк - см- (61), Я = СЖр 1/ СЖр 2 , и

при Я е (—1, 0)

т 2 к

С _ 2 _ 2 т 2 т ЛТр 1

С '-"Ж р 2

0 при Я <£ (—1,0).

Доказательство теоремы 4 дано в Приложении I.

7. Вычисление норм операторов Ж~* (3 = Н,£)

Теорема 5. Операторы, имеющие передаточными функциями Ж*н и Ж*, отображают пространство Q в себя, и нормы их сужений на Q вычисляются по следующим формулам:

(7.1) и =\а 1 приС*2С:2-0

И—1Ь [|2а,2 ехрЪ, - а, 1 при С*2С,2 < 0, где С*к для , = Н, £ и к = 1, 2 - см. (4.5)-(4.8);

Ъ, =

,к ґ * л2

аі

V у

С

С

,1 2 + (т*)2

, 1 • т = і ;

' *ч 2

8

л/1 + (т * )

т(т*)2

008

I

V У

тт

а£1 = 4

X •

— 81И

I

аI

I

V У

2

+

-008

т (т * )24д

1 2 + (5/3)(т *) т * 2 + (т *)2

*\ /о2 / е Ч

2 2+(2т )/32 .

Т-----------— 8Ш

т* 2 + (т* )2

-т

I

V У

-т •" -

-—сое

I

4

аН 1 _

8а1

-81П

\

т (т * )ъ4в

Доказательство теоремы 5 см. в Приложении I.

8. Вычисление норм операторов кп (Ь = Н,£)

Теорема 6. Операторы с передаточными функциями ЖНкп и к п, отображают пространство Q в себя, и нормы их сужений на Q вычисляются по следующим формулам:

(8.1)

(8.2)

Г,

Н кп

=м

Н п

еИ

= М8пС8

I п

-Сс

I

гДе мнп =■

4 Ын

; м8п =-

4 N

а1

С Р'(Сп°1)

Р'(Сп01) = Сп01еЬ С? + эЬ Сп01; Уп = аг^

1т С

Пп

Яе С?

7п = аг^ п; V п =

/_0\2 /^0\2 (Тп ) - (^п ) .

00 2^ пТ п

1 - ехр(—V пр У П = I эт^п — Упп )+ 2гп е°ЭГп еХР(— Vп ((р/2) — Упп ))| .

Доказательство теоремы 6 см. в Приложении I.

В Приложении II в таблицах 1-4 приводятся вычисленные с помощью программы МЛТЬЛБ для п = 1 + 3 и ¡5 е [Ип ,р) значения нулей СП функции Р и параметров тНп = МНп | еЬ£П I, т£п = Мп | бЬСп I (Ь = Н£), равных нормам операторов в выражения (8.1) и (8.2) при X = I. На рис. 1-4 приводятся графики функций тЬп (п = 1, 2, 3, по оси абсцисс откладывается по оси ординат - тЬп).

B

Б

=

0

1

9. Заключение

Полученные в разделах 4-8 оценки или значения норм операторов

*, *, * *, *=н, £,

имеющих соответственно передаточные функции Ж* м , Ж*Мр ,

Ж*, Ж* к п и отображающих пространство Q в себя, позволяют, в силу (4.2), получить оценки для норм (в пространстве В) операторов с передаточными функциями Я*рР и 0 = (I / 1а2)Р

(* = Н ,£), а эти последние оценки дают возможность (ем. раздел 1) определить класс ЕВ обратных связей, для которых гарантированы причинность и устойчивость замкнутой системы по отношению к внешнему воздействию на систему.

Из приведенных в Приложении II таблиц и графиков видно, что величины т*1 = ал + а* 2ехр Ь* (*=Н,£) для р = ^, вычисленные по формулам (7.1) при Х = I и определяющие вклад низшей гармоники в общую норму оператора , неогра-

ниченно растут при стремлении р к критическому значению р , что говорит о приближении объекта к потере устойчивости; величины же т* 2 и т*3, соответствующие второй и третьей гармоникам, весьма малы по сравнению с т*1 и слабо изменяются при изменении параметра р.

Авторы благодарны д.т.н. Б. Т. Поляку за его труд по знакомству с работой и за ценные замечания, способствующие улучшению ее изложения.

ПРИЛОЖЕНИЕI П1. Доказательство теоремы 1

а) Вещественных нулей функция Р = р + С бЬ С в силу вы-

бора параметра f не имеет. Рассмотрим вопрос о чисто мнимых нулях этой функции. Если Z = it, где t - действительное, i -

мнимая единица, то P(iT) = в — т sin т . Функция h (t) = tsint при t > 0 на каждом из отрезков Ln = [2p(n — l), 2pn] (n - натуральное) имеет максимум hn в точке tn, являющейся решением уравнения t = — tgt, tn е ((2(n — l) + 0,5)p, (2n — 1)p). При n величина hn неограниченно возрастает. Если hn > f , то на L n функция P(Z) имеет пару нулей первого порядка itn1 и itn2, где tni е Mn = (2p (n — 1), tn), tn2 е I n = (tn, P(2n — 1)); если же в = h*, где h* = hNb, то функция P имеет ноль второго порядка

вида it *, где т * = rN^ , так как P '(h) |t=^. = 0, но P"(h) |t=^. Ф 0 .

б) Далее, предположим, что ZШ = + it°, где а° > 0,

t0 е Ln, является нулём функции P . Тогда числа s°, t° удовлетворяют условиям ReP(s0 + it0) = 0 и ImP(s° + it°) = 0 , т. е. уравнениям

(П1.1) Re(f + ZshZ) = в + ashscost — tchssint = 0,

(П1.2) Im(f + Z sh Z) = s ch ssint +1sh s cost = 0, и, следовательно, уравнениям

(П1.3) f =—(s2 +12)shscost,

s

(П1.4) =—SL,

st

откуда следует, что cos т° < 0 , sin t° > 0 и t° > — tg t° ; т. е. t0 е In (t0 > tn ). Наконец, из (П1.3) получаем:

(П1.5) f > (t n0)2 |cos t n0 I > (tn )2 |cos fn\ = fn sintn = hn .

Так как N f - минимальное из чисел n , для которых f < hn, из (П1.5) следует, что при n > Nf функция P не имеет

нулей вида о0 + ¡тп, где 2ж(п —1) < т° < 2т и о0п > 0.

Из четности функции Яе Р(о + ¡т) по т и нечетности по т функции ¡Ш Р(0 + ¡т) следует, что если + ¡Т0 - ноль

функции Р , то и число С°2 = С° = в0 - ¡Т0 — тоже ноль функции Р(С), поэтому достаточно исследовать лишь нули функции Р, лежащие в первом квадранте комплексной плоскости С.

в) Докажем, что для каждого п, при котором кп < р , функция Р (С) имеет в области Сп = {^ = о + ¡т е С: о > 0,т е Ьп}с С ровно один нуль. Согласно сказанному выше, если функция Р имеет нуль С= о0 + ¡т0 и т0 е Ьп , то т0 е I п . Рассмотрим область Qn = {(о ,т) е Я2 : о > 0, т е Iп } плоскости Я2. В этой области уравнение (П1.2) эквивалентно уравнению G(о ,т) = 0, где

(П1.6) с(о,т)=-!!о + .

о т

Частные производные функции G имеют вид

° (в сЬ а)2

(П1.8) = т—51Птсо25т.

(т собт )

В области Q п функция 0'о принимает отрицательные значения, а функция 0'г — положительные. Поэтому уравнение G (о ,т) = 0 задаёт в этой области функцию т = Уп (о), имеющую положительную производную

(П1.9) Vп (о)=—;

От (о, Уп (о))

и, следовательно, монотонно возрастающую с ростом о, стремящуюся при о к р (2п — 1), а при о ® 0 — к тп. При любом о > 0 число о + ¡Уп(о) удовлетворяет уравнению (П1.2). Так как V п (о) - возрастающая функция, то и функция

(П110) fn (s )=—(s 2 + П 2 (s cosV n (s )

s

также монотонно возрастает (от — (tn )2 cos tn = tn sin tn = hn к + ¥) с ростом a, задавая взаимно-однозначное отображение множества {s : 0 < s < ¥} на множество {f : hn < f < ¥} ; обратное взаимно-однозначное отображение обозначим sn (f).

Для любого фиксированного значения f > hn число Z °n1 = (f) + in n (an (f)) является нулем функции P (Z), ибо оно

удовлетворяет как уравнению (П1.2), так и (П1.10), а, следовательно, (П1.3) и (П1.1). Этот нуль - единственный в области C n при данном f в силу единственности функций s = sn (f) и t = n n (s). Zn - нуль первого порядка, как и нуль Zn°2 = Z0 , ибо ReP'(Z) = Re(shZ + Z chZ) = shscost + schscost — tshssint = = sh s (cost + s cost /ths — t sint); откуда, учитывая (П1.4), получаем для k = 1, 2:

ReP'(Z0nk) = shs0(costn — т0„ cos2 т0„ /sinт0„ — т0„ sinт0) =

=(cos т 0 sin т 0 — т n) sh a 0 / sin т 0

Так как а0п > 0 и т0п е In = (tn,(2n — 1)p), т. е. t° > p/2, то (cos т0 sin т0 — т0) Ф 0 и Re P'(C°k) ф 0, поэтому нули Z°k функции P (Z ) первого прядка.

г) Так как из требования устойчивости объекта управления следует, что функция D имеет нули только в С—, потребуем, чтобы нули = a0 + h°n функции P , лежащие в области С, при всех n > 1 удовлетворяли условию (П1.11) a0 <т0;

при выполнении этого условия у каждого из нулей функции P модуль вещественной части будет меньше модуля мнимой части и, следовательно, каждый из нулей р° функции D будет иметь отрицательную вещественную часть.

Из вида (П1.6) функции G следует, что функция п п удовлетворяет уравнению (П1 12) Уп (о) = — Уп (о)

в Ш в

Так как правая часть (П1.12) в интервале (0, ¥) монотонно убывает с ростом о, стремясь к нулю при о , отношение Vп (о) / о также монотонно убывает (от ¥ до нуля) и становится равным 1 при некотором <гп. Согласно (П1.12), <гп удовлетворяет е уравнению (ШЛЗ) Щ~п = — Ш~п .

Точка <~п + ¡оп является нулём функции Р при некотором значении р , которое обозначим как вп . Из (П1.10) получаем:

(П114) рп =—2оп ^п с0< = 2<п сЬ °п! V2 + оп .

Величина оп = Уп (<гп) е 1п растет с ростом п , поэтому из (П1.14) следует, что рп тоже монотонно растет с ростом п (т. е. рп < рп+1 ). Если при некотором р функция Р = р + С эЬ С имеет нули вида С0 = оп + ¡тп, где о° > 0 , и М Сп > Яе С101, то и для остальных нулей этой функции, имеющих вид Сп°1 = о° + ¡т° при п > 1, неравенство (П1.11) будет выполняться. Действительно, если о” < т 1, то р < р1 < рп, следовательно, т° > о°.

Таким образом, если р < р1, то условие (П1.11) выполняется для всех нулей функции Р . Но при р > р1 функция Р имеет

такой ноль Сп = о° + ¡т°, что о 1 > т 10 е (0,р), а функция Б(р) имеет ноль с неотрицательной вещественной частью. Далее будем обозначать р1 как р : р = р1 = —2о1 эЬ о1 со8<~1, где <~1 е 11 и 18~1 = — 1Ь~1.

Для вычисления значения р используем уравнение (П1.13): решая его при п = 1 (т. е. <~1 е 11), находим <~1 » 2,365 .

Из соотношения (П1.14) следует, что р = р1 » 17,7985 .

Для п = 1 + 4 определим максимумы Нп = тП /дД + функ-

ции Н , решив в интервалах (2(п — 1)л, (2п — 1)л) уравнения тп =— ^ тп : Н » 1,8197 (т1 » 2,0287), ~2 » 7,9167 (т2 » 7,9789), Н3 »14,1724 (т3 »14,2075) и Н4 » 20,445 (т4 » 20,469 ).

Сравнив найденные максимумы с р »17,7985, заключаем, что если все нули функции Р(£) удовлетворяют условию

I !ш С0 I > Яе С Л (к = 1, 2), то при в е (0, ~) функция Р(£) может иметь в области С не более трёх пар нулей вида С„к = о° ± ¡т° с положительной действительной частью, так как из неравенства т „ > о „ > 0 следует, что Нп < р < в < Н4 .

Таким образом, при р е (Н1, р) в области С функция Р(С) имеет тр = Nр — 1 пар сопряженных комплексных нулей первого порядка вида С°Л = °1 ± ¡т„ (к = 1,2), где ап > 0, тп е Iп . При этом

1 при в е(Н1,Н2), тр =<2 при ве(Н2,Н3),

3 при ве(Нг, в).

Так как любой из этих нуле й функции Р(^) удовлетворяет условию (П1.11), соответствующие им нули

0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0

р0 = (ап ) — (тп ) + 2 апТп р0 = (ап ) — (тп ) — 2 аптп

„1 / 7\2 ? „2 / 7\2

(о!) (о!)

функции Б (р) лежат в области С— . Теорема 1 доказана.

П2. Доказательство леммы

Функции ЯНрР = Н| / Р и Я^Р = / Р оцениваются по мо-

дулю сверху следующим образом:

(П2.1)

(П2.2)

chö

\z

+ sh Z

ß

Z chö

al chö

j (s t)

al

ß

+ sh Z

где Z = a l sfp = s + i t e C , o, t e R ,

j(s,t) =| sh Z | /ch s = tJ(thocost)2 + sin2 t = ^j 1 - (1 - th2o)cos2 t .

Функция j на дуге Gn = {pe Gn :| t e 2m + [p/3,p/2]} принимает значения, не меньшие sin(p /3) = 43/2 . На множестве же Вn = {pe Gn :| t e [0, 2pn + p/3]} величина | o | оценивается снизу следующим образом:

|s |> ^(pn + p/2)2 -(pn + p/3)2 = Pyl(n + 5/12)/3 , т. е. минимальное на В n значение | s | неограниченно возрастает при n , а значения функции j (s,t) = д/ 1 - (1 - th2 s)cos2t

на Вn при достаточно большом n становятся больше V3/2. Так как | Z | на G n неограниченно возрастает при n , из (П2.1) следует, что значения функций RH P и RS P на Gn

стремятся к нулю при n (равномерно по отношению к

arg p). Лемма доказана.

П3. Доказательство теоремы 2

В силу доказанного в лемме 3 стремления значений функций р (Ь = Н,Б) на Сп к нулю при п эти функции могут быть представлены [2, п. 71] как суммы рядов, составленных из главных частей в их полюсах:

т[Ь)

— и/ _1_ и/ _1_

V, р

RjxP = Wjm + wJNß +z wjKn + wj.

n=1

1

Определим коэффициенты, стоящие в числителях дробей -членов этих рядов.

а) При n > Nр +1 и в случае n = N^ и р < h* = hN , нули

pnk = -t/(al)2 функции D являются полюсами первого порядка функций

¥ 2 C

Wjм (p) = I I —^ ,

n=N р +1k=1 p Pnk

C R JX (Pnk ) 1 2 JX (Pnk )tnk

где C r. = resRr P =——^^------------=------------------, .

p- ' nt,k)z'(p,k) (al)2 р+ssЛ41ik -p2

Здесь k e[l,2}, sn2 = -1 (так как tn2 > 2(n - 1)p + p/2 для любого n > Np , т. е. costn2 < 0), и sn1 = 1 (так как соотношения p £ hn-1 < tn-1 < p(2n - 3) < 2p(n -1) + p /2 = Ln выполняются для любого n > Np +1; см. обозначения теоремы 1).

Если же n = Nр и р < h*, то sn1 = sign(LN - р), где Lnр = 2(Nр - 1)p + p/2, так как если h(LN ) = LN < р < h*, то Ln = 2(N р - 1)p + p/2 < tn1 и costn1 < 0.

Таким образом,

2tnk COS

X,

nk

2tnk COS

l

nk

(al )2 h Xt nk)

(od) (sinrnk +tnk COStnk)

2cos

nk

nk

2sin

l

nk

C — . ,

Snk od4eh '(t

nk

2sin

nk

nk

p+SnkT nk^lt n2k- p

X

l

l

X

X

l

б) В том случае, когда р = И*, функции Ж* (Ь=Н,Б) имеют

при р* = -г * /(о? )2 (см. обозначения теоремы 1) полюс 2-го порядка, поэтому

0 при р < кы

*

Wj _

C*

17—V "PH b = hN^ = h * , k=i(p - p ) "

Входящие в функции WJ (J=H,S) коэффициенты равны:

Jx(P*)( *)W1 + (t*)2

p®p" Jxpyy F ’ (al)4 v ’ 2 + (tУ ’

C*i = res, Rjx p = lim.-;n RJX p ( p - p *)2 )=

p®p x p®p dp x

= 2JX (p*) - 2Jx (p )Pm(p*)

P"(p*) 3( P" (p *))2 '

Отсюда, используя выражения P(p) = b + odyjp sin(al^/p) и

p* = -(t*)2 /(al)2, получаем формулы (4.5)-(4.8).

в) Если b e (h1, Ь) (см. теорему 1), то функция WJ к n

(n = 1,2,3), входящая как слагаемое в функцию Rj¡pP , имеет два

сопряженных полюса pn1 = (Z П01)2 /(a l )2 и p°n2 = p° первого порядка, где а° > 0 . В этом случае

C0

Jn_____+ CJn

О О

P - Prn P - Рп2

Р0

где CJn _ resRj P _ 2 J"?' zn(рПі) и

pnl (^W )

тО ___o ___________2 JX (Pnl ) ^О / „О

ОО О _ z nl _ z nl

7О _

" P'(C) shzПі + a chZnl т е Co _ 2ch((X/1)Zni) 70 C0 _ 2sh((X/1)Zn0i)

T Cffn _ 2 (al)2 7n ’ 4n 2 alVeP'(Z£)■

П4. Доказательство следствий 1 и 2

Если р £ p /2, то N ь = 1, и все входящие в RJp P слагаемые, кроме WJ1 и WJм , равны нулю.

°ригиналы jjn функций Cj„i/(p -pni) + Cj„2/(p- Pn2) (J = H,S), входящих в выражение для функций WJ1 и WJм, имеют вид:

(П4.1) jjn (x, t) = s(t)(Cjni exp(Pnlt) + Cjn2 exp(Pn2t)) ,

где J e {H,S} , n > Np +1.

Если p £ p /2, а X = l, то при всех n > 1 costnk /h'(tnk) > 0 , где k = 1,2 , т. е. CHnk > 0 , и все оригиналы jHn (X, t) в формуле

(П4.1) неотрицательны при любом t. Поэтому оцениваемая норма оператора с передаточной функцией RH¡P равна значению

этой функции при p = 0, т. е. 1/ b . Следствие 1 доказано.

Для доказательства следствия 2 нужно учесть, что tnk sintnk = P и 111 - минимальное из всех возможных значений tnk, поэтому |cos((X / l)tnk )| £ 1 £ Icost^ |/cost11 при любых n, k. Учитывая, что costnk /h'(tnk) > 0 при p £ p /2 , получаем, что

2t , C0S

ICHnkI=-

n <N cos fí-t 1 i nk К 1 k n <N V 1 £ 2tnk 1 COST nk

(al )2 h (t пк) (al )2 h (t n,) ~ (al)2 h'(tnk) COSt11

поэтому

jJn ^IL

1

LMR*

cost1

jJn ML' (r*

Из этой оценки и следствия 1 вытекает неравенство (4.13) следствия 2. В случае р = р/2, учитывая, что Т11 = р/2,

И'(р/2) = 1, \соътпк |>|созт 12 |>|С08Т1 | = 1^(т1)2 +1 » 0,4421, и

С

н 11

Р11

= 2с08

7 Т1

Тц И (Тц) ж

где Жнм1 - оператор с передаточной функцией Сн 1/(р - ри), получаем оценку (4.14).

П5. Доказательство теоремы 3

°ригиналы jJn функций CJnl/(р - Рп1 ) + СЗп2/(Р - Рп2) (J = Н), входящих в выражение для WJм , при п > Nр +1 имеют вид:

(П5.1) jJn (Х, *) = -(*)(CJn1 еХР(Рп1*) + CJп2 еХР(Рп2*)) >

2Тпк С^

С =-

^Нпк ~

пк

2Тпк С^

пк

(С)2 И'(Тпк ) (С)2(8ШТпк + Тпк СОЗТпк )

28ІИ

7

пк

28ІИ

7

пк

пк

''пк/

) 0 при * < 0,

[1 при * > 0.

Оценим норму каждой такой функции в пространстве Ь1 (Я+):

*(ґ) = ■

(П5.2) |и,п(X,*)||т1 (+)<!

к=1

С

Зпк

Рпк

Из (4.3) и (4.4) при п > Nр +1 с учётом соотношений И' (тп1) > 0 ИХтп2) < 0 , в < ИЪ1^ < < п(2Nр -1) < п(2п - 3) получаем:

(П53) Унп (X ,#|Т1 2-п <

I п ж2[(п -1)2 - а2 ]

(п5-4) імйі,и<

1

в

<

а

Здесь *п =

[(п -1)2 - а2мр ]4в 1

Ш1И

/у

ип1'

л/Т п21 - р 2 + р Тп2^!Т1^-р2 - р

aNp = р д/4р 2Nр +1 /(4р2Nр), ^(х) = ш1п(1, х).

Из (П5.3) и (П5.4) видно, что ряды

Ё / (X,#)

п=N р +1

сходятся в пространстве Ь1 (Я+) и что их суммы оцениваются по норме этого пространства следующим образом:

Ф,

(П5.5)

(П5.6)

Здесь

Ф н =

<

н

ьМи+

п= N р +1

ж

а

< ----;= ШІП

ж

Яв

ҐФ± X'

2ж ’ I

\

1 + -

\

Ф

1

Н N 2 - а2

+

і

d х

+

1 _1п aNb + Nb

Х - aNр NР - 2% aNb - NР

+

і

d х

NP (NP - аЫр ) Nр х( Х 2 - а^р )

- + ^ 1п

NP (NP aNр ) aNр JN

Теорема 3 доказана.

^Р -а2.р

1

1

1

П6. Доказательство теоремы 4

- = I {фмр \&' = |

1Ы- к1

X СЖ-ке к=1,2

(сі )2

& ■

поэтому в тех случаях, Когда / 2 > 0 или см- 2 < 0 :

но I Сжя2 І£I Сжя 1 К т- е когДа функция р,ыя * 0 пРи Г > 0 ,

Жп

= (а1 )2

X С,Ывк /глтв к к=1,2

При С,Ы 2/ Сж 1 є (-¥,-1) функция рЫ (') меняет знак в точке

*0 , “ 2

(аі )2

1п

ТЫ - 2 -1

С,

С,

В этом случае норма оператора равна

« ГЫ-к' *0/ — ¥ г^-к'

= X |см кв (Ы) а + X I См^е (Ы? &'

к=1,2 0 к=1,2 «0,

= (а )2

Ґ

2 X С Ж-к 1 - 2 ехр

2

к=1 % N-к

V V

‘'ы -к

22 ТМ - 2 1

1п

С,

/уі

/ г 2 \ ‘■Ы-к

1 - 2 С ^Ж-1 г2 -Т2 СЫ- 2 СЫ- 1

С ^Жр 2

V 0

X (а1) СЖ-к

Х г2

к=1 N рк

Теорема 4 доказана.

П7. Доказательство теоремы 5

Импульсная переходная функция оператора Ж, равна (П71) М!,(Е,,') = 5(')р(Х,'),

где р(') = (С* + С/*2*)ехр(р*'), , = Н,£ (см. раздел 3). При

117

р

р

р

С* С/ 2 > 0 функция р (') сохраняет знак при ' > 0 , и норма оператора в пространстве В равна:

J j, t )d t

= \a

J1

Если же CjiCj 2 < 0, то j (t0j) = 0 при t0 J =- CJjJ CJJ

WJ =

J j,t )d t - J j,t )d t

= - aj 1 + 2aj2eXP;

где

і . J J S~lJ I S~lJ

bJ = t0jP = — P CJiICJ2 ,

С

a J1 =-

С

J2

(P * )2

aJ 2 =

cj

-+cj

0J

J

(pJ )2

cj

(pJ )2

Используя выражения (4.5)-(4.8) для C*k (k = 1,2), приходим к формулам (7.1) теоремы 5. Теорема 5 доказана.

П8. Доказательство теоремы 6

Импульсная переходная функция оператора WJ кп имеет вид

(П8.1) w{wjкп )(t) = s(t'{j eXP (pllf) + CJn eXP (P^O ) =

= 2| CJn\s(t )eXP(-M)C0S( W nt + jJn ) .

где Pn0i = (C°)2/(al )2; С° = s° +°; Pn2 = Pn0i,

J =(t n0)2 - Ю2, mn = Jn/{a )2;

~jn = jjn + ap ; jjn = arctg(ImC°n /Re C°jn);

a = jo при Re Cjn > °>, w = 2 sn°tn

1 при Яе С]п < О.’ (ой)2

Норма функции yJn (¿) = ,?(Г)ехр(-тп()со8(апГ + ^п) в пространстве Ь1 (К+) вычисляется следующим образом:

0

и

*

і

*

(П82) |^J„|L,(R+) = JexP(- mj)|cos(ffl„t + jJn)dt =

' ' 0 ¥ (k + \)п / W

= ^L J exP(— mj)pos(w„t+jJn|dt =

к=0 кп / w

п / Wn

J e ~mnt cos(Wnt + jJn )d t - J e ~mn cos(Wnt + jJn )d t

N

Jn

где NJn = I sin(7n - jJn )+ 2rn cosgn exP(— Vn ((p /2) - jJn ))|

Jn

gn = arctgv n; Vn = —-f 2s t

v ' r =

n ’ n ^ _0 0 ’ n

1 - exP(— v np)

; tJn

(p/2)- jJn

W„

Используя выражения (4.9) и (4.10) для Cjn, получаем:

(П8.3)

W,

J к n

wW.

J Kn

= 2 N

LMR+

Jn

С0

T

Pn1

= 4 N

Jn

Z IP (Z n01)

где Р (С „1) = С „> С 0 + shz „V

На основании (П8.3) получаем выражения (8.1) и (8.2) для норм операторов Ж,к „ (в пространстве В). Теорема 6 доказана.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Таблицы и графики

Замечание. Значения mJn = aJ1 + aJ2 exp bJ для ¡ = hn вычислены по формулам (7.1) при Х = l (J=H,S), a = 1, l = 1. При b ® hn (при s° ® 0) значения импульсной переходной функции оператора WJкn (П8.1) стремятся к значениям функции

(П7.1) оператора WJ , а \\ WJкп \\b стремится к \\ Wj \\B . На рис.1-4 приведены графики функций mHn и mSn для n = 1 + 3, в = 1 (см. 8.1, 8.2): по оси абсцисс - р, по оси ординат -

0

1

mHn = MHn |ch(XZ 11l)| и mSn = Msncs |sh(xzn /l^, cs = a/VÂ = 1 •

Таблица 1. Значения mHn и mSn для p = hn (Zо = it*n)

n ¡= hn s 0 t0 = t nn mHn mSn

1. 1,8196 0 2,029 0,4855 0,5481

2. 7,9171 0 7,979 0,0593 0,0035

3. 14,172 0 14,207 0,0195 3,5585e-004

Таблица 2. Зависимость параметров mH 1 и mS1 от p

fi ^.-0 s1 10 h MH 1 mH 1 MS1 mS1

2,0 0,361 2,043 0,8466 0,4958 0,6985 0,6734

3,0 0,878 2,105 0,4821 0,5389 0,4954 0,6519

4,0 1,147 2,149 0,3932 0,5967 0,2797 0,4599

5,0 1,337 2,184 0,3564 0,6642 0,2050 0,4002

6,0 1,489 2,211 0,3404 0,7444 0,1698 0,3822

7,0 1,615 2,235 0,3365 0,8385 0,1516 0,3850

8,0 1,723 2,254 0,3416 0,9510 0,1424 0,4017

9,0 1,818 2,272 0,3548 1,0884 0,1392 0,4306

10,0 1,902 2,287 0,3766 1,2577 0,1405 0,4722

11,0 1,978 2,300 0,4092 1,4758 0,1464 0,5303

12,0 2,048 2,312 0,4576 1,7715 0,1579 0,6130

13,0 2,113 2,323 0,5312 2,1956 0,1775 0,7351

14,0 2,172 2,333 0,6443 2,8256 0,2094 0,9195

15,0 2,228 2,343 0,8448 3,9176 0,2678 1,2426

16,0 2,279 2,351 1,2658 6,1813 0,3923 1,9162

17,0 2,328 2,359 2,7711 14,2136 0,8413 4,3145

17,5 2,352 2,363 7,4155 38,9427 2,2295 11,7052

17,6 2,356 2,364 11,1129 58,6233 3,3349 17,5877

17,7 2,361 2,364 21,8156 115,6028 6,5346 34,6175

17,79 2,365 2,365 824,6516 4,3892 e+003 246,571 1,3120 e+003

Таблица 3. Зависимость параметров тн2 и ш$2 от р

р л-0 & 2 т0 2 МН 2 тН 2 М 2 т8 2

8,00 0,1426 7,9795 0,3117 0,0593 0,0035 0,0035

9,00 0,5086 7,9892 0,1063 0,0582 0,0033 0,0037

10,00 0,6986 7,9978 0,0744 0,0573 0,0031 0,0038

11,00 0,8409 8,0058 0,0591 0,0565 0,0029 0,0040

12,00 0,9583 8,0135 0,0496 0,0557 0,0028 0,0041

13,00 1,0592 8,0207 0,0430 0,0550 0,0026 0,0042

14,00 1,1500 8,0272 0,0380 0,0544 0,0025 0,0043

15,00 1,2285 8,0337 0,0342 0,0538 0,0024 0,0044

16,00 1,3019 8,0409 0,0311 0,0533 0,0023 0,0044

17,00 1,3684 8,0453 0,0286 0,0528 0,0022 0,0045

17,50 1,4000 8,0480 0,0275 0,0526 0,0021 0,0045

17,79 1,4200 8,0489 0,0268 0,0525 0,0021 0,0046

Таблица 4. Зависимость параметров тн3 и т53 от р

Р & 30 т 30 МН 3 тн 3 МБ 3 т$ 3

14,4 0,180 14,208 0,1000 0,0194 3.5364 е-004 3.5851 е-004

15,0 0,340 14,210 0,0548 0,0194 3.4779 е-004 3.6721 е-004

16,0 0,500 14,213 0,0367 0,0193 3.3847 е-004 3.8081 е-004

17,0 0,620 14,216 0,0290 0,0193 3.2834 е-004 3.9264 е-004

17,7 9 0,700 14,218 0,0252 0,0192 3.2128 е-004 4.0242 е-004

ь

Рис. 1. Зависимость тн 1 и т51 от р

0.02 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0

14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18

Р

Рис. 3. Зависимость Шн3 от Ь

-4

X 10

4.1 4 3.9

3.8 3.7 3.6 3.5

14 14.5 15 15.5 16 16.5 17 17.5 18

Р

Рис. 4. Зависимость т83 от Ь

т

33

тнз

Литература

1. БАБИЧ В. М., КАПИЛЕВИЧ М. Б., МИХЛИН С. Г., НАТАНСОН Г. И., РИЗ П. М., СЛОБОДЕЦКИЙ Л. Н., СМИРНОВ М. М. Линейные уравнения математической физики. СМБ. - М.: Наука, 1964.

2. ЛАВРЕНТЬЕВ М. А., ШАБАТ Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М., Физматгиз, 1958.

3. ПЕРВОЗВАНСКИЙ А. А. Курс теории автоматического управления. - М.: Наука, 1986.

4. СОЛНЕЧНЫЙ Э. М. О причинности системы теплопроводности с нелинейной обратной связью по граничным условиям // Автоматика и телемеханика. - 2002. -№9. - С. 15-26.

5. СОЛНЕЧНЫЙ Э. М Исследование условий причинности и устойчивости системы управления линейным распределённым объектом // Автоматика и телемеханика. -2006. - №4. - С. 53-85.

6. GAJEWSKIH., GROGER K., ZACHARIAS K. Nichtlineare Operatorgleichungen und Operatordifferentialgleichungen. - Berlin, Akademie-Verlag, 1974.

INVESTIGATION OF CAUSALITY AND STABILITY CONDITIONS OF A LINEAR HEAT-CONDUCTIVITY OBJECT CONTROL SYSTEM (SPECIAL CASES). PART I

Engel Solnechnyi, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Doctor of Science (solnechn@ipu.ru).

Ludmila Cheryomushkina, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Cand.Sc. (l.a.cherem@yandex.ru).

Abstract: We obtain the estimates of the norms of the boundary in-fluences-to-temperature operators for two special cases of boundary conditions for the stable one-dimensional finite-length object of heat

conductivity. These estimates are used to find the sufficient condition of causality and stability for the non-linear feedback control system.

Keywords: closed-loop system, causality, stability, distributed dynamic systems, a linear heat conduction object, complex variable theory.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии А. Г. Бутковским