Решение краевых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения с отрицательным параметром методом потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ф.Г.Мухлисов, Г.З.Хабибуллина

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ МЕТОДОМ ПОТЕНЦИАЛОВ

Пусть * - полупространство и трехмерного евклидова простран-

постоянные.

В данной работе доказывается существование единственного решения основных краевых задач для уравнения (1). В первом параграфе выводятся

представление решения уравнения (1) и доказывается теорема о принципе экстремума. В третьем параграфе дается постановка краевых задач для уравнения (1) и доказывается единственность их решения. В четвертом параграфе вводятся потенциалы типа простого и двойного слоев для уравнения (1) и изучаются их свойства. В пятом параграфе основные краевые задачи для уравнения (1) редуцируются к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. В шестом параграфе доказывается однозначная разрешимость интегральных уравнений.

ства точек -1,1, - симметричная относительно

плоскости = и конечная область в Ьй, ограниченная поверхностью ^ . Обозначим через О и - части соответственно ^ и , расположенные в полупространстве \ V Г"].

В У,; рассмотрим уравнение

где

формулы Грина для оператора : . Во втором параграфе дается интегральное

§1.Формулы Грина

С помощью замены переменных по формулам

приводим уравнение (1) к виду

При это бесконечную область ^ , поверх-

ность - в бесконечную поверхность .

(2)

Ясно, что если и = !■ с, ) - решение уравнения (2) в области ,

“ будет решением уравнения (1) в области л 4 .

то функция

и = <р

Известно, что любое ограниченное решение уравнения (1) при экспотенциально стремится к нулю. Поэтому если г* 1г) - ограниченное

решение уравнения (1) в области Л , то при ■ ] и и „ , 1 .

Обозначим через | множество функций и I ) , удовлетворяющих

условиям:

1) ’■ ■■■ !"’>г*',

2) при ^ - .

Для функций ■! > , С1;! '1. Г+; имеют место формулы

||| Ах + |Д I

[Г Й* I-

Г Зу ди

[дх1 дхг

ди 1ш д\> ди

+--------------+ х,------------------+ Лиу

дХ} дХ} дх^ ЗдГ|

х, Ах ■■

(3)

где ч -= _ - конормальнаяпроизвод-

У] гч+

ная, - внешняя нормаль к поверхности , и

||[ г.\Ц ; ! / | " (4)

в* г*

Формула (3) называется первой формулой Грина, формула (4) - второй формулой Грина для оператора V .

Если (3) имеем

и = V „и

и ' - решение уравнения (1) в области и- , то из формулы

Если и - решения уравнения (1), то

иНи]-илИ^г<г+ = о.

г*

§2. Интегральное представление решения. Принцип экстремума

Известно [1], что фундаментальное решение уравнения (2) с особенностью в точке :: имеет вид

Возвращаясь к старым переменным, получаем фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью в точке : . Оно имеет вид

- (5)

К*» *і)=

4* А=

где

Нетрудно доказать, что для функции при :

для

имеет место следующее интегральное представление

фй) = 1] (6)

г*

Теорема 1. (Принцип экстремума). Если функция іЛ:)- г\ сх(г>+)

является решением уравнения (1) в области г * , то она не может достигать во внутренних точках области " и на іс положительных максимальных и отрицательных минимальных значений.

§3. Постановка краевых задач типа Дирихле и Неймана и единственность их решения

Внутренняя задача типа Дирихле. Найти функцию ; ^ !, удовлетворяющую условиям:

(7)

ч- і ! , ^ -- -1'; (8)

:ф = ,^Ь -Ь (9)

где Л"! - множество функций и(х), непрерывных на Г+ и и = при

Теорема 2. Внутренняя задача типа Дирихле не может иметь более одного решения.

Внешняя задача типа Дирихле. Найти функцию ^ і, удовлетворяю-

щую условиям:

•ф)е

Ати = 0 ,

^ = оф при л- ос ,

■Л.. ^ = -\Г).

(10)

(11)

(12)

(13)

Теорема 3. Внешняя задача типа Дирихле не может иметь более одного решения.

Внутренняя задача типа Неймана. Найти функцию !.г •, удовлетворяю-

щую условиям:

; (14)

! , г€^; (15)

--■, §^с5Н. (16)

Теорема 4. Внутренняя задача типа Неймана не может иметь более одного решения.

Внешняя задача типа Неймана. Найти функцию -! і, удовлетворяющую условиям:

(17)

-М = 0 , 1- ; (18)

у при ].л( го ; (19)

^4' -/^, ^ ! ^ /^с;Н. (20)

Теорема 5. Внешняя задача типа Неймана не может иметь более одного

решения.

§4. Потенциалы типа простого и двойного слоев и их свойства

Полагая в формуле (6) х. = х , ф (= , - и = , получаем

.л 'УгчУ' .

г* г*

Отсюда следует, что решение ’ ! ' уравнения (1) в области 1 ' может быть представлена в виде суммы двух интегральных операторов вида:

У1 (21)

>•■■40 0/-.*^'* (22)

Г*

Интегральный оператор У{х) называется потенциалом типа простого слоя с плотностью а интегральный оператор IV (х) - потенциалом типа

двойного слоя с плотностью Ь і; .

Представляя показательную функцию "***• в виде степенного ряда

^ ^ ,

1! 2! 3! ' и!

фундаментальное решение (5) уравнения (1) представим в виде

1 1 . *Рт. . . , ,» 1 1

г(х,х0) =

Рг>

-А + -

2!

3!

+ ИГ

и!

Рк

-+ ул

где ' ! ! - непрерывная функция в полупространстве . Поэтому ядра по-

тенциалов У{х) и Ю[х) имеют такие же особенности, что для уравнения

д'и д\ „

—у+—у +

дх1 Эх,

О '

В силу известных результатов [2] имеет место следующие теоремы. Теорема 6. Если У - поверхность Ляпунова образует с плоскостью ■',1 = и прямой угол и ^ е С„ то потенциал типа простого слоя (21)

принадлежит | ] и ;,!,), и справедливы следующие предельные

соотношения

(23)

у,. = ’

■4пч'1 = - —^4пY!],

(24)

(25)

где лИ*.)1, 4уМ1 - означают соответствующие предельные значения ко-нормальной производной потенциала типа простого слоя при стремлении точки к точке ': изнутри и извне , а и р— I - прямые значения

соответственно потенциала типа простого слоя и его конормальной производной.

Теорема 7. Если 1 - поверхность Ляпунова образует с плоскостью

т = !-! прямой угол и ■, т то потенциал типа двойного слоя (22)

принадлежит ’ / и его предельные значения на Г+ изнутри и из-

вне ^ выражаются формулами

(26)

2

. Фа)

(27)

где и ' ’с - означают соответствующие предельные значения потен-

циалов типа двойного слоя в точке ,, € I при стремлении точки к точке

з изнутри и извне _ , а -тур— - прямое значение потенциала типа двойного

слоя.

§5. Редукция задач типа Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода

Решение внутренней задачи типа Дирихле (7) - (9) будем искать в виде потенциала типа двойного слоя

Я' !. .! 1 (28)

Г*

Функция , определяемая формулой (28), удовлетворяет условиям (7),

(8) внутренней задачи типа Дирихле. Неизвестную плотность найдем из требования, чтобы функция (28) удовлетворяла граничному условию | „ = ф- ). С этой целью подставим ее в это граничное условие. В результате

с учетом формулы (26) получаем:

1ш1 ы(х) = + [Г[е{£х)]£“а?Г+ - у{х0) .

г*

Заменяя з на , получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода для неизвестной плотности ' 1

- ".I- .

г*

Используя формулы (24), (25) и (27) для предельных значений, а также граничные условия внутренней и внешней задач типа Дирихле и Неймана, получим интегральные уравнения для трех остальных задач. Для удобства выпишем все четыре уравнения вместе:

• ' —(29)

Г*

м-:)+ л-', (30)

Г*

. --Я (31)

Г*

^ . (32)

г

Здесь 4 - производная по конормали к Г+ в точке ■- : ', а \ -производная по конормали к в точке .

Отметим следующие свойства интегральных уравнений (29)-(32):

1) уравнения (29)-(32) - интегральные уравнения со слабой особенностью. .

2) ядра 4к(М] и получаются одно из другого перестанов-

кой точек и . Так как эти ядра являются вещественными, то они сопряженные. Отсюда следует, что уравнения (29) и (32), а также уравнения (30) и (31) - попарно сопряженные. Для интегральных уравнений (29)-(32) справедливы теоремы Фредгольма.

§6. Исследование интегральных уравнений

Исследуем первую пару сопряженных интегральных уравнений (29) и (32). Докажем, что эти интегральные уравнения, соответствующие внутренней задаче типа Дирихле и внешней задаче типа Неймана, разрешимы, и притом единственным образом, при любых функциях 1 и т из класса

,1т !. С этой целью рассмотрим однородное интегральное уравнение внешней задачи типа Неймана

= (33)

г*

Пусть / в - какое-нибудь ненулевое решение этого уравнения. Построим потенциал типа простого слоя с плотностью п'

■с!-.. Я- ' ■ ■ >‘г" .

Эта функция удовлетворяет условиям (17) - (19) внешней задачи типа Неймана и граничному условию

АУСУ,\... (34)

По теореме единственности для внешней задачи типа Неймана

г.(*)-о. х€1?;.

Так как потенциал типа простого слоя является непрерывной функцией в полупространстве : , , то на

Рассмотрим потенциал ; в области I . В этой области функция ■ 1 удовлетворяет условиям (7), (8) внутренней задачи типа Дирихле и граничному условию

■4';. - .

По теореме единственности для внутренней задачи типа Дирихле

Г.(х)-0. Х€п+.

Но тогда

А7АФ^, -:-*. (35)

Сопоставляя (35) с (34) и воспользовавшись формулой (25), получим, что ^;.

Итак, однородное интегральное уравнение (33) имеет только тривиальное решение. В силу альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (32) внешней задачи типа Неймана разрешимо, и притом единственным образом, для любой функции / (“) « С и . Таким образом, значение параметра - 2 -

правильное для ядра по известной теореме Фредгольма оно

правильное и для сопряженного ядра 4 И- т.

Из третьей теоремы Фредгольма для сопряженного ядра следует, что интегральное уравнение внутренней задачи типа Дирихле (29) разрешимо, и притом единственным образом, для любой функции *■(/) е С, |~").

Если интегральные уравнения внутренней задачи типа Дирихле и внешней задачи типа Неймана разрешимы, то разрешимы сами задачи. Это приводит к следующим теоремам:

Теорема 8. Если ! ‘ - поверхность Ляпунова и образует с плоскостью I = -• прямой угол, то внутренняя задача типа Дирихле для этой поверхности разрешима при любых функциях дф) с С. ,н , и решение можно представить

в виде потенциала типа двойного слоя.

Теорема 9. Если ! ‘ - поверхность Ляпунова и образует с плоскостью Ь = прямой угол, то внешняя задача типа Неймана для этой поверхности разрешима при любых функциях , ( ') - I ь ('*'., и решение можно представить

в виде потенциала типа простого слоя.

Исследование второй пары сопряженных уравнений (30) и (31) проводится аналогично и приводит к следующим теоремам:

Теорема 10. Если ' 1 - поверхность Ляпунова и образует с плоскостью *) -' прямой угол, то внешняя задача типа Дирихле для этой поверхности разрешима при любых функциях ^ т у сч (г"), и решение можно представить

в виде потенциала типа двойного слоя.

Теорема 11. Если 1 * - поверхность Ляпунова и образует с плоскостью т = !-! прямой угол, то внутренняя задача типа Неймана для этой поверхности разрешима при любых функциях § г | е _|Т,+|, и решение можно представить в виде потенциала типа простого слоя.

Литература

[1] А.В. Бицадзе. Уравнения математической физики. М.1976.

[2] Г.З. Хабибуллина. О потенциалах для одного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода // Матем. моделирование и краевые задачи. Тр. всероссийской научной конф. Ч.3. 2004. С.223-225.