CC BY
42
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № 5 (1), с. 185-192
УДК 534.014
К ТЕОРИИ ВИБРОУДАРНОЙ СИСТЕМЫ С КРИВОШИПНО-ШАТУННЫМ
ВОЗБУДИТЕЛЕМ КОЛЕБАНИЙ
© 2010 г. В.С. Метрикин 1, И.В. Никифорова 2
1 НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
tsii@list.ru
Поступила в редакцию 29.06.2010
Приведены результаты численно-аналитического исследования динамики виброударного механизма с кривошипно-шатунным возбудителем колебаний. Представленные бифуркационные диаграммы и области устойчивости позволили выявить основные закономерности перестроек режимов движения при изменении параметров механизма.
Ключевые слова: метод точечных отображений, устойчивость, бифуркационная диаграмма, коэффициент восстановления скорости при ударе.
В изобретении [1] представлена новая, по сравнению с известными дебалансными [2, 3], схема виброударного механизма с кривошипно-шатунным возбудителем колебаний для уплотнения грунта в стесненных условиях производства. Появление в схемах нескольких поршней-ударников позволит более эффективно производить уплотнение грунтов [1], а небольшие геометрические размеры - применять механизм в сложных условиях. В работах [4, 5] приведена математическая модель виброударного механизма с кривошипношатунным возбудителем колебаний, рассмотрена структура фазового пространства, указаны общие формулы для отыскания простейших периодических движений. Однако до сих пор остается открытым вопрос зависимости областей существования устойчивых периодических и более сложных режимов движения от параметров механизма.
Уравнения движения
На рис. 1 а приведена схема двухпоршневого механизма, состоящая из корпуса - 1, маховика - 2, кривошипов с регулируемыми эксцентриситетами г - 3, шатунов (длиной /), имеющих стационарный сдвиг фаз ф0, - 4, поршней-ударников - 5, неподвижного ограничителя - 6, эксцентрикового вала - 7, направляющей гильзы - 8, направляющей штанги корпуса - 9, наковальни - 10.
Обозначая через х координату центра масс корпуса, получим (см. рис. 1б)
xp1 = x - sj + r1 cos at -y¡/j2 - rj sin2 at , (1)
xp2 = x - S2 + r cos(rat - ф) -
Г2 2 . 2 (2)
-Vh - r2 sin (rat -ф) j
где l2 = /[ + Al, Sj, s2 - расстояние от точки крепления соответствующего шатуна до осно-
2п
вания поршня-ударника, ю =-циклическая
n
частота вращения маховика, n - число оборотов в единицу времени. Вводя безразмерные
хстар s2 1
время т = at, координату x =-------------------, па-
А
Г Г2 g s - S2
раметры ц=—, y = —, p = ° , є = —1-2,
11 r1 Ю lx I!
Al hx h2
П=—, k1 =—, k2 =— и учитывая, что
li A A
rj << lj, r2 << l2, запишем уравнения движения механизма в виде d 2 x
— = -p (x > f(T)), (3)
dx 2
= - Rd
dx
+ (1 + R) (x = f (T)) , (4)
dx
dx dx где
f (t) = max(/j (x), f2 (x)),
/х(т) = кх + 8-ЦС08 т,
/2 (т) = кх + Ак + п- ЦУ С08(т - ф),
Я - коэффициент восстановления скорости после удара. Следует отметить, что по сравнению с
Т
работами [4, 5] в рассматриваемой математической модели присутствуют два новых параметра к1, к2, отражающих тот факт, что каждый из поршней-ударников имеет свою наковальню, каждая из которых имеет свои высоты.
Описание структуры фазового пространства
Фазовое пространство системы Ф( х > /(Т), х < +да ) в координатах х, х, т усечено по х. Поверхность 8 (х = /(т)) представляет собой «гофрированную» цилиндрическую поверхность, образованную пересечением двух поверхностей х = /{(т), х = /2 (т). Все фазовые траектории располагаются либо на поверхности 8, либо выше ее. Случай х > /(т) соответствует свободному движению механизма, а х = /(т) - ударному взаимодействию одного из поршней с ограничителем (шаботом). Качественный вид фазовых траекторий приведен на рис. 2.
В случае ударных движений системы при Я Ф 0 изображающая точка движется в фазовом пространстве Ф следующим образом: перемещаясь в области О(х > /(т)), она попадает на
поверхность 8 в некоторую точку М0 (т0, х0 = = /(т0), .¿0), затем мгновенно перемещается по поверхности 8 в некоторую точку
M,
т0 > х0 = /(т0 X xo =-Rx0 + (1 + R)■
/
dx
mr
fí \ ■+ df To > xo = f(To), xo = — dx
и затем, если ускорение
d 2f
dx2
T0 )
меньше
уходит в область G, если же
d2 f
dx
- р, то изображающая точка движется по поверхности 8 до момента т = тв, либо пока вы-
d2f
> -р , либо до
полняется соотношение
момента удара следующего поршня. Описанный выше класс траекторий соответствует длительной остановке одного из поршней либо последовательному «топтанию» поршней. Следует отметить, что указанный на рис. 2 вид поверхности 8 сохраняется лишь в случае пересечения (т) и /2 (т), соответствующего ударным движениям обоих поршней. Однако ясно, что ударные движения механизма возможны и при ударах одного из поршней. Тогда поверхность 8 будет представлять собой аналитическую цилиндрическую поверхность, уравнение которой X = ^ (т) либо х = /2 (т) . Поверхность
покинув 8, движется согласно уравнениям (3) в О до тех пор, пока вновь не попадет на поверхность 8 в некоторую точку М1(т1, Хі = = f (т!), х&1). Таким образом, изображающая точка каждый раз будет попадать на поверхность 8.
В случае абсолютно неупругого удара (Я = 0) изображающая точка, попав из области О на поверхность 8 в точку М0, мгновенно перемещается в точку
(г-Ак -п) = ^7(1 - У С08Ф)2 + У2 2 Ф , выде-
ляющая в пространстве параметров области неаналитичности 8, представлена на рис. 3 (заштрихованная часть плоскости) при различных значениях угла ф . Только в этих областях возможны движения механизма с ударами обоих поршней-ударников.
Сведение исследования динамики к изучению точечного преобразования
Исследование динамики механизма, описываемого дифференциальными уравнениями (3), (4), проведено с помощью метода точечного преобразования [2, 3] поверхности 8 в себя.
Пусть
М0 (т = Т0, х0 = ^ (т0), X = Х0 ) € ^ (х = (т)),
М1(х = х1,х = /2 (т!), X = х^ е 52 (х = /2 (т)), м2 (Т = Т2, X = (т2 ), X = х2 ) е , тогда точечное
преобразование Т точек М0 ^ М1 ^ М2 за-
пишется в виде
П + Ak - цу cos(x1 - ф) = - p
(т1 -т 0 ) 2
(5)
+ х0 (т1 -т0 ) + Е-Ц cos т0 ,
X = R(Р(т 1 -т0 )- хо) + (1 + R)W sin(T! -ф), (6) (т 2 — T) 2
Є-Ц COS т 2 --р---------------------------------2-+ (7)
+ xj(т2 -Tj) + п + Ак -цуcos(xj -ф),
Х2 = R(.Р(т2-Т1) -Х1) + (1 + R)M-sinТ2• больше При этом должны выполняться соотношения
т=т0
т=т
в
+
т
e-Ak - п- Ц cos хо - -ЦУ cos(xo - ф), -цу cos(x1 -ф) - e-Ak — п — Ц cos т1; e-Ak — п — ЦcosТ2 - -цуcos(t2 -ф), х(т)- f(т) для То <т<т2.
Устойчивость неподвижной точки определяется, как известно [2], величиной корня харак-(9) теристического уравнения х(2) = 0 , который в нашем случае имеет вид 2
х(2) = Ь11Ь222 + (а11Ь22 + а22Ь11 - а21Ь12 )2 +
Условия существования и устойчивости неподвижных точек, соответствующих периодическим двухударным режимам движения
Уравнения для нахождения неподвижных точек преобразования Т, соответствующих двухударным (с поочередными ударами каждым поршнем-ударником) периодическим движениям (основной режим), получаются путем добавления к (5) - (8) условий периодичности
[3]
x2 = x0 = x Т2 =Т 0 + nT0 • (10) Тогда уравнения для определения координат неподвижной точки запишутся в виде Xj = R(p£, - X) + (1 + R)^y sin(x0 + a),
-цу cos(x 0 +a) =
=----^ +^ x + e— Ak — n—Ц cos t 0,
2 . (11) x = R(p(2nn — ^) — Xj) + (1 + R)^ sin t0 , p2 e —n —Ak — ц cos t0 = ——(2nn — £) +
+ (2nn — ^) Xj — цу cos(t 0 + a)
(а = ^-Ф, ^ = T! -To).
Или после некоторых преобразований (11) перепишем следующим образом
J(Ad - ЬБ)2 + (Ac - Ba)2
Ц =----------й-й---------------, ГдЄ
a = (1 - R)(1 - у cosa) + Ry^sin a, b = t(1 - Ry cos a) - (1 - R)y sin a, c = (1 - R)(1 - y cos a) + (2nn - <^)ysin a, d = (2nn - t)(R - ycos a) - (1 - R) y sin a,
A = (1 - r)(e - Ak - n) +
Pt
2nnR -^ (1 + R)2 (1 + R) V 2 '
B = (1 - R)(e - Ak - n) +
+ p(2%n -'Q / - ^)(i + r2) - 2r^)
2(1 + R)
При этом неравенства (9) перепишутся
г-Ak - n ^
(1 - у cos ф)(Ad - Bb) - y sin ф(Ac - Ba)
г-Ak - n ^
ad - bc (cos 2,-y cos a)( Ad - Bb)
(12)
ad - bc (sin 2,-y sin a)( Ac - Ba)
ad - bc
+ ana22 - a12a21-
В (13)введены обозначения
a11 = R(1 + Л)цу cos(x0 +a) + R 2
+ Rp + — (x - цу sin(To + a)),
%
a12 =----(ц sin t 0 - X),
(13)
"*21
R
= (2nn -%)—(x -цу sin(x 0 +a)) +
+ (2nn - £,)(1 + Я)цу cos(x 0 + a) +
+ (2nn - %)p - X1 + цу sin(x0 + a),
R
a22 = (2nn -§) — (Ц Sin T 0 - *):
§
bii = tCp§ - * + Wsin(To + a))
§
b12 = T(X - Р§-Ц Sin T 0 ) - (RP + (1 + —)Ц C0S T0 X
§
b22 = X1 - (2nn-§) p-ц sin T 0.
Результаты численных экспериментов
В связи с тем, что исследование сложных периодических и стохастических режимов движения в аналитическом виде представляет собой достаточно сложную и в настоящее время невыполнимую задачу, изучение динамики этих движений проводилось с применением численных экспериментов на ПЭВМ с помощью программного комплекса, разработанного в среде Borland C++ Builder 6.
На рис. 4 в плоскости (p, R) представлена область D(0) существования и устойчивости (заштрихованная область) периодического движения с периодом 2п с поочередным соударением поршней-ударников для следующих значений параметров
(ц = 0.09, £ = 0.018, ф = 3.14,
kj = 0, Ak = 0, n = 0, у = 3) с P(), •
где Р(0) - множество параметров.
Граница Nc [3] (существования указанного выше точечного отображения Т) отсекает из области устойчивости ограниченную поверхностями N+, N- небольшую часть. На рис. 5 изображена
х+
Бифуркационная диаграмма для 1-го поршня
Х+
Бифуркационная диаграмма для 2-го поршня
Рис. 5
•' "" ■ ■ —. . ч —-—-;-р
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1
Рис. 7
Рис. S
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
х+
0,23
0,22
0,21
0,2
0,19
0,18
0,17
0,16
0,15
0,14
0,13
0,12
0,11
Бифуркационная диаграмма для 1-го поршня
\ -4-і-- /
\
■ \ ■ \ 1 \ 1
\ Чч. 1 х:— ----'47 'і *:.• іК‘Зг 1
Чіі .
х+
0,8
0/
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Бифуркационная диаграмма для 2-го поршня
— И У і --і
Рис. 12
бифуркационная диаграмма по параметру р, построенная для этих же значений параметров и для К = 0.55. Рисунок 5а соответствует диаграмме с ударами о поверхность первым поршнем, рис. 5б - с ударами о поверхность вторым поршнем. Из рисунка видно, что для 0.2 < р < 0.216 существует режим с одним ударом первого поршня и тремя ударами второго поршня за период, основной режим движения существует в пределах 0.223 < р < 0.3 . При 0.216 < р < 0.223 наблюдается хаотический режим движения. На рис. 6а для указанных выше значений параметров ц, є, ф, к, Ак, п, у и для р, К, принадлежащих области Э(0) устойчивости (см. рис. 4, заштрихованная область), приведена осциллограмма движения с поочередным соударением поршней-ударников, а на рис. 6б -осциллограмма движения для значений р=0.2 и К =0.55 <£ В(0). Из этого рисунка видно, что существует периодический режим с более сложным движением (один удар о поверхность
первым поршнем и два удара о поверхность вторым поршнем). Приведенный выше численный эксперимент относится к случаю кх = 0, А к = 0.
Были проведены численные эксперименты для случая кх Ф 0, Ак Ф 0 . Так, на рис. 7 представлена область устойчивости для значений параметров, принадлежащих Р(0) и к1 = 1,
А к = 0.1. Выявлено, что для 0.1 <Ак < 0.3 область устойчивости увеличивается по сравнению с рис. 4, где кх = 0, А к = 0. На рис. 8 для приведённых выше значений параметров и К = 0.55 представлена бифуркационная диаграмма по параметру р. Из рисунка видно, что для 0.38 < р < 0.386 существует основной режим движения, для 0.386 < р < 0.4 существуют режимы с большим числом ударов каждым из поршней-ударников.
На рис. 9 представлены бифуркационные диаграммы по параметру ф для
ц = 0.09, е = 0.018, р = 0.2, Я = 0.5,
к = 0, Ак = 0, п = 0, у = 3.
Из рисунка видно, что при 0 <ф<0.9 и 1.1 < ф < 2 наблюдается хаотический режим
движения, при 0.9 < ф < 1.1 существует режим с ударом только вторым поршнем, при 2 <ф< 2.25 - режим с двумя ударами первым поршнем и двумя ударами вторым поршнем, при 2.25<ф<4 - основной режим движения. На рис. 10 также представлены бифуркационные диаграммы по параметру ф для значений
параметров, указанных выше, но кх = 1,
А к = 0.1. Сопоставляя результаты, приведенные на рис. 9 и 10, можно заметить, что во втором случае при учёте высот подставок качественно изменился режим движения первого поршня - наблюдается режим с двумя ударами первым поршнем.
На рис. 11 представлены бифуркационные диаграммы по параметру у для
ц = 0.09, б = 0.018, р = 0.2, Я = 0.4, ку = 0, Ак = 0, п = 0, ф = 3.14.
Видно, что при 2.5 < у < 4.3 существует основной режим движения механизма, при 4.3 < у < 5 существуют режимы с большим числом ударов каждым из поршней-ударников.
На рис. 12 приведены бифуркационные диаграммы по параметру у для значений параметров, указанных выше, и к = 1, Ак = 0.1. Из рисунка видно, что основной режим движения механизма существует при 2.5 < у < 4 .
Список литературы
1. А.с. 1020479 СССР. Вибротрамбовка / Шил-ков В.А., Савалюк А.Д., Метрикин В.С., Поляков А.А., Шабардин А.К., Алехин А.И., Омененко И.Я. (СССР). - №3376593/29-33; заявлено 05.01.1982; опубл. 30.05.1983. Бюл. № 20.
2. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.
3. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. 285 с.
4. Метрикин В.С., Шилков В.А. Существование и устойчивость режимов движения ударновибрационного механизма // Изв. вузов. Машиностроение. 1985. № 4. С. 98-103.
5. Метрикин В.С., Никифорова И.В. Динамика двухпоршневого виброударного механизма // Математика. Компьютер. Образование: Сб. научных трудов. Том 2 / Под ред. Г.Ю. Ризниченко и А.Б. Рубина. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009. С. 71-77.
ON THE THEORY OF A VIBRO-IMPACT SYSTEM WITH A CRANKSHAFT VIBRATION EXCITER
V.S. Metrikin, I.V. Nikiforova
Results have been given of a numerical-analytical simulation of the dynamics of a vibro-impact mechanism with a crankshaft vibration exciter. The bifurcation and stability diagrams presented make it possible to bring out the main variation patterns of the system motion caused by parameter variations of the crankshaft vibration exciter.
Keywords: point mapping method, stability, bifurcation diagram, impact-velocity dependent restitution coefficient.
