Исследование основных краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

Пусть К - полупространство х$>0 трёхмерного евклидова пространства Еі точек л' = (хра'2,? о _ симметричная относительно плоскости Х3—О конечная область в ? ограниченная поверхностью Г,

э+ = е;па г+ = £3+ пг, ¿+ = £+иг\ £>; =е;\£>\ 5; =е;\и\

В данной работе доказывается существование единственного решения основных краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения

д2и д2и д

Тії = —=- + —г + х, —

дх{ дх2 дх2

хі

8ХЪ;

-° (і)

г\+ Г) +

в областях и и

В первом параграфе вводится понятие Т-гармонической функции. Во втором параграфе даются постановки основных краевых задач для уравнения (1) и доказывается единственность их решения. В третьем параграфе строятся потенциалы и изучаются их свойства.

В четвёртом параграфе основные краевые задачи для уравнения (1) редуцируются к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода и доказывается их однозначная разрешимость.

§1. Т-гармонические функции

1.1. Фундаментальное решение. Обозначим через {р ) множество п раз непрерывно дифференцируемых в & и стремящихся к нулю при х —> 0 функций.

Методом разделения переменных можно доказать, что любое ограниченное решение уравнения (1) в области ^ стремится к нулю при хг -> 0.

С помощью замены переменных по формулам =х„ 1 = 1,2, = 1л х} уравнение (1) сводится к уравнению Лапласа

д2и д2и дги _

а область & переходит в бесконечную область .

Если и- ф(£,,£2>£э) _ гармоническая функция в области (?, то функция и = ф (*,, хг, 1п ) будет решением уравнения (1) в области ^.

Известно [1], что функция

1

%

= 4к - пло-

щадь сферы единичного радиуса, ГЩ ~4и>) +(^2_^2о) + (^3 ^30 ) 5

является фундаментальным решением уравнения Лапласа (2) с особенностью в точке % 0

Возвращаясь к старым переменным получаем фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке *0 • Оно имеет вид

Ч*’*о) = 1

ИРхх0’

^2 2 X

(*“*») + (*2_*2о) +1П2— .

*30

Определение. Функция и(х) называется Т-гармонической функцией

в области & , если она удовлетворяет условиям:

a) и еС£ (£>*),

b) Ти = 0 в '

Множество всех Т-гармонических в , непрерывных в ГУ функций обозначим через г(/>+).

1.2. Формулы Грина. Для функций м,уеС02имеют место формулы

ли**** - н-к. о»

, .. сов^л.^,) ди СО&(п£г) ди , / , \ ди

где Л[и\ = —--------—+—£----------—+^3со8(я,^з)—- - конормаль к границе

ъз ^1 ъз °ъг

Г+ в точке

Л|[у7’и-мГу]хз'йЬ:= ||{уЛ[м]-«^[у]}^Г. ^

о* г

Формула (3) называется первой формулой Грина, формула (4) - второй формулой Грина для оператора Т.

1.3. Интегральное представление Т-гармонической функции. Для функции Ц*) е при Х0е£Г имеет место следующее инте-

гральное представление

“(•*<>)= я

г+

£.|рц,

А[и\-иА

І Рі;*0

(5)

§2. Основные краевые задачи и единственность их решения

2.1. Внутренняя задача типа Дирихле. Найти функцию и (-*), удовлетворяющую условиям:

иєГ(£>+); (6)

«1г=(рОО- (?)

Теорема 1. Внутренняя задача типа Дирихле не может иметь более одного решения.

2.2. Внешняя задача типа Дирихле. Найти функцию и(х), удовлетворяющую условиям:

меГ(Д+); (8)

« = 0^А:р1^ при |х| —> оо; (9)

и|г=у(£). (10)

Теорема 2. Внешняя задача типа Дирихле не может иметь более одного решения.

2.3. Внутренняя задача типа Неймана. Найти функцию и (х), удовлетворяющую условиям:

«(х)еГ(^)пС'(^); (11)

ди

дп*

= 8&)-

г+

(12)

Теорема 3. Внутренняя задача типа Неймана не может иметь более одного решения.

2.4. Внешняя задача типа Неймана. Найти функцию н(*), удовлетворяющую условиям:

и{х)ет(б;)пс'(6;)-.

и =о||.г] ' І

при \х\—>оо;

(13)

(14)

ди

дп.

=/Р0-

г+

Теорема 4. Внешняя задача типа Неймана не может иметь более одного решения.

§3. Т-гармонические потенциалы гина простого и двойного слоёв и их свойства

3.1. Т-гармонические потенциалы. Полагая в формуле (5) х0 = х, А[и\ = |д(£), -и-и(^), получаем

и(х)= Дй(^)|-у—£/Г+

Г+ 1-^11 г+

1^11 Р$->

¿Г.

Отсюда следует, что любая Т-гармоническая функция в области может быть представлена в виде суммы двух интегральных операторов вида:

¿/г.

(16)

Интегральный оператор у(*) называется потенциалом типа простого слоя с плотностью и (^) и ядром т=гг—, а интегральный оператор ™(х)

- потенциалом типа двойного слоя с плотностью и (£) и ядром А

[%К\-

3.2. Аналог формулы Гаусса. Если граница Г области Б является поверхностью Ляпунова, то имеет место аналог формулы Гаусса

ПА 1

!Г г _|^і|ри _

(I Г =

^0 ^ ^ > 1 Т~.

^, х0 6 Г , 0, х0еО+.

3.3. Формулы скачка для потенциала типа двойного слоя. Нетрудно доказать, что потенциал типа двойного слоя в некоторой точке , лежащей на поверхности Г+, является разрывной функцией, для которой имеет место предельные соотношения

^(^о) = м,(^о)-^(40), и^($0) = Ц£0)+^и(£0), (18)

где мв (£о) - предельное значение потенциала типа двойного слоя при подходе к точке с внутренней стороны, щ (§0) - предельное значение с наружной стороны поверхности, а - прямое значение потенциала типа двойного слоя.

3.4. Формулы скачка для конормальной производной потенциала типа простого слоя. В отличие от потенциала типа двойного слоя потенциал типа простого слоя (16) непрерывен в точках поверхности Гь.

Исследуя разрывы внутренней конормальной производной потенциала типа простого слоя в точке 6 , получаем следующие предель-

ные соотношения

Исследование разрывов внешней конормальной производной приводит нас к следующим предельным соотношениям

§4. Редукция основных краевых задач к интегральному уравнению

Фредгольма второго рода

Сведём основные краевые задачи к интегральным уравнениям Фред-гольма второго рода.

Решение внутренней задачи типа Дирихле (6) - (7) будем искать в виде потенциала типа двойного слоя (17).

При любом выборе и(%) функция ™(х) удовлетворяет уравнению Лапласа внутри Г\ Функция ™(х) разрывна на Г+. Для выполнения граничного условия, очевидно, надо, чтобы (£,0) = Ф (40).

Принимая во внимание формулы (18), получаем уравнение для определения функции о(^ )

Уравнение (19) называется интегральным уравнением внутренней задачи типа Дирихле.

Для внешней задачи типа Дирихле (8) - (10) получается аналогичное уравнение

(19)

(20)

Уравнение (20) называется интегральным уравнением внешней задачи типа Дирихле.

Каждое из уравнений (19), (20) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода с квазирегулярным ядром.

Для второй краевой задачи получаются уравнения

“»*(%>)+

1

Ё'1р«п

<П' = 8($0),

(21)

(22)

если её решение искать в виде потенциала типа простого слоя (16).

Уравнение (21) называется интегральным уравнением внутренней задачи типа Неймана (11) - (12), уравнение (22) - интегральным уравнением внешней задачи типа Неймана (13) - (15).

Каждое из этих интегральных уравнений является интегральным уравнением Фредгольма второго рода с квазирегулярным ядром.

Уравнения (19) и (22), а также уравнения (20) и (21) попарно сопряженные. Докажем, что интегральное уравнение (22), соответствующее внешней задаче типа Неймана, разрешимо и притом единственным образом. С этой целью рассмотрим однородное интегральное уравнение

1

¿Г = 0.

(23)

Пусть (10 - какое-нибудь ненулевое решение этого уравнения и эта функция непрерывна на Г+. Тогда потенциал типа простого слоя

1

¿Г

имеет конормальную производную извне Г+, а равенство (23) означает, что эта конормальная производная равна нулю

Лро(*)]е*0. (24)

Г1о теореме единственности для внешней задачи типа Неймана

*

У0 (*) = 0, х е £>с+. (25)

Так как потенциал типа простого слоя является непрерывной функцией во всем пространстве, то на Г+.

Кв(*)«0. (26)

Рассмотрим потенциал К (*) в области 0~. В этой области функция К0 (*) Т-гармонична, и согласно соотношению (26), обращается в нуль на фанице области. По теореме единственности для внутренней задачи типа Дирихле

К (х) = 0, хеВ+. (27)

Но тогда 4и.(х)>0 в Б+. Сопоставляя (27) с (24) получим, что

Но(*)30.

Однородное интегральное уравнение (23) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение внешней задачи типа Неймана (22) разрешимо, и притом единственным обра-

зом, для любой непрерывной функции /(£„ ).

Литература

[1] Мухлисов Ф. Г., Нигмедзянова А. М. Об основных свойствах решения одного вырождающегося эллиптического уравнения. // Ма-тем. моделирование и краевые задачи. Тр. 12-й межвуз. конф. Ч. 3. Самара; 2002. С. 103 - 106.