ИССЛЕДОВАНИЕ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ С АСТАТИЧЕСКИМ МОДАЛЬНЫМ РЕГУЛЯТОРОМ В MATLAB Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

DOI 10.25987^Ти.2019.15.1.005 УДК 621.313

ИССЛЕДОВАНИЕ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ С АСТАТИЧЕСКИМ МОДАЛЬНЫМ РЕГУЛЯТОРОМ В МЛТЬЛБ

А.П. Харченко1, Ю.С. Слепокуров2, Ю.Н. Каревская1

воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия 2Международный институт компьютерных технологий, г. Воронеж, Россия

Аннотация: при работе мобильных транспортных систем (МТС), например подвижного промышленного робота, в режиме слежения за траекторией перемещения при максимальном быстродействии актуально уменьшение скоростной ошибки по управляющему и возмущающему воздействию. В классической теории автоматического управления скоростная ошибка может быть сведена к нулю при использовании астатической 2-го порядка следящей системы (СС), которая обладает структурной неустойчивостью. В этом случае используются специальные корректирующие устройства или применяется изодромное звено, компенсирующее дополнительный фазовый сдвиг в логарифмической фазовой частотной характеристике за счет введения форсирующе-интегрирующего звена в астатическую 1-го порядка СС. Модальный регулятор (МР) - это статический (пропорциональный) регулятор. Исследуется возможность применения в одноконтурной астатической 1-го порядка СС астатического МР с наблюдателем (НБ) для уменьшения скоростной и ошибки по ускорению при заданном быстродействии в условиях воздействия помех в цепи обратной отрицательной связи (ООС) и входном сигнале при типовых входных стандартных сигналах. Астатизм МР обеспечивается введением интегрирующих звеньев в обратные связи по составляющим вектора состояния (Х1, Х2, Х3 и Х4) СС. Проведено исследование влияния коэффициентов астатического МР СС на скоростную ошибку и ошибку по ускорению при сохранении заданного быстродействия. Приведено сравнение параметров качества управления СС с астатическим и статическим МР. Передача управляемых и управляющих информационных сигналов в условиях помех связана с помехозащищенностью или восстановлением полезного сигнала при приеме и передаче. Восстановление полезного сигнала при приеме и передаче управляющих и управляемых сигналов СС обеспечивается применением фильтра Калмана. В одноконтурной СС с астатическим МР и НБ ошибка по возмущающему воздействию значительно меньше ошибки по управляющему воздействию

Ключевые слова: мобильные транспортные системы, следящая система, скоростная ошибка, ошибка по ускорению, структурная схема одноконтурной системы, статический модальный регулятор, астатический модальный регулятор, наблюдатель, фильтр Калмана, передаточная функция

Введение

Для дистанционного управления мобильных транспортных систем требуется высокая точность отслеживания заданной траектории перемещения при заданном быстродействии.

При применении следящей системы (СС) с модальным регулятором (МР) и наблюдателем (НБ) [1-3] необходимо оценить скоростную ошибку и ошибку по ускорению в режиме слежения при воздействии помех в системе управления и изменении нагрузки.

Суммарная ошибка СС при медленно изменяющемся входном сигнале определяется

80) = 8x0;) + е^),

где 80) - ошибка системы; ех(;), е^) - составляющие ошибки по управляющему и возмущающему воздействию.

Составляющая ошибки СС по управляющему воздействию определяется

ех(;) = 810) + 820) + е30),

где 810), е20), 830), - позиционная, скоростная и ошибка по ускорению.

Постановка задачи

Для исследований используется структурная схема СС [3].

На рис. 1 изображена структурная схема СС с астатическим МР, НБ, воздействием помехи в цепи датчика, воздействием возмущения, развернутой структурной схемой двигателя и при подаче линейного входного сигнала.

© Харченко А.П., Слепокуров Ю.С., Каревская Ю.Н., 2019

Рис. 1. Структурная схема СС с астатическим МР, НБ,

воздействием помехи в цепи датчика, воздействием возмущения, развернутой структурной схемой двигателя и при подаче линейного входного сигнала

Возмущение подается в виде статической нагрузки СС с учетом коэффициента передачи по возмущению Км = Яя/ (CmCe), выбранного

для передаточной функции по возмущению [2].

Астатизм МР для исходной СС обеспечивается введением интегрирующих звеньев в обратные связи по составляющим вектора состояния.

Передаточная функция МР по составляющим вектора состояния Х задается

Wi(s) = Ю1 + Ю2/з=Ю + п*Ю/З,

где Ю - значения коэффициента МР (К1-К4); п - коэффициент.

Коэффициент п, определяющий коэффициент передачи интегрирующего звена Ки = п*Ю, влияет на быстродействие СС.

Матрицы A1, B1,C1 и D1 одноконтурной СС с астатическим МР воздействием возмущения Мс и помехи V определяются

0 0 0

КдпК1 - (К11 + К12 / р) * К1

К РЕД 0

- 1 /(ТмТя) (К22 + К21/ р) * К1

(

В1 =

0 0 0

К/ * Я1

00 Мс * Км 0 00 0 V

Л

0 1

Кд /(ТмТя)

1

(К33 + К31/ р) * К1---(К44 + К41/ р) * К1

С1 = (1 0 0 0)

Т

Ш = 0

В матрицах СС с астатическим МР введено обозначение: Ю=Кпу*Ку/Ту.

Для оценки скоростной ошибки и ошибки по ускорению используется линейный и нелинейный типовые входные сигналы.

Временная характеристика выходного сигнала, скоростной ошибки СС с астатическим МР, НБ, без воздействия помехи и при отработке угла 180 град. представлена на рис. 2.

Рис. 2. Временная характеристика выходного сигнала, скоростной ошибки СС с астатическим МР, НБ, без помехи, при отработке угла 180 град

Временная характеристика выходного сигнала, ошибки по ускорению СС с астатическим МР, НБ, без воздействия помехи и при нелинейном входном сигнале представлена на рис. 3.

Рис. 3. Временная характеристика выходного сигнала, ошибки по ускорению СС с астатическим МР, НБ, без воздействия помехи и при нелинейном входном сигнале

В табл. 1 представлено изменение кратности корней полинома р при выборе коэффициентов МР и коэффициенты.

Таблица 1

Кратность корней полиномар и коэффициенты

Р

Выбор К1 К2 КЗ К4

корней

2*р 12,9377 -0,0026 0,0002 0,0169

3*р 72,6322 0,0573 0,0014 0,0339

4*р 237,0386 0,2108 0,0038 0,0508

5*р 588.3272 0.4898 0.0072 0.0678

6*р 1232.7 0.9 0 0,1

В табл. 2 представлены параметры составляющих ошибки СС: ошибка по возмущению -еШ; скоростная ошибка 82уст.а; ошибка по ускорению езуст.а - СС с астатическим МР; ошибка по возмущению - 8Й2; скоростная ошибка 82уст.с - СС с статическим МР.

Ошибка по ускорению езуст.с СС с статическим МР линейно возрастает в функции времени.

Таблица 2 Кратность корней полинома р при выборе коэффициентов МР СС с астатическим и статическим МР и параметры составляющих ошибки СС

Выбор корней Sf11 сек. е2уст.а 1/сек. еЗуст.а 1/сек. Sf12 сек е2уст.с 1/сек

2*р 0.0002 0.04 5,3 0.0002 5.28

3*р 0.0002 0.035 5,3 0.0002 5,27

4*р 0.0002 0.018 5,3 0.0002 5,26

5*р 0.0002 0.012 5,3 0.0002 5,27

6*р 0.0002 0.01 5,3 0.0002 5.29

Передаточная функция в 1£-форме ошибки по управлению W8x (8) = 8(з)/Х(з) = Б(8)/Л(8) СС с МР и НБ определяется при значении 2*р.

1933 sA12 + 4.141e05sA11 +....+ 0.7218sA3 + 1.159e-15sA2 - 5.923e-34s sA12 + 321sA11 + 4.3e04sA10+....+1.975e12sA3 + 0.0174sA2 + 6.784e-17s + 5.918e-32.

Передаточная функция в tf-форме ошибки по возмущению Wef (s) = S(s)/f(s) =

B(s)/A(s) СС с МР и НБ определяется при значении 2*р

0.0169 sA2 + 1.81 s + 23.85 sA4 + 107.1sA3 + 4217sA2 + 4.317e04s + 1.22e05.

Установившееся значение скоростной ошибки СС с МР и НБ при единичном входном сигнале определяется отношением коэффициентов WSx (s) b1/a0 = 0.01 1/рад., что подтверждается исследованиями в табл. 2.

Ошибка по возмущению, определяемая отношением коэффициентов полинома числителя Wef (s) b1/a0, на несколько порядков меньше.

Помехи в структурной схеме CC с МР и НБ при моделировании в инструментальной среде Matlab задаются генератором шума Band-Limited [3].

На рис. 4 представлена временная характеристика выходного сигнала, скоростная ошибка СС с астатическим МР, НБ, с воздей-

ствием помехи, линейном входном сигнале и кратности корней полинома 2*р.

Рис. 4. Временная характеристика выходного сигнала, скоростной ошибки СС с астатическим МР, НБ, с воздействием помехи и при линейном входном сигнале

На рис. 5 представлена временная характеристика выходного сигнала, ошибка по ускорению СС с астатическим МР, НБ, с воздействием помехи, нелинейном входном сигнале и кратности корней полинома 2*р.

Рис. 5. Временная характеристика выходного сигнала, ошибки по ускорению СС с астатическим МР, НБ, с воздействием помехи и при нелинейном входном сигнале

Как видно, временная характеристика выходного сигнала, скоростная и ошибка по ускорению СС с астатическим МР и НБ искажаются и появляются колебания.

Исследования, проведенные в [3], доказали, что применение фильтра Калмана (ФК) при моделировании в среде МаЙаЬ структурных схем с векторно-матричным описанием является эффективным способом подавления помех в выходном сигнале СС с МР и НБ.

На рис. 6 изображена структурная схема СС с астатическим МР, НБ, ФК, установленным в цепи обратной отрицательной связи (ООС) и в цепи входного сигнала, с воздействием помехи по входному сигналу и в ООС, воздействием возмущения, использованием развернутой структурной схемы двигателя и с линейным входным типовым сигналом.

Рис. 6. Структурная схема СС с астатическим МР, НБ, ФК, воздействием помехи по входному сигналу, воздействием возмущения, развернутой структурной схемой двигателя и линейном входном сигнале

Временная характеристика выходного сигнала, скоростная ошибка, выходной сигнал ФК в цепи ООС, временная характеристика сигнала ООС с помехой, временная характеристика входного сигнала с помехой СС с астатическим МР, НБ, ФК, воздействием возмущения, при линейном входном сигнале представлены на рис. 7.

/

1

х-:

1 ..........;.........._

Рис. 7. Временная характеристика выходного сигнала, скоростная ошибка, выходной сигнал ФК, временная характеристика сигнала ООС с помехой, СС с астатическим МР, НБ, ФК, с воздействием помехи по входному сигналу, при линейном входном сигнале

Передаточная функция в 1£-форме ошибки W£x ф = 8^) /Хф = Вф/Аф СС с МР, НБ и ФК определяются при значении 2*р:

2.83e04sA15 + 8.657e06sA14 + ....- 7.283е^А4 - 1920sA3 - 6.5е-20 sA2 sA16 + 95^15 + 2.46е058А14+....+2.4е19вА4 + 3.2е^3 - 6.1e05sA2+3.99e-09s + 1.16е-24.

В представленной передаточной функции Wеx (8) СС с МР, НБ и двумя ФК отсутствуют в полиноме Б(8) числителя коэффициенты Ьо, Ь1, и теоретически отсутствует так же установившееся значение скоростной ошибки.

В этом случае структурная схема СС с астатическим МР и НБ, ФК как в цепи датчика, так и в цепи формирования линейного входного сигнала, аналогична астатической СС 2-го порядка.

Оценим влияние изменения амплитуды помехи (увеличение в пять раз) в цепи входного сигнала и в цепи ООС на способность фильтрации и восстановления полезного сигнала из сигнала с помехой двух ФК.

На рис. 8 представлены те же временные характеристики при увеличенной амплитуде помехи и постоянном возмущении.

" /

Рис. 8. Временная характеристика выходного сигнала, ошибка по ускорению, выходного сигнала ФК, временная характеристика сигнала ООС с помехой, СС с астатическим МР, НБ, ФК и с воздействием помехи по входному сигналу, при линейном входном сигнале и увеличении амплитуды помехи

Как видно из представленных временных характеристик СС с астатическим МР, НБ, с использованием двух ФК, линейного и нелинейного входных сигналов (с постоянной скоростью и постоянным ускорением) при дополнительном воздействии помехи на входной сигнал и установки ФК в цепи входного сигнала, выходной сигнал СС не искажается и постоянная составляющая скоростной ошибки отсутствует и при увеличении амплитуды помехи.

При аппаратной и программной реализации МР, НБ и двух ФК можно преобразовать СС в структурную схему, где один из ФК выполняет и функции НБ - рис. 9.

Рис. 9. Структурная схема СС с астатическим МР, двумя ФК, воздействием помехи по входному сигналу и в цепи датчика, воздействием возмущения, развернутой структурной схемой двигателя и линейном входном сигнале

Временные характеристики выходного сигнала и скоростной ошибки СС с астатическим МР и двумя ФК при линейном входном сигнале - рис. 10.

Рис. 10. Временные характеристики выходного сигнала и скоростной ошибки СС с астатическим МР и двумя ФК при линейном входном сигнале

ФК выполняет функции НБ, при этом:

- выходной сигнал в структурной схеме СС - колебательный;

- требуется получение новых коэффициентов МР (К1, К2, КЗ и К4) для апериодической переходной характеристики 2-го порядка согласно требованиям [1-3];

- необходимо изменение коэффициента К^ на входе СС, для получения требуемого выходного сигнала от МР.

Выводы

Установившееся значение скоростной ошибки в одноконтурной СС с НБ, как астатической 1 -го порядка, может быть значительно уменьшено при использовании астатического МР.

Астатический МР для СС с НБ может быть получен при дополнительном использовании в обратных связях по составляющим управляемого вектора состояния Х интегрирующих звеньев, коэффициенты передачи которых подбираются.

Быстродействие СС с астатическим МР и СС с статическим МР при одних и тех же коэффициентах МР одинаковое, скоростная ошибка с астатическим МР при этом на несколько порядков меньше.

Повышение кратности корней полинома р для выбора коэффициентов астатического МР при отработке линейного сигнала не влияет на быстродействие, в отличие от отработки ступенчатого входного сигнала СС с статическим МР, где время уменьшается.

В передаточной функции по ошибке для СС с МР, НБ, ФК отсутствуют коэффициенты Ьо и Ь1, что теоретически повышает астатизм астатической 1 -го порядка СС.

Воздействие помех в системе управления СС с астатическим МР и НБ также компенсируется применением ФК.

Дополнительное воздействие помех в входном сигнале СС с астатическим МР и НБ требует установки дополнительного ФК.

Воздействие возмущения и увеличение амплитуды помехи не приводит к увеличению суммарной ошибки СС.

Один из установленных ФК может выполнять и функции НБ, при этом скоростная ошибка отсутствует, но искажается форма выходного сигнала СС.

Литература

1. Харченко А. П., Слепокуров Ю.С., Аверьянов П.А. Синтез САУ в среде МайаЬ // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2017. Т. 13. № 4. С. 7-12.

2. Исследование влияния нагрузки в следящей системе в МаНаЬ и БсПаЬ / А. П. Харченко, Ю.С. Слепокуров, П.А. Аверьянов, И.Ю. Свирский // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2018. Т. 14. № 2. С. 39-43.

3. Харченко А.П., Слепокуров Ю.С., Каревская Ю.Н. Исследование следящей системы в МаНаЬ при возмущении в системе управления // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2018. Т. 14. № 4. С. 41-45.

Поступила 03.12.2018; принята к публикации 24.01.2019 Информация об авторах

Харченко Александр Петрович - канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры электропривода, автоматики и управления в технических системах, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: N210713@yandex.ru

Слепокуров Юрий Сергеевич - канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры автоматики и вычислительной техники, Международный институт компьютерных технологий (394026, Россия, г. Воронеж, Солнечная 29Б), e-mail: ussrs@list.ru Каревская Юлия Николаевна - старший преподаватель кафедры электропривода, автоматики и управления в технических системах, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: eayts@yandex.ru

STUDY OF TRACKING SYSTEM WITH ASTATIC MODAL REGULATOR IN MATLAB

A.P. Kharchenko1, Yu.S. Slepokurov2, Yu.N. Karevskaya1

1Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia international Institute of Computer Technologies, Voronezh, Russia

Abstract: when mobile transport systems (MTS), for example, a mobile industrial robot, are operating in tracking mode of movement at maximum speed, it is important to reduce the speed error in the control and disturbing effects. In the classical theory of automatic control, the velocity error can be reduced to zero by using an astatic tracking system of 2nd order (TS), which is structurally unstable. In this case, special corrective devices are used or an isodromic link is used, which compensates for an additional phase shift in the logarithmic phase frequency characteristic due to the introduction of a force-integrating element into the first-order astatic TS. The modal regulator (MR) is a static (proportional) regulator. The possibility is studied of using an astatic MR with an observer (OB) in a single-loop astatic static TS of 1st order to reduce the speed and acceleration error for a given speed under the influence of interference in the negative feedback circuit (NF) and the input signal with typical input standard signals. Astatism of MR is provided by the introduction of integrating links in the feedback on the components of the state vector (X1, X2, X3 and X4) of TS. A study was made of the influence of the coefficients of an astatic MR TS on the velocity error and the error in acceleration while maintaining a given response speed. A comparison of the quality parameters of TS control with astatic and static MR is given. Transmission of controlled and control information signals in the presence of interference is associated with noise immunity or restoration of the useful signal during reception and transmission. Recovery of the useful signal in the reception and transmission of control and controlled signals of TS is provided by the use of a

40

Kalman filter. In single-loop of TS with astatic MR and OB, the error in disturbing influence is much less than the error in controlling action

Key words: mobile transport systems, tracking system, speed error, acceleration error, block diagram of a single-circuit system, static modal controller, astatic modal controller, observer, Kalman filter, transfer function

References

1. Kharchenko A.P., Slepokurov Yu.S., Aver'yanov P.A. "Synthesis SAU in Matlab environment", Ihe Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2017, vol. 13., no. 4, pp. 7-12.

2. Kharchenko A.P., Slepokurov Yu.S., Averyanov P.A., Svirskiy I.Yu. "Study of the effect of the load in the servo system in Matlab and Scilab", Yhe Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2018, vol. 14, no. 2, pp. 39-43.

3. Kharchenko A.P., Slepokurov Yu.S., Karevskaya Yu.N. "Study of the tracking system in Matlab under perturbation in the control system", Yhe Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2018, vol. 14, no. 4, pp. 41-45.

Submitted 03.12.2018; revised 24.01.2019 Information about the authors

Aleksandr P. Kharchenko, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University, (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: N210713@yandex.ru.

Yuriy S. Slepokurov, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, International Institute of Computer Technologies (29B Solnechnaya st., Voronezh 394026, Russia), e-mail: ussrs@list.ru.

Yulia N. Karevskaya, Assistant Professor, Voronezh State Technical University, (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: eayts@yandex.ru