Исследование динамики двухпоршневого виброударного механизма с учетом масс поршней Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 251-252

УДК 534.014

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВУХПОРШНЕВОГО ВИБРОУДАРНОГО МЕХАНИЗМА С УЧЕТОМ МАСС ПОРШНЕЙ

© 2011 г. И.В. Никифорова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 16.05.2011

Разработаны математическая модель и методика численно-аналитического исследования динамики вибро-ударного механизма. Для изучения в фазовом пространстве сложных режимов движения разработан программный комплекс в среде Borland C++Builder 6. Данный комплекс позволяет определять устойчивость неподвижных точек, строить осциллограммы движения и бифуркационные диаграммы, с помощью которых можно наблюдать процесс перестройки периодических движений в хаотические.

Ключевые слова: метод точечных отображений, устойчивость, бифуркационная диаграмма, коэффициент восстановления скорости при ударе.

Рассматриваемая система представляет собой виброударный механизм (рис. 1), состоящий из следующих элементов: 1 - корпус, 2 - маховик, 3 - кривошипов с регулируемыми эксцентриситетами г, 4 - шатуны (длиной /), 5 - поршней-ударников, 6 - неподвижного ограничителя, 7 -эксцентрикового вала, 8 - направляющей гильзы, 9 - направляющей штанги корпуса, 10 - наковальни .

dx

dx

где

=R*

dx

+ (1 + R)

df (x) dx

„ ч • df Л x=f (x), x <— dx)

f (x) = max{f!( x), f2( x)},

ц=г1//, р = g/(ю /), 8 = (5\-S2)//, у=г2/г1,

X = т1 /(М + т1 + т2), X2 = т2 /(М + т1 + т2), 8г - расстояние от точки крепления шатуна до основания поршня; т1 , т2 - массы первого и второго поршня-ударника соответственно.

Фазовое пространство системы G(x > /(т)) трехмерно в координатах х, х, т, цилиндрично по х и усечено по х. Очевидно, что представляет собой «гофрированную» поверхность, образованную пересечением цилиндрических поверхностей

х = ЖтХ х=У2(т).

Качественный вид фазового пространства и фазовых траекторий приведен на рис. 2:

Корпус совершает колебательные движения вдоль направляющей штанги вследствие вращения маховика, с постоянной угловой скоростью ш. Тогда рассматриваемая базовая модель имеет вид:

х -цХ1ео8т-цуХ2 еоз(т-ф) = -р (х > /(т)),

f1(x)=s —^cosx, f2(x) = -цуcos(x—ф),T = wt,

Видно, что режим движения механизма с ударами каждым из поршней возможен лишь при условии s2 <ц 2(1 — 2 у cos ф + у2).

Поведение фазовых траекторий позволяет сделать вывод, что секущая поверхность может быть задана уравнением x = f (т) поэтому динамика системы может быть изучена с помощью точечного отображения секущей поверхности в самое себя [1].

т

Пусть T1 - преобразование точки М0 (т = т0 , Хо = /i(To), ^&о) в М1(х = 11, Xi = /2(1!), Хх), а T2 — точечное преобразование точки М1 в точку М2(т = т2, х2 = /1(т2), Х2), где Х0,.X1,X2 — послеударные скорости. Тогда T = T1T2 определяет точечное преобразование точек М0 ^ М1 ^ М2, соответствующее последовательному соударению поршней-ударников, и имеет вид:

Х1 = R[^ (sin т1 - sin т0) - цуА2 (sin( т1 - ф) + +sin(То -ф))+р(Т1 -То)-Xo]+(1+R)w sin(T1 -ф), -^,ycos(T1 -ф)=- цА (cost1 -cos т0) -(т1 -т0 )х х(цА sin т0 +цуА2 sin(T0 -ф))-цуА2 (cos(r1 -ф)-(Tí -т0)2

-cos(To-ф)) - р 1 2 + ■&о (T1 -То)+в-ц cos То,

-cos(x1-9))- p

(T2—Tl)2

2

+^&і(т 2-Гі)-ЦУ cos(ii-9).

Для отыскания простых устойчивых в малом неподвижных точек преобразования Т применен известный алгоритм [2].

Для изучения сложных режимов движения механизма разработан программный комплекс в среде Borland С++ВшЫег 6. Комплекс позволяет отыскивать неподвижные точки, соответствующие различным типам периодических движений, и исследовать их устойчивость. Для этого с помощью программного продукта производится построение бифуркационных диаграмм.

х2 = ^[^(sin т2 - sin т1)-^yA2(sin(x2 -ф) +

+sin(T1 - ф))+р(т 2 - т1) - xj + (1+.K)|j, sin т2, s-ц cost2 = -^(cos т2 - cos т1) - (т2 -т1) X x(^A1sinx1 +^yA2sin(x1 -ф))-^yA2(cos(x2-ф) - с. 185-192.

Список литературы

1. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

2. Метрикин В.С., Никифорова И.В. К теории виброударной системы с кривошипно'-шатунным возбудителем колебаний // Вестник ННГУ. 2010. №5(1).

THE INVESTIGATION OF THE DYNAMICS OF A TWO-PISTON VIBROIMPACT MECHANISM TAKING INTO ACCOUNT THE MASSES OF PISTONS

I. V. Nikiforova

A mathematical model and principles of numerically-analytical research of the vibroimpact mechanism dynamics are developed. For studying in phase space of movement complicated modes, a program complex in the environment of Borland C ++ Builder 6 is developed. The given complex allows defining stability of motionless points, to build oscillograms of movement and bifurcational diagrams that make it possible to observe the process of periodic movements in the chaotic reorganization.

Keywords: point mapping, stability, bifurcation diagram, coefficient of restitution on impact velocity.