Исследование прохождения радиоимпульса с синусквадратной огибающей через избирательный фильтр методом ортогональных составляющих Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»



РАДИОЭЛЕКТРОНИКА И СВЯЗЬ

УДК 621.371 54 621.396 И> д. ЗОЛОТАРЕВ

Я. Э. МИЛЛЕР

Омский государственный университет

ИССЛЕДОВАНИЕ

ПРОХОЖДЕНИЯ РАДИОИМПУЛЬСА С СИНУСКВАДРАТНОЙ ОГИБАЮЩЕЙ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЙ ФИЛЬТР МЕТОДОМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ

В статье рассмотрено методом ортогональных составляющих прохождение радиоимпульсов с синусквадратной огибающей через избирательный фильтр. Полученные результаты справедливы для большого диапазона вариаций параметров сигнала и фильтра.

Радиоимпульс с синусквадратной огибающей, ко- квадратной (колоколообразной) огибающей. Данный

торая по форме приближается к колокольной (гаус- подход легко может быть распространен и на фильт-

совой) кривой, обеспечивает одновременно макси- ры более высоких порядков.

мальное сжатие по спектру и времени. Это обуслов- Запишем радиоимпульс с синусквадратной отливает интерес к применению сигналов такой формы бающей в форме в современных радиоэлектронных системах. Гладкость формы огибающей снижает влияние переход- = ^ sirrQ/sin(û) t + !//)• ных процессов в фильтрах как на огибающую, так и

на тонкую фазовую структуру сигнала. Для анализа •Г1(?)-1(/-т)"] = / (i)-' (t) (1)

искажений фазы радиоимпульсного сигнала удобно применять метод ортогональных составляющих [ 1 ].

Исследуется этим методом реакция избиратель- где 1 (?) - единичный скачок, г = — • ного фильтра второго порядка на радиоимпульс с синус- П

Операторное сопротивление избирательного фильтра параллельного контура имеет видг(р) =

1 р + 2а

С р2 +2ар + агр

, где а -коэффициент затухания,

сор -резонансная частота фильтра.

Выражение (1) для возбуждающего сигнала может быть преобразовано к виду

»'(0 = L ] {sin {aj + yy)--sin [(ю„ - 2П) / +

1 .

|-1яп[К+2П)/ + ^]|[1(0-1(/-г)]. (2)

Изображающая функция реакция на включение сигнала может быть представлена в виде алгебраической суммы трех составляющих

иф{р) = и,{р)-и2{р)-и,(р) =

1т р5\лц/ + а>п cosy/ р + 2а 1С Рг+й>1 р2+2ар + со2р

Im />sin(i/ + (iu„-2fi)cosy/ р + 2а 4С р2+(сои- 2iif р2+2ар + а>1

/и р sin ty + (cüu +2il)cos^ р + 2а 4 С р2+(со„+ 2П)2 + ^

для которой имеем полюсы

/>и = ■ Рз.4 = ±/К - 2П),

р5,6 = ±7 (ö„ + 2Q), р7,в = -а ± уЧ,

(3)

Введем нормированную функцию (НФ) //(^.характеризующую переходный процесс на выходе фильтра, которую определим как

Для перехода в пространство оригиналов используем метод, упрощающий обратное преобразование

Д = arg йшщ (0) = у/ + 0,, <9, = arg i (>»„)■

ЛГ(|)

(О

N(t)

Тогда

(6)

(7)

Реальный сигнал на выходе фильтра из (7) найдем

как

иФ (0 =1т *Ф (')=(°)" (Ф1п [«V+А+* (')] (8)

Из (7) и (8) следует, что нормированная функция определяет поведение огибающей на выходе фильтра, £(/) -текущее отклонение фазы реакции фильтра от фазы, нормирующей ВСПП.

Нормированную функцию представим через ортогональные составляющие (ОС)

N(t) = P(t) + jR(t),

(9)

где — синфазная составляющая, — квадратурная составляющая НФ. Тогда

В соответствии с (9) в пространстве изображений имеем

P(p)=RSN{p)

N(p) + N'(p)

R(p) = \mN(p) =

N(p)-N'(p)

V

(11)

где (*) означает комплексно-сопряженную функцию.

В соответствии с (3)

где а)0 = у]фр2-а2.

Для перехода в г зуем метод, упрощс Лапласа [2]. Реакцию фильтра иф (?) будем искать в комплексной форме, для которой (')■

Решение для каждой составляющей ищем в виде суммы вынужденной и свободной составляющих переходного процесса (ВСПП, ССПП).

В качестве нормирующего множителя используем реакцию фильтра на составляющую сигнала частоты о)н (выражение (2)).

(12)

Вынужденная составляющая для второго сигнала согласно (12) определяется соотношением

(13)

в2 = argz[y(ü;„-2Q)].

Вынужденная составляющая для третьего сигнала в (12) может быть записана в форме

А = з.

Тогда нормированная функция для вынужденных составляющих определится соотношением

Определим, учитывая (12), нормированную функцию для ССПП в виде

"сЫ„ (О

1-

е-/(га,-е») ej{2 т+е»)

К,

а:,

= »яе(-в+л),1(0,

(16)

1(0. <15)

где

ви = arg z [j (û)„ - 2Q)] - arg i (ja,, ) = вг-вх, , = arg z [j (ü)h + 2Q)] - arg z(jmH ) = 03 - 0,,

K _ u^ (°)

где т =-----, агдт = у,

К Ка Ксв

С6| С^з

с = у - в. к - (в),; = Гз.

Нормированная функция для реакции избирательного фильтра на интервале / = 0, г может быть в соответствии с (4), (6) записана в виде

(17)

(0 - характеризует поведение огибающей суммы вынужденных составляющих, öSbW(t) = = arg NeilH (/) - отклонение фазы суммы ВСПП от фазы вынужденной составляющей частоты сои.

Найдем свободные составляющие реакции фильтра на включение радиоимпульса

<(0=

Учитывая (9), (15), (16), имеем для ортогональных составляющих соотношения

т-

t cos(2i2t-&2\) cos(2at + e3l) |

K-,

+ me "'coslrt + y)

K-,

4t),

2 С ffl0[(-a + >0)2+iy„2]

e(—Ы< \(t) = Ucii (0)e-aleJ{^h(0

R(t) =

l sin(2nt-e2\) ! sin(2nt + e3l) |

K-,

+ me a'sin(vt + y)

К*

Щ,

(18)

y, = arg£/COi (0),

ч«Л0=

L [("" + Jm0)sin У + (&>„ -Щcos+ v4)

/2 = arg[/a2 (0),

%(0 =

Нормирующая функция в пространстве изображений имеет вид

N(p) = -- 6

m

р К2(р + ]2П) K3(p-j2Q) p + a-jv

(19)

Соответственно изображение ортогональных составляющих запишем в форме

„, 1 рСО502,+2ГЫП02| рсоБ^,-гОБШ^з! ■Р)~ р Кг[р2 + (2П)2] К3[/,2+(2£})2] +

+ т

(p-af+v2

(20)

R( -/>sin£21+2Qcosi92l psin<931+2Qcos^3| Ш К1[р2+(2П)2] К3[р2+(2й)2]' +

L [(_a + -'4)sin(i' + (4 +2Q)cos^](or + jcûa) 4C û;(1[(-a+>())2+((y„ + 2Q)2]

.e^>'l(t) = Ucei(0)e-a'e^>>](/), уъ =argt/COi (o).

+ m

(p-af+v2

(21)

Найдем поведение реакции фильтра для времени / > г. В соответствии с ( 1 ) отклик фильтра на радиоимпульс будем искать как сумму реакции фильтра на включение и выключение радиоимпульсного сигнала. При этом аналогично [3] ВСПП отсутствует. В реакции избирательного фильтра остается сумма

свободных составляющих от включения и выключения сигнала. Нормирующий множитель остается тем же, т.е. равен йМ11ч (г).

Для нормируемой функции можем записать

+ (22)

Определим (?). Для этого в (?) введем новую переменную ?, = ? - т . Тогда возбуждающий сигнал запишется в форме

-^'"[K + ^'i+^jj1^) (23)

Vr, =V + <»„r,

Vi, =V/ + {ú)„ +2Q)r.

Определим комплексные амплитуды свободных составляющих как

Аналогично получению выражения (3) для изображения реакции фильтра при ? > г имеем

где

и*,(р) =

im psin у/Г| + он cos 1//Т{ р + 2а 2 С P2 + <¡>1 Р2 +2ар + о)р

¡m psintf/^ +(caH +2n)cosi//H p + 2a (24)

4 С

p2+ (ан + 2П}2 . P2 + 2ap + dp

где «вынужденные» полюса риг=±]а>,п ргА = = +][о)н - 2П), р^ь-±] (о)„ + 20), «свободные» полюса р78 = -а±уЧ-'

Поскольку для ? > г вынужденная составляющая отсутствует, переход в пространстве оригиналов для формулы (24) выполняем только для вычетов в «свободных» полюсах. При этом, как и выше, используется метод, упрощающий обратное преобразование Лапласа. После возвращения к исходной переменной ? = ?, + г аналогично (16) для Л^ (?) получим

".Ы., (О

После преобразований имеем

(25)

где mr = mre ' -К =argt/c„r(0),

рКч рХп

к„ =

t/„rl(°) = M°K

[(-а + >0) Sin ^ + а„ cos ^

2С

(а + УЧ)

í/„rl(o) = c/Mt¡(o)e^ =

Ocíj0) = uccj0)e^ =

L [(~а + i®0)sín ^ +(ч+2°)cos ^ ] (а+jo о) 4С а,0 + jo)0 f + (са„ + 2П)г ]

Через ортогональные составляющие нормированная функция

= + (26)

где

Рт (?) = mrea('"] cos[v(?-r) + rr]l(?-r),

RT (?) = т,еМм) sin [v(? - r) + Yz ]l(? - r), (27) yT=argmT .

В пространстве изображений для нормированной функции Na (?) и ее ортогональных составляющих из (25) имеем соотношения

р +а - jv

рЛр) = Щ--;-л-j-^-

(р + а) +v

RT(p) = mT

[(р + a )sinyr + veos ут]е pr (р + а)2 + v2

Подставляя в (22), (16) и (25), имеем пр ? > г для нормируемой функции Nt (?)

ilU' ^=СМ■ *(í)=^^+]1 -г)■

к,.„ =

3^(0) ' ~ (0)

Нормируемая функция для всей положительной полуоси времени Л^(?) может быть представлена соотношением.

Р^ОЧ) 1.5

1 0.6 о

-0.5

-л -1.6

^—

ч

0 1 2 3 4 5 6

-, -2 ----3,5--4,6

а(

Ща/) 1.6

0.5

/ . \ \ \\

А '/А у \ V ч ч \\ч

ДЕ(а/) 1.6

1 0.6 о

-0.5 -1 -1.5

- — .

^ ч _

2 3 4 5 С

----3--4 -5 —

5г°(а0 180

а?

90

-90

-180

*ч.

г __ х-.-: У

г _ -- ч. \ N ч. ч. ч ' ч

Ч, N

Рис. 1. Реакция избирательного фильтра на радиоимпульс с синусквадратной огибающей при длительности импульса при

Дш . До Да»

следующих параметрах фильтра и сигнала: О = 25. Ц) = 0; для ат, =2:1--- 0; 3--= — 1; 5--= 1.

а а а

Дш - Да» . Дш .

для ат, = 4:2--= 0;4--= -1;6--= 1.

а а а

= ЛГ(0[1(/)-1(/-г)]+ЛГт(/)1(/-г)1 ^(0=^(0.

Рассчитанные по полученным формулам графики зависимости от безразмерного времени ш ортогональных составляющих и модуля и аргумента итоговой нормированной функции для различных значений расстроек Дсо = -сор показаны на рис. 1.

Как следует из графиков, поведение (ш) и синфазной составляющей Рг(ог?) при симметричных расстройках практически совпадают. Для нулевой расстройки выбег фазы 5г (а/) имеется только на начальном участке. Соответственно квадратурная составляющая Яу (аг) имеет значение близкое к 0. Это объясняется плавностью колоколообразной огибающей и соответственно малым уровнем суммы свободных составляющих. Поэтому в фазовых радиоэлектронных системах, для которых выбег фазы сигнала ухудшает качество работы системы, целесообразно использовать радиоимпульс с синусквадратной или колокольной огибающей. Как видно из рисунка для симметричных расстроек, поведение квадратурной составляющей (а/) и смещение фазы & (ог/) имеют симметричный характер.

Рисунок приведен для реакции избирательного фильтра на радиоимпульсы длительностью ат = 2 и

ат = 4 . Как следует из рисунка, наблюдается смещение максимума реакции импульса в сторону запаздывания относительно длительностей возбуждающих сигналов.

Для времени, превышающего длительность возбуждающего сигнала, формирование реакции избирательного фильтра происходит за счет свободных составляющих.

Полученные расчетные соотношения позволяют исследовать реакцию избирательного фильтра при широкой вариации параметров сигнала и фильтров с точностью до фазы радиосигнала.

Библиографический список

1. Золотарев И.Д., Миллер Я.Э. Метод ортогональных составляющих в теории сигналов и систем, реализуемый в пространстве изображений // Радиолокация, навигация, связь: Труды IX межд. науч.-тех. конф. — Воронеж: Изд-во НПФ «САКВОЕЕ» ООО, 2003. -Т.1. - С.217-223.

2. Золотарев И.Д. О некоторых формулах, упрощающих выполнение обратного преобразования Лапласа// Изв. СО АН СССР, серия техн. наук. - 1964. - Вып. 3. - № 10. - С. 166-168.

3. Золотарев И.Д., Миллер Я.Э. Метод ортогональных составляющих при исследовании реакции фильтра на радиоимпульс с прямоугольной огибающей // Омский научный вестник. -№3(34). -2003. -С. 84-87,

ЗОЛОТАРЕВ Илья Давыдович, доктор технических наук, профессор, заведующий радиофизическим отделением кафедры «Экспериментальная физика и радиофизика».

МИЛЛЕР Яков Эммануилович, президент ЗАО «Академия МВФ».