CC BY
4
обстоятельство в аспекте существующих и постоянно расширяющихся вычислительных мощностей современных ЭВМ представляется не столь существенным
Список использованных источников
1. Разработать универсальную систему математических моделей, алгоритмов программ и макропроектов технологических машин для технологических пооцессов изготовления фасонных деталей и инструментов Отчет о НИР (заключительный) / ВГТУ Рук. В С. Мисевич, Д. Н. Свирский: №ГР200'1524 — Витебск. 2005,— 385 с.
2. САПР.
3 Типовые методы геометрического моделирования объектов проектирования Рекомендации Р50-34-87. — Москва : Изд-во стандартов, 1988.— 111 с.
SUMMARY
The offered approach to modelling of the vectonally complex details forms creation is oaseo on a discrete representation of the configurations of both a detail and the tool. Thus an interact on ot the tool with a blank (detail) in machining process is represented as the interaction of two tensors which elements model the foim of the blank (detail) and the tool. The g *en aoproach has the high universality flexibility and good ability for algorithmic presentation.
УДК 534.1+534-8
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ШАРИКА, УДАРЯЮЩЕГОСЯ О ВИБРИРУЮЩУЮ ПЛАТФОРМУ
В.Н. Сакевич, С.Л. Скрипленок
Расчет периодических движений вибротранспортных устройств приводит к оассмотрению динамической модели, воспроизводящей в поле сил тяжести дьижение тяжелого шарика ударяющегося о вибрирующую платформу, которая движется по гармоническому закону г=асоз^иЛ+ф), где а.ыиф - амплитуда, частота и фаза соответственно (рисунок 1). Наличие нескольких периодических решений при заданных значениях параметров - общее свойство всех виброударных систем Также следует отметить, что в виброударных системах линейных в промежутках между соударениями при гармоническом возбуждении возможны режимы различных кратностей по два для каждого значения кратности при одних и тех же параметрах системы [1]. В связи с многорежимностью в виброударной системе важной задачей является определение областей притяжения стационарных режимов движения в фазовом пространстве с учетом возможных изменений параметров системы.
О ■
-mg
Рисунок 1 - Динамическая модель вибротранспортного Z-acOS(Out-Kp) устройства
I
у8 вестник УО ВПУ
В настоящей работе методом точечных отооражений [2,3] для выше описанной системы строятся области притяжения возможных стационарных режимов т.е. области начальных условий движения, из которых система будет стремиться пои наличии диссипации к определенному типу ударного режима движения исследуется топология этих областей и спектральные харак-еристики режимов движения при изменении параметров
Уравнения движения рассматриваемой системы на интервале между соударениями имеют вид.
X = Хп +
1
Д = AM cos (г + г0)
(1)
где введены следующие безразмерные величины
т cot, х - си tjg, Д = со I/g, AM = аса' /g
Удар шарика о платфоому считается мгновенным и описывается уравнением:
v - Д = -R(u - Д) (2)
где и и V - скорость шарика до и после соударения с платформой
соответственно. R- коэффициент восстановления, Д- скорость платформы в момент удара.
Анализ большого числа решений в нелинейных неавтономных колебательных системах показал что основные нелинейные эффекты в этих системах это проявление внутренних колебательных свойств системы т.е. свободных колебаний [2]. Поэтому можно на основе анализа свободных колебаний системы и паиаметров вынуждающей силы поедсказать проявление тех ипи иных нелинейных эффектов.
Рассмотрим свободные колебания шарика находящегося в поле сил тяжести и соударяющегося абсолютно упруго с неподвижной платформой. Уравнениями движения такой системы являются уравнения цГ
Найдем скелетную кривую свободных колебаний шарика. Пои 0: X - и \ If В этом случае первое уравнение (1) примет вид
/ 1 2 х = с/--г
2
(3)
Можно считать, что свободные колебания шарика имеют период к где к = 1,
?, 3 При Т — як СО из уравнения (3) получим скепетную кривую для свободных колебаний шарика соударяющегося с неподвижной плоскостью:
1
(4)
d = - (як / со)
Из выражения (4) зная (О , можно оценить возможные номера субгармонических колебаний в системе Отметим что большему номеру субгармоники соответствует большая потенциальная энергия т.е. высота а
При субгармонических колебаниях в системе возникают квазисвободные колебания поддерживаемые внешней силой частота которой в целое число раз больше част оты свободных колебаний
Постооение областей притяжения производится по методу точечных
X АМ=0.5;К=1
Г а
.
и! ^Аич,.
> ч- •
ш? , г-
-.„ол
ю!
Рисунок 2 - 2а - Плоскость точечного отооражения 1 - области притяжения первой субгармоьики; 2 - области притяжения второй субгармоники' 3- области притяжения третьей суб-гармоники 26 - структура спектра
отобоажений на стробоскопической плоскости с помощью специальной программы в виде т-файлов в системе МАТ1_АВ. При этом исследования осуществляются в основном для недиссипативной системы (К-1), так как инвариантные кривые точечного отображения в этом случае как правило замкнуты, что облегчает построение областей притяжения.
Спектры строятся по уравнениям (1) следующим образом: задается количество ударов шарика и подсчитывается время между ударами, а затем массив данных со временами обрабатывается и строится гистограмма в координатах - время между ударами и количество ударов попадающих в данный временной интервал. В результате анализа спектров установили что для получения спектра стационарных режимов достаточно 20 ударов. Все спектры приведенные в данной работе построены при 200 ударах и более. Начальные условия для пеового удар? при различных параметрах колебательной системы во всех экспериментах фиксиоованы.
V
А*=«5 0Д>«0 Ют«.; Я*1
С
О
-о
ОХ«
■ У/Ш.
17 1й 19 23 21
J 1С 20 30 40 50
17 10 19 20 21
Рисунок 3 - Структура плоскости точечного отображения и спектра при начальных условиях, соответствующих третьей субгармонике, а - без диссипации: б - при наличии
ударной диссипации
Топология плоскости точечного отображения представлена на рисунке 2а при АМ = 0,5 г0 = 0 а на рисунке 26 - структура спектра.
Рисунок 4 - Структура плоскости точечного отображения: в увеличенном виде область 3 рисунка 36
На оисунке За приведены области притяжения третьей субгармоники и соответствующий спектр стационарных режимов движения, а на рисунке 36 тоже, но при наличии в системе ударной диссипации. На рисунке 4 представлена часть области притяжения в увеличенном виде, которая выделена на рисунке 36 цифрой 3. Рисунки 36 и 4 наглядно демонстрируют, как при наличии диссипации с каждым ударом система стремится к устойчивому стационарному режиму, а именно третьей субгармонике. На рисунке 5 представлено изменение топологии пространства точечных отображений при начальных условиях, соответствующих третьей субгармонике при изменении амплитуды колебаний платформы. Как видно из оисунков 3 и 5 области существования субгармоники чувствительны к изменению амплитуды колебаний платформы и диссипации в системе Для поддержания заданного режима при увеличении диссипации требуется увеличение амплитуды колебаний платформы.
» Ю 15 20 23
О 10 20 30 «о
Й.З •• <• I
Рисунок 5 - Структура плоскости точечного отображения и спектров при различных амплитудах копебаний платформы при начальных условиях соответствующих третьей субгармонике
На рисунке 6 покаоано влияние начальных условий движения иа структуру спектра и области притяжения Как видно из рисунка 6 начальные условия существенно влияют на последующие режимы движения шарика. Следует отметить что топология областей притяжения такова что при наличии диссипации в системе отсутствуют области поитяжения стохастических оежимов
к-
Ш'1 ОХИ2
0*4 Л в-« 44
7•;,'.«•. .•
1 . Г*
' / ',« * ' .. У
I,I
НИШИ 2
<ЗГ=-0 1,Я=0 98
у)'/ . • . чв..?
¡г!»
п ^ -
О »0 » 30 40
о го м «а до 100
., ■ АМ= I; ЗХ=1 Ъ
2;Р=и98
• [
— ' ->-«*-' • •А-
9
5 10 15 20
10 20 30 40
5 10 15
АМ=" рХ=1С. оу=0;Я=а 8Р
У:'..
. .-Г ' * '
Ы1*'- '
г* ' Г" '..
50 10О 150 .>00
Рисунок 6 - Влияние начальных услови на параметры спектра и области притяжения. ОХ - координата; <ЭУ -скорость
1-Д ^ , ,
"О 10 20 30 40
В заключение отметим что разработана программа, позволяющая моделировать стационарные режимы и сгроить спектральные характеристики движения тяжелого шарика, находящегося в поле сил тяжести и ударяющегося о вибрирующую платформу которая движется по гармоническому закону.
20
40
82
Вестник У О ВГТУ
Список использованных источников
1. Кобринский А.Е., Кобринский А.А. Виброударные системы. - М.: Наука, 1973. - 592 с
? Закржевский М.В. Колебания существенно-нелинейных механических систем. - Рига Зинатне, I980. - 190 с.
3. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. - М : Наука 1972.- 472 с.
SUMMARY
in worK the model reproducing movement in a field of gravities of a heavy ball, bumped about vibrating a platform which goes under the harmonious law is consiaeied. The method of point mapping investigates topology of areas of an attraction and spectral characteristics of steady-state regimes of movement at change of oarameters.
