Исследование точности закона плоских сечений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XVI Т985

М 4

УДК 533.6.011.5 : 629.7.024.36

ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЗАКОНА ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Н. В. Воеводенко, В. А. Широносов

Проведено исследование точности расчета обтекания тел потоком идеального газа с большой сверхзвуковой скоростью с использованием закона плоских сечений. Исследованы диапазон применимости закона плоских сечений и характер поведения ошибок по всем параметрам газа на примере расчета обтекания круговых конусов. Расчет проведен с помощью алгоритма, основанного на методе С. К. Годунова, с выделением головного скачка уплотнения и построением подвижных сеток.

1. Численное решение задачи обтекания тел пространственной конфигурации потоком газа с большими сверхзвуковыми скоростями представляет большой интерес, так как с гиперзвуковыми течениями все чаще приходится сталкиваться на практике. Для ее решения применяются различные подходы. Один из них заключается в решении трехмерной стационарной системы уравнений Эйлера численно методами С. К. Годунова, Мак-Кормика и т. д. [1—5].

Однако при этом, как правило, расчет сильно затрудняется появлением локальных дозвуковых зон. Такие зоны возникают, например, на фюзеляже самолета перед фонарем или даже просто при недостаточно гладком задании геометрии тел. Эти методы также чрезвычайно чувствительны к начальным распределениям параметров, и в ряде случаев задание в начальном сечении невозмущенного набегающего потока не позволяет провести расчет. Кроме того, решение таких задач требует довольно значительных затрат машинного времени.

Некоторые из указанных трудностей преодолеваются, если при расчете гиперзвукового обтекания достаточно тонких, например, самолетных компоновок использовать закон плоских сечений. Согласно этому закону трехмерная стационарная задача с точностью до величин порядка квадрата относительной толщины тела эквивалентна задаче о неустановившемся движении газа на плоскости. Формальное применение закона плоских сечений к расчету течения с локальными дозвуковыми зонами позволяет провести расчет обтекания до конца. Однако в местах возникновения дозвуковых зон (если эти зоны не являются результатом недостаточно гладкого задания поверхности тела) наклон поверхности тел к направлению набегающего потока велик, а следовательно, нарушаются условия применимости закона плоских сечений,

погрешности метода сильно растут, и картина течения в дозвуковой зоне может оказать сильное влияние на распределения параметров в области, размеры которой во много раз превосходят размеры самой дозвуковой зоны.

В конце 50-х — начале 60-х годов был проведен ряд исследований с целью обобщения нестационарной аналогии (иное название закона плоских сечений) на случай обтекания затупленных тел, т. е. тел с дозвуковыми зонами в передней части. Так, Г. Г. Черный развил закон плоских сечений на случай обтекания произвольного тела с малым затуплением [6, 7], В. В. Сычев [8] и Гиро [9] обратили внимание на то, что погрешности теории сосредоточены в области, непосредственно подверженной влиянию затупления, т. е. в так называемом энтропийном слое. Вне этого слоя условия применимости нестационарной аналогии выполняются достаточно точно. Так как плотность в энтропийом слое мала, то изменение функции тока в этой области мало, отсюда В. В. Сычев получает [8], что зависимость давления от координат х и (г(э — функция тока) дается методом нестационарной аналогии с необходимой точностью.

Как было установлено (см., например, [6]), при большой сверхзвуковой скорости иоо сопротивление элемента поверхности тела пропорционально квадрату синуса угла наклона этого элемента к направлению движения. Поэтому, если обозначить характерный размер области с большим наклоном поверхности через (1, то по порядку величины сопротивление поверхности, на которой возникла дозвуковая зона, в случае плоского тела ^=1) или тела вращения ^ = 2)

4~Р и1а,

и сопротивление остальной части тонкого тела, имеющего длину Ь и характерный угол наклона элемента поверхности а, составляет

а2 -у Ри%, (£аУ-

Таким образом, чтобы влияние дозвуковой зоны было мало, необходимо выполнение условия

2 + У (1 ^ V

т-^а •

Следовательно, в случае, если размер той части тела, которая вызывает появление дозвуковой зоны, весьма мал по сравнению с продольным размером тела, можно рассчитывать получить хорошее приближение при использовании нестационарной аналогии для характеристик летательного аппарата в целом.

Таким образом, закон плоских сечений позволяет осуществить расчет некоторых течений с дозвуковыми зонами, но в каждом конкретном случае нужно проводить оценки точности полученных результатов. В зарубежной литературе отмечалась необходимость в методах, которые позволяют, пусть приближенно, рассчитывать характеристики реальных летательных аппаратов целиком [10]. С этой точки зрения использование нестационарной аналогии является весьма целесообразным. Кроме того, рассмотрение двумерной нестационарной задачи вместо трехмерной несколько упрощает построение фронтов ударных волн и расчетных сеток, сокращает время счета на ЭВМ.

Целью данной работы является исследование точности закона плоских сечений по всем параметрам течения и границ его применимости. Погрешности в случае закона плоских сечений определяются на основании сравнения результатов расчетов осесимметричного обтекания

круговых конусов с помощью закона плоских сечений с табличными данными.

2. Рассмотрим обтекание тонких тел потоком идеального газа с большой сверхзвуковой скоростью Моо>1. Обозначим через т малую величину, характеризующую относительную толщину тела, например, осредненный тангенс угла наклона поверхности тела к направлению набегающего потока, и предположим, что т<1, т. е. тело достаточно тонкое. При этом величина К=М.аох либо >1, либо ~1. Рассмотрим область умеренных значений параметра К=М-ооХ~1.

Как показано, например, в работах [6, 13, 14], с точностью до величин порядка О (-с2 + М^2) система трехмерных стационарных уравнений Эйлера, описывающая течение, преобразуется в систему двумерных нестационарных уравнений. В дивергентной форме она имеет вид:

да да , дЪ п ,п

■дГ + "йГ "Г-07 ’ ( )

/ ри \ / Р® \

= *+*• V <« .

» риг/ I I р + р*'2 I

\(е р) и / \ (е + р) V )

Здесь ось t направлена вдоль оси тела, ось х перпендикулярна оси t в горизонтальной плоскости, ось у перпендикулярна t в вертикальной плоскости; р — давление, р — плотность, и и и — проекции скорости на оси х и у, г — внутренняя энергия единицы массы. Все параметры обезразмерены, а именно, р отнесена к ро», р — к р^^оо, и и V — к С/Тс — скорости набегающего потока.

Движение вдоль поверхности обтекаемого тела сводится к движению твердой границы некоторой области на плоскости, а поверхности разрыва переходят в движущиеся на плоскости линии разрыва.

Система уравнений (1) интегрируется методом С. К. Годунова [5]. Область возмущенных параметров расположена между поверхностью тела и головной ударной волной, она же является расчетной областью. Головная волна выделяется с помощью процедуры, разработанной в [15]. Расчет проводится на подвижной сетке, связанной с движущимися границами области. В случае кругового конуса расчетная сетка является результатом равномерного разбиения расчетной области по углу и по радиусу.

Исследование точности разработанной методики проводится на основании сравнения расчетов круговых конусов с таблицами [11] и [12].

3. Оценим точность закона плоских сечений. Рассмотрим плоский случай. Для пространственных тел все оценки остаются справедливыми, если параметры, описывающие относительную толщину тела в обоих поперечных направлениях, близки. Для рассматриваемого кругового конуса относительная толщина т=^ б.

Введем для плоского стационарного течения следующие обозначения [6, 14]:

х = х'; у — *?; и= £/ос (1 -|-17 и'); v = 'zU<xv'^,

/? = = рю и^^р'; Р = Рос-

Индексом оо здесь обозначены параметры набегающего потока, а безразмерные функции зависят от т, М», к, х', у'.

При выполнении условий К=МооТ и т-»-0 (К фиксировано) можно записать соотношения:

Закон плоских сечений дает первые члены разложений в формулах (2). Следовательно, относительные погрешности, возникающие при расчетах с помощью закона плоских сечений, имеют порядок т2 и могут быть представлены в виде:

где vп.c = 1v{x', у’\ К\ х); \

Найдем зависимость относительных погрешностей от числа М,», относительной толщины тел т и параметра К=М<х>т. Исследования проведены в диапазоне чисел Моо = 2-ь9 и полууглов раствора конуса б = 5°-ь20°. Величина т определяется в данном случае соотношением

Для повышения точности численных результатов расчеты проведены на двух сетках: грубой, имевшей 10 ячеек на ударном слое в поперечном направлении, и мелкой, имевшей 20 ячеек поперек ударного слоя. После этого проводится экстраполяция результатов на нулевой шаг.

Полученное после проведения такой процедуры решение, как показано в [16], имеет второй порядок точности.

На рис. 1 даны зависимости давления на поверхности конуса, отнесенного к давлению набегающего потока, от относительной толщины тела х при фиксированных числах Моо = 2, 3, 4, 5, 7, 9 (сплошные кривые) и от числа М. при фиксированных 6 = 5°, 10°, 15°, 20° (штриховые линии). Видно, что ошибка в определении давления с ростом т и увеличивается.

По результатам проведенных расчетов вычислены величины ошибок

(2)

где рп с = *К2р(х', у; К\ *), р=рі1р;

где рп>с=р(л:\ у'; ЛГ; *); р = рх/р;

Аи=~-------1 => т* и (*', у; К;

и 00

(3)

т=^ б.

Рт — Р

Рт — Р

V — V

где рт, рт, «т. VI, 5Т — значения параметров на поверхности конуса, взятые из таблиц [10]; р, р, и, V, 5 — параметры, полученные в результате экстраполяции на нулевой шаг результатов данных расчетов.

Р«/К

15 -

Т-таблицы [/4];

А -расчеты аВтароВ /

данной работы /

Рис. 1

На рис. 2 и 3 показаны зависимости Ар и Ае от величин т2 и М^2, причем при расчете плотности р сделаны поправки, учитывающие наличие энтропийного слоя на поверхности конуса, т. е. плотность на поверхности конуса определена по значению энтропийной функции р/рх в середине ударного слоя и по давлению на поверхности конуса.

Из рис. 2 и 3 видно, что ошибки р и р с ростом г и Мос увеличиваются. По оси абсцисс отложены величины т2 и М^2. Сплошными линиями обозначены зависимости величины ошибки от М^2 при фиксированных б, штриховыми — зависимости ошибки tg26 при фиксированных М».

Зависимости А„ от т2 и М^2 близки к линейным. Поведение Лр в зависимости от М» и т2 существенно нелинейно, в разложениях (3) величина р (х', у'; К\ х) сильно зависит от параметра К. Штрихпунктирные линии на рис. 3 представляют зависимости ошибки в определении плотности от -с2 и М„2 при фиксированных /С,, величина As при К = const линейно возрастает с ростом %2 и М^2, причем с ростом К угол наклона прямых к оси абсцисс быстро увеличивается. Значения и определяются из уравнения Бернулли;

и = 1/2 (/ — г) — г»2 — ®2, (4).

где I — полная энтальпия, i — энтальпия, а параметры течения р, р, w берутся из расчетов, проведенных с помощью описанного метода.

Рис. 2

При таком методе определения продольной компоненты скорости учитывается второй член разложения Аи (3), тогда как закон плоских сечений без пересчета дает лишь первый член разложения (3), u=Uao.

Однако при таком методе определения продольной компоненты скорости условие непротекания на поверхности конуса не выполняется. Можно точно выполнить условие непротекания, если в уравнении Бернулли вместо поперечных компонент скорости использовать тангенсы углов наклона поверхности тела к набегающему потоку, т. е. рассчитывать и — компоненту скорости — по формуле:

и = /2(7— 0/(1 + ®о + ®о) >

где v0 и Wo — тангенсы углов, определяющих наклон поверхности тела к набегающему потоку. При этом ошибка Аи по сравнению с ошибкой для и, определенной по формуле (4), уменьшается в 4—5 раз.

На рис. 4 показано поведение ошибки в определении положения скачка уплотнения Аь в зависимости от т2 и М^2- С уменьшением Моо (М«2 растет) Ле возрастает и достигает при Мсх> = 2 и 6 = 20° величины 25%. Для пояснения такого поведения погрешности в определении положения скачка уплотнения в верхней части рис. 4 сделан дополнительный график, на котором показаны зависимости углов наклона характеристик (К — 0) от 1/Мто- Скорость распространения возмущений в сверхзвуковой задаче равна величине arcsin (I/Me), а в соответст-

вующей двумерной нестационарной — агЫ^ (1/Моо). Как показано на графике, с уменьшением М» разница между этими величинами растет, а следовательно, растет погрешность в определении положения скачка уплотнения с помощью закона плоских сечений.

На рис. 5 показана зависимость — ошибки в энтропийной функции 5=/?/р* от величин х2 и М^2. С уменьшением Моо значения быстро уменьшаются и при Мх = 2 становятся почти нулевыми.

По результатам проведенных расчетов построена зависимость величины срДд2б от параметра /С=М<хЛ:д6. Она показана сплошной линией на рис. 6. На этом же рисунке нанесены аналогичные величины, посчитанные по таблицам [11] и[12]. Как видно, наилучшую точность закон плоских сечений дает в диапазоне /С=0,5 1. При /С-^-0 ошибка быстро

возрастает, а при К-*°° ошибка также растет, но гораздо медленнее. Причем, если зафиксировать величину т и менять К. за счет изменения Моо, то при К-+°о (Моо-^ОО) ошибка практически не меняется. Указанный рабочий диапазон значений К соответствует следующим значениям параметров М*, и б:

К = 1: Моо = 2, Моо = Ю,

5 = 26,5°, 8 = 5,7°;

К — 0,5: Моо = 2, Моо =10,

‘’“0 1 г з ч к=м„ tfS 8=14,03°, 8 = 2,86°.

Рис- 6 Это наиболее интересный диа-

пазон с практической точки зрения.

Таким образом, в работе исследована точность закона плоских сечений с помощью алгоритма, использующего численный метод С. К. Годунова, подвижные сетки, выделение головной ударной волны.

Сравнение с таблицами [11, 12] показывает, что в диапазоне Моо = = 2-^-9 и б = 5°-н20° ошибки закона плоских сечений по р, р, и и pip* возрастают с ростом Моо и б; при Моо = 2 ошибки по этим параметрам наименьшие. Ошибка в определении положения скачка уплотнения с уменьшением М.» быстро возрастает. Наилучшую точность закон плоских сечений дает в диапазоне /С=0,5-т-1. При К-*-0 или К->-°о ошибки возрастают. Возможность применения закона плоских сечений определяется допустимой точностью. Так, чтобы ошибки по всем параметрам не превышали 6%, в диапазоне М = 2-ь10 угол наклона поверхности тела к набегающему потоку не должен превышать 15°. Если допустима ошибка 11,%, то угол наклона поверхности может достигать 20°.

ЛИТЕРАТУРА

1. К u 11 е г P., L о m а х Н. A systematic development of the supersonic flow fields over and behind wings and wing-body configurations using a shock-capturing finite — difference approach. — AIAA, Paper N 71—99,

1971.

2. Михайлов Ю. Я., Нерсесов Г. Г. Численный анализ сверхзвуковых течений около несимметричных тел под углом атаки и скольжения.— Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1808.

3. Косых А. Л., Минайлос А. И. Расчет сверхзвукового течения у несущих тел и крыльев методом сквозного счета. — Труды ЦАГИ,

1977, вып. 1809.

4. Лобановский Ю. И. Расчет обтекания сверхзвуковым потоком невязкого газа крылатых конических тел. — Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. XI, № 6.

5. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976.

6. Ч е р н ы й Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. ■—М.: Изд. ф.-м. лит., 1959.

7. Ч е р н ы й Г. Г. Влияние малого затупления переднего конца тела на его обтекание потоком с большой сверхзвуковой скоростью. —

Изв. АН СССР, ОТН, 1958, № 4.

8. Сычев В. В. К теории гиперзвуковых течений со скачком уплотнения степенной формы. — Прикл. матем. и мех., 1960, 24, вып. 3.

9. G u i r a u d J. P. Ecoulement bidimensionnel hypersonique d’un fluid parfait sur un obstacle mince plan ou de revolution comportant un nez emousse, ONERA, Mem. Technique, 1961, N 21.

10. Assessment of analytic methods for the prediction of supersonic flow over bodies. — AIAA J., 1961, vol. 19, N 2.

11. Бабенко К. И., Воскресенский Г. П., Любимов А. Н., Русанов В. В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. — М.: Наука, 1964.

12. Kopal Z. Tables of supersonic flow around cones. — Technical Report iN 1, Cambridge, Massachusetts, 1947.

13. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: Изд. иностр. лит-ры, 1962.

14. Гиро Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений.— М.: Мир, 1965.

15. Крайко А. Н., М а к а р о в В. Е., Т и л л я е в а Н. И. К численному построению фронтов ударных волн. — ЖВМ и МФ, 1980, т. 20, № 3.

16. Ш е т т е р X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1978.

Рукопись поступила 4/VII 1983