ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В СПЛОШНЫХ ЦИЛИНДРАХ НА ОСНОВЕ ТРЕХФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ РАДИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 539.3:534.1

doi:10.24412/0136-4545-2023-2-5-25

EDN:CWKADU

(2023. И.А. Моисеенко1, А.И. Дзундза 1 2, Н.Ю. Мельничук3,

В.А. ШАлдырван4

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ИЗГИБНЫХ ВОЛН В СПЛОШНЫХ ЦИЛИНДРАХ НА ОСНОВЕ ТРЕХФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ РАДИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

Рассмотрены два альтернативных варианта трехфакторной модели радиальной функциональной неоднородности физико-механических характеристик изотропного материала сплошного цилиндрического волновода для случая распространяющихся неосесимметричных волн. Представлены два подхода к определению функциональных составляющих указанных моделей,

1 Моисеенко Игорь Алексеевич - доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: miamia733@mail.ru.

Moiseyenko Igor Alekseevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

2Дзундза Алла Ивановна - доктор пед. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: alladzundza@mail.ru.

Dzundza Alla Ivanovna - Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

3Мельничук Наталия Юрьевна - ассистент каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: nata-250396@yandex.ru.

Melnichuk Natalia Iurievna - Assistant, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

4Шалдырван Валерий Анатольевич - доктор физ.-мат. наук, гл. науч. сотр. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: shaldyrvan.v.a@mail.ru.

Shaldyrvan Valery Anatolievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researcher, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.

определены достаточные условия несильной радиальной неоднородности, обеспечивающие существование целевого базисного решения уравнений трехмерной линейной модели волнового деформирования. Построено базисное решение, элементы которого выражены через аналитические функции. Дан сопоставительный анализ результатов численного эксперимента, проведенного для случаев однородного и функционально-неоднородных изотропных свободных волноводов, приведены количественные и качественные оценки полученных численных результатов.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, изотропия, цилиндрический волновод, неосесимметричные волны, модель радиальной неоднородности, базисное решение.

Введение. Функционально-градиентные материалы в настоящее время активно исследуются как в плане поиска новых технологических подходов к достижению целевых свойств при их создании путем, например, применения методов 3-D печати, так и в плане разработки новых теоретических подходов к анализу математических моделей, описывающих механические процессы в объектах из таких материалов, например, исследование характеристик волновых процессов в волноводах из подобных материалов. Проведение теоретических исследований в этой области предполагает, как правило, построение новых аналитических решений для соответствующих математических моделей. В этом направлении продуктивным оказался подход, основанный на введении специальных моделей функциональной неоднородности физико-механических характеристик таких материалов [1—7]. В данном исследовании на основе предложенной модели радиальной неоднородности изотропного материала сплошного цилиндрического волновода построено новое базисное аналитическое решение трехмерной линейной математической модели процесса распространения неосесимметричных гармонических волн в волноводах указанного типа, исследованы свойства бегущих волн.

1. Математическая модель. Рассматривается изотропный радиально-неоднородный цилиндрический волновод с переменными параметрами Ламе и параметром плотности материала

А (r) = С* А (r), р (r) = C*A(r), р (r) = p*p(r), (1)

занимающий в безразмерной цилиндрической системе координат OrOz с нормирующим линейным параметром R* [м] область

V = {r е [0,1] , O е [-п, п] , z е (-ж, те)} . (2)

Полагается, что произвольные, в пределах допустимости варьирования значений физико-механических характеристик, функциональные законы изменения упругих модулей Ламе и плотности, соответственно нормированные параметрами С* = const [н/м2] и р* = const [кг/м3]

A = A(r) > 0, р = A(r) > 0, р = p(r) > 0 (r е [0,1]), (3)

относятся к классу С2 [0,5). Границы допустимых значений параметра 5 (5 > 1) определяются ниже.

В рамках пространственной линейной математической модели волновой динамики для случая нормальных упругих неосесимметричных волн с круговой частотой ш, с отнесенным к нормирующему параметру R* продольным волновым числом k (k Е C) и с окружным волновым числом т (т Е N) распространяющихся вдоль оси Oz в протяженном цилиндре с геометрией (2), рассматриваемая задача после применения в матричном виде метода разделения переменных

U (r, 0, z, t) = exp (-iwt + ikz) Pu tJJ) (0) U(t) (r),

S (r, 0, z, t) = exp (-iwt + ikz) P^ T^~) (0) S(t) (r),

сводится к построению образующего базис набора частных решений системы из трех однородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Данную задачу в матричной форме можно представить так:

D(т) (r) U(т) (r) = O (r Е [0,6)). (5)

В соотношениях (4),(5)

U(т) (r) =

U?) (r) ,u(; ) (r) Mj-) (r)

1 T

S(т) (r) =

ТГ$ (r), (r), (r), (r), &£) (r), (r)

1 т

(6)

- вектор-столбцы с нормированными соответственно величинами R* и C* вещественными радиальными составляющими компонент вектора упругих перемещений

U (r, в, z, t) = [щ (r, в, z, t), щ (r, 0, z, t), щ (r, 0, z, t)]T, (7)

и тензора напряжений

S (r, 0, z, t) = [o„ (r, 0, z, t) , (Tee (r, 0, z, t) , Ozz (r, 0, z, t), aez (r, 0, z, t) , Trz (r, 0, z, t) ,Tre (r, 0, z, t)]T;

(8

Pu и P^ - диагональные матрицы комплексной нормировки с отличными от нуля элементами

[PU ]1,1 = [PU] 2,2 = 1, [PU] 3,3 = i,

P j = 1 (j = 1,2,3,6), [PS = i (j = 4, 5);

(9)

T(U) (0) и T^; (0) - вещественные диагональные матрицы функциональной зависимости целевого решения от угловой координаты с отличными от нуля элементами

^(т )

т(Т) (0)

1,1

Т((Т) (0) 3 3 = cos (т0), т£) (0) 2 2 = sin (т0),

■А )

т£) (0) = cos (т0) (j = 1,2,3, 5), Тт (0) = sin (т0) (j = 4,6);

J j,j L J j,j

(10)

D(т) (r)

матричный дифференциальный оператор с элементами

d(т) (r)

j зд

2 d% + fjfrdr + ff) (j = 1,3)

D(t) (r) = frLrdr + /Щ (n,m = 1, 2; 2,1; 1, 3; 3,1; 2, 3; 3, 2)

где

r

/и = /и (r) = 1 + (кз + 2K4) r,

/ll) = /ii) (r) = -1 - T2Kl + КзГ + (Q2K2 - fc2Ki) r2,

/12) = /l(1) (r) = T (1 - K 1) , = /l2) (r) = -T (1 + Kl - K3r) ,

/11 = /11 (r) = -k (1 - Ki) r, Л? = /is? (r) = -kкзr2,

f2l = /!>]L) (r) = -T (1 + к5) , /!(2) = /;(2) (r) = -T (3 + к5 + к7r) ,

/S!2) = /S!21) (r) = 1 + К7r,

/22 = /22Р (r) = -1 - T2 (2 + K5) - K7r + (Q2K6 - k2) r2,

= 0, /2з° = /S!3) (r) = kT (1 + K5) r

/3Р = f3P (r) = k (1 + «5) r, Л? = f 32 (r) = k (1 + K5 + K7r) r,

/31 = 0, /^2) = f32 (r) = kT (1 + K5) r,

/32) = 133(r) =1 + к7r, f33]

13$ (r) = -T2 + (^2к 6 - k2 (2 + к5)) r2,

к 1 = к 1 (r)

д

Л + 2Д ’

K2 (r)

P

A + 2Д ’

K3

K3 (r)

к4 = к4 (r) =

Кб = Кб (r)

Д'

A + 2 Д’

к 5 = К5 (r)

Л

~, V

р ~ f \ V

к7 = к7(г) = —; V V

X'

Л + 2 Д’

(12)

O - нулевой вектор-столбец размерности 3; Q2 = р*^2 ш2/C* - квадрат безразмерной приведенной частоты; dr = d/dr. Векторные функции S(т) (r) и U(т) (r) связаны соотношением

Ё(т) (r) = G (r) MM(т) (r) U(т) (r), (13)

где G (r) - матрица-функция размерности 6 х 6 с отличными от нуля элементами

G (r) = Л (n,m = 1, 2; 2,1; 1, 3; 3,1; 2, 3; 3, 2) ,

J n,m

G(r)j =Л + 2Д (j = ITS) , |~G(r)l =/t (j = 4~~б) ;

M(т) (г) — матричный дифференциальный оператор размерности 6 х 3, отличные от нуля элементы которого имеют вид

M(т) (r) MM(т) (r) MM(т) (r)

J 1,1

J 3,3

- dr 7

= -к7

- к7

J 5,1

MM(т) (r) MM(т) (r) MM(т) (r) MM(т) (r)

1

J 2,1

J 4,2

= к,

— dr

5,3

MM(т) (r) MM(т) (r) MM(т) (r)

rr

1

2,2

— — тг

-1

4,3

—тг

1

J 6,1

— dr — r 1.

6,2

(15)

Представленная математическая модель (1)—(15) дополняется классическими однородными граничными условиями свободной

Ё(т) (1)

(1,5,6)

O,

либо жестко закрепленной

U(т) (1) — O

(16)

(17)

граничной поверхности волновода.

2. Модель радиальной неоднородности. В декартовой системе координат 0x1X2 на плоскости комплексной переменной £ — Х1 + ix2 формально полагается, что неотрицательная часть полуоси 0x1 совпадает с осью Or. С учетом вида представлений для Ту [j = 1, 7) в соотношениях (12) функционалвнвге законы (3) далее рассматриваются в рамках двух альтернативных вариантов модели радиальной неоднородности материала волновода в виде

Л (г) — (1 - 2ф1 (r)) ev(r), jl (r) — ф1 (r) ev(r), p(r) — Ф2 (r) ev(r') (r e [0,1]);

Л (r) — Ф1 (r) ev(r\ j (r) — ev(r\ p(r) — Ф2 (r) ev(r) (r e [0,1]).

Здесь ф (£), ф1 (£) и ф2 (£) — произвольные, аналитические в области |£| < 8 функции. На основании соотношений (18-А) либо (18-Б) рассматриваются альтернативные варианты аналитического продолжения на плоскость комплексной переменной £ дифференциального оператора D(т) (г) в оператор D(т) (£) с элементами

(18-А)

(18-Б)

о(т) (о = е24 + 41} е ф + 42) с? = i, з)

j з,з

D(т) (£)1 — fimtdt + fit (n7 m — 17 2; 2,1; 1, 3; 3,1; 2, 3; 3, 2)

(19)

где d^ — d/d£ . Соответственно выбранной модели неоднородности (18-А) либо

(18-Б) определяются входящие в соотношения (19) функции:

ЛР = fn (6 = 1 + 66

Л2) = Л2) (о = -1 - т 26i + (6 - 1- 2ф) с+(п2 ^2- fc26i) с2,

ЛР = ЛР (с) = т (1 - 6l) ,

ЛР = Л? (С) = т (-1 - 01 + (6 - 20'l - 2Ф) С) ,

ЛР = Л? (с) = к (01 - 1) 6 /1з) = f13) (с) = k (2Ф - 6 + 20) С2,

f2P = f2i (с) = т (1 - Х3),

f 21 = f 21 (с) = -т (1 + Х3 + (6 + Х2) С) ,

f2P = f 22 (С) = 1 + (6 + Х2) С,

f2P = f2P (С) = -1 - т2Х3 - (б' + Х2) С + (П2Х1 - к2) 6, f2P = 0, f22) = f2P (С) = кт (Х3 - 1) 6

f3P = /^1) (с) = к (Х3- 1) 6 f3P = f32) (с) = к (Х3 - 1 + (б' + Х2) с) с,

f!(3) = 6 f3P = f3(2) (С) = кт (Х3 - 1) 6

f3P = f3P (С) = 1 -+ (б' + Х2) 6

f32) = f32)(с) = -т2 + (п2Х1 - к2Х3) С2;

f1(1) = f1(1) (С) = 1 + (6 + Х2) С,

f12) = f12) (с) = -1 - т2Х3 + (6 + Х2 - 2ф) с + (п2Х1 - к2Х3) с2,

fl(3) = ЛР (с) = т (1 - Х3), f12) = f12) (С) = Т (-1 - Х3 + (б' + Х2 - 2ф) С) ,

ЛР = ЛР (с) = к (Х3 - 1) 6 ЛР = ЛР (С) = -к (б' + Х2 - 2ф) Сб

Л? = ЛР(с) = -т (01 +1), f22) = f22)(с) = -т (3+01+сб'), f 22 = ЛР (С) = 1 + С6,

f 22 =f 22(с) = -1 - т2 (2+01) - с+' + (q202 - к2) сб

ЛР =0, f22) = f22) (с) =кт (01 +6 6 f3P = f3P(с) =к (01 +1) 6 f32) = f32) (с) =к (1+01+сб) 6 ЛР =0, f32 = Л?(с) =кт (01 +1) 6 ЛР = ЛР (с) =1+

Л3) = ЛР (с) = -т2 + (Q202 - к2 (01 + 2)) 6-

(20-А)

(20-Б)

В соотношениях (20-А) и (20-Б) использованы вспомогательные, определяемые в соответствии с выбранным вариантом модели (18-А) либо (18-Б) функции:

х. = х,«) = Ш xt = xAO = 'l/li()

Хз = Хз (С) = Х1 = Х1(С) =

ф1(С): 1

ф1(С): ф2 (С)

Ф1 (С) +2’

[2mm]%3 = Хз (6 =

Ф1 (С)+2’

Ф1(С) ’

Ф = ф (С ) = ф1(С) v'(С);

Х'2 = Х2 (£) = ^

Х2 Х2^} ф1(£) + 2’

ф = ф (С) = Хз (С) V (С) •

(21-А)

(21-Б)

Ставится целевая задача построить для уравнения

D(r) (С) и(r) (С) = о (\С\ <5)

набор из трех линейно независимых частных решений вида

И(r,particular,q) (с) __

4r,particular’q) (С) ,й\

(r, particular,q)

(С) ,4r,particular’q) (С)

1 T

(9 = 1,3)

(22)

(23)

с аналитическими в области \С\ < 5 элементами ul,r,particular’q) (С) (s = r,0,z; q = 1,3). Известно, что система дифференциальных уравнений (22) имеет аналитические в области \С\ <5 решения, если входящие в соотношения (20-А) либо (20-Б) функции fnm(0 (j = 1,2; n,m = 1, 3), соответственно выбранной модели неоднородности (18-А) либо (18-Б), будут аналитическими в области \С\ < 5 [8-9].

Рассматриваются аналитический и численный подходы к определению аналитических в области |£| < 5 функций и ф3(& (s = l,2) по заданным

функциональным законам (3).

Аналитический подход может быть реализован при выполнении трех условий. Во-первых, функции A(r), fi(r) и p(r) должны допускать аналитические продолжения А (С), А (С) и р(С), \С\ <5 на комплексную плоскость переменной С. Во-вторых, определяемые из полученных соответственно выбранному варианту модели неоднородности (18-А) либо (18-Б) представлений

V (С) = 1п{А(С) + 2А(С)) ,

Ф1 (О = ^2 (О = Р(0

(24-А)

А(С) + 2А (С)

А(С) + 2 А (С)

либо

V (С)=1П(А(С)) , ф1 (С )= А(С)/А(С), ф2 (С )= А(С)/А(С),

(24-Б)

функции р (£) и ф3 (£) (s = 1, 2) должны быть аналитическими в области |£| < 5. В-третьих, определяемые из соответствующих соотношений (21-А) либо (21-Б) функции Xj (О {з = 1) 3) также должны быть аналитическими в области |£| < 5. Второе и третье условия будут выполнены, если потребовать выполнение единого для обоих вариантов модели неоднородности достаточного аналитического условия несильной радиальной неоднородности материала волновода в виде

1 <5 < min

У11

й2)

(25)

где и £*2) - соответственно наименьшие по модулю нули функций А (£)+2ц (£) и М(0-

Численный подход реализуется любым расчетным методом, обеспечивающим аппроксимацию полиномами на отрезке r Е [0,1] искомых функций р (ф) и tps (О (s = 1,2) на основании полученных из соответствующих выбранному варианту модели (18-А) либо (18-Б) приближенных соотношений:

р (r) & ln (A(r)+2^(r)J , Ф1 (r)

p(r)

A(r)

Ф2 (r)

A(r) +2A(r)

A (r) + 2A (r)' (r Е [0,1]);

(26-А)

р(r) & ln(A(r)),

Ф1 (r) & А (r)/A (r), Ф2 (r) & A(r)/A(r) (r Е [0,1])

Здесь

N

N

v(o = Y,an^n’ ^(0 = £<4s)r (s = 1>2)

n=0

n=0

(26-Б)

(27)

Учитывая полиномиальный вид представлений (27), требование аналитичности в области |£| < 5 определяемых соотношениями (21-А) либо (21-Б) функций Xj (£) (i = l) 3) обеспечивается достаточным численным условием несильной радиальной неоднородности материала волновода, имеющим вид

1 <5 <Ы , (28)

где s* - наименьший по модулю нуль определяемой из соотношений (26-А), (27) функции ф1 (£) для варианта модели неоднородности (18-А), либо определяемой из соотношений (26-Б), (27) функции ф1 (£)+2 для варианта модели неоднородности (18-Б). Необходимо отметить, что достаточное условие (28), во-первых, зависит от порядка аппроксимирующих полиномов (27); во-вторых, накладывает различающиеся для рассматриваемых альтернативных вариантов модели

неоднородности (18-А) и (18-Б) ограничения на заданные функциональные законы (3); в-третьих, полиномиальные представления (27) являются более оптимальными с точки зрения временных затрат при проведении численных экспериментов, чем определяемые при аналитическом подходе соотношениями (24-А) либо (24-Б) разложения. Поэтому численный подход может считаться более гибким с точки зрения реализации поставленной целевой задачи, а значит -предпочтительным. Этот вывод не противоречит тому факту, что найденные на основании соответствующих представлений (18-А) либо (18-Б) из соотношений (26-А), (27) либо (26-Б), (27) функции <р(£) и tps ({) (s = 1,2) фактически определяют отличающиеся от заданных соотношениями (3) функциональные законы Л« (r), ц(*) (r) и р(*') (r), для которых, собственно, и будет реализовываться целевая задача. Данное утверждение обосновывается тем фактом, что физикомеханические характеристики реальных материалов определяются экспериментально с весьма ограниченной точностью е. Следовательно степень N полиномов (27), обеспечивающая соответствующую точность аппроксимации может выбираться небольшой.

max re [0,1]

Л (r) — A(*" (r)

< е,

max re [0,1]

ц (r) — jl(*') (r)

< е,

max

re[o,i]

P(r)

f)(*') (r)

< е,

(29)

3. Базисное решение. Заданные в области |£| < 5 аналитические функции <р (£)> 'Фз (О (s = 1,2), (£) (s = 1,3), ф(0 и подлежащие определению элемен-

ты u,r,partlcular) (£) (s — r, 0, z) искомых частных решений (23) представляются абсолютно и равномерно сходящимися в любом круге |£|< s (0 < s < 5) разложениями вида

г (о —£ 40 е,

n=0

ф, «) = £ 40 е

n=0

X

xs(o = Y,bns)c (s = m), ф(0

n=0

^(r,partlcular) (^) = ^(S

n=0

{s = 1,2),

Y,gn e,

n=0

: r, 0, z) .

(30)

r / \ > c© ___

В представлениях (30) кг = Kg = 0, nz = 1; jaK > (s = 0, 2) - определи-

n=0

емые из соотношений (24-А) либо (24-Б) при аналитическом подходе, или из соотношений (26-А), (27) либо (26-Б), (27) при численном подходе (аПШ^1 — 0 s = 0, 2; п = N + 1, оо) наборы коэффициентов; | b^ } (s = 1, 3) и {gn}™=o

- определяемые из соотношений (21-А) либо (21-Б) наборы коэффициентов вида

n = (ain} - ^ bim! a(n-ml /О011,

V m=0 J

ЬП = Un + 1) a(n^+1 - ^ b(m) an-m j /a01,

V m=0 J

ьп = ($o,n- ^ ьт аП- ml /a01} ,

m=0

n

gn=^(n-m + l) (n = O^o) ;

m=0

ЬП1 = - ^ Ьm1 a(n-ml ^a01} +2) ,

m=0

ЬП = ((n + 1) anh - ^ bman-ml / (a0^ + 2) ,

m=0

n = (b0,n - ^ ^ an-ml / (a0^ + 2) , m=0 n

9n = Y1 (n - m + 1) an-m+lbm (n = 5

(31-А)

(31-Б)

m=0

(r)

+

d(°)

d0

+ d.

(z)

= 0^ - соответственно

П g{0KJ N и {d^l (s = r, 9, z;

n=0

подлежащие определению параметр и наборы коэффициентов. Здесь

1, m = n;

bm,n —

0, m = n.

(32)

После подстановки разложений (30) в полученные соответственно выбранному варианту модели неоднородности (18-А) либо (18-Б) соотношения (20-А) либо (20-Б) из уравнения (22) определяется однородная система линейных уравнений третьего порядка, решениями которой являются три линейно независимые век-

тора B09)

d(r,q) d(d,q) d(z,q) d0 ,d0 , d0

1 T

(q = 1,3) с элементами

a0

(1)

',3)

d0z,3) = k (a01) - ^ (V3) = t + ^ ,

(n(1) = t - 1) , O? CO

(V2) = T - 1) , (34

T (1 - a0^ +2, = T + Л , (35

0

0

0

0

а также зависящая от задаваемых соотношениями (33)—(35) значений параметров г[q = 1,3) последовательность систем неоднородных линейных уравнений третьего порядка вида

Q(?>b£>=f£> (g = M; n = l^oo) . (36)

Входящие в уравнение (36) матрицы Q„) размерности 3 х 3 и вектор-столбцы Fra) длиной 3, соответственно выбранному варианту модели неоднородности (18-А) либо (18-Б), имеют отличные от нуля элементы

Q

(q)

J 1,1

= (rj(q') + n) — т 2a01) — 1,

Q(q)

J 1,2

= —W ( n(q) + n + 1) ( a0 — 11+2

ao

,(1)

Q

(q)

2,1

= —W ( n(q) + n + 1) tb0°J — 1) +2) ,

33)

Q

(q)

n J 2,2

Qiq)

= (Vq) + n) — т 2b03) — 1, Qnq) 33 = (Vq) + n + 1^ — т2, 1 = k (n(q) + n + 1) (b03) — 1) , [Qnq)] з 2 = кт (b03) — 1) ,

n1

Fn] 1 = k(n + 9(q) — ^ d{- + (((j — n) (j + 9(q) + 1)

(0)

a

an-j

j=0

(2 (j — n) — т2) an-j — &$-2-j + k^a^2-j + 29n-1-j)d^,q) +

1) )

+т ((j — n) a{n-j + (2n + П(q) + 1 — j) (){n-j + 29n-1-j) d<f’q) —

— k ((j + 2 — n) a{n-2-j + (2n + 9(q) — 3 — j) a{n-2-j + 29n-3-j) dj’q)

n-1

F(ni) =k (к&+т&) + Y, (т ((n—j) $- j+

)=0

+b{nb-( + (j + n(q) + ^ b{n]-j) j4) +

+ ((j — n) (j + 9(q) — ^ (){n-j — tt2bn-2-j—

— (j + n(q) — 1) bn-1-j + ^br- j) df,q) — kri^-j d

n- 1

d(z,q)

bn-2-j dj

fs4 = £ (k ((j—n) an-j - e-

j=0

— (j + n(q) + ^ bn-j) d[j,q) — ктьп-jdf,q) + (( 2) )

+ ( (j + 9(q) + ^ ((j — n) a(n-j — b(n-1-j) —

—n2bni-2-j + ^bS-2-j) dfq]) ;

(37-А)

n

Q^ = (Vq) + П - т2b03) - 1, Qn = (rl(q') + n + 1) - T2

- 1,1 V / - 3,3 V J

Q

(q)

n

Qn

3,3

= -T [ (n(q) + n + 1) fb03) - 1) + 2) , \ (J1)

Q

J 2,1

(q)

Q(q)

3,1

1,2

= -^(^^ + n + 1J + 1) + 2) , \ 2

. . , - T (a0

J 2,2 V / v 0

= k (ri(q'> + n + 0 (a01) + 1

= (Vq) + П - т2 (a01) + 2^ - 1,

Q

3,2

n1

= kT (aO1 + 1^ ,

Fnq) 1 = k(n + n(q) - ^ <^-2 + ^ ( ((j - n) (j + n(q) + ^ аП-j+

j=0

+29n-1-j - rfbln^-j - j + rfq + ^ ьЩ-1-j+

+k2b[nn-2-j + т2ЬП-j) dfq) + т ((j - n) a,^-j+

+2 gn-1-j - ЬП-- + (j + n(q) + ^ bn-j) Sf,q) -

-k ((j + 2 - n) a<n-2-j +

+2gn-3-j - b(n-3-j + (j + V(q) + ^ ь{П-2-^} dfq)) ,

Fq]2 = k (kd- - Td(-) +

n-1

+Y, (т ((n - j) an- j + (j + n(q) + ^ a(n-j) dfq)+

0 (j + n(q) - ^ an-j - ^^nU-j + T2a{n-^ d<f’q)--kTa{n'-2-jdjZ,q)) ,

] n- 1 ( (

3 = 2^& + (k ((j - n) a(n-j-

j =0

- (j + 9(q) + ^ aln-^ dj,q) - kra^n-j df’q) +

j=0

+

+ (j -

j + V(q) + ^ a{n-j - Q2 ain-2-j + k2a(n-2-j) d<f’q))

(37-Б)

Уравнения (36) определяют матричные рекуррентные соотношения для нахождения векторов = dn’q\ dn’9\ dn’9^ (q = 1,3; n = l,oo) с коэффициентами в разложениях аналитических в области |£ | <5 элементов

Ж

^.particulars) (^) =^Ч)+КВ^2Ф<1)£Р (s = r,e,z; q =Щ (38)

p=0

искомых трех частных решений (23) уравнения (22). Следует отметить, что для соотношений (37-А) и (37-Б) получается единое представление

det (q^) = n2{n- 2) {n + 2т)2 {n + 2т - 2) (q = ф2) ,

, \ (39)

det (Q^ J = n(n + 2)2 (n + 2t) (n + 2t + 2)2 (g = 3) .

С учетом того, что det =0 [q = 1,2), соответственно соотношениям (37-

А) и (37-Б) определяются условия существования двух линейно независимых решений уравнения (36) при п = 2 для q = 1, 2 в таком виде:

т = 1 либо т > 2 и а01} а(!0) + а(11) = 0; (40-А)

т = 1 либо т > 2 и а10) = 0. (40-Б)

Таким образом, при т > 2 для построения базисного набора частных решений уравнения (22) необходимо привлекать исключительно численный подход к определению аналитических в области |£| < 5 функций ip (£) и ips (£) (s = 1, 2), и соответственно выбранному варианту модели неоднородности (18-А) либо (18-Б) полагать в полиномиальных представлениях (27)

а10) = а(11) = 0; (41-А)

а10) = 0. (41-Б)

Окончательно базисное решение уравнения (22) в матричном виде задается так:

U(r,basic) (f)

jj(т,particular,!) (f) jj(т,particular,2) (f) jj(т,particular,3) (f)

(42)

Тогда общее решение уравнения (5) допустимо определить через базисное решение (42) в виде

U(T,general) (r) = JJ(T,basic) (r) A, (43)

где A - произвольный вектор-столбец размерности 3. С учетом представления (13), соответственно выбранному варианту модели неоднородности (18-А) либо (18-Б), определяется векторная функция t(T,general) (r)

t(т,general) (r) = 7Q (f) jj(т) (f) JJ(T,basic) (f)

Z=r

A,

(44)

где G (f) - матрица функция размерности 6 x 6 с отличными от нуля элементами

G (£)] =(1 - 2 ф1 (f)) e^ (n, m = 1, 2;2,1;1, 3;3,1;2, 3;3, 2) ,

- n,m

G (Ol . . = {j = M) , [G (Ol . . = Ф1 (0 e*® (j = Щ ;

(45-А)

J j,j

g (е) g ($'..

= ф1 (е) ev(^

n,m

= (2 + фг (е)) e^(«

(п, т = 1, 2; 2,1; 1, 3; 3,1; 2, 3; 3, 2) ,

О'= 1-3)

g (е) ..

jjj

РД(0 (j = 4, 6) ;

(45-Б)

гм) (е) - аналитическое продолжение дифференциального оператора M(т) (г) на плоскость комплексной переменной е • Отличные от нуля элементы ГМ(т) (е) равны

м(т) (е) 1,1 d, м(т) (е)

м(т) (е) = -к, 3,3 'гм(т) (е)

2,1 ■ 4,2

е-1,

: к,

гм(т) (е) гм(т) (е)

2,2

14,3

те \

-те-1,

(46)

м(т) (е)

= к,

1 5,1

м(т) (е) = ^, м(т) (е) = -те

5,3

1

J 6,1

м(т) (е)

6,2

= d - е-1.

4. Дисперсионные соотношения. Граничные условия (16) и (17), с учетом представлений (23), (38), (42)-(44), определяют соответствующего вида дисперсионные уравнения относительно безразмерного продольного волнового числа к и приведенной частоты Q

) (к, Ф = det ( (s(t) (е) U(™sic) (е))

?=1

= 0;

(47)

) (к, Q) = det (и(rMsic) (1)) = 0, (48)

а также соответствующего вида однородные уравнения для нахождения с точностью до скалярного множителя вектора A

(s(r) (е) и(Tbasic) (е))

A = O;

?=1

(49)

U(T,basic) (1) A = O.

(50)

В соотношениях (47) и (49) используется матричный дифференциальный оператор

s(T) (е)

g (е) м(т) (е)

(1,5,6),(1,2,3)

(51)

5. Численный эксперимент. Анализ дисперсионных спектров, фазовых и групповых скоростей бегущих изгибных волн проводился при значении окружного волнового числа т = 1 для свободного однородного протяженного цилиндра из алюминия (Al)

Л = X(Al), Д = fi(Al), р = p(Al), (52)

а также для свободных неоднородных цилиндров, функциональные законы радиальной неоднородности физико-механических характеристик материала ко-

торых были альтернативно заданы так: A (r) = X(Al) (1 + 0,3 r3) , Д = Д(Al) , P = p(Al); (53-А

A = A(Al), i + CD CO со , P = P(Al); (53-Б

A = A(Al), д = A(Al), p(r) = p(Al) (1 + 0, 3 r3) . (53-В

Здесь

A(Al) = 5, 91; fi(Al) = 2, 61; p(Al) = 2, 7; C* = 1010Н/м2; p* = 103кг/м3. (54)

Выбор определяемых соотношениями (53-А)—(53-В) законов неоднородности был обусловлен задачей исследования влияния фактора неоднородности по каждой физико-механической характеристике изотропного материала отдельно на топологическую картину спектра, а также на графики фазовых и групповых скоростей бегущих изгибных волн. Далее волновод, задаваемый физико-механическими характеристиками (52), будет называться однородным волноводом, а характеристиками (53-А)—(53-В) - соответственно неоднородным волноводом А, Б или В.

Для неоднородных волноводов А, Б, В на основании условия (25) определены границы допустимых значений параметра 5, соответственно имеющие вид

1 <5 < 1, 844; 1 <5 < 1, 493; 1 < 5 < ж, (55

а для условия (28) при N = 4 в случае вариантов модели неоднородности (18-А

либо (18-Б) соответственно

1 <5 < 1, 455; 1 <5 < 1, 409; 1 < 5 < ж; (56-А

1 <5 < 1, 844; 1 <5 < 1, 372; 1 < 5 < ж. (56-Б

Максимальная погрешность аппроксимации в соотношениях (29) при этом не превышала е = 10_3. Для проведения вычислительного эксперимента был выбран вариант модели неоднородности (18-А) и численный подход (26-А), (27) при N = 4 для определения функций <р(£) и ips (£) (s = 1,2).

В области изменения параметров к £ [0, 35] и Q £ [0, 30] для свободного однородного волновода с характеристиками (52) и свободных неоднородных волноводов с характеристиками (53-А)-(53-В) были построены фрагменты спектров бегущих изгибных (т = 1) волн. Указанные спектры представлены соответственно на рисунках 1-4. Анализ этих рисунков показывает существенную зависимость

топологии спектра от факторов неоднородности исключительно по модулю Ламе Д(г) либо по параметру плотности p(r) (рис. 3, 4), в то время, как такой же функциональный закон неоднородности исключительно по модулю Ламе Л (r) визуально не сказывается на топологической картине соответствующего спектра (рис. 2) по сравнению со спектром однородного волновода (рис. 1).

Рис. 1. Спектр однородного волновода Рис. 2. Спектр неоднородного волновода А

Рис. 3. Спектр неоднородного волновода Б Рис. 4. Спектр неоднородного волновода В

Следует также указать на характерную локализацию асимптотического поведения в коротковолновой высокочастотной области первой моды по отношению к старшим модам спектра для однородного волновода (рис. 1) и для волновода с неоднородностью исключительно по упругому модулю Л (r) (рис. 2). При неоднородности исключительно по упругому модулю Д (r) (рис. 3) указанная тенденция не проявляется. В спектре волновода с неоднородностью исключительно по параметру плотности р (r) (рис. 4) наблюдается ярко выраженная локализация асимптотического поведения в коротковолновой высокочастотной области как для первой моды, так и для второй.

Количественные различия построенных спектров исследованы с помощью функции сравнения в сопоставляемых спектрах парных по номеру мод

AQ (к) = (Ъ(неоднородный) (к) - О(однородный) (k)j . (57)

На рисунках 5-10 представлены результаты сопоставительного анализа поведения низших десяти мод фрагментов спектров однородного и неоднородного волновода А - В. Номера мод сопоставляемых спектров и тип соответствующей линии указаны в нижней части рисунков.

Рис. 5. Сопоставление мод 1-5 спектров однородного и неоднородного волновода А

АП Л

U.L' Л / Л 1 \ 1 \ 4 J; гг \ \ \ \

о- \Д[ i i ■ I:/ /л , '\ \ к\ . \

J 1 0 1 5 2 о к

6 7 8 9 10

Рис. 6. Сопоставление мод 6-10 спектров однородного и неоднородного волновода А

Рис. 7. Сопоставление мод 1-5 спектров однородного и неоднородного волновода Б

Рис. 8. Сопоставление мод 6-10 спектров однородного и неоднородного волновода Б

При анализе представленных рисунков отмечаются следующие закономерности. Количественные значения функции AQ (к) при сопоставлении спектров од-

Рис. 9. Сопоставление мод 1-5 спектров однородного и неоднородного волновода В

Рис. 10. Сопоставление мод 6-10 спектров однородного и неоднородного волновода В

нородного и неоднородного исключительно по модулю Л (r) волноводов (рис. 5, 6) по абсолютной величине оказались на порядок меньшими, чем значения указанной функции при сопоставлении спектров однородного и неоднородных исключительно по модулю Д (r) (рис. 7, 8) и параметру плотности р (r) (рис. 9, 10) волноводов. При этом все десять низших мод спектров неоднородных исключительно по модулям Л (r) либо Д (r) волноводов смещены по отношению к соответствующим модам однородного волновода в область более высоких частот (рис. 5-8), в то время как для неоднородного исключительно по параметру плотности р (r) волновода тенденция противоположная - все десять низших мод его спектра смещены по отношению к соответствующим модам однородного волновода в область более низких частот (рис. 9, 10). Для всех неоднородных волноводов А -В характерными являются локальные всплески функции AQ (k) в окрестности значений волнового параметра k, соответствующих зонам сближения смежных мод соответствующих спектров. Более контрастно указанные эффекты проявляются для старших мод (рис. 6, 8, 10).

Для представленных на рисунках 1-4 фрагментов спектров построены графики фазовых скоростей (рис. 11-14), и для низших пяти мод - графики групповых скоростей (рис. 15-18). На графиках cp и cg - соответственно пронормированные величиной с* = л/С*/р* приведении^ фазовая и групповая скорости.

Представленные графики фазовых и групповых скоростей иллюстрируют вышеотмеченную локализацию асимптотического поведения в коротковолновой высокочастотной области первой моды по отношению к старшим модам спектра для однородного волновода (рис. 11, 15) и для волновода с неоднородностью исключительно по упругому модулю Л (r) (рис. 12, 16), а также локализацию асимптотического поведения в коротковолновой высокочастотной области первой и второй мод при наличии неоднородности исключительно по параметру плотности Л(г) (рис. 14, 18).

(Я------------------------------------

о ю 20 a

Рис. 11. Фазовые скорости волн в в однородном волноводе

Рис. 13. Фазовые скорости волн в в неоднородном волноводе Б

Рис. 12. Фазовые скорости волн в в неоднородном волноводе А

Рис. 14. Фазовые скорости волн в в неоднородном волноводе В

Рис. 15. Групповые скорости волн в в однородном волноводе

Рис. 16. Групповые скорости волн в в неоднородном волноводе А

Рис. 17. Групповые скорости волн в в неоднородном волноводе Б

Рис. 18. Групповые скорости волн в в неоднородном волноводе В

Выводы. Представленные результаты актуальны в прикладных исследованиях, связанных с расчетами характеристик волноводных компонентов акустоэлектронных устройств, с анализом моделей ультраакустической диагностики, а также с верификацией результатов исследований волноводных свойств радиально-неоднородных цилиндрических волноводов, полученных прямыми численными методами.

Исследования проводились по теме государственного задания в ФГБОУ ВО «ДонГУ» (код FRRE-2023-0001). 1

1. Моисеенко И.А. Нормальные волны в функционально-градиентных сплошных цилиндрах / И.А. Моисеенко, В.А. Моисеенко // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2018. - № 1-2 (62-63). - С. 16-34.

2. Моисеенко И.А. Спектры нормальных упругих волн кручения в экспоненциально-неоднородных трансверсально-изотропных цилиндрах // Теоретическая и прикладная механика. - 2014. - Вып. 9 (55). - С. 139-145.

3. Моисеенко И.А. Распространение нормальных волн вдоль трансверсально изотропных функционально градиентных цилиндров // Вестник ДонНУ. Сер. А: Естественные науки. - 2018. - № 1. - С. 37-54.

4. Моисеенко И.А. Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев. // Механика твердого тела. - 2015. - Вып. 45. - С. 112-124.

5. Моисеенко И.А. Исследование упругих волн крутильного типа с использованием трехфакторной модели функциональной неоднородности трансверсально изотропных сплошных цилиндрических волноводов / И.А. Моисеенко, Н.Ю. Мельничук // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022. - № 2 (79). - C. 5-15.- doi:10.24412/0136-4545-2022-2-5-15. - EDN:ATARHS.

6. Моисеенко И.А. Осесимметричные продольно-сдвиговые упругие волны в протяженных сплошных цилиндрах из шестифакторно функционально неоднородного трансверсальноизотропного материала / И.А. Моисеенко, Н.Ю. Мельничук // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2022. - № 3 (80). - C. 33-59.- doi:10.24412/0136-4545-2022-3-33-59.

- EDN:NPEDMW.

7. Моисеенко И.А. Модели функциональной неоднородности изотропного цилиндрического волновода для случая осесимметричных нормальных волн / И.А. Моисеенко, В.А. Мо-

исеенко, Н.Ю. Мельничук // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. -№ 1 (82). - C. 40-61.- doi:10.24412/0136-4545-2023-1-40-61. - EDN:EWIYSR.

8. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айнс. - Харьков: НТИУ. - 1939. - 719 с.

9. Petrowsky I.G. Sur l’analyticite des solutions des systems d’equations differentielles / I.G. Petrowsky // Матем. сб. - 1939. - № 5 (47). - P. 3-70.

I.A. Moiseyenko, A.I. Dzundza, N.I. Melnichuk, V.A. Shaldyrvan

Study of the properties of flexural waves in solid cylinders based on a three-factor model of radial inhomogeneity of an isotropic material.

Two alternative versions of a three-factor model of radial functional inhomogeneity of the physical and mechanical characteristics of an isotropic material of a solid cylindrical waveguide are determined for the case of propagating non-axisymmetric waves. Two approaches to determining the functional components of these models are presented, and sufficient conditions for weak radial inhomogeneity are determined to ensure the existence of a target basic solution to the equations of a threedimensional linear model of wave deformation. A basic solution has been constructed, the elements of which are expressed through analytical functions. A comparative analysis of the results of a numerical experiment carried out for the cases of homogeneous and functionally inhomogeneous isotropic free waveguides is given, and quantitative and qualitative estimates of the obtained numerical results are given.

Keywords: FGMs, isotropy, cylindrical waveguide, non-axisymmetric waves, model of radial

inhomogeneity, basic solution, dispersion relations.

Получено 18.04.2023